La estadística descriptiva proporciona métodos gráficos y métodos numéricos para el análisis de uno o varios conjuntos de datos.

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2 La estadística descriptiva proporciona métodos gráficos y métodos numéricos para el análisis de uno o varios conjuntos de datos.

3 Cualitativa Cuantitativa Nominal Discreta Ordinal Continua

4 Series Simples Series de Frecuencias Intervalos de Clases

5 Variables Cualitativas Barras Simples Barras Proporcionales Barras Agrupadas Diagramas Sectoriales Variables Cuantitativas Discretas Bastones Variables Cuantitativas Continuas Histograma Polígono de Frecuencias Simples Polígono de Frecuencias Acumuladas

6 En todo análisis y/o interpretación se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma para extraer y resumir las principales características de los datos.

7 Centralización Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Posición Media, mediana y moda Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuartiles, deciles, percentiles Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Forma Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación. Asimetría

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10 La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto central. La media aritmética es la medida más común de centralización de un grupo de datos. Serie Simple: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x n entonces la media muestral se define como: n X i1 n x i

11 Serie de Frecuencias: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x i y f 1, f 2,, f i son sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como: Ejemplo: X n i1 xf X 80 X 3,725 n i i Nº de hijos f i n = 80

12 Intervalos de clase: Sean x m1,x m2,, x mi las marcas de clases de los intervalos y f 1, f 2,, f i sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se k define como: X i1 x n mi f i Intervalo x mi f i Ejemplo: X 58 X 41,14 [ ) 32 [ ) 37 [ ) 42 [ ) 47 [ )

13 Es el punto donde la muestra se divide en dos partes iguales. Serie Simple: Sean x 1,x 2,, x n una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como: x n1 /2 Me x x 2 n/2 n1 /2 si n si n es impar es par

14 Ejemplo 1: 1, 3, 4, 2, 7, 6 y 8 La media muestral es 4,4 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 Ejemplo 2: 1, 3, 4, 2, 7, 2450 y 8 La media muestral es 353,6 1, 2, 3, 4, 7, 8, 2450 MEDIANA MEDIANA

15 Serie de Frecuencias: Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones Ejemplo: El número de hijos en 80 familias se distribuye de la siguiente forma: Nº de hijos f i F n Me = 4 hijos 80

16 Intervalos de clases: Para calcular la mediana se usa la siguiente fórmula: donde: n F aa Me L 2 inf * a f L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a n/2. F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. a = Amplitud de los intervalos i

17 Ejemplo: n Intervalo f i F [ ) 8 [ ) 14 [ ) 20 [ ) 12 [ ) Me n 58 Faa 22 L 2 inf * a Me * f 20 i

18 Porcentajes 100,00 90,00 80,00 75% 70,00 60,00 50,00 25% 40,00 30,00 20,00 10,00 0, Putuaciones

19 Serie Simple: Ejemplo 1: 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 10, 4, 6, 3, 1 La moda es 3. Ejemplo 2: 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 10, 4, 6, 3, 1, 6, 2, 5, 6 Las modas son 3 y 6. Ejemplo 3: 1, 3, 4, 7, 8, 9, 2, 19, 6 En este caso, no hay moda.

20 Serie de Frecuencias: Nº de hijos f i La Moda son 4 hijos

21 Intervalos de clase: Para calcular el valor puntual de la moda se usa la siguiente fórmula: donde: d1 Mo Linf * a d d L inf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta (intervalo modal). d 1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo pre-modal. d 2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo post-modal. a = Amplitud de los intervalos 1 2

22 A Agrupando en 6 clases Intervalos Frecuencias [ ) 2 [ ) 9 [ ) 13 [ ) 9 [ ) 9 [ ) 1 TOTAL 43 B Agrupando en 5 clases Intervalos Frecuencias [ ) 2 [ ) 13 [ ) 16 [ ) 11 [ ) 1 TOTAL 43 Clase Modal = [ ) Clase Modal = [ ) 4 Mo 19, Mo 20,

23 D1 D2 L i Mo a

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25 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles. 75% 25% 75% 25% 25% 25% 25% 25% Mínimo Cuartil 1 Q 1 Mediana Cuartil 2 Q 2 Cuartil 3 Q 3 Máximo

26 Serie Simple: Sean x 1,x 2,, x n una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como: x n1 j/4 Q x x 2 j nj/4 n1 j/4 si n es impar si n es par

27 Serie de Frecuencias: Nº de hijos f i F n 80 j. j. 4 4 n 80 n Q 1 = 2 hijos Q 3 = 5 hijos

28 Intervalos de clases: n j. Faa Q 4 j Linf * a f i donde: L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 a = Amplitud de los intervalos.

29 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en diez partes iguales, los puntos de división se conocen como deciles. 20% 80% Mínimo Decil 2 Máximo D 2

30 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cien partes iguales, los puntos de división se conocen como percentil. 18% 82% Mínimo Percentil 18 Máximo P 18

31 Porcentajes 100,00 90,00 80,00 75% 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 25% 20,00 10,00 0,00 Q 1 P 40 Q Putuaciones

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34 El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña : r x x max min

35 Para el conjunto de datos x 1, x 2,.,x n Las diferencias determinan las desviaciones de la media. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones. s n 2 i1 ( x x) Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independientes conviene dividir entre n-1, es decir i n 2

36 S n 2 i1 ( x x) i n 1 2 Esta última será la fórmula que emplearemos

37 Esta medida de variabilidad se denomina Varianza. Como S 2 no tiene las mismas unidades que los datos, se define la Desviación Estándar como la raíz cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una medida en las mismas unidades de los datos. La desviación estándar es útil para comparar dispersión entre dos poblaciones, pero también lo es para calcular el porcentaje de la población que pueden localizarse a menos de una distancia específica de la media.

38 Resumiendo Varianza para datos no agrupados 1 ) ( n X x S n i i Varianza para datos agrupados (Serie de Frecuencias) 1 ) ( n f X x S n i i i Varianza para datos agrupados (Intervalos de clases) ( ) 1 k mi i i x X f S n

39 Desvío Estándar para datos no agrupados S n 1 ( x i X n 1 i1 ) 2 Desvío Estándar para datos agrupados (Serie de Frecuencia) S n 1 ( x n 1 i1 i X ) 2 f i Desvío Estándar para datos agrupados (Intervalos de clases) 1 k 2 S ( xmi X ) fi n 1 i1 Representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, así podemos tener dos muestras que tienen la misma media, pero que tienen diferente Desviación Estándar.

40 Nos permite la comparación entre distintas variables y poblaciones. Mide el grado de homogeneidad o heterogeneidad en una o mas poblaciones. Su principal característica es estar desprovisto de unidades. El valor se puede expresar en términos porcentuales. CV S X 100%

41 Ejemplo: Si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación estándar (s) = 10,44 y la presión arterial de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmhg) cuya media es de 166 mmhg y su desviación estándar de 21,3. La pregunta sería: qué distribución es más dispersa, el peso o la presión arterial? Si comparamos las desviaciones estándar observamos que la desviación estándar de la presión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación: CV de la variable peso = CV de la variable Presión =

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43 Forma Una tercera propiedad de un conjunto de datos es su forma, la manera en que se distribuyen los datos. Una distribución de datos puede ser simétrica o no. Si la distribución de datos no es simétrica, se le denomina asimétrica o sesgada. Todo lo que se requiere para describir la forma es comparar la media, la mediana y la modo.

44 Insesgada Moda=Mediana=Media Si X Me Mo : Simétrica

45 Sesgo Negativo (a la izquierda) Media Mediana Moda Si X Me Mo : Asimétrica Negativa

46 Sesgo Positivo (a la derecha) Moda Mediana Media Si Mo Me X : Asimétrica Positiva

47 Centralización Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Posición Media, mediana y moda Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuartiles, deciles, percentiles Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Forma Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación. Asimetría

48 Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes. Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes Axiomática de la teoría de probabilidades

49 Probabilidad Condicional: Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook. Definimos lo siguientes eventos: Axiomática de la teoría de probabilidades

50 Probabilidad Condicional: Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación: Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook. Definimos lo siguientes sucesos: A B la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial Axiomática de la teoría de probabilidades

51 Probabilidad Condicional: Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación: Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook. Definimos lo siguientes sucesos: A B la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN. Axiomática de la teoría de probabilidades

52 Probabilidad Condicional: Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación: Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook. Definimos lo siguientes sucesos: A B la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN. Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software comercial de un total de 100. Axiomática de la teoría de probabilidades

53 Probabilidad Condicional: Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación: Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook. Definimos lo siguientes sucesos: A B la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN. Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software comercial de un total de P A PB Axiomática de la teoría de probabilidades

54 Probabilidad Condicional: b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial Axiomática de la teoría de probabilidades

55 Probabilidad Condicional: b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A con software comercial 100 notebook 80 con software libre Axiomática de la teoría de probabilidades

56 Probabilidad Condicional: b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A 1 5 PB? Axiomática de la teoría de probabilidades

57 Probabilidad Condicional: b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A 1 5 PB? Debemos conocer la composición del lote al momento de extraer la segunda notebook. Axiomática de la teoría de probabilidades

58 Probabilidad Condicional: b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A 1 5 PB? Debemos conocer la composición del lote al momento de extraer la segunda notebook. Debemos saber si A ocurre o no P B 20 si no ocurre A si ocurre A 99 Axiomática de la teoría de probabilidades

59 Probabilidad Condicional: b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A 1 5 PB? Debemos conocer la composición del lote al momento de extraer la segunda notebook. Debemos saber si A ocurre o no P B 20 si no ocurre A si ocurre A 99 P B / A Axiomática de la teoría de probabilidades

60 Probabilidad Condicional: Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento tal que P(A)>0, se define la probabilidad de B condicionada al evento A como: P B / A P A P A B Axiomática de la teoría de probabilidades

61 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. A x, x / x x B x, x / x x Axiomática de la teoría de probabilidades

62 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x x B x, x / x x Axiomática de la teoría de probabilidades

63 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x x B x, x / x x Axiomática de la teoría de probabilidades

64 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x x B x, x / x x P A Axiomática de la teoría de probabilidades

65 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x x B x, x / x x P A Axiomática de la teoría de probabilidades

66 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x x B x, x / x x P A P B Axiomática de la teoría de probabilidades

67 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x x B x, x / x x P A P B Axiomática de la teoría de probabilidades

68 Probabilidad Condicional: Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 1 P A B 36 1 PB A PB P A / B 15 ; A x, x / x x B x, x / x x P A P B P A B 36 1 / ; P A Axiomática de la teoría de probabilidades

69 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: a) B A P B / A A P B P A B Axiomática de la teoría de probabilidades

70 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: a) B A P B / A P B P A A B P B A P B PB / A PB P A P A Axiomática de la teoría de probabilidades

71 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: b ) A B PB / A P A P A 1 B A Axiomática de la teoría de probabilidades

72 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: b ) A B PB / A P A P A 1 B A P B / P B A P A A P A P A 1 Axiomática de la teoría de probabilidades

73 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: c) A B P B / A 0 A B Axiomática de la teoría de probabilidades

74 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: c) A B P B / A 0 A P B A P PB / A 0 PB P A P A B Axiomática de la teoría de probabilidades

75 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: d) A B P B / A A P A P A B B Axiomática de la teoría de probabilidades

76 Probabilidad Condicional: La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades: d) A B P B / A P A P A B A P B / A P B P A A B Axiomática de la teoría de probabilidades

77 Teorema del producto de probabilidades De la definición de probabilidad condicional tenemos que: o su equivalente P A B P A 0, PB / A P A B P A P B / A P A P A B PB 0, P A / B P A B P B P A / B P B Axiomática de la teoría de probabilidades

78 Teorema del producto de probabilidades De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: : Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B o su equivalente 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A B P A 0, PB / A P A B P A P B / A P A P A B PB 0, P A / B P A B P B P A / B P B Axiomática de la teoría de probabilidades

79 Teorema del producto de probabilidades De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: : Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B o su equivalente 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial P A B P A PB / A P A B P A 0, PB / A P A B P A P B / A P A P A B PB 0, P A / B P A B P B P A / B P B Axiomática de la teoría de probabilidades

80 Teorema del producto de probabilidades Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos A1, A2,, An / / / P A A A P A P A A P A A A P A A A A 1 2 n n 1 2 n 1 Axiomática de la teoría de probabilidades

81 Teorema del producto de probabilidades Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos A1, A2,, An / / / P A A A P A P A A P A A A P A A A A 1 2 n n 1 2 n 1 Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B C 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial la tercera notebook tiene software comercial Axiomática de la teoría de probabilidades

82 Teorema del producto de probabilidades Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos A1, A2,, An / / / P A A A P A P A A P A A A P A A A A 1 2 n n 1 2 n 1 Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B C 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial la tercera notebook tiene software comercial P A B C P A P B / A P C / A B Axiomática de la teoría de probabilidades

83 Teorema del producto de probabilidades Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos A1, A2,, An / / / P A A A P A P A A P A A A P A A A A 1 2 n n 1 2 n 1 Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. A B C 20 con software comercial 100 notebook 80 con software libre la primer notebook tiene software comercial la segunda notebook tiene software comercial la tercera notebook tiene software comercial P A B C P A PB / A PC / A B Axiomática de la teoría de probabilidades

84 Sucesos Independientes De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional: c) A B P A / B 0 ) / P B b B A P A B P B 1 La ocurrencia del suceso B, nos da información precisa sobre la ocurrencia del suceso A. Axiomática de la teoría de probabilidades

85 Sucesos Independientes De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional: b ) B A P A / B P B P B 1 c) A B P A / B 0 La ocurrencia del suceso B, nos da información precisa sobre la ocurrencia del suceso A. Existen muchos casos en los cuales la ocurrencia de un suceso B no tiene influencia alguna en la ocurrencia o no ocurrencia de otro suceso A. Axiomática de la teoría de probabilidades

86 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. A x, x / x es par B x, x / x es impar, x Axiomática de la teoría de probabilidades

87 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x Axiomática de la teoría de probabilidades

88 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x Axiomática de la teoría de probabilidades

89 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x P A Axiomática de la teoría de probabilidades

90 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x P A Axiomática de la teoría de probabilidades

91 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x P A 12 1 P B 36 3 Axiomática de la teoría de probabilidades

92 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x P A 12 1 P B 36 3 Axiomática de la teoría de probabilidades

93 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x P A P A B 12 1 P B ; 36 6 Axiomática de la teoría de probabilidades

94 Eventos Independientes Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x 1, x 2 ), donde x i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2. S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 P A B 36 1 PB A PB P A / B 12 ; 2 36 A x, x / x es par B x, x / x es impar, x 1 Axiomática de la teoría de probabilidades P A 6 P A B 36 1 / ; P A Podríamos inclinarnos a decir que dos sucesos A y B son independientes sí: / / P A B P A y P B A P B P A B 12 1 P B ; 36 6

95 Eventos Independientes De la definición de probabilidad conjunta tenemos que: / P A B P A P B A P A P B / P A B P B P A B P B P A Axiomática de la teoría de probabilidades

96 Eventos Independientes De la definición de probabilidad conjunta tenemos que: / P A B P A P B A P A P B / P A B P B P A B P B P A Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí: P A B PAPB Axiomática de la teoría de probabilidades

97 Eventos Independientes De la definición de probabilidad conjunta tenemos que: / P A B P A P B A P A P B / P A B P B P A B P B P A Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí: S P A B PAPB (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) A x, x / x es par B x, x / x es impar, x P A 12 1 P B P A B P A P B 6 Axiomática de la teoría de probabilidades

98 Eventos Independientes Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo. a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione durante la avería. b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador. Axiomática de la teoría de probabilidades

99 Eventos Independientes Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo. a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione durante la avería. b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador. Axiomática de la teoría de probabilidades

100 Eventos Independientes Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo. a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione durante la avería. b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador. Generalización: A1, A2,, An son sucesos independientes si y solo sí para k=2,,n i i i i i i P A A A P A P A P A 1 2 k 1 2 k Axiomática de la teoría de probabilidades

101 Teorema de la probabilidad total Definición: Diremos que los sucesos B1, B2,, Bn espacio muestral S si: a) B B i j b) S B i n i1 c) P B 0 i i j i representan una partición del En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos B i Axiomática de la teoría de probabilidades

102 Teorema de la probabilidad total Definición: Diremos que los sucesos B1, B2,, Bn espacio muestral S si: a) B B i j b) S B i n i1 c) P B 0 i i j i representan una partición del En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos B i Ejemplo: En el lanzamiento de un dado: B 1, 2 B 3, 4,5 B 6 representa una partición del espacio muestral C 1, 2,3, 4 C 4,5,6 NO representa una partición del espacio muestral. 1 2 Axiomática de la teoría de probabilidades

103 Teorema de la probabilidad total B 1 B 2 A S Sea A algún suceso respecto a S y B 1 B 2 B 3 B 4 una partición de S. B 3 B 4 Axiomática de la teoría de probabilidades

104 Teorema de la probabilidad total B 1 B 2 A S Sea A algún suceso respecto a S y B 1 B 2 B 3 B 4 una partición de S. B 3 B 4 A = (A B 1 ) U (A B 2 ) U (A B 3 ) U (A B 4 ) Axiomática de la teoría de probabilidades

105 Teorema de la probabilidad total B 1 B 2 A S Sea A algún suceso respecto a S y B 1 B 2 B 3 B 4 una partición de S. B 3 B 4 A = (A B 1 ) U (A B 2 ) U (A B 3 ) U (A B 4 ) P(A) = P(A B 1 )+P (A B 2 )+P (A B 3 )+P (A B 4 ) Axiomática de la teoría de probabilidades

106 Teorema de la probabilidad total B 1 B 2 A Si conocemos la probabilidad de A en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de A como la suma: B 3 B 4 P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + P(A B 3 ) + P(A B 4 ) P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) + P(A B 3 )P(B 3 ) + P(A B 4 )P(B 4 ) Axiomática de la teoría de probabilidades

107 Teorema de la probabilidad total Sea B 1, B 2,...,B n una partición de S y sea A un seceso cualquiera asociado a S del que se conocen las probabilidades condicionales P(A/B i ), entonces la probabilidad del suceso A está dada por: B 1 B 2 A n P( A) P( A B ) P( B ) i1 i i B 3 B 4 Axiomática de la teoría de probabilidades

108 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Axiomática de la teoría de probabilidades

109 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Proveedor B1 Proveedor B2 4 celdas Axiomática de la teoría de probabilidades

110 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Proveedor B1 Proveedor B2 Notebook 0,7 B1 4 celdas 0,3 B2 Axiomática de la teoría de probabilidades

111 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Proveedor B1 Proveedor B2 Notebook 0,7 B1 0,1 0,9 4 celdas 6 celdas 4 celdas 0,3 B2 0,2 4 celdas 0,8 6 celdas Axiomática de la teoría de probabilidades

112 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Proveedor B1 Proveedor B2 Notebook 0,7 B1 0,1 0,9 4 celdas 6 celdas 4 celdas 0,3 B2 0,2 4 celdas 0,8 6 celdas P 4 C P 4 C B1 P B1 P 4 C B2 P B2 = 0,1 0,7 0,2 0,3 0,13 Axiomática de la teoría de probabilidades

113 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. Cuál será la probabilidad de que la notebook provenga del proveedor B 2? Axiomática de la teoría de probabilidades

114 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. Cuál será la probabilidad de que la notebook provenga del proveedor B 2? Proveedor B1 4 celdas Proveedor B2 P( B / 4 C) 2 P B 4C P 4 C / B P B P 4C P 4C P C P 4 C / B P B P( B2 / 4 C) Axiomática de la teoría de probabilidades

115 Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos proveedores diferentes, B 1, B 2. El 70% de las notebook fueron compradas a B 1 y el resto a B 2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B 1 es del 10% y de B 2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas. Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. Cuál será la probabilidad de que la notebook provenga del proveedor B2? Proveedor B1 4 celdas Proveedor B2 P( B / 4 C) 2 P B 4C P 4 C / B P B P 4C P 4C P C P 4 C / B P B P( B2 / 4 C) Se puede generalizar el método empleado para resolver este problema con el fin de originar el Teorema de Bayes. Axiomática de la teoría de probabilidades

116 Teorema de Bayes Sea B 1, B 2,...,B n una partición de S y sea A un seceso cualquiera asociado a S del que se conocen las probabilidades condicionales P(A/B i ), entonces: B 1 B 2 P( B / A) j i1 / P Bj A P A Bj P Bj n P A P( A B ) P( B ) i i A B 3 B 4 PB ( ) son las probabilidades a priori j P( A / B ) es la probabilidad de A en la hpótesis B j P( B / A) son las probabilidades a posteriori j El Teorema de Bayes nos permite calcular las probabilidades a posteriori conocidas las probabilidades a priori. i Axiomática de la teoría de probabilidades

117 Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes. Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano. Axiomática de la teoría de probabilidades

118 Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes. Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano. La diabetes afecta al 2% de los individuos. 0,98 Individuo 0,02 La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,945. La especificidad de 0,977. Calcular los índices predictivos. Axiomática de la teoría de probabilidades

119 Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes. Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano. La diabetes afecta al 2% de los individuos. 0,98 Individuo 0,02 La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,945. La especificidad de 0,977. Calcular los índices predictivos. 0,977 0,023 0,055 0,945 T- T+ T- T+ Axiomática de la teoría de probabilidades

120 Axiomática de la teoría de probabilidades ) ( ) ( ) ( T P T Enf P T Enf P ( ) ( ) ( ) P Sano T P Sano T PT 0,456 0,023 0,98 0,945 0,02 0,945 0,02 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Enf T P Enf P Sano T P Sano P Enf T P Enf P T P T Enf P T Enf P 0,999 0,055 0,02 0,977 0,98 0,977 0,98 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Enf T P Enf P Sano T P Sano P Sano T P Sano P T P T Sano P T Sano P Solución

121 Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. - Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 2%. Le haremos unas pruebas. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. Axiomática de la teoría de probabilidades

122 Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. - Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 2%. Le haremos unas pruebas. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. Axiomática de la teoría de probabilidades

123 Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. - Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 2%. Le haremos unas pruebas. Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 45,6%. Axiomática de la teoría de probabilidades

124 Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. - Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 2%. Le haremos unas pruebas. Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 45,6%. Axiomática de la teoría de probabilidades

125 Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional. Independencia. Teorema de Bayes. Axiomática de la teoría de probabilidades

126 Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas Distribuciones Discretas: a) Distribución de Bernoulli b) Distribución de Binomial c) Distribución de Poisson d) Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución de Poisson

127 Distribución Binomial X es una variable aleatoria con distribución binomial si su distribución de probabilidades esta dada por: n k nk P X k p 1 p k 0,1,, n k donde 0<p<1 (p constante) y n es un número entero positivo. Características: Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Esperanza: E X np Varianza: 1 Var X np p

128 Forma de la Distribución Binomial Simétrica Si p=0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.

129 Forma de la Distribución Binomial Sesgada a derecha Si p0 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la derecha.

130 Forma de la Distribución Binomial Sesgada a izquierda Si p1 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la izquierda.

131 Distribución de Hipergeométrica Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por: AN - A k n - k P( X k) N n E( X ) k n N N n V( x) np1p N 1 Donde: n: Tamaño de la muestra. N: Tamaño de la población A: número de éxitos en la población. N-A: número de fracasos en la población. K: número de éxitos en la muestra.

132 Distribución Binomial Para identificar el modelo binomial: Hay n repeticiones independientes. El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario. La probabilidad de A es p, constante en cada prueba. Distribución Hipergeométrica Para identificar el modelo Hipergeométrico: Hay n repeticiones no independientes. El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario. La probabilidad de A no es constante, varía en cada prueba.

133 Distribución de Poisson X es una variable aleatoria con distribución de Poisson si su distribución de probabilidades está dada por: donde k e 0,1,2,,, P X k k n 0 k! representa el número promedio de eventos por unidad. Principales características numéricas: Esperanza Varianza E X Var X

134 Forma de la Distribución de Poisson El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

135 Distribución de Poisson Consideremos : El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital. El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado. El número de coches que circulan por una rotonda en el lapso de una hora. Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características: Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado. La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.) El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.

136 Distribución de Poisson Sea X una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica que : 1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo. 2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad. 3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente. Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de POISSON.

137 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con parámetros n y p. Esto es: n k nk P X k p 1 p k 0,1, 2,3, 4,, n k Cuando n y p 0 de manera tal que np tenemos que: n k nk P X k p 1 p k k e k!

138 Haciendo coincidir los valores medios de ambas distribuciones. Tenemos: np

139 Conclusión Gráficamente podemos concluir que a medida que n aumentamos y p disminuye, la distribución de Poisson se aproxima a la distribución Binomial.

140 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial El teorema anterior nos dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea grande y p pequeño. En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.

141 Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas Distribución Continuas: a) Distribución Uniforme b) Distribución de Exponencial c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial. d) Distribución Normal

142 Distribución Uniforme Se dice que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] si su función de densidad de probabilidades (f.d.p) está dada por: 1 f( x) b- a 0 si a x b en otro caso Esperanza Varianza E X V X b a 2 b a 2 12

143 Distribución Uniforme Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [a,b] su función de distribución acumulativa (FDA) está dada por: 0 si x < a x a F(x)= si a x b b a 1 si x > b

144 Distribución Uniforme fdp F(x) FDA f(x) 1 b a 1 a b x a b x

145 Distribución Uniforme Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media hora entre la medianoche y las seis de la mañana. Cuál es la probabilidad de que un hombre que entra a la estación a una hora al azar, durante ese período tenga que esperar por lo menos 20 minutos? X: tiempo, en minutos, hasta el siguiente tren. U[0;30] 1 si 0 x 30 f(x)= 30 0 en otro caso La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación del mismo.

146 Distribución Exponencial Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una distribución exponencial, con parámetro 0, si su fdp está dada por: - x e si x 0 f(x) 0 si x < (en la distribución de Poisson)

147 Distribución Exponencial Esta distribución: suele ser el modelo de aquellos fenómenos aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos. Demostrar las características numéricas de la función exponencial: 1 1 Ex ( ) V(x)= 2

148 Distribución Exponencial Sea X una v.a distribuida exponencialmente, con parámetro función de distribución acumulativa (FDA) está dada por: 0, su La FDA está dada por: F(x) x 1 e si x 0 0 si x<0 F(x) 1 x

149 Distribución Exponencial El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera exponencial con una vida media de 360 hs. Cuál es la probabilidad de que un dispositivo funcione eficazmente: a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs? T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente Usamos la FDA: ET ( ) Ft () t 1 e si t 0 0 si t < a) P(T<180)= F(180)=1-e

150 Distribución Exponencial El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera exponencial con una vida media de 360 hs. Cuál es la probabilidad de que un dispositivo funcione eficazmente: a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs? T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente Usamos la FDA: ET ( ) Ft () t 1 e si t 0 0 si t < b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1-1 e e 0,1353

151 Propiedad fundamental de la Distribuciones Exponencial La distribución exponencial no tiene memoria : P( x< s + t / x> s ) = P( x< t ) La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. P( s x s t) F( s t) F( s) P( x s t / x s) P( x s) 1 F( s) ( st) s as t s s t 1 e 1 e e e e e ( e 1) s s s 1 (1 e ) e e t 1 e F( t) P( x t)

152 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial La v.a X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso de Poisson con media 0 tiene una distribución exponencial con parámetro : 0

153 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: Cuál es la probabilidad de que sean emitidas al menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto? Solución/ X : nº de partìculas en 1min k. e P( X k) k! P ( X 2)01 P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X ,91 0,09

154 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre emisiones sucesivas sea mayor a 3 minutos? Solución/ T : tiempo (min) hasta que ocurre la prox emision, 30.3 Y : partìculas emitidas en 3min, (1.5). e P( T 3) P( Y 0) !

155 Distribución Normal Pierre Simon de Laplace ( ) Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace - Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física. Karl F. Gauss ( )

156 Distribución Normal 1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante esta distribución: a) Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...). b) Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,... c) Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco. d) Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. e) En general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores 2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas. 3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su relación con el teorema del límite central.

157 Distribución Normal Se dice que X que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su fdp está dada por: 1x 2 1 f(x) e con - < x < 2 2 La función depende de únicamente de dos parámetros, μ y σ, su media y desviación estándar, respectivamente. Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo. E( x) y V( x) 2

158 Distribución Normal: Principales Características: 1.La función tiene un máximo en x =. 2.La curva es simétrica alrededor del eje vertical x=μ, donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo ). 3.Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores en x=μ ± σ, es cóncava hacia abajo si μ-σ<x< μ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto. 4.La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección, es decir Para x tendiendo a, el límite f(x) =0. 5.El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1. 6.Los parámetros μ y σ son realmente la media y la desviación estándar de la distribución normal.

159 Distribución Normal: Principales Características: Puntos de inflexión - =Mo=Me + +

160 Distribución normal con =0 para varios valores p(x)

161 Distribución normal con distintas medias y dispersión

162 N(μ, σ): Interpretación geométrica La media se puede interpretar como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,

163 Estandarización de la Distribución Normal Dada la dificultad que se encuentra al resolver las integrales de una funciones densidades de probabilidades asociada a una v.a. normal, es necesario contar con una tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar establecer tablas separadas para cada valor de μ y σ. Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1. x Si X N, Z=, Z N 0,1 2

164

165 Estandarización de la Distribución Normal Sea X una v.a está dada por: X N 0,1 su función de distribución acumulativa (FDA) t 1 z 2 P Z z z e dt 2 2 P(Z<z)

166 Estandarización de la Distribución Normal x Si X N, y Z= N 0,1 2 Z Pa x b P a x b P a Z b b a

167 Cálculo de la probabilidad de desviación prefijada. P x Si X N, 2 x x x P P P

168 Regla de las tres sigmas Es un caso particular de desviación prefijada. x x x Si = 3 P 3 P 3 3 P ,9974 Esto significa que el suceso x 3 Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario es poco probable y puede considerarse prácticamente imposible.

169 Regla de las tres sigmas: Su esencia. Si una variable aleatoria está distribuida normalmente, entonces la desviación respecto de la esperanza matemática, en valor absoluto, no es mayor que el triple de la dispersión. En la práctica se aplica así: si la distribución de una variable no se conoce, pero se cumple la condición x 3 Se puede suponer que dicha variable está distribuida normalmente.

170 P x 0,6827 P x 2 0,9545 P x 3 0,9974

171 Para ilustrar el uso de las Tablas, calculemos la probabilidad de que Z sea menor que Primero localizamos un valor de z igual a 1.6 en la primera columna (izquierda), después nos movemos a lo largo de la fila hasta encontrar la columna correspondiente a 0.04, donde leemos Por lo tanto P(Z<1.64)=

172 Para encontrar un valor de z que corresponda a una probabilidad dada, el proceso se invierte. Po ejemplo, el valor de z que deja un área de 0.9 bajo la curva a la izquierda de z es de 1.28.

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