Robótica Tema 4. Modelo Cinemático Directo

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E.U.I.T. Industral ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco Ttulacón: Grado en Ingenería Electrónca y Automátca Área: Ingenería de Sstemas y Automátca Departamento de Electrónca Automátca e Informátca Industral Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Robótca Tema. Modelo Cnemátco Drecto

2 Resumen ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco Se pretende obtener la descrpcón matemátca de la localzacón espacal del robot conocendo las poscones artculares del msmo. Para ello se empleará una metodología cerrada conocda como Método de Denavt-Hartenberg. 2

3 Objetvos ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco. Conocer los métodos matemátcos para la obtencón del modelo cnemátco drecto de un robot sera. 2. Adqurr destreza en la obtencón de dcho modelo. 3

4 Contendo ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco.. Justfcacón.2. El problema cnemátco drecto.2. Método Geométrco.2.2 Matrces de Transformacón homogénea.3. Método de Denavt Hartenberg (DH).3. Ejemplos Bblografía recomendada: [] Robótca: Control, Vsón, Deteccón e Intelgenca. Fu, Gonzales y Lee. Mc-Grow Hll. [2] Fundamentos de Robótca. Barrentos, Peñín, Balaguer, Aracl. [3] Robótca: Manpuladores y Robots Móvles. A. Olleros. Ed. Macombo

5 .. Justfcacón ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco En este tema se aplcarán las herramentas matemátcas anterores al área de la robótca. Tenemos dos objetvos: Objetvo Obtener un modelo geométrco de la estructura que permta relaconar los grados de lbertad (las varables/coordenadas generalzadas) con las coordenadas cartesanas de todos y cada uno de los puntos que consttuyen el robot. Cnemátca drecta Solucón únca para la mayor parte de los robots serales Objetvo 2 Posconar al robot. Esto es dadas las poscones cartesanas como valores de entrada hallar los valores de las coordenadas generalzadas. Cnemátca nversa Puede haber,, 2 o nfntas solucones.

6 .. Justfcacón ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco Defncón La cnemátca del robot estuda el movmento del msmo con respecto a un sstema de referenca. La cnemátca se nteresa por la descrpcón analítca del movmento espacal del robot como una funcón del tempo, y en partcular por las relacones entre la poscón y orentacón del extremo fnal del robot y los valores que toman sus coordenadas artculares.

7 Contendo ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco.. Justfcacón.2. El problema cnemátco drecto.2. Método Geométrco.2.2 Matrces de Transformacón homogénea.3. Método de Denavt Hartenberg (DH).3. Ejemplos Bblografía recomendada: [] Robótca: Control, Vsón, Deteccón e Intelgenca. Fu, Gonzales y Lee. Mc-Grow Hll. [2] Fundamentos de Robótca. Barrentos, Peñín, Balaguer, Aracl. [3] Robótca: Manpuladores y Robots Móvles. A. Olleros. Ed. Macombo 7

8 .2. El Problema Cnemátco Drecto ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco La cnemátca drecta consste en obtener la poscón en el espaco de la estructura a partr de los valores de las coordenadas generalzadas (q). Éstas están asocadas a las artculacones y defnen sus propedades de movmento, por lo que para las artculacones de revolucón la varable generalzada será un ángulo, y para las prsmátcas un desplazamento.

9 .2. El Problema Cnemátco Drecto ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco.2. Método Geométrco Obtenemos la poscón y orentacón del extremo del robot apoyándonos en las relacones geométrcas: No es un método sstemátco. Es usado cuando tenemos pocos grados de lbertad. ( ) cos( ) ( ) sn ( ) x= l cos q + l q + q 2 2 y = l sn q + l q + q 2 2

10 .2. El Problema Cnemátco Drecto ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco.2.2 Matrces de Transformacón homogénea A cada eslabón se le asoca un sstema de referenca soldaro. Es posble representar las traslacones y rotacones relatvas entre los dstntos eslabones. La matrz - A representa la poscón y orentacón relatva entre los sstemas asocados a dos eslabones consecutvos del robot. Representacón total o parcal de la cadena cnemátca del robot: A 3 = A A 2 2 A 3 T = A 6 = A A 2 2 A 3 3 A A 5 5 A 6 Exsten métodos sstemátcos para stuar los sstemas de coordenadas asocados a cada eslabón y obtener la cadena cnemátca del robot. Método de Denavt-Hartenberg (D-H)

11 Contendo ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco.. Justfcacón.2. El problema cnemátco drecto.2. Método Geométrco.2.2 Matrces de Transformacón homogénea.3. Método de Denavt Hartenberg (DH).3. Ejemplos Bblografía recomendada: [] Robótca: Control, Vsón, Deteccón e Intelgenca. Fu, Gonzales y Lee. Mc-Grow Hll. [2] Fundamentos de Robótca. Barrentos, Peñín, Balaguer, Aracl. [3] Robótca: Manpuladores y Robots Móvles. A. Olleros. Ed. Macombo

12 .3. Método de Denavt - Hartenberg ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco Permte el paso de un eslabón al sguente medante transformacones báscas, que dependen exclusvamente de las característcas constructvas del robot. Las transformacones báscas que relaconan el sstema de referenca del elemento con el sstema del elemento son:. Rotacón θ alrededor del eje z - 2. Traslacón d a lo largo del eje z - 3. Traslacón a a lo largo del eje x. Rotacón α alrededor del eje x ( z, θ ) (,, d ) ( a,,) ( x, α ) A = T T T T A cθ cαsθ sαsθ ac θ sθ cαcθ sαcθ as θ = sα cα d

13 .3. Método de Denavt - Hartenberg ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco ) Numerar los eslabones comenzando con (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n (últmo eslabón móvl). Se numerará como eslabón a la base fja del robot. 2) Numerar cada artculacón comenzando por (la correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando en n. 3) Localzar el eje de cada artculacón. S ésta es rotatva, el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamento. ) Para de a n- stuar el eje z sobre el eje de la artculacón +. 5) Stuar el orgen del sstema de la base {S } en cualquer punto del eje z. Los ejes x e y se stuarán de modo que formen un sstema dextrógro con z. 6) Para de a n-, stuar el sstema {S } (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje z con la línea normal común a z - y z. S ambos ejes se cortasen se stuaría {S } en el punto de corte. S fuesen paralelos {S } se stuaría en la artculacón +.

14 .3. Método de Denavt - Hartenberg ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco 7) Para de a n-, stuar x en la línea normal común a z - y z. 8) Para de a n-, stuar y de modo que forme un sstema dextrógro con x y z. 9) Stuar el sstema {S n } en el extremo del robot de modo que z n concda con la dreccón de z n- y x n sea normal a z n- y z n. ) Obtener θ como el ángulo que hay que grar en torno a z - para que x - y x queden paralelos. ) Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de z -, que habría que desplazar {S - } para que x y x - quedasen alneados. 2) Obtener a como la dstanca medda a lo largo de x, que ahora concdría con x -, que habría que desplazar el nuevo {S - } para que su orgen concdese con {S }. 3) Obtener α como el ángulo que habría que grar en torno a x, que ahora concdría con x -, para que el nuevo {S - } concdese totalmente con {S }.

15 .3. Método de Denavt - Hartenberg ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco ) Obtener las matrces de transformacón - A. 5) Obtener la matrz de transformacón que relacona el sstema de la base con el del extremo del robot: T = A A 2... n- A n 6) La matrz T defne la orentacón (submatrz de rotacón) y poscón (submatrz de traslacón) del extremo referdas a la base en funcón de las n coordenadas artculares.

16 Contendo ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco.. Justfcacón.2. El problema cnemátco drecto.2. Método Geométrco.2.2 Matrces de Transformacón homogénea.3. Método de Denvt Hartenberg (DH).3. Ejemplos Bblografía recomendada: [] Robótca: Control, Vsón, Deteccón e Intelgenca. Fu, Gonzales y Lee. Mc-Grow Hll. [2] Fundamentos de Robótca. Barrentos, Peñín, Balaguer, Aracl. [3] Robótca: Manpuladores y Robots Móvles. A. Olleros. Ed. Macombo 6

17 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Numerar los eslabones comenzando con (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n (últmo eslabón móvl). Se numerará como eslabón a la base fja del robot. 2 3

18 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-2) Numerar cada artculacón comenzando por (la correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando en n. d d 2 θ θ El robot tene d.o.f. por lo tanto n=

19 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-3) Localzar el eje de cada artculacón. S ésta es rotatva, el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamento d 3 l 2 3 θ θ d 2 l

20 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Para de a n- stuar el eje z sobre el eje de la artculacón +. d 3 l 2 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z = 2 3

21 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-5) Stuar el orgen del sstema de la base {S } en cualquer punto del eje z. Los ejes x e y se stuarán de modo que formen un sstema dextrógro con z. d 3 l 2 3 θ z 2 z 3 θ d 2 l z z y x = 2 3

22 x ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-6) Para de a n-, stuar el sstema {S } (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje z con la línea normal común a z - y z. S ambos ejes se cortasen se stuaría {S } en el punto de corte. S fuesen paralelos {S } se stuaría en la artculacón +. d 3 l 2 3 z 2 z 3 θ d 2 l z z θ y = 2 3

23 x ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-7) Para de a n-, stuar x en la línea normal común a z - y z. d 3 l x x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z y x = 2 3

24 x ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-8) Para de a n-, stuar y de modo que forme un sstema dextrógro con x y z. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 l z z y y x = 2 3

25 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-9) Stuar el sstema {S n } en el extremo del robot de modo que z n concda con la dreccón de z n- y x n sea normal a z n- y z n. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z l z z y y x = 2 3

26 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Obtener θ como el ángulo que hay que grar en torno a z - para que x - queden paralelos. 2 3 d 2 d 3 y 2 x 2 z 2 θ y 3 y x x 3 z 3 θ y l x z z y l z y x x

27 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de z -, que habría que desplazar {S - } para que x y x - quedasen alneados. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z z y l z y x x

28 x ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-2) Obtener a como la dstanca medda a lo largo de x, que ahora concdría con x -, que habría que desplazar el nuevo {S - } para que su orgen concdese con {S }. 2 3 d 2 y 2 z 2 θ x 2 d 3 y 3 x 3 z 3 y θ l x z z y l z y x

29 x ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-3) Obtener α como el ángulo que habría que grar en torno a x, que ahora concdría con x -, para que el nuevo {S - } concdese totalmente con {S }. y 2 d 3 l x y 3 x 3 z 2 θ z 3 θ d 2 y x z z y l z y x

30 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Obtener las matrces de transformacón - A. = 2 2 d A = l Cq Sq Sq Cq A = d C S S a C S C C S C a S S S C C A α α θ θ α θ α θ θ θ α θ α θ = d A = 3 l Cq Sq Sq Cq A

31 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-5) Obtener la matrz de transformacón que relacona el sstema de la base con el del extremo del robot: T = A A 2... n- A n = 2 2 d A = l Cq Sq Sq Cq A = d C S S a C S C C S C a S S S C C A α α θ θ α θ α θ θ θ α θ α θ = d A = 3 l Cq Sq Sq Cq A A A A A T = ( ) ( ) = l d Cq Sq l d Sq Sq Sq Cq Cq Cq l d Cq Cq Sq Sq Cq Sq T

32 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Numerar los eslabones comenzando con (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n (últmo eslabón móvl). Se numerará como eslabón a la base fja del robot. DH-2) Numerar cada artculacón comenzando por (la correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando en n. DH-3) Localzar el eje de cada artculacón. S ésta es rotatva, el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamento d θ 3 θ

33 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Para de a n- stuar el eje z sobre el eje de la artculacón +. DH-5) Stuar el orgen del sstema de la base {S } en cualquer punto del eje z. Los ejes x e y se stuarán de modo que formen un sstema dextrógro con z. DH-6) Para de a n-, stuar el sstema {S } (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje z con la línea normal común a z - y z. S ambos ejes se cortasen se stuaría {S } en el punto de corte. S fuesen paralelos {S } se stuaría en la artculacón +. d 2 z x z θ 3 l z 2 θ = 2

34 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-7) Para de a n-, stuar x en la línea normal común a z - y z. DH-8) Para de a n-, stuar y de modo que forme un sstema dextrógro con x y z. DH-9) Stuar el sstema {S n } en el extremo del robot de modo que z n concda con la dreccón de z n- y x n sea normal a z n- y z n. y y 2 l d 2 y z x z x θ 3 z 2 x 2 y 3 x 3 θ z 3

35 ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco DH-) Obtener θ como el ángulo que hay que grar en torno a z - para que x - queden paralelos. y x DH-) Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de z -, que habría que desplazar {S - } para que x y x - quedasen alneados. DH-2) Obtener a como la dstanca medda a lo largo de x, que ahora concdría con x -, que habría que desplazar el nuevo {S - } para que su orgen concdese con {S }. DH-3) Obtener α como el ángulo que habría que grar en torno a x, que ahora concdría con x -, para que el nuevo {S - } concdese totalmente con {S }. d 2 z x z x θ 3 l z 2 x 2 θ

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