Dado el cubo de la figura siguiente, halla su área y su volumen en función de x. Solución: Solución: a) 5x 3, 9x 3,x 3 b) 7x 2,8x 2 c) 7x, 9x
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- María Carmen Arroyo Acosta
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1 7 Polinomios 1. Lenguaje algebraico Dado el cubo de la figura siguiente, halla su área y su volumen en función de x P I E N S A Y C A L C U L A A(x) = 6x V(x) = x 3 x x x Carné calculista 36 : 0,79 C = 45,56; R = 0, Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) Un número x aumentado en 5 unidades. b) El lado de un cuadrado mide x metros. Cuánto mide su área? c) Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros. Cuánto mide su perímetro? A P L I C A L A T E O R Í A 3 Completa la siguiente tabla: Monomio 7x 5 4x 3 y z 5 6x Coeficiente Grado Monomio 7x 5 4x 3 y z 5 6x a) x + 5 Coeficiente b) A(x) = x Grado c) P(x, y) = x + y En la expresión algebraica: 4xy 5x + 6x 3, halla los términos, el término independiente, las variables y los coeficientes. Términos: 4xy, 5x, 6x, 3 Término independiente: 3 Variables: x, y Coeficientes: 4, 5, 6, 3 4 Halla cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 5x 3, 7x, 7x, 9x 3,8x,x 3,9x a) 5x 3, 9x 3,x 3 b) 7x,8x c) 7x, 9x 186 SOLUCIONARIO
2 5 Completa la tabla para P(x) = 7x 3 9x Términos Grado Coeficientes Coeficiente principal Término independiente a) P(0) = 6 b) P(1) = = 0 c) P(5) = = 4 d) P( 5) = ( 5) 7 ( 5) + 6 = 66 6 Términos 7x 3, 9x, Grado Coeficientes Coeficiente principal Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x 7x + 6 para los valores que se indican: a) x = 0 b) x = 1 c) x = 5 d) x = 5 Término independiente 3 7, 9, 7 7 Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) P(x) = x 3 + 3x 1 para x = b) P(x) = x 4 7x + 5 para x = 3 c) P(x) = 5x 3 + 6x 4x + 7 para x = 1 a) P() = 13 b) P( 3) = 3 c) P(1) = 14. Operaciones con monomios Aplicando las propiedades de las potencias, calcula: a) a n a p b) a n : a p c) (a n ) p P I E N S A Y C A L C U L A a) a n + p b) a n p c) a n p Carné calculista : 3 = Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 4x 5 x 5 + 8x 5 b) 9x 3 x 3 c) ( 3x) 4 d) 7x 3 :x 3 a) 11x 5 b) 9x 6 c) 81x 4 d) 7 A P L I C A L A T E O R Í A 9 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) (7x 5 ) b) 9x 3 + x 3 + 5x 3 c) 15x 4 : ( 3x) d) 7x ( 5x) x a) 49x 10 b) 3x 3 c) 5x 3 d) 35x 5 TEMA 7. POLINOMIOS 187
3 10 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 1x 5 :3x b) 7x 3 ( 7) x 5 c) (3x 3 ) 3 d) 7x + 1x + 6x x a) 4x 3 b) 49x 8 c) 7x 9 d) 10x 11 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 5x 5 ( 3x) b) ( x 3 ) 5 c) x 7x + x 15x d) 7x 3 :x a) 15x 6 b) 3x 15 c) 19x d) x 7 1 Multiplica los siguientes polinomios por monomios: a) (x 4 5x 3 + 4x + 1) x 4 b) (x 6 3x 4 + 6x 9) 3x 5 c) (x 4 + 4x 3 9x + 5) ( 4x) d) (x 4 7x 3 + x 1) ( 5x ) a) x 8 10x 7 + 8x 5 + x 4 b) 3x 11 9x x 7 7x 5 c) 4x 5 16x x 0x d) 5x x 5 10x x Elimina los paréntesis y reduce las siguientes expresiones: a) 6x (5x 3 + 4x ) 9x 8 b) 5x 6x (3x + 8x 9x 4) c) (5x 7 + x 4x + 8) + 9x d) 9(3x 5x + 7) 5(4x 8x + 1) a) 9x 3x 5 b) 11x + 6x + 8 c) 13x 7x 1 d) 67x 65x + 58 Extrae todos los factores que puedas como factor común: a) 8x 1y b) 4x 5 6x 3 c) 3x x 6x d) 4x y + 6xy xy a) 4(x 3y) b) x 3 (x 3) c) 3x(x 3 + 5x ) d) xy(x + 3y 1) 3. Operaciones con polinomios Halla el polinomio que calcula el área del siguiente rectángulo: P I E N S A Y C A L C U L A x A(x) = (x + 5)x ò A(x) = x + 5x Carné calculista x + 5 6,4 : 9,7 C = 6,43; R = 0, SOLUCIONARIO
4 15 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 5x 3 6x + 9 Q(x) = 7x 4 + 5x 3 + 6x 1 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) 7x x 3 3 b) 7x 4 1x Dados los siguientes polinomios: P(x) = 3x 5 7x 4 + 9x 13 Q(x) = 5x 4 9x + 7x 1 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) 3x 5 x 4 + 7x 14 b) 3x 5 1x x 7x 1 17 Dado el siguiente polinomio: P(x) = 8x 5 + 5x 4 9x + a) halla su opuesto: P(x) b) suma P(x) con P(x). Qué polinomio se obtiene? a) P(x) = 8x 5 5x 4 + 9x b) P(x) P(x) = 0 A P L I C A L A T E O R Í A 18 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 7x + Q(x) = 3x + 1 halla el grado del producto. 3x 3 0x x + El grado del producto es + 1 = 3 19 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 4 5x 3 3x + 1 Q(x) = x x + 7 halla el grado del producto. x 6 11x 5 + 1x 4 41x 3 + 5x x + 7 El grado del producto es 4 + = 6 0 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 3 x 4 Q(x) = 3x + x 5 halla el grado del producto. 3x 5 + 7x 4 7x 3 + x 4x + 0 El grado del producto es 3 + = 5 1 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + x + 1 Q(x) = x 1 halla el grado del producto. x 3 1 El grado del producto es + 1 = 3 4. Igualdades notables Sustituye los puntos suspensivos por el signo de igualdad = o de desigualdad? a) (3 + 4) b) (3 + 4) 49 c) (5 3) 4 d) (5 3) 5 3 P I E N S A Y C A L C U L A a) (3 + 4)? b) (3 + 4) = 49 c) (5 3) = 4 d) (5 3)? 5 3 Carné calculista ( ) = TEMA 7. POLINOMIOS 189
5 Calcula mentalmente: a) (x + 1) 0 b) (x 1) 0 c) (x + 1) 1 d) (x 1) 1 a) 1 b) 1 c) x + 1 d) x 1 a) x(x + 3) b) x(x 3) c) (x + 7)(x 7) d) (x + ) e) (x 3) A P L I C A L A T E O R Í A 3 Calcula mentalmente: a) (x + 1) b) (x 1) c) (x + 1)(x 1) a) x + x + 1 b) x x + 1 c) x 1 4 Calcula mentalmente: a) (x + 4) b) (x 4) c) (x + 4)(x 4) d) (x + 5) e) (x 5) f) (x + )(x ) Calcula: a) ( ) 3x + 1 b) ( ) 3x 1 c) ( )( 3x + 1 ) 3x 1 a) 9x + 3x + 1/4 b) 9x 3x + 1/4 c) 9x 1/4 8 Halla mentalmente la descomposición factorial de: a) 3x 4 + 6x b) 6x 3 8x c) x 5 d) x x + 1 e) x 3 + x + x a) x + 8x + 16 b) x 8x + 16 c) x 16 d) x + 10x + 5 e) x 10x + 5 f) x 5 5 Calcula: a) (x + 3) b) (x 3) c) (x + 3)(x 3) a) 4x + 1x + 9 b) 4x 1x + 9 c) 4x 9 6 Halla mentalmente la descomposición factorial de: a) x + 3x b) x 3x c) x 49 d) x + 4x + 4 e) x 6x + 9 a) 3x (x + ) b) x(3x 4) c) (x + 5)(x 5) d) (x 1) e) x(x + 1) 9 30 Halla los cinco primeros números cuadrangulares sabiendo que vienen dados por la fórmula: C(n) = n 1, 4, 9, 16, 5 Escribe una fórmula, una ecuación y una identidad. Fórmula: Área del cuadrado:a(x) = x Ecuación: x + 5 = 7 Identidad: (x + 1) = x + x SOLUCIONARIO
6 Ejercicios y problemas 1. Lenguaje algebraico 31 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) El triple de un número x disminuido en 7 unidades. b) Tenía x euros y me han dado 15. Cuánto tengo? c) El lado de un cuadrado mide x metros. Cuánto mide su perímetro? d) Los lados de un rectángulo miden x metros e y metros. Cuánto mide su área? a) 3x 7 b) x + 15 c) P(x) = 4x d) A(x, y) = xy 3 En la expresión algebraica: 7x y 9xy + 5xy 3x + 1 halla los términos, el término independiente, las variables y los coeficientes Halla cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 7x, 5x 3, x, 5x 3,4x,x,9x a) 5x 3,5x 3 b) 4x,9x c) 7x, x, x Completa la siguiente tabla: P(x) = 9x 4 + 5x 17 Términos Grado Coeficientes Coeficiente principal Términos 9x 4,5x, 17 P(x) = 9x 4 + 5x 17 Grado Coeficientes Coeficiente principal Término independiente Término independiente 4 9,5, Términos: 7x y, 9xy, 5xy, 3x, 1 Término independiente: 1 Variables: x, y Coeficientes: 7, 9, 5, 3, 1 36 Halla el valor numérico del siguiente polinomio: P(x) = x 3 + 5x 1 para los valores que se indican: a) x = 0 b) x = 1 c) x = 3 d) x = 3 33 Completa la siguiente tabla: Monomio Coeficiente Grado 9x 3 7x yz 5 8x 3 Monomio Coeficiente Grado 9x x yz x a) P(0) = 1 b) P(1) = 3 c) P(3) = 13 d) P( 3) = Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) P(x) = x 3 + 5x 4 para x = b) P(x) = x 4 + 7x 1 para x = 3 c) P(x) = x 5 8x 3 + 5x + 3 para x = 1 d) P(x) = 3x 5 + 7x 3 8x + 5 para x = 1 a) P( ) = 6 b) P(3) = 90 c) P(1) = d) P( 1) = 9 TEMA 7. POLINOMIOS 191
7 Ejercicios y problemas. Operaciones con monomios 38 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 7x 5 4x 5 + 9x 5 b) 5x x c) ( x 5 ) 3 d) 6x 3 : ( 3x) a) 1x 5 b) 5x 3 c) 8x 15 d) x 39 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) (3x 4 ) 3 b) 5x 3 + x 3 + 4x 3 c) 1x : ( 4x) d) 6x ( 9x) x 3 a) 7x 1 b) x 3 c) 3x d) 54x 6 40 Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 56x 5 :8x b) 6x 3 ( 9x ) c) 3x + 15x + 4x d) (x 5 ) a) 7x 4 b) 54x 5 c) 16x d) 4x Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) 6x 4 ( 9x 3 ) b) ( 3x 3 ) 3 c) 5x 9x + 7x x d) 6x 5 :4x a) 54x 7 b) 7x 9 c) x d) x 3 4 a) 8x 7 56x x 3 8x b) 14x 7 56x x 4 63x 3 c) 54x 5 45x 4 + 7x 63x d) 6x x 7 4x x 4 43 Reduce las siguientes expresiones: a) 8x 1x x 3x 5 b) x 6x 5x + 7x 5x 9 c) 7x 8 + 9x 11x x d) 7x 9x + 6 7x 8x + 1 a) 5x + 5x 4 b) 3x 11x 9 c) 3x + x d) x 16x Elimina los paréntesis y reduce las siguientes expresiones: a) 7x (8x x ) 7x b) x 5x 3 (x + 4x 5x 6) c) (3x 5 + 9x 7x + 4) + 10x d) 7 (x 6x + 9) 7 (3x 7x + 9) a) 13x 11 b) 16x + 10x + 18 c) 17x 1x + 1 d) 56x 63x Extrae todos los factores que puedas como factor común: a) 6x 8y b) 8x 3 1x c) 4x x 3 6x d) 9x y + 6xy 3xy 4 Multiplica los siguientes polinomios por monomios: a) (x 5 7x 3 + 6x 1) 8x b) (x 4 8x + 7x 9) 7x 3 c) (6x 4 + 5x 3 8x + 7) ( 9x) d) (x 4 9x 3 + 7x 6) ( 6x 4 ) a) (3x 4y) b) 4x (x 3) c) x (x + 5x 3) d) 3xy(3x + y 1) 19 SOLUCIONARIO
8 3. Operaciones con polinomios 46 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 7x 4 5x + Q(x) = 5x 4 + 9x + 4x 10 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 4 + 4x + 4x 8 b) 1x 4 14x 4x Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 4 + 5x 3 + 1x 9 Q(x) = 4x 4 8x 5x 3 calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) a) x 4 + 5x 3 + 4x 5x 1 b) 6x 4 + 5x 3 + 0x + 5x 6 8x 6 + 4x 5 6x x 44x + 4 El grado del producto es 4 + = 6 51 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 5x 3 3x 1 Q(x) = x + x 4 Halla el grado del producto. 5x x 4 17x 3 5x + 10x + 4 El grado del producto es 3 + = 5 5 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 3 x + 4x 8 Q(x) = x + Halla el grado del producto. x 4 16 El grado del producto es = 4 48 Dado el siguiente polinomio: P(x) = 5x 4 + 7x 3 x + 9 a) halla su opuesto: P(x) b) suma P(x) con P(x). Qué polinomio se obtiene? a) P(x) = 5x 4 7x 3 + x 9 b) P(x) P(x) = 0 49 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x + 4x 3 Q(x) = 5x + Halla el grado del producto. 5x 3 + x 7x 6 El grado del producto es + 1 = 3 50 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 4 + 3x 5x + 7 Q(x) = 4x x + 6 Halla el grado del producto. 53 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 3 + 5x 7 Q(x) = 3x 4x + 6 Halla el grado del producto. 6x 5 + 7x 4 8x 3 + 9x + 8x 4 El grado del producto es 3 + = 5 54 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = 7x 3 4x 1 Q(x) = x + 5x 3 Halla el grado del producto. 14x x 4 13x 3 18x + 7x + 3 El grado del producto es 3 + = 5 55 Multiplica los siguientes polinomios: P(x) = x 3 + x + 4x + 8 Q(x) = x Halla el grado del producto. x 4 16 El grado del producto es = 4 TEMA 7. POLINOMIOS 193
9 Ejercicios y problemas 4. Igualdades notables 56 Calcula mentalmente: a) (x + ) 0 b) (x ) 0 c) (x + ) 1 d) (x ) 1 a) 1 b) 1 c) x + d) x 57 Calcula mentalmente: a) (x + ) b) (x ) c) (x + )(x ) a) x + 4x + 4 b) x 4x + 4 c) x 4 58 Calcula mentalmente: a) (x + 3) b) (x 3) c) (x + )(x ) 3 a) x + 6x + 9 b) x 6x + 9 c) x 3 3 a) 9x + 30x + 5 b) 9x 30x + 5 c) 9x Calcula: a) ( ) x + 1 b) ( ) x 1 c) ( )( ) x + 1 x 1 a) 4x + x + 1/4 b) 4x x + 1/4 c) 4x 1/4 Sustituye los puntos suspensivos por uno de los signos = o?: a) (x 3) x 6x + 9 b) (x + ) x + 4 c) (x 3) x 9 d) (x + ) x + 4x + 4 a) (x 3) = x 6x + 9 b) (x + )? x + 4 c) (x 3)? x 9 d) (x + ) = x + 4x Calcula mentalmente: a) (x + 6) b) (x 6) c) (x + 6)(x 6) a) x + 1x + 36 b) x 1x + 36 c) x Calcula: a) (3x + 5) b) (3x 5) c) (3x + 5)(3x 5) 63 Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) x + 5x b) x 5x c) x 5 d) x + x + 1 e) x 10x + 5 a) x(x + 5) b) x(x 5) c) (x + 5)(x 5) d) (x + 1) e) (x 5) 194 SOLUCIONARIO
10 64 Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) 6x 3 + 9x b) 8x 4 1x c) x 3 d) x 8x + 16 e) x 3 x + x a) 3x (x + 3) b) 4x (x 3) c) (x + 3)(x 3) d) (x 4) e) x(x 1) 65 Halla los cinco primeros números triangulares, sabiendo que vienen dados por la fórmula: n n t(n) = + 1, 3, 6, 10, Identifica cada una de las siguientes igualdades como fórmula, identidad o ecuación: a) 3x = 5 + x b) A(R) = πr c) (x + )(x ) = x 4 a) Ecuación. b) Fórmula del área del círculo. c) Identidad. Para ampliar 67 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales: a) El año pasado me daban x de paga y este año me dan un euro más. Cuánto recibo de paga este año? b) Ayer anduve x y hoy he andado el doble. Cuánto he recorrido hoy? c) Un perro come x y un gato come la mitad. Cuánto come el gato? d) La altura de un rectángulo mide x y la base mide el triple de la altura. Cuánto mide la base? a) x + 1 b) x c) x/ d) 3x 68 Escribe la expresión algebraica de: a) El siguiente de un número. b) El anterior de un número. a) x + 1 b) x 1 69 Escribe la expresión algebraica de: a) Un número par. b) Un número impar. c) Tres números pares consecutivos. a) x b) x + 1 c) x, x +, x Escribe la expresión algebraica de: a) Un cuadrado perfecto. b) Un cubo perfecto. a) x b) x 3 71 Halla mentalmente el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 0: a) x 3x 5 b) 7x 3 + 4x 6x + 1 c) x 4 7x + x 7 d) x 5 + 9x 3 1x + 3 Observando los resultados obtenidos, cómo enunciarías una ley para hallar el valor numérico de un polinomio para x = 0? TEMA 7. POLINOMIOS 195
11 Ejercicios y problemas a) 5 b) 1 c) 7 d) 3 El valor numérico de un polinomio para x = 0 es igual al término independiente. 7 Halla mentalmente el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1: a) x + 5x 3 b) x 3 3x + 5x + c) 3x 4 + 9x 7x 5 d) x 5 x x + 8 Observando los resultados obtenidos, cómo enunciarías una ley para hallar el valor numérico de un polinomio para x = 1? a) 4 b) 5 c) 0 d) 0 El valor numérico de un polinomio para x = 1 es igual a la suma de sus coeficientes. 73 Halla mentalmente los valores que anulan los siguientes binomios: a) x 5 b) x + 3 c) x 6 d) 3x + 15 a) x = 5 b) x = 3 c) x = 3 d) x = Dados el triángulo rectángulo y el cuadrado siguientes, halla sus áreas en función de x x + x Triángulo A(x) = x(x + ) : ò A(x) = x + x Cuadrado A(x) = (x + 5) = x + 10x Realiza las siguientes operaciones de monomios: a) (5x 3 ) b) 7x 3 x 3 + x 3 c) 1x 3 : ( 3x ) d) x 3 ( 3x) x a) 5x 6 b) 8x 3 c) 4x d) 3x 6 Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios por monomios: a) (x 3 3x + 6x + ) 3x b) (x 5 + 5x 3 + 7x 1) x c) (x 4 3x 3 6x + 7) ( 5x 3 ) d) ( 3x 4 9x 3 + 7x 6) ( 8x 4 ) a) 3x 4 9x x + 6x b) x x x 3 x c) 5x x x 4 35x 3 d) 4x 8 + 7x 7 56x x 4 x Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican: a) x + 6x 1 para x = b) 3x 3 5x + 3x + 4 para x = c) x 4 + x 5x 7 para x = 3 d) x 5 5x 3 + x + 1 para x = 3 a) 15 b) 46 c) 77 d) Extrae todos los factores que puedas como factor común: a) 8x 1x b) 8x 4 + 6x c) x 4 + 4x 3 6x d) 6x y + 4xy 8xy a) 4x(x 3) b) x (4x + 3) c) x (x + x 3) d) xy(3x + y 4) 196 SOLUCIONARIO
12 79 Dados los siguientes polinomios: P(x) = 7x 3 5x + 1 Q(x) = 4x 4 9x + 4x 7 R(x) = 5x 4 7x 3 + 5x + 6 calcula: a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x) + Q(x) R(x) c) P(x) Q(x) R(x) a) x 4 9x + 4 x b) 9x x 3 9x 6x 1 c) x x 3 + 9x 14x + 80 Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 3 7x + 5 Q(x) = 3x + 6x 1 calcula: P(x) Q(x) 6x 5 + 1x 4 3x 3 7x + 37x 5 81 Dados los siguientes polinomios: P(x) = x 4 8x + 6 Q(x) = 5x 3 + 7x 9 calcula: P(x) Q(x) 5x 7 33x 5 9x 4 6x 3 + 7x + 4x 54 8 Sustituye los puntos suspensivos por uno de los signos = o?: a) (x + 5) x + 5 b) (x + 5) x + 10x + 5 c) (x 4) x 8x + 16 d) (x 4) x 16 a) (x + 5)? x + 5 b) (x + 5) = x + 10x + 5 c) (x 4) = x 8x + 16 d) (x 4)? x Calcula: a) (x + 1/3) b) (x 1/) c) (x + )(x ) a) x + x/3 + 1/9 b) x x + 1/4 c) x 84 Calcula: a) (x + 3/) b) (x /3) c) (x + 5)(x 5) a) x + 3x + 9/4 b) x 4/3x + 4/9 c) x Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) 1x x 3 b) 18x 5 4x 4 c) x 7 d) x x + 1/4 e) x 3 + x + x a) 6x 3 (x + 3) b) 6x 4 (3x 4) c) (x + 7 )(x 7 ) d) (x 1/) e) x(x + 1) Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: a) 15x 6 + 0x 3 b) 0x 6 30x 4 c) x 1/4 d) x 3 + 6x + 9x e) x 5 10x 4 + 5x 3 a) 5x 3 (3x 3 + 4) b) 10x 4 (x 3) c) (x + 1/) (x 1/) d) x(x + 3) e) x 3 (x 5) TEMA 7. POLINOMIOS 197
13 Ejercicios y problemas 87 Identifica cada una de las siguientes igualdades como fórmula, identidad o ecuación: a) 5 + 3x 4 = 5x + 1 x b) (x + 1/)(x 1/) = x 1/4 c) V(x, y, z) = x y z a) Identidad. b) Identidad. c) Fórmula. 88 Las siguientes fórmulas corresponden a Geometría. Identifica cada una de ellas: a) P(a) = 4a b) A(a) = a c) L(R) = πr d) A(R) = πr a) Perímetro de un cuadrado. b) Área de un cuadrado. c) Longitud de la circunferencia. d) Área del círculo. Calculadora 89 Dada la fórmula de Herón para el cálculo del área de un triángulo: A(a, b, c) = p(p a)(p b)(p c) p = semiperímetro halla el área de un triángulo cuyos lados miden a = 9 m, b = 8 m y c = 5 m. Redondea el resultado a dos decimales. A = 19,90 m 90 Dada la fórmula del área del rombo: D d A(D, d) = halla el área de uno cuyas diagonales miden D = 7,5 m y d = 3,8 m. Redondea el resultado a dos decimales. A = 14,5 m 91 Dada la fórmula de la longitud del arco: πr L Arco = n 360 halla la longitud de uno que tiene 3,5 m de radio y un ángulo de 135.Toma como valor de π el que da la calculadora y redondea el resultado a dos decimales. L = 8,5 m 9 Dada la fórmula del volumen de la esfera: 4 V(R) = πr 3 3 halla el volumen de una que tiene 6,5 m de radio. Toma como valor de π el que da la calculadora y redondea el resultado a dos decimales. V = 1150,35 m 3 Problemas 93 Dados el rombo y el romboide siguientes, halla sus áreas en función de x 94 Dado el ortoedro o paralelepípedo de la siguiente figura, halla el volumen en función de x x + 6 x x 6 Rombo:A(x) = x 18 Romboide:A(x) = 3x 5x 3x 5 x V(x) = x 3 9x x + 3 x SOLUCIONARIO
14 95 El espacio que recorre un coche cuando arranca viene dado por la fórmula: 1 e = (7t t ), donde e se mide en metros, y t, 4 en segundos. Calcula el espacio que recorre en los 3 primeros segundos. e = ( ) = (1 1 9) = 1 1 = 3 m Dada la fórmula del área del triángulo: b a A(b, a) = halla el área de uno de 8 m de base y 9 m de altura. A = 36 m A = 803,84 m 101 Dibuja y halla los cinco primeros números triangulares. 10 t 1 = 1 t = 3 t 3 = 6 t 4 = 10 t 5 = 15 Dibuja y halla los cinco primeros números cuadrangulares Dada la fórmula del área del círculo:a(r) = πr halla el área de uno que tiene 5 m de radio.toma como valor de π = 3,14, y redondea el resultado a dos decimales. A = 78,50 m 98 Dada la fórmula del área del paralelepípedo u ortoedro:a(a, b, c) = (ab + ac + bc) halla el área de uno en el que a = 1 m, b = 7 m y c = 3 m V = 8 m 3 Dada la fórmula del volumen del cubo:v(a) = a 3 calcula el volumen de uno que tiene 5 m de arista. V = 15 m Dada la fórmula del área de la esfera: A(R) = 4πR halla el área de una que tiene 8 m de radio.toma como valor de π = 3,14 y redondea el resultado a dos decimales. 103 c 1 = 1 c = 4 c 3 = 9 c 4 = 16 c 5 = 5 Prueba que la suma de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de 4 Dos números impares consecutivos son: n + 1, n + 3 n n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1) Se observa que es múltiplo de El perímetro de un rectángulo mide 4 m a) Cuánto mide la base más la altura? b) Si la base mide x, cuánto mide la altura? c) Calcula el polinomio que halla el área del rectángulo en función de x d) Calcula el área del rectángulo cuando la base mide 5 m a) 1 m b) Base: x, altura: 1 x c) A(x) = x(1 x) ò P(x) = 1x x d) A(5) = = 60 5 = 35 TEMA 7. POLINOMIOS 199
15 Ejercicios y problemas 105 El primer polinomio de los números primos de Euler es: P(x) = x + x + 41 Para x = 0, 1,,, 39, P(x) es un número primo. Halla los 5 primeros números primos que se obtienen aplicando dicho polinomio. 41, 43, 47, 53 y Dado un número x: a) halla el siguiente. b) eleva este siguiente al cuadrado y desarrolla el cuadrado. c) observa el resultado y escribe una ley que permita calcular, a partir del cuadrado de un número, el cuadrado del siguiente. d) pon un ejemplo. Para profundizar Dados el trapecio y el círculo siguientes, halla sus áreas en función de x Dibuja y halla los cinco primeros números pentagonales. x 5 x + 5 Trapecio: A(x) = x x 5 x = x Círculo: A(x) = π(x 3) = π(x 6x + 9) x x 3 a) x + 1 b) (x + 1) = x + x + 1 c) Dado un número al cuadrado, para hallar el cuadrado del siguiente, se le suma el doble del número más uno. d) Ejemplo: 11 = = = Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x x a) + 3x b) + x + 1 x + 6x + 9 x 1 x + 3x x(x + 3) x a) = = x + 6x + 9 (x + 3) x + 3 x + x + 1 (x + 1) x + 1 b) = = x 1 (x + 1)(x 1) x Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x x a) x b) 5 x 4 x + 10x Dibuja y halla los cinco primeros números hexagonales x x x(x ) x a) = = x 4 (x + )(x ) x + x 5 (x + 5)(x 5) x 5 b) = = x + 10x + 5 (x + 5) x El segundo polinomio de los números primos de Euler es: P(x) = x 79x Para x = 0, 1,,, 79, P(x) es un número primo. Halla los últimos números primos que se obtienen aplicando dicho polinomio. 153 y SOLUCIONARIO
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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS
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CUADERNO DE REPASO DE VERANO
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Operatoria con Expresiones Algebraicas
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ALGEBRA. Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal
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PERIMETROS Y AREAS DE FIGURAS PLANAS
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2Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 53
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COLEGIO INTERNACIONAL TORREQUEBRADA
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1 Epresiones algebraicas Página 7 1. Epresa en lenguaje algebraico. El doble de un número menos su tercera parte. b) El doble del resultado de sumarle tres unidades a un número. c) La edad de Alberto ahora
MATEMÁTICAS 3º E.S.O.
CUADERNO DE VERANO. MATEMÁTICAS º E.S.O. LA FONTAINE EDUCATIONIS LA FONTAINE (Burjassot) Colegio de Educación Infantil, Primaria y Secundaria Obligatoria 1 1. Calcula: 7 + 1 b) 11 + (5-) c) (11+) (5-1)
P RACTICA. 1 Opera y simplifica las siguientes expresiones: 2 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado:
P RACTICA Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 5) 4 ( ) ( )( ) (4 5) 6 9 4 4 6 7 4 4 4 0 75 0 77 4 ( 6 9) (9 ) (4 5) 4 8 4 5 4 5 8 Efectúa
EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA
1.- Dos triángulos ABC y A C son semejantes y la razón de semejanza entre el primero y el segundo es,4. Calcula las longitudes de los lados que faltan sabiendo que AB = 0 cm, BC = 15 cm y A C = 10 cm.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 3º ) Pasa todos los términos que contenga la incógnita a un lado de la igualdad y los demás al otro lado.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver las ecuaciones: 1º ) Quitar denominadores, si los tiene. Para ello se multiplica ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores. º
1. Divisibilidad y números enteros
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1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. En palabras seria
Se llaman así ya que el resultado de la multiplicación se puede realizar por simple inspección, es decir sin necesidad de realizar la operación correspondiente. Algunos de los productos notables son 1.
01. Simplifica y compara fracciones y las representa, de forma aproximada, sobre la recta real.
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16/01/01 ÁLGEBRA Álgebra Unidad 4. El lenguaje algebraico. TEMA 4: POLINOMIOS Grupo: º A cómo expresarías?. La altura de mi hermano si te digo que mide 10 cm más que mi hermana: El perímetro de un triángulo
1. Divisibilidad y números enteros
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5) Aproxima a las décimas las siguientes raíces utilizando la aproximación por defecto, exceso y redondeo:
Números ) Calcula: a) [8 (6 ) ] : ( 7) b) (8 ) ( 7) ( 6) c) 8 0 : ( ) 6 : d) ( ) 8 (6 ) ( 7) ) Epresa en forma de única potencia: a) ( ) ( ) b) () ( ) c) ( ) : ( ) d) ( ) 6 : ( ) ) Simplifica las epresiones:
Propuesta de distribución v1.20 (jun-17) - Curriculum ESPAÑA
LEYENDA: (miniunidad interactiva) (miniunidad no interactiva) ARITMÉTICA Naturales Potencias (en y se imparte después de "Racionales") Divisibilidad Fracciones (en se imparte como "Racionales") Naturales
1Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 20
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 0 RACIONALES Q ENTEROS Z NO RACIONALES 8,, 8,, NATURALES N ENTEROS NEGATIVOS FRACCIONARIOS (racionales no enteros) 8 0, 7,,, 8, 8,, 7 8 8,9;,8; ) 7
a) x = 2 b) x = 4 c) x = ± 5 d) x = 0, x = 7 e) x = 0 f) x = ± 7 Solución: 5. Halla la descomposición factorial de los siguientes trinomios
3 Ecuaciones e inecuaciones. Ecuaciones de er y 2 grado Piensa y calcula Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) + 3 = 5 b) 3 = 2 c) 2 = 25 d) ( 7) = 0 e) 5 2 = 0 f) = 7 a) = 2 b) = 4 c) = ±
EXAMEN A: Ejercicio nº 1.- Página 1 de 25 Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: Ejercicio nº 2.- La siguiente figura es una esfera de centro C y radio 3 unidades. Cómo definirías dicha
b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) Cuáles son irracionales? a) No pueden expresarse como cociente: 3; 3π y 2 5.
PÁGINA 9 Entrénate 1 a) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? 2; 1,7; ; 4, 2; ),75; ) π; 2 5 b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c)
5.- Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
1.- Opera y simplifica las siguientes expresiones: 2.- Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: 3º.- Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica: 4.-
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1 Indica, en la ilustración, dos edificios que sean poliedros y tengan formas diferentes. PÁGINA 186
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 18 EJERCICIOS Lenguaje algebraico 1 Llamando n a un número cualquiera, traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La mitad de n. b) La mitad de n menos cuatro unidades. c)
CUADERNO Nº 2 NOMBRE: FECHA: / / Polinomios. Manejar las expresiones algebraicas y calcular su valor numérico.
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FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE 1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos
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Solución: Solución: 5. Calcula los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos
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