TEMA I OPTICA GEOMÉTRICA APLICADA AL OJO

Transcripción

1 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet TEMA I OPTICA GEOMÉTRICA APLICADA AL OJO I Adaptació de las relacioes paraiales II.- Proimidades y potecias III.- Ecuació de Gauss IV.- Ecuació de Gauss geeralizada V.- Fórmulas de eectividad VI.- Acoplamieto de sistemas VII.- Potecia pricipal y potecia equivalete VIII.- Potecias rotales I.- Factor de orma de ua lete.- La ecuació de Gauss co potecias rotales I.- Potecia y actor de orma de ua lete

2 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet I Adaptació de las relacioes paraiales Las coocidas ecuacioes de la óptica geométrica, o suele utilizarse e la orma e que uero obteidas, cuado se trata de aplicarlas al sistema óptico del ojo y a las letes o sistemas asociados co él. Dado que el ojo siempre opera etre dos ídices de reracció y bie deiidos, o es ecesario que éstos igure de orma eplícita e las ecuacioes. Por otra parte, operar directamete e dioptrías resulta más práctico y simple e muchos casos e los que iterviee el ojo. E este capítulo se demostrará que, los coceptos de proimidad y potecia que vamos a itroducir, permite escribir las relacioes paraiales de la óptica geométrica e ua orma mucho más compacta y apropiada para su aplicació a los cálculos propios de la óptica isiológica. II.- Proimidades y potecias E óptica geométrica las distacias o logitudes básicas e u sistema óptico cualquiera se deiía como: distacia rotal objeto: HO distacia rotal image: H O logitud ocal objeto: HF logitud ocal image: H F siedo H y H los putos pricipales, O y O los putos objeto e image sobre el eje óptico y F y F los ocos objeto e image del sistema respectivamete. El radio de curvatura de u dioptrio de vértice S y cetro de curvatura C que separa dos medios de ídices y se deie como RSC.

3 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet Llamaremos logitud reducida al cociete etre ua logitud y el ídice de reracció del medio e que se ecuetra. Así las logitudes reducidas correspodietes a las distacias ateriores so: /, /, /, / y R/ o R/. La iversa de la logitud reducida es lo que deomiaremos e adelate proimidad. De este modo, por deiició: proimidad objeto: / proimidad image: / ambas se epresará e dioptrías sustituyedo las distacias y e metros. Obviamete a mayor distacia correspode ua proimidad meor, siedo la proimidad cero cuado la distacia se hace iiita. La potecia se deie como la iversa de la logitud ocal reducida, es decir: potecia objeto: P / potecia image: P / III.- Ecuació de Gauss como sigue: La ecuació, / / /, e ució de las proimidades queda escrita ' + () siedo el aumeto lateral, y' ' β' y ' ' () Estas mismas epresioes sirve para u dioptrio esérico cosiderado que ' R ' (3) 3

4 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet IV.- Ecuació de Gauss geeralizada Cuado las distacias rotales,, se toma co orígees e u par de putos cojugados del eje, distitos de los putos pricipales, etre los cuales eiste u cierto aumeto lateral de valor g, la ecuació de Gauss se escribe: ' g + ' g ' (4) siedo la epresió del aumeto lateral β' ' g' (5) las epresioes (4) y (5) escritas e ució de proimidades y potecias se trasorma e: g' + (6) y β' g g ' (7) V.- Fórmulas de eectividad Recordemos las ecuacioes de paso de la óptica geométrica que permitía, coocida la distacia image H O dada por u primer sistema, obteer la distacia objeto H O H O para u segudo sistema (Figura ), siedo H H e, se procedía de la siguiete maera: H O H H + H O -e + resultado: e 4

5 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet E deiitiva se trata de cambiar el orige de distacias, el orige respecto del cual estamos dado la posició del puto O. H H O H H e Figura Tratemos pues este problema e geeral. Sea O y O dos putos cualquiera que va a ser utilizados como orígees de distacias y sea M u puto alieado co ellos tal que: O M, O M y O O d las correspodietes logitudes reducidas so: /, / y d/ δ La relació etre las tres distacias ateriores es: O O O M + MO es decir: d - despejado o se puede obteer ua de las dos distacias a partir de la otra y, al despejar las proimidades y de estas epresioes, obteemos las llamadas órmulas de eectividad, que so: 5

6 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet + δ δ + δ δ + δ δ (8) y + δ δ (9) VI.- Acoplamieto de sistemas Nos plateamos ahora el problema de obteer la potecia P y los plaos pricipales H y H del sistema equivalete al acoplamieto de dos sistemas ópticos, de potecias P y P, que actúa sucesivamete, estado separados etre sí ua distacia reducida δ e/ H H / como se ve e la Figura. H H H H e Figura A partir de las relacioes ya coocidas de la óptica geométrica, itroduciedo e ellas las iversas de las logitudes reducidas, podemos re-escribirlas como sigue: ' + e 6

7 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet multipliquemos toda la ecuació por el ídice del espacio image para obteer así las potecias ' + ' e ' + δ (0) La posició de los plaos pricipales viee dada por las epresioes: H H e H H e e H H P δ P () e ' e H' H' δ ' dividiedo la epresió por : H' H' - ' δ () VII.- Potecia pricipal y potecia equivalete La potecia deiida e el apartado II del presete capítulo, se deomia potecia pricipal para poer de maiiesto que las logitudes ocales se toma desde 7

8 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet los putos pricipales. Si embargo, es posible establecer la potecia del sistema, del ojo e el caso que os ocupa, si coocer la posició de los plaos pricipales. Es suiciete coocer el tamaño, y, de la image de u objeto muy alejado que subtiede u águlo u desde el ojo (ótese que por ser la distacia objeto muy grade o es ecesaria la distició etre águlo subtedido desde el puto pricipal H o desde el puto S, vértice de la córea). E eecto, sea u objeto subtediedo u águlo u desde el puto H y sea u el águlo subtedido por la image y desde el puto H. Dado que los águlos so lo suicietemete pequeños se cumplirála relació: u u y u' y' La image y estará sobre el plao ocal, de modo que se cumple: y' u' u y' ' u y' (3) e dode P es la potecia pricipal. A la image y de la ecuació (3) se le deomia potecia equivalete porque su coocimieto equivale a coocer la potecia si que sea ecesaria la ocal o los plaos pricipales. Recíprocamete podemos razoar que u objeto de tamaño y, situado e el oco del sistema cumpliría la relació: ' u' y P VIII.- Potecias rotales E Óptica Otálmica, dode se trata de letes que va a ser adaptadas al ojo, o es habitual utilizar las potecias pricipales sio las potecias rotales. Llamadas así 8

9 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet porque las distacias ocales o ha sido tomadas desde los putos pricipales sio desde los vértices S y S de cada uo de los dioptrios o caras de la lete. E la Figura, se represeta las dos caras de ua lete co sus vértices S y S, así como los putos S y S cojugados de los ateriores respecto de la lete. S S S S Figura 3 Supoiedo la lete de ídice y rodeada de aire, las potecias rotales de la misma se deie como sigue: * Potecia rotal objeto aterior: P a /S F co S F < 0 si la lete es positiva. * Potecia rotal image aterior: P a /S F co S F > 0 si la lete es positiva. * Potecia rotal objeto posterior: P p /S F co S F < 0 si la lete es positiva. * Potecia rotal image posterior: P p /S F co S F > 0 si la lete es positiva. Coocida ua de las potecias rotales resulta secillo obteer cualquiera de las otras, ya que se cumple: 9

10 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet S S S S S S /3 e como se demuestra e uo de los ejercicios de este tema, siedo e S S el espesor de la lete. I.- Factor de orma de ua lete Los rotoocómetros, so los aparatos más comues para la medida de la potecia de letes otálmicas. Estos proporcioa el valor de la potecia rotal image posterior, que es la más utilizada e los cálculos de óptica otálmica y óptica isiológica. Por esta razó, vamos a tratar a cotiuació de escribir la ecuació de correspodecia de Gauss utilizado la potecia rotal image posterior, que e adelate deomiaremos P. Cosideremos la ecuació de Gauss geeralizada, e dode los putos cojugados que se toma como orígees de distacias rotales objeto e image so, respectivamete, S y S, etre los cuales el aumeto lateral tiee u valor g. Se tiee que: g' + g e dode P es la potecia pricipal. Para u puto e el iiito, y 0, se obtedrá la image correspodiete e el puto F de tal modo que: / /S F P. Sustituyedo estos valores de y e la ecuació de Gauss queda: g P P g (4) 0

11 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet dode g /g es el deomiado actor de orma de la lete, debido a que dos letes de la misma potecia pricipal puede dierir cosiderablemete e su valor de la potecia rotal debido a ese actor, cuyo valor depede del tallado de las caras de la lete (dioptrios que os determia la posició de los plaos pricipales)..- La ecuació de Gauss co potecias rotales La ecuació de Gauss geeralizada y el aumeto, teiedo e cueta la relació (4) queda escritos de la siguiete orma: g' g + g' g + g ' g' + (5) β' y' y g' ' g' g' + (6) I.- Potecia y actor de orma de ua lete E cualquier lete gruesa, coocidas las potecias P y P de las dos caras y el espesor reducido δ de la misma, las órmulas del acoplamieto os permite coocer la potecia pricipal P. Por otra parte, haciedo la image de u puto e el iiito a través de las dos caras de la lete, obtedremos la distacia S F que os da la potecia rotal P. De las epresioes de ambas potecias, teiedo e cueta la ecuació (4), obtedremos ua epresió para el actor de orma g de la lete que os permitirá calcularlo.

12 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet Cosiderado u puto objeto e el iiito, su image a través de la primera cara de la lete estará e: P, ya que 0. Para obteer la image a través de la seguda cara de la lete, la proimidad objeto se obtiee de la órmula de eectividad: δ y la proimidad image S F que coicide co la potecia rotal image P será: ' + δ + P + δ δ luego: δ (7) idetiicado las ecuacioes (4) y (7) se obtiee: g' δ (8) esta ecuació permite evaluar el actor de orma de cualquier lete coocidas las características de la misma. Fialmete, veamos que, coocido el actor de orma, las potecias pricipal y rotal de cualquier lete gruesa puede epresarse:

13 Diplomatura e Óptica y Optometría Adelia Felipe Marcet ( ) + δ + δ + g' (9) y por la ecuació (4): g' + (0) Esta última epresió es de gra iterés e la abricació de letes (como se estudiará e Óptica Otálmica) porque os permite calcular la potecia rotal como suma de la llamada potecia omial (que es la potecia de la primera cara de ua lete de u cierto espesor cuado sólo se ha tallado la primera cara: g' ) y la potecia de la seguda cara. 3