SOFTWARE EDUCATIVO PARA TEMAS DE CÁLCULO NUMÉRICO

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1 SOFTWARE EDUCATIVO PARA TEMAS DE CÁLCULO NUMÉRICO Pizarro, Rubé Adriá Facultad de Ciecias Exactas y Naturales - Uiversidad Nacioal de La Pampa Uruguay 151 Sata Rosa La Pampa - Argetia rube@exactas.ulpam.edu.ar RESUMEN E este trabajo me propogo presetar alguas características del software, para temas de Cálculo Numérico, que estoy desarrollado e el marco de la tesis para la Maestría e Tecología Iformática Aplicada e Educació. Este software surge ate la ecesidad de cotar co ua herramieta que facilitara la eseñaza y el apredizaje de los métodos uméricos para resolució de ecuacioes o lieales. El impacto e el desarrollo de las clases de cálculo umérico será muy sigificativo, tato e la labor del docete como e el logro del apredizaje por parte de los alumos. La iteractividad etre estos co el software como las vetajas que este posee, ya que permite aalizar e forma visual problemas matemáticos, so factores que demada u especial aálisis. Es tambié objetivo de este trabajo mostrar las diferetes características del software e elaboració, cosiderado su estado de diseño y desarrollo, como así tambié alguos resultado obteidos hasta el mometo. Del aálisis de las actividades implemetadas surgirá las tareas a realizar e futuras etapas de verificació y validació. Palabras claves: software educativo, cálculo umérico, tecologías. TICEC'05 431

2 INTRODUCCIÓN Segú Galvis [3], la realizació de ejercicios y prácticas es ua de las modalidades más aplicadas e Matemática, debido a la aturaleza misma de la materia. Esta modalidad permite reforzar las etapas de aplicació y retroiformació, utilizado la técica de repetició. A través del software que estamos desarrollado, el alumo puede complemetar el estudio de los coteidos temáticos de Cálculo Numérico y compreder los aspectos coceptuales y complejos, teiedo el profesor la posibilidad de profudizar y exteder el tratamieto de ciertos temas y/o dedicar tiempo a tareas remediales. De esta maera, el alumo podrá realizar las actividades prácticas e ua forma mucho más diámica, iteractuado fácilmete y teiedo ua rápida respuesta a sus iquietudes. Para que esta modalidad realmete sea efectiva, previo al uso de u software de este tipo, el alumo ha debido adquirir los coocimietos de coceptos y destrezas que va a practicar. Además, el rol docete se verá afectado por la implemetació de este software educativo. Co la iclusió de herramietas iformáticas e uestras clases, la actividad del docete cambiará del tradicioal rol de iformate a la del facilitador o guía. Segú Alemá de Sáchez [1], es importate que el software cotemple o solamete las prácticas, sio que proporcioe al estudiate ayuda e la solució de los problemas y bride ua retroiformació completa, si limitarse a idicar que se ha cometido u error, sio bridado iformació acerca del tipo de error. Este y otros aspectos so cosiderados e implemetados e los diversos ejemplos que desarrollamos e uestro software, y que describiremos a cotiuació. DESARROLLO Los alumos, e cálculo umérico, diseña programas e MATLAB que les permite, e cada ejecució, igresar los datos y obteer la solució aproximada de la ecuació cosiderada. Estas actividades so muy útiles para los alumos, ya que les brida la posibilidad de iterpretar el método umérico y, evetualmete, adaptarlos a ejemplos que pueda ecotrar e su futuro profesioal, debido a que ha afiazado suficietemete sus coocimietos de programació. Pero, a meudo, pierde de vista cómo "fucioa" el método para ir acercádose a la solució deseada. Es comú que la gráfica de la fució aalizada, así como el itervalo e el que se hará el aálisis o los valores iiciales y las codicioes de covergecia, pase a u segudo plao y sólo se tome e cosideració el resultado que arroja el programa. Además, la elecció de las diferetes fucioes, de los valores iiciales y la correcció de los errores que se puede cometer al cargar los datos e la ejecució del programa, costituye ua tarea dificultosa. Luego de la búsqueda y aálisis de bibliografía y de trabajos desarrollados e el área de Iformática Educativa y de las Ciecias de la Educació, se comezó co la plaificació y el diseño de este software educativo co los siguietes objetivos: Geerar el cotexto educativo adecuado al coteido a desarrollar y a los objetivos propuestos e la asigatura. Facilitar la iterpretació aalítica y gráfica de los diversos métodos uméricos. Permitir mayor libertad, rapidez y flexibilidad e el igreso y correcció de los parámetros ecesarios para la aplicació de los métodos uméricos. Visualizar el fucioamieto del método y la obteció de resultados parciales y fiales. Permitir la aplicació e forma reiterada de ejemplos, modificado fácilmete sus parámetros y registrado los resultados. Facilitar la eseñaza y el apredizaje de los diversos métodos uméricos. A cotiuació, se preseta la primera patalla de este software e dode se muestra los distitos métodos que se icluirá e el mismo (ver figura 1), y se expoe las características del software TICEC'05 432

3 para el método de la regula falsi y el método de la secate. Cabe señalar que, hasta el mometo, se elaboraó la parte que correspode a la aplicació de los métodos. E el de la bisecció y regula falsi hemos agregado la ayuda teórica correspodiete, la cual se ecuetra dispoible durate la ejecució de los mismos. Figura 1 Método de la regula falsi Este método aprovecha la idea de uir los putos extremos de u itervalo e el cual se ecuetra la raíz, co ua líea recta. La itersecció de esta líea co el eje x proporcioa ua estimació de la raíz. Reemplazar la curva por ua líea recta da ua "posició falsa" de la raíz, de aquí el ombre de método de la regla falsa, o e latí, regula falsi. Co este método se aproxima la curva co ua fució lieal. La expresió de este método es la siguiete: x ( b ) b f ( a ) ( b ) f ( a ) a f =, = f 0, 1, 2,... dode a, b so los sucesivos valores que va tomado los extremos del itervalo, los cuales cumple que a s b, = 0, 1, 2,..., siedo s la raíz. E la figura 2, se muestra la iterfaz gráfica del software aplicado el método de la regula falsi. E esta patalla podemos distiguir varias seccioes co las cuales el usuario puede iteractuar. E alguas se igresa los datos o las accioes a seguir, y e otras se obtedrá la gráfica de la fució y los resultados. E la figura 3, se puede ver las secuecias de gráfica que muestra el software por cada iteració permitiedo ubicar las diferetes aproximacioes que se realiza a la raíz buscada, y observar el proceso de aproximació del método. TICEC'05 433

4 Figura 2 Figura 3 A cotiuació, se detalla las diferetes seccioes y las accioes a seguir para acceder a las diferetes herramietas de iteracció. 1. Itervalo de aálisis Aquí el alumo debe idicar el itervalo e el cual quiere aalizar la ecuació para ecotrar su raíz. Es, además, el itervalo e el cual se realizará el gráfico iicial de la fució correspodiete. Por medio de este recurso puede ir ajustádolo de tal forma de ecerrar la raíz coveietemete, esto es, ir achicado el itervalo que cotiee a la raíz de la ecuació e estudio. Depediedo del método co el que estamos trabajado este itervalo deberá o o coteer a la raíz. 2. Selecció de las accioes que ejecutará El alumo que se ecuetre utilizado este software debe elegir la fució que desea aalizar etre u cojuto de fucioes. Al seleccioar la fució, se cotrola que los extremos del itervalo igresado previamete sea los adecuados para poder represetarla gráficamete, por ejemplo, dado [a, b] que a < b. Si o es así, aparece el mesaje de la figura 4. Figura 4 Ua vez igresado correctamete el itervalo de aálisis, verá la gráfica de la fució seleccioada y podrá igresar los parámetros (cuya descripció se ecuetra e el puto 3). TICEC'05 434

5 Luego, al cliquear sobre el botó Aproximar la raíz (figura 2), comezará la ejecució. Ates de comezar a mostrar los resultados, se cotrola que la fució co los parámetros igresados cumpla co las codicioes de covergecia del método. Si o fuese así, depediedo del error, aparece el mesaje de la figura 5. A partir del cual el alumo puede modificar los datos igresados iicialmete y repetir el proceso. Figura 5 E cualquier mometo de la ejecució, se puede deteer el proceso seleccioado la opció Deteer (ver figura 2). 3. Parámetros para aplicar el método El usuario debe igresar aquellos datos que hace al fucioamieto del método. Iteracioes máximas: deberá igresar el úmero máximo de iteracioes que cosidera ecesario que se ejecute el método. Si se supera este valor, el método se detiee y le idica al alumo que o coverge, al meos co los datos igresados, como muestra la figura 6. Figura 6 Error: se deberá igresar la cota de error co la que se desea obteer la solució. Pausa etre iteracioes. Idica el tiempo, e segudos, de espera etre cada ua de las iteracioes. Se puede modificar de acuerdo a las ecesidades del usuario. 4. Gráfica de la fució Tal como dijimos e el puto 2, y segú el itervalo de aálisis igresado, al seleccioar la fució aparece e esta secció su gráfica. Ua vez igresados los parámetros para el método y a medida que se sucede las iteracioes, aparece e la gráfica las sucesivas aproximacioes de la raíz. El último puto que se grafica es de distito color que los ateriores, co el propósito de facilitar la ubicació del resultado fial del procedimieto. Es e esta secció e la cual el usuario puede iterpretar, a partir del gráfico, cómo el método ecierra o se acerca a la raíz de la ecuació. A diferecia de versioes ateriores del software, e esta el gráfico se va actualizado segú las aproximacioes obteidas. E caso de que estas esté fuera del itervalo iicial, este se amplía hasta icluir la aproximació. 5. Resultados E esta secció, el usuario puede observar los resultados que arroja el método e cada iteració. Estos resultados parciales adquiere mayor importacia, si cosideramos que, se puede regular el tiempo etre cada iteració o deteer la ejecució para registrarlos, compararlos, aalizarlos, etc. E versioes futuras se pretede que éstas aproximacioes quede registradas y se pueda acceder a ellas al fializar la aplicació del método. TICEC'05 435

6 6. Ayuda A partir de este botó (ver figura 2), el alumo podrá acceder a ua ueva vetaa e la cual estará detalladas las pricipales características del método e cuestió. Para que los alumos pueda recurrir a u marco teórico apropiado que les permita salvar estos icoveietes de compresió del método (durate la istacia misma de aplicació del software), se decidió agregar ua ayuda para cada uo, estado actualmete e la etapa de costrucció alguas de ellas y otras ya elaboradas como la siguiete. 7. Salida del software Para salir de este software, el alumo debe cliquear sobre el botó SALIR (ver figura 2). Método de la secate E este método se cojetura dos valores iiciales x 0, x 1 para x y se cosidera la secate a f(x) e los putos (x 0, f (x 0 )) y (x 1, f (x 1 )). Luego se toma como x 2 la abscisa del puto dode la recta secate corta al eje x. Las aproximacioes sucesivas para la raíz e el método de la secate está dadas por la fórmula iterativa de dos putos: x ( x ) x f ( x 1) ( x ) f ( x ) x 1 f 1 =, = 1,2,... f + 1 dode x 0 y x 1 so dos suposicioes iiciales para comezar las iteracioes. E este método se toma siempre los dos últimos putos obteidos. Notemos que el plaeamieto requiere de dos putos iiciales para x. Si embargo, o se requiere que f(x) cambie de sigo etre estos valores. E la figura 7, se muestra la iterfaz gráfica del software aplicado el método de la secate. E la figura 8, como e el caso aterior, se ve la secuecia de cómo se geera la image de la aproximació a la raíz buscada. TICEC'05 436

7 Figura 7 Figura 8 El igreso de los datos se debe realizar e forma similar al método aterior y la iteracció co el usuario es la misma. Nuevamete adquiere gra importacia para el alumo la posibilidad de graficar la fució seleccioada, permitiédole realizar los ajustes de los valores igresados segú el gráfico obteido. Ua vez que se seleccioa Aproximar la raíz (ver figura 7), e la secció correspodiete se muestra cómo trabaja el método gráficamete, es decir, se observa que se acerca a la raíz si coverge o, e caso cotrario, se aleja de la zoa de iterés. RESULTADOS Y CONCLUSIONES El diseño de material de este tipo es más que u software y debe presetar vetajas respecto a otros medios istruccioales, y esto debe quedar muy claro al autor y a los sujetos del curso que de esta maera estará más motivados a estudiar bajo esta modalidad que por los medios tradicioales (Rivera Porto, 1997 [6]). Por ello es que, al material elaborado hasta el mometo, le seguiremos icorporado herramietas que aumete la iteracció co el alumo. Si bie actualmete existe iteracció geerada por patallas como las descriptas ateriormete, se pretede icremetar el apoyo que le brida este software al alumo, agregado seccioes e las cuales se pueda revisar coteidos teóricos que hace al correcto fucioamieto de los métodos uméricos como, por ejemplo, codicioes de covergecia de los mismos. TICEC'05 437

8 Tambié es de gra importacia la selecció de los ejemplos a icluir, ya que a partir de ellos se podrá observar el comportamieto y las características de los métodos uméricos utilizados, permitiedo ver y eteder las diferecias fudametales etre ellos para resolver ua misma situació problemática. Segú el aálisis a posteriori que haremos y atediedo a las posibles ecesidades que surja a partir de este aálisis, iremos icorporado uevos ejemplos. El desarrollo de las diferetes etapas de la igeiería de software (Cataldi, 2000 [2]), os permitirá tambié icorporar reformas y correccioes e pos de mejorar los resultado a obteer co la icorporació de este software e las clases de cálculo umérico. Hasta el mometo, se ha logrado que el alumo: Afiace los coceptos teóricos y las técicas utilizadas e la resolució umérica de ecuacioes o lieales, adquiridos e el aula. Adquiera habilidad y destreza e el maejo de los métodos uméricos para la resolució umérica de ecuacioes o lieales. Compruebe la eficiecia de los distitos métodos uméricos e la resolució de problemas que a meudo so imposibles de resolver aalíticamete. Tega la suficiete iformació para aprovechar satisfactoriamete ua amplia variedad de problemas que se relacioa co la temática aquí ivolucrada. Esté capacitado para escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema que ivolucre estos temas, viculados co otras disciplias. Compreda y valore la importacia de utilizar la computadora como ua herramieta para la resolució de problemas viculados co esta temática. Explore las peculiaridades de u algoritmo, probado iteractivamete distitos ejemplos. Desarrolle habilidad y destreza e el procesamieto de iformació cietífica. Así mismo, la aplicació de este software o sólo modifica el apredizaje de uestros alumos, sio que además, afecta el rol docete y su desempeño e las clases. TICEC'05 438

9 BIBLIOGRAFÍA [1] Alemá de Sáchez, A. (1999). La eseñaza de la matemática asistida por computadora. Dispoible e: [2] Cataldi, Zulma (2000). Ua metodología para el diseño, desarrollo y evaluació de software educativo. Dispoible e: =1&expresio=Cat aldi,%20zulma&idiomaexpresio=1&tipometadato=1 [3] Galvis, A. (1992). Igeiería de Software Educativo, Ed. Uiades, Bogotá, Colombia. [4] Mathews, J. y Fik, K. (2000). Métodos uméricos co MATLAB, Pretice-Hall. México. (Trad. de Numerical Methods usig MATLAB, Pretice-Hall, 1999). [5] Nakamura, S. (1997). Aálisis umérico y visualizació gráfica co MATLAB, Pearso Educació. (Trad. de Num. Aal. ad Grap. Visual. with MATLAB, Pretice-Hall, 1996). [6] Rivera Porto, E. (1997). Apredizaje asistido por computadora. Diseño y realizació. Dispoible e: TICEC'05 439

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