EJERCICIOS 3º E.S.O. (Con Soluciones)

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1 EJERCICIOS º E.S.O. (Con Soluciones) NÚMEROS.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones: 0 m.c.m () (simplificando) 0 () m.c.m. (simplificando).- Calcula el valor de la siguiente expresión: : : 0 : : 0 0 : : 0 :.- Calcula el valor de la siguiente expresión:

2 .- Calcula el valor de las siguientes expresiones: : : : : : : 0 0 : : 9 :.- Julio pasa del día en el colegio lo dedica a comer a estudiar a hacer deporte y el resto a dormir. Qué fracción de día dedica a dormir? 9 Julio dedica del día a dormir.- Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción: c) 0... d) c) d) La cantidad total de un concurso de fotografía se ha repartido entre los tres ganadores de la siguiente forma: el primero ha recibido del total; el segundo el % y el tercero 00 euros. Cuál era el total para repartir entre los premiados?

3 La fracción que recibe el segundo es: % = La fracción de premio que recibe el tercero es: Como esa fracción equivale a 00 euros la cantidad buscada es x de tal manera que: Por tanto la cantidad total a repartir era de Expresa primero en forma de fracción y luego opera: x = Realiza las siguientes operaciones expresando primero los decimales en forma fraccionaria: Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: 9 0 π c) d ) 0000 IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico. IRRACIONAL ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas. c) IRRACIONAL ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas. d) RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico Representa de todas las formas posibles el intervalo Escribe dos números reales del intervalo. Son y puntos del intervalo?

4 Dos números reales del intervalo son y. c) sí es del intervalo pero no. POTENCIAS Y RAÍCES.- Una fábrica produce toneladas de hierro al día. Cuántos kilos de hierro fabricará en días? Expresa el resultado en notación científica. tonelada son 000 kg. toneladas son 000 kg. En cinco días fabricará: kilogramos..- Escribe en notación científica los siguientes números. millones de euros Trescientos mil dólares c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros d) Treinta milímetros (en metros) millones de euros Trescientos mil dólares 0 euros. 0 dólares c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros d) Treinta milímetros (en metros) 0 0 metros metros.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia: 9 : : - 9 : : 9.- Calcula las siguientes sumas y restas convirtiendo previamente los radicales en semejantes: 0 0 9

5 Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones: : 0 : : : : : : : 0.- Es correcto decir que es el doble de? Razona tu respuesta No puesto que El doble de sería.- Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales: 0 0 : : : :0.- Realiza las siguientes sumas de radicales: Extrae factores de los siguientes radicales: 00 c)

6 00 0 c) 0.- Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales: a ) b ) 9 c ) : d) 0 : c) : d) 0 : 0.- Expresa el resultado como potencia única: - - c) c) POLINOMIOS.- Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: (x )( x ) (x )( x ) ( x y)( x xy ) ( x y)( xy y ) El primer paréntesis es factor común: (x )(x x ) (x )(x ) x x x El primer paréntesis es común: ( x y)(x xy xy y ) (x y)(x xy y ) x x y xy y

7 .- Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos: x... x x... c)... 0x ) ( x... (). Falta el doble producto de los dos términos: x = 0x para tener: (x ). ( ) (9) x c)... x... Falta el cuadrado de 9 para tener el cuadrado: ( x 9). (x ) (). Falta el cuadrado de x para tener el cuadrado: ( x )..- Halla el polinomio que hay que restar a P ( x) x x x para obtener Q( x) x x x. Nos piden R(x) para que P(x) - R(x) = Q(x). Despejamos y sustituimos los polinomios: R(x) P(x) Q(x) x x x (x x x ) x x x.- Efectúa las siguientes operaciones: x (x ( x x)) ( x x ) (( x x ) ( x x )) ( x x x) x x x x x x x x x x x x x x x x.- Dados los polinomios P( x) x x y Q ( x) x x. Calcula: P(x) + Q(x) P(x) -Q(x) ( x x ) ( x x ) x x x ( x x ) ( x x ) x x x.- Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes: ( x ) (x ) ( x) Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos. (x ) (x ) ( x) x. x 9 x 0x ( x 9x ) x x.- Efectúa las operaciones que se indican y reduce los términos semejantes: (x + y) - [x + (x - y) - (x - y)] x ( x x ) ( x x )

8 x + y - x - x + y + x - y = -x + y ( x x x x x 0) x x x x.- Divide los siguientes polinomios: (x x x x) : (x x ). x x 0x x x 0x x 0 x x x x x x x x 0x x 0 x x x 0 0x x x x x 0 x x - Es decir: ( x) x x C ( x) x R. 9.- Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini: ( x x x ) : ( x ) ( x x x ) : ( x ) C ( x) x x x R(x) = C ( x) x x x x x R(x) = En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes quedando: Si sabemos que la división es exacta puedes reconstruirla y escribir los polinomios dividendo divisor y cociente?

9 Como la división es exacta el último coeficiente de la tercera fila es cero y el que está enciam de él debe ser -. Entonces el coeficiente del divisor el primero de la segunda fila debe ser - pues al multiplicarlo por resulta -. Ahora solamente consiste en continuar con el método. Los polinomios pedidos son: D(x) x 9x x d(x) x C(x) x x y R(x) 0.- Divide los siguientes polinomios: (x x ) : (x ). x x x 0x x - + x x + x x x + x + Es decir: C(x) = x + R(x) = x +. ECUACIONES Y SISTEMAS.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: x (x ) x(x ). Operamos: x x x x x Agrupamos los términos: x x 0 Resolvemos: x..- Resuelve la siguiente ecuación: x x x 9 Multiplicamos por el m.c.m.( 9) = 90: Quitamos los paréntesis y dividimos por : x - 9x + + = 0-0x Agrupamos y resolvemos: x = 9 9 x. x x 0 0x.- Resuelve la siguiente ecuación: (x )(x ) x(x ) 9 x Operamos:

10 x x x x Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.( ) = : - + x = 9 - x Agrupamos y resolvemos: x = x..- Resolver la siguiente ecuación: x x x 0 Multiplicamos por el m.c.m.(0)=0: (x+) - (-x) = 0 -x Quitamos los paréntesis: x x = 0 - x Agrupamos y resolvemos: x = x =..- Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general: x 0 x x 0 Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos: x 9 Como carece de término independiente sacamos x como factor común: x(x-) = 0 luego x = 0; x =..- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de grado dos: x(x + ) + 0(x + ) + 0 = 0( - x). Operamos: x x 0x x. Agrupamos los términos: x + x + 0 = 0. Simplificamos: x 9x 0. Resolvemos: 9 9 x..- Resolver la siguiente ecuación: x x 0 x 9 Las soluciones son: x y x.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

11 Quitamos paréntesis: y x x y Multiplicando la primera ecuación por y sumando: x y x y y y y x x y Sustituyendo en la ª ecuación se calcula x: x x x 9 La solución es x = y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Quitando paréntesis: Agrupando los términos: x y x y y x y x y Multiplicando por - la ª ecuación y sumando: x y x y x x Se calcula y: x y x y y La solución es x = y y y = y y 0.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (x ) (x y) x x y x ( y) Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones: x x y x x 0y y x Agrupamos los distintos términos:

12 x y 0x y 0 (*) Multiplicamos la ª ecuación por y restamos: x y 0x y 0 -x = - x = Sustituyendo el valor hallado en la ª ecuación de (*): + y = - y = -. ( -).- Divide el número 9 en dos partes de modo que al dividir la mayor entre la menor obtengas de cociente y de resto. Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =9 La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = y + x y 9 Debemos resolver el sistema: x y Restamos la segunda de la primera: y = y =. Sustituyendo en la ª ecuación: x = 0..- Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en 9. Qué número es? Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades. El número en cuestión es: 0x+y. El número con las cifran en orden inverso: 0y+x. Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema: x y 9 0y x 0x y 9 Agrupando los términos y simplificando resulta: x y 9 x y Sumando las dos ecuaciones: y = y = x =. El número pedido es el. PROPORCIONALIDAD.- personas consumen en días 00 litros de agua. Cuántos litros de agua consumirán personas durante una semana? personas días 00 litros personas días x litros Proporcionalidad compuesta directa Se reduce a una proporción simple: x 0 litros x x 0

13 .- Reparte 0 en partes inversamente proporcionales a y 0. Sea k la constante de proporcionalidad inversa: A le corresponde: k A 0 le corresponde: k 0 Por tanto: k k k 0 0 k Luego a le corresponde a 0 le corresponde Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata camiones con una capacidad de vacas cada uno que realizarán el trabajo en 0 días. Cuánto tiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para vacas? camiones vacas c/u 0 días camiones vacas c/u x días Proporcionalidad compuesta inversa Se reduce a una proporción simple: x 0 x 0 x 0 días.- Un artículo que vale 0 euros ante la excesiva demanda sube un 0%. Luego cuando se reduce la demanda se rebaja un 0%. Sigue valiendo lo mismo que antes? Subida: 0 0 = euros Rebaja: 0 = 0 euros Vale menos que antes de la subida..- Un estanque contiene 00 litros de agua si se consume el % del contenido y con la lluvia aumenta un % de lo que restaba qué cantidad de agua contiene actualmente el estanque? x 00 El % del agua del estanque se consume: x 0 litros Por tanto quedan en el estanque 00-0=00 litros. x 00 El % de agua que procede de la lluvia equivale a: x 0 litros Por tanto el estanque contiene actualmente = 0 litros.- Tres usuarios de Internet que utilizan el mismo ordenador pagan la factura proporcionalmente al número de horas que ha estado conectado cada uno. Si tienen que pagar 0 y 00 euros respectivamente y han estado conectados un total de 0 horas cuánto tiempo habrá utilizado cada uno el ordenador? Sea k la constante de proporcionalidad directa: El primer usuario habrá estado conectado: El segundo usuario habrá estado conectado: El tercer usuario habrá estado conectado: 0 k k 00 k

14 Por tanto: 0k k 00k 0 k 0 k Luego: El primer usuario habrá estado conectado 0 h. y un cuarto El segundo usuario habrá estado conectado h. y media El tercer usuario habrá estado conectado 0 h. y un cuarto.- Reparte 00 en partes directamente proporcionales a y. Sea k la constante de proporcionalidad directa: A le corresponde: k A le corresponde: k A le corresponde: k A le corresponde: k Por tanto: k k k k 00 k 00 k 0 Luego a le corresponde 0 a le corresponde 0 0 a le corresponde 0 a le corresponde 0.- Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 0 baldosas de cm de largo y de ancho. Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 0 cm de largo y cm de ancho? 0 baldosas cm de largo cm de ancho x baldosas 0 cm de largo cm de ancho Proporcionalidad compuesta inversa x Se reduce a una proporción simple: x baldosas x 0 0 0