= 9 3 x (fig. 2.9.), se nota que para obligar a (9
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- Juan Duarte Chávez
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1 .. EJERCICIOS RESUELTOS... Sobre límies de ucioes:. Usdo l deiició de límie de u ució, pruébese que: (9 6 Solució: Se u úmero poivo culquier ddo. Se debe llr u δ > l que: 5 δ 9 6 ( ( ( Pr ello codérese l deguldd de l derec de (. ( 9 ( (V.A.5 5 (corizdo 5 ( Comprdo l deguldd del ldo izquierdo de ( co l deguldd (, se puede escoger δ. (Por supueso, culquier vlor meor uciorá pr δ. Prueb orml. Ddo >, eise δ >, l que, 5 δ ( 9 ( 6 E priculr, u perso A escoge u., e ese ejemplo, eoces or perso B respoderá co u δ./.. Si A propoe., B escogerá δ. (culquier vlor meor mbié sisce. Al gricr l rec y ( 9 (ig..9., se o que pr obligr (9 esr cerc de 6, se debe obligr que esé cerc de 5. 5
2 ig..9.. Usdo l deiició del límie de u ució, demuésrese que: Solució: Aális prelimir. Se u úmero poivo culquier ddo. Se debe llr u δ > l que: Si δ, eoces Pr ello, codérese iicilmee l deguldd de l derec de (. ( ( ( ( ( (corizdo (mpliicdo, pueso que (
3 Comprdo l deguldd del ldo izquierdo de ( co l deguldd (, se puede escoger δ (culquier vlor meor ucio. Prueb orml. Ddo >, eise δ >, l que, δ δ ( ( ( ( E priculr, e ese ejemplo u perso A escoge u., eoces or perso B respoderá co u δ.5. Si A propoe., B escogerá δ. (culquier vlor meor mbié cumple. L gráic de l ució y ( l rec de ecució y, co. es l mism que correspode E l ig..., prece l gráic de l ució dd. Nóese que el co de l bd lrededor del puo y es, eoces, el co de l bd lrededor del puo es δ /.
4 ig.... Codérese l ució deiid por, co. Evlúese: ( N ( ( Solució: ( ( ( ( Si se iese evlur direcmee el úlimo límie, se obedrí ( (ideermido. Se puede elimir l ideermició, corizdo el umerdor de l rcció (: [ ][ ]... ( ( ( ( ( [ ]... ( ( (
5 [( ( (... ] érmios... ermios. Evlur: Solució: Si se plic direcmee el límie de u cociee, se lleg l orm ideermid. Se puede elimir l ideermició, rciolizdo el deomidor y mpliicdo. Así: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5. Evlúese: Solució: Al suuir direcmee por, se lleg l orm ideermid. Pr rr de elimir l ideermició, se muliplic umerdor y deomidor de l rcció por l epreó cojugd del deomidor. A: ( ( ( ( ( ( (
6 ( ( Al suuir uevmee por, e l úlim epreó, coiú l ideermició. Pr elimirl, se muliplic umerdor y deomidor de l úlim rcció por (. Luego, ( ( ( ( ( [ ]( ( ( 9 ( ( ( ( ( Úsese el eorem del sáduce pr demosrr que esá epresdo e rdies, eoces:. b. Demuésrese que: Solució:. Codérese el círculo cerdo e el orige y rdio que prece e l igur.. y e el cul se rzdo: El secor circulr OBC, el riágulo recágulo OBP y el secor circulr OAP.
7 ig... π π Nóese que: (, los elemeos meciodos iicilmee so los relejdos co respeco l eje. Coorme el puo P de l circuereci se mueve ci el puo A, y por lo o, y (. Clrmee, de l gráic se deduce: Are secor OBC Áre riágulo OBP Áre secor OAP. (. Pero, Áre secor OBC ( r (águlo cerl OC OB ( (. Áre riágulo OBP OB BP (. Áre del secor OAP ( r (águlo cerl (5. Suuyedo (, ( y (5 e (, se obiee:
8 ( Después de muliplicr por y dividir ere el úmero poivo y observdo demás que >, l úlim deguldd puede escribirse : (6. Pero y cocluye que:.. Luego, por el eorem del sáduce, se b. iee l orm ideermid. Pr elimir l ideermició, muliplíquese umerdor y deomidor por l cidd poiv:. Eso es, ( ( ( ( ( 7. Úsese el ejercicio 6, pr evlur los guiees límies rigooméri:. α β, edo α, β es reles o uls.
9 b. c. 5 d. Solució:. Aes de evlur el límie, el cociee α β puede rsormrse : α β α α α β β β α β α α β β De es orm: α β α β α α β β α β α α β β (Álgebr de límies. Aor, decir que es equivlee decir que α y que β α α Por o, α α α. β β Tmbié, β β β. Luego, α α α β β. b. El límie es ideermido, de l orm.
10 Pero,.. Luego,. c. Aes de evlur el límie, se rsorm l rcció 5, sí: 5 (... (.. ( 5 ( Pero, ; ; y A, y, ( 5 Luego,... A. d. Nóese que l suuir direcmee por, resul l ideermició. Pr elimir l ideermició, se ce u cmbio de vrible y después se mpliic l rcció resule. Se y. Es clro que y sólo y.
11 Aor bie, co es suució: ( y y y.. y y y..( y y y..( y y y y y. y y Luego, y y y y y (. (.. 8. Ecuérese el vlor del guiee límie, o esblezc que o eise:,. Solució: De cuerdo co l deiició de vlor bsoluo, se iee: ( Es decir, De es orm:, >
12 ( (, A L ució:, (, puede escribirse eoces como u ució rmos, : > ( Su gráic prece e l ig... Aor, NO EXISTE ( ( ( ( ( 9. Codérese l ució rmos deiid sí: 5 ( b
13 Ecuérese los vlores de ls es y b pr que: ( y ( eis. Solució: El guiee digrm recoge l iormció obeid de. ( ( 5 ( b ( eise ( y ( eise y demás: ( ( Pero, ( ( b b (. ( ( (. Pr que el límie de ( e eis, es preciso que: b (. Igulmee, ( eise ( y ( eise y demás: ( ( Pero, ( ( 5 (. ( ( b b (5. De ( y (5 se gue que b (6. Resolviedo muláemee ls ecucioes ( y (6 se obiee: b. 5 y
14 Co esos vlores, l ució se rsorm e: 5 5 ( L gráic de prece e l ig... ig..
= 9 3 x (fig. 2.9.), se nota que para obligar a (9
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