Banco de México Documentos de Investigación. Banco de México Working Papers N

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1 Banco de Méxco Documentos de nvestgacón Banco de Méxco Workng Paers N 04-3 Cotas ara la Varanza, Efecto del Dseño y Coefcente de Varacón de Proorcones en el Muestreo or Conglomerados en Dos Etaas con Tamaños guales lberto Padlla Banco de Méxco Juno 04 La sere de Documentos de nvestgacón del Banco de Méxco dvulga resultados relmnares de trabajos de nvestgacón económca realzados en el Banco de Méxco con la fnaldad de rocar el ntercambo y debate de deas. El contendo de los Documentos de nvestgacón, así como las conclusones que de ellos se dervan, son resonsabldad exclusva de los autores y no reflejan necesaramente las del Banco de Méxco. The Workng Paers seres of Banco de Méxco dssemnates relmnary results of economc research conducted at Banco de Méxco n order to romote the exchange and debate of deas. The vews and conclusons resented n the Workng Paers are exclusvely the resonsblty of the authors and do not necessarly reflect those of Banco de Méxco.

2 Documento de nvestgacón 04-3 Cotas ara la Varanza, Efecto del Dseño y Coefcente de Varacón de Proorcones en el Muestreo or Conglomerados en Dos Etaas con Tamaños guales * lberto Padlla y Banco de Méxco Workng Paer 04-3 Resumen: En el roblema de estmacón de roorcones en el muestreo aleatoro smle, se emlea el valor de la varanza máxma ara el cálculo del tamaño de muestra, en caso de no contar con nformacón acerca de la característca or estmar. En este trabajo se extende dcho resultado a la estmacón de roorcones en el muestreo or conglomerados en dos etaas con tamaños guales, exhbendo la exresón ara la varanza máxma. Como resultado de esto, se construyen cotas ara el efecto del dseño y el coefcente de varacón del estmador de roorcones. Se lustrará con algunos ejemlos el emleo de estas cotas. Palabras Clave: Varanza máxma; Tamaño de muestra; Efecto del dseño; Coefcente de varacón. bstract: n the estmaton of roortons usng smle random samlng, the maxmum value of the varance can be used to comute the samle sze when there s no nformaton of the varable of nterest. We extend ths result to the estmaton of roortons under two-stage cluster samlng wth equal szes, showng the exresson for the maxmum varance. s a by-roduct t s mmedate to obtan bounds for the desgn effect and the coeffcent of varaton of the roorton estmator. Some examles are gven related to the comutaton of the bounds. Keywords: Maxmum varance; Samle sze; Desgn effect; Coeffcent of varaton. JEL Classfcaton: C80; C83. *El autor agradece a los artcantes del semnaro del Banco de Méxco, así como a dos revsores del Banco de Méxco or sus comentaros y sugerencas. y Dreccón General de nvestgacón Económca. Correo electrónco: amadlla@banxco.org.mx.

3 . NTRODCCÓN En el cálculo del tamaño de muestra se usa con frecuenca la fórmula asocada al muestreo aleatoro smle, mas, y, osterormente, ésta se ajusta or el efecto del dseño, efd, rouesto or Ksh (965). El efecto del dseño se defne como el cocente de la varanza de un estmador, bajo un dseño muestral dferente del muestreo aleatoro smle, y la varanza de dcho estmador bajo muestreo aleatoro smle. El cálculo del efecto del dseño requere del conocmento de dos varanzas, es decr, de dos cantdades oblaconales. Por otra arte, el efecto del dseño tambén se emlea como referenca ara evaluar la érdda o gananca en efcenca del estmador de un dseño muestral dferente al muestreo aleatoro smle. En el caso del cálculo del tamaño de muestra ara la estmacón de roorcones y cuando no se cuenta con nformacón de la característca de nterés, uede emlearse el valor máxmo de la varanza ara el estmador de roorcones bajo mas, el cual se alcanza cuando la roorcón oblaconal adquere el valor de 0.5, Cochran (986). Desués se alca un ajuste usando el efecto del dseño, n n efd( ˆ ). En esta exresón mas n mas Nq ( d q ( N )), en la que N N ( N ) y d e t, donde N es el número de elementos de la oblacón de nterés, e se refere al error de estmacón absoluto, t el valor asentado en tablas de la dstrbucón normal estándar ara una confanza refjada, q y es una estmacón antcada de, la cual es el valor oblaconal que se desea estmar. Esto conduce al tamaño de muestra más grande ara una oblacón, error de estmacón absoluto y nvel de confanza dados.

4 El tamaño máxmo de muestra ara la estmacón de una roorcón en el mas se alcanza or la forma cóncava de la varanza oblaconal de la roorcón. La fórmula de dcha N' q n varanza es V( ˆ ) ( ), donde N, y q son como en el árrafo anteror. Esta n N exresón adquere el valor máxmo cuando /, con n fjo. l grafcar los valores de q se observa que el valor máxmo se tene con /. Gráfca Valores de q Proorcón oblaconal u De la gráfca se areca que los valores de la varanza son smlares en el rango 0.4 a 0.6, or lo cual, en la determnacón del tamaño de muestra ara mas, convene calcular el tamaño de muestra ara dversos valores en dcho rango, cuando no se tenga nformacón de la varable de nterés o se conjeture que la roorcón oblaconal or estmar se encuentra alrededor de los valores menconados.

5 Esta roedad de la varanza ara la estmacón de roorcones usando mas motvó la búsqueda de resultados de este to ara el muestreo or conglomerados en dos etaas con tamaños guales, mce, y se encontró que se han rouesto algunas cotas ara los dseños con eleccón de elementos o conglomerados de rmera etaa con robabldad roorconal al tamaño y con reemlazo, Scott & Smth (975) y Chaudhur & Stenger (005). Estos esquemas han sdo estudados en la lteratura; emero, no roorconan en general resultados que uedan ser emleados con relatva facldad en la ráctca ara la etaa de laneacón de una encuesta, ya que se basan en el uso de cantdades que no se ueden determnar fáclmente. Como un ejemlo de esto, en el artículo de Scott & Smth (975) se mencona que el número de conglomerados sea grande o que éstos no varíen mucho en tamaño. demás, se referen a un dseño dstnto al mce. Con base en la revsón efectuada de la lteratura, no se encontraron resultados smlares de cotas ara el mce. Por lo anteror, en este artículo se desarrollan cotas ara la varanza de la estmacón de roorcones en el muestreo or conglomerados en dos etaas con tamaños guales y emleando muestreo aleatoro smle en ambas etaas. na consecuenca de contar con cotas ara dcha varanza es que resulta nmedato obtener cotas ara el efecto del dseño de dcho esquema muestral, así como ara el coefcente de varacón de la roorcón estmada. Por otra arte, las fórmulas son sencllas de calcular y úncamente se requeren los elementos de nformacón con los que normalmente se cuenta en la ráctca en la etaa de dseño muestral. Las cotas se obtenen al exresar la varanza del estmador de roorcones en el mce de una manera tal que se aíslan los valores de las roorcones dentro y entre conglomerados de las cantdades relatvas al número de conglomerados y 3

6 elementos dentro de conglomerados en oblacón y muestra. Esta exresón tambén ermte calcular fáclmente los valores de la varanza del estmador de roorcones en el mce con dferentes de tamaños de muestra. Se hceron dos hallazgos mortantes, los cuales se mostrarán en los ejemlos, uno de ellos se refere a la relacón entre la varanza y el coefcente de correlacón ntraclase. Se encontraron casos en los que la varanza del estmador de roorcones ermanece sn cambo o decrece conforme el coefcente de correlacón ntraclase aumenta. El otro se refere a los valores que toma el coefcente de correlacón ntraclase, se muestran casos en los que dcha cantdad no semre alcanza los valores mínmo y máxmo. El artículo se encuentra organzado de la sguente manera. En la seccón se roorcona un breve anorama del muestreo robablístco, defncones, notacón y la exresón de varanza ara el muestreo or conglomerados en dos etaas, tambén conocdo como betáco. lgunos asectos de la correlacón ntraclase y la varanza se encuentran en la seccón 3. Las cotas ara la varanza, efecto del dseño y coefcente de varacón, junto con varos ejemlos, así como una alcacón de dchas cotas en el cálculo del tamaño de muestra ara el muestreo or conglomerados se lustra en la seccón 4. Es mortante hacer notar que los desarrollos que se resentan se referen a la etaa de laneacón en un dseño muestral, en artcular, al momento de determnar el tamaño de muestra y no se aborda el tema de la estmacón. 4

7 . DEFNCONES Y NOTCÓN En este trabajo se emlea el enfoque del denomnado muestreo basado en el dseño ara oblacones fntas, que es otra forma en la que se denomna al muestreo robablístco. Para una exoscón detallada véase Särndal et al. (99).. lgunos untos generales acerca del muestreo robablístco. En el muestreo robablístco, el roblema básco consste en estmar una varable de nterés de una oblacón fnta, como odría ser estmar el gasto medo en almentos or hogar en una cudad. S se tuvesen recursos sufcentes ara levantar un censo de todos los hogares de la cudad en cuestón, se odría calcular dcho gasto y no habría necesdad de recurrr al muestreo. En este ejemlo, el gasto es lo que se conoce como una cantdad oblaconal. En muchas stuacones no es factble levantar un censo, entonces se recurre a la extraccón de una muestra ara estmar la cantdad oblaconal. La forma de selecconar la muestra se conoce como dseño muestral y entre los rncales dseños se encuentran los sguentes: el muestreo aleatoro smle, el muestreo aleatoro estratfcado, el muestreo or conglomerados, el muestreo sstemátco, el muestreo con robabldades roorconales a alguna medda de tamaño, entre otros. Para más detalle de estos y otros dseños muestrales usados en la ráctca, véase Särndal et al. (99). Por otra arte, ara cada dseño muestral se tene una exresón matemátca artcular del estmador de la cantdad oblaconal de nterés, or ejemlo, en el caso del muestreo aleatoro smle se emlea el romedo artmétco muestral como un estmador del corresondente romedo oblaconal y, como se está emleando un estmador, se construye una fórmula ara la varanza de dcho 5

8 estmador. La varanza de un estmador es una cantdad oblaconal, es decr, deende de cantdades que ueden calcularse al medr todos los elementos de la oblacón de nterés y es la que se emlea en la obtencón de fórmulas ara el cálculo del tamaño de muestra. Por otro lado, al trabajar con datos rovenentes de una muestra, ara cada dseño muestral, se construye un estmador de la varanza y es el que se emlea ara evaluar la recsón del estmador. Sn retender abarcar toda la gama de osbldades que comrende el dseño, ejecucón y análss de una encuesta, a contnuacón se menconan las rncales etaas en la realzacón de una encuesta o un lan de muestreo, véase Cochran (986). a) Defncón de los objetvos de la encuesta o nvestgacón b) Defncón de la oblacón objetvo y oblacón or muestrear c) Grado de recsón deseado ara las varables de nterés or estmar d) Método de medcón o método ara obtener los datos de la encuesta e) Marco(s) muestral(es) f) Dseño muestral con el que se selecconará la muestra g) Levantamento de la nformacón h) Resumen y análss de los datos obtendos 6

9 En este artículo nos enfocamos en el ncso f que se refere al dseño muestral. En el dseño muestral se ncluye la construccón del estmador untual de la característca oblaconal de nterés, la varanza de dcho estmador y el estmador de varanza. La varanza del estmador es la que se emlea ara el cálculo del tamaño de muestra. Como se menconó al rnco de esta seccón, hay varos dseños que se ueden emlear ara extraer una muestra de una oblacón. La decsón del to de dseño or emlear está sujeta a dversos factores como: característcas de la oblacón or muestrear, dsonbldad de marcos muestrales de la oblacón de nterés, nformacón auxlar dsonble durante la etaa de dseño, costo de extraccón de la muestra y medcón, temo dsonble ara realzar la encuesta, entre otros. Por ejemlo, s se desea extraer una muestra de ersonas en una cudad como el Dstrto Federal con el fn de estmar alguna característca de la oblacón fnta como el gasto o ahorro mensual or ersona mayor de 8 años, no es osble emlear un muestreo aleatoro smle, ya que no se cuenta con un marco muestral de todas las ersonas mayores de 8 años, que vvan en el Dstrto Federal en el laso en el que se levantará la encuesta. Pero s se cuenta con maas de manzanas o colonas con número de ersonas que se haya elaborado revo al levantamento de la encuesta, como los maas de áreas geoestádstcas báscas, GEB, que elabora el NEG, es osble emlear un muestreo or conglomerados en varas etaas con tamaños desguales, guales o roorconales a alguna medda de tamaño, veáse (NEG). Las etaas de seleccón odrían nclur GEB, manzanas, vvendas y ersonas. 7

10 . Notacón, oblacón y muestreo or conglomerados en etaas. Sea una oblacón fnta de N elementos etquetados como k=,,n, <N. Es usual reresentar a la oblacón fnta or sus etquetas k como ={,,,k,,n}. Los conglomerados se denotan como PM, undades rmaras de muestreo y a los elementos dentro de conglomerados como SM, undades secundaras de muestreo. y B reresentarán al número de PM en la oblacón y al número de SM dentro de cada PM resectvamente; en tanto que a y b reresentarán las resectvas cantdades muestrales. Se suone que, B, a y b son mayores que uno y a< y b<b. El total de elementos en oblacón y muestra se denotan como N=B y n=ab, resectvamente. La varable bajo estudo es dcotómca y se reresenta con y j, en donde se refere a la PM y j a la SM. Dcha varable adquere el valor de s el j-ésmo elemento de la -ésma PM osee la característca de nterés y 0 en otro caso. Se trabaja con las roorcones de la -ésma PM, y B j j B y la roorcón oblaconal y. La varanza entre medas de undades rmaras se denota como s y y u, en tanto que la varanza entre elementos dentro de undades rmaras se exresa como s y y B u B j j. Se utlza la notacón (mas,mas) ara ndcar que tanto las PM, como las SM en muestra, fueron selecconadas or muestreo aleatoro smle sn reemlazo de una oblacón conglomerada en la que todas las PM tenen el msmo número de elementos. 8

11 .3 Exresón ara la varanza del estmador de roorcones. La varanza del estmador de la meda oblaconal en el muestreo or conglomerados en dos etaas con tamaños guales usando mas en ambas etaas, es, véase Cochran (986): V yˆ a s a u b B s ab u a a B y y b y j y j B ab B Bajo (mas,mas) un estmador nsesgado de la roorcón oblaconal es a b ˆ y ab y la varanza y j j V ˆ en térmnos de la notacón en roorcones es: V ( ˆ ) ( ) ( ) () a donde, a( ) ( b B) B y. ab( B ) La varanza V ( ˆ ) en () uede escrbrse como V( ˆ ) V V, en la que V y V ( ). () Estas fórmulas resultarán útles en la determnacón de las cotas motvo del resente artículo. La exresón ara la varanza de un estmador del romedo oblaconal en el MCE, Vyˆ, se encuentra en una gran cantdad de lbros de texto y seguramente ha sdo bastante usada en la ráctca; emero, al menos ara la estmacón de roorcones y con base en la lteratura conocda or el autor, no se había exresado como en (). La fórmula 9

12 () es la que ermte aslar en la varanza del estmador los efectos de las roorcones de las PM y SM de los tamaños de oblacón y muestra. ntes de contnuar, es necesaro menconar que en el evento de que todas las roorcones de las PM sean cero o todas sean uno se tene que ( ) 0 y 0, resectvamente, or lo cual, tanto V como V defndas en (), toman el valor cero y será un caso que se exclurá del resente trabajo. Por otra arte, es mortante menconar que todas las demostracones se encuentran en el anexo..4 Reresentacón tabular de los valores ara oblacones conglomeradas. na forma convenente de vsualzar los datos y j = de una oblacón conglomerada en PM como la que nos ocua es la sguente: Tabla Reresentacón de valores y j = ara oblacones conglomeradas PM SM j B B

13 En este caso, las columnas etquetadas a reresentan a los conglomerados o PM, en tanto que los renglones a B se referen a los elementos dentro de PM, es decr, a las SM. En la arte nferor de cada columna que reresenta una PM se encuentra, el romedo de los y j or PM. Es claro que s todos los y j dentro de una PM son gual a uno, entonces = y s todos los los y j dentro de una PM son cero, =0. Este to de confguracones es mortante ara las cotas, or lo cual se muestra una reresentacón de este to de oblacones conglomeradas en la sguente tabla. Tabla Confguracón cρmáx de valores y j =, valor máxmo de correlacón ntraclase PM SM j B B En la tabla se tene una reresentacón de valores y j = en la que todos los valores dentro de algunas PM son uno, en este caso el y el, y el resto toman el valor de 0. este to de confguracón de valores y j = se le denomnará cρmáx. Esta notacón se refere a que se alcanza el valor máxmo del coefcente de correlacón ntraclase, véase seccón.4 y 3. del artículo, ara la oblacón de nterés. Obsérvese que en este to de confguracones el valor de V es cero. Hay otra confguracón de valores y j = que tambén será de utldad ara el análss de las cotas y se reresenta en la tabla que se muestra a contnuacón.

14 Tabla 3 Confguracón cρmín de valores y j =, valor mínmo de correlacón ntraclase PM SM j B B En la reresentacón de la tabla 3 se tene el msmo número de valores y j = en todas las PM, or lo cual = u ara todas las PM. este to de confguracón de valores y j = se le denomnará cρmín. Esta notacón se refere a que en este to de oblacones se alcanza el valor mínmo del coefcente de correlacón ntraclase, véase seccón.4 y 3. del artículo. Por otra arte, en este to de confguracones el valor de V es cero. Nótese que no semre es osble encontrar una confguracón cρmáx y/o cρmín ara cualquer oblacón conglomerada en dos etaas con, B y u dados. na vez decddos los tamaños y B ara una oblacón, el valor de u nos ndca el número de valores y j = en la oblacón, semre que B y j j B sea un entero. n ejemlo de una oblacón en la que no se alcanza una confguracón cρmáx se encuentra en la sguente tabla.

15 Tabla 4. Reresentacón en la que no se tene una confguracón cρmáx. PM SM j B B Exresón ara el coefcente de correlacón ntraclase. El coefcente de correlacón ntraclase ara una oblacón conglomerada en PM y SM con tamaños guales, Cochran (986), se defne como: B B j k j ( y ( B )( B ) s j y )( y k y ) (3) En esta fórmula, y se refere al romedo oblaconal y elementos, con s 0. s a la varanza oblaconal entre Es mortante hacer notar que ρ es una cantdad oblaconal y refleja la correlacón entre ares de undades que se encuentran dentro del msmo conglomerado. 3

16 3. LGNOS SPECTOS DE L CORRELCÓN NTRCLSE 3. Exresón ara el coefcente de correlacón ntraclase. Debdo a que el coefcente de correlacón ntraclase se emleará en dversos ejemlos, es necesaro contar con una fórmula que faclte su cálculo. Como la fórmula (3) es comutaconalmente ntensva ara calcular ρ, ya que es necesaro evaluar el roducto del numerador sobre todos los osbles ares dentro de cada PM, de las exresones en () y la fórmula ara el coefcente de correlacón ntraclase del caítulo 5.6B de Ksh (965), en térmnos de la varanza entre y dentro de las PM, se obtene una exresón senclla del coefcente de correlacón ntraclase ρ en térmnos de V y V defndas en (), lo cual se muestra a contnuacón: V V ( B ) V V V V (4) En esta fórmula se requere que la oblacón conglomerada sea tal que, B y los B j j valores y j son tales que y B ( 0, ). demás, con la exresón (4) es nmedato determnar las confguracones de los valores y j = en una oblacón que conducen a los valores mínmo y máxmo de dcho coefcente. sí, los valores mínmo, ( B ), y máxmo,, de ρ se obtenen con V 0 y V 0, resectvamente. La restrccón se debe a que sí, 0 V or construccón y B. Por otra arte, cabe hacer notar que los valores mínmo y máxmo del coefcente de correlacón 4

17 ntraclase no se alcanzan ara cualquer oblacón, ya que esto deende del número de valores y j = en la oblacón, la forma en que se encuentran dstrbudos en los conglomerados, así como de los valores y B. Esto se areca con más clardad en el ejemlo 3 de la sguente seccón. El hecho de que el coefcente de correlacón ntraclase no alcance los valores mínmo y máxmo en todos los casos es algo que no se ha encontrado en la lteratura a conocmento del autor. 3. Ejemlos del coefcente de correlacón ntraclase. En los dos ejemlos sguentes se muestran sendas reresentacones de los valores y j = de la oblacón que conducen a los valores máxmo y mínmo en una oblacón. Ejemlo : Valor máxmo del coefcente de correlacón ntraclase. Consdérese una oblacón con =8 PM, B=8 SM y =3/8=0.375, y con los sguentes tamaños de muestra de PM y SM, a=, b=3. Con estos valores se tene que α= y β=0.049, α y β fueron defndos en (). En este ejemlo se tene una oblacón con 64 elementos en 8 conglomerados o PM, con 8 elementos o SM, or conglomerado. Tabla 5. na confguracón de los valores y j = con la que se alcanza la ρ máxma. PM SM

18 En la tabla 5, se refere a la roorcón oblaconal ara la -ésma PM y, como todos los valores dentro de cada PM son guales, se tene que V 0, or lo cual, V( ˆ ) V y. Por otra arte, la confguracón de valores y j en la tabla 5 es. del to cρmáx, ya que se alcanzó el valor máxmo de la correlacón ntraclase ara esta oblacón y roorcón oblaconal. Observacón : nótese que las condcones de este ejemlo corresonden a un arreglo de los valores y j = en la oblacón tales que el coefcente de correlacón ntraclase toma el valor de, or lo que se tene erfecta homogenedad dentro de conglomerados con resecto a la meda o roorcón oblaconal. La erfecta homogenedad se refere a que todos los valores dentro de cada conglomerado en la oblacón, son mayores que o todos son menores que. Ejemlo : Valor mínmo del coefcente de correlacón ntraclase. Consdérese la msma oblacón del ejemlo, solo que las y j = se dstrbuyeron en las 8 PM. Los valores de la oblacón son los msmos que los del ejemlo : =8 PM, B=8 SM y =3/8=0.37; en tanto que el número de PM y SM en muestra son a=, b=3, con el suuesto de seleccón de a= PM y b=3 elementos o SM or mas. Por lo anteror, los valores de α y β son los msmos que en el ejemlo. 6

19 Tabla 6. na confguracón de los valores y j = con los que se alcanza la ρ mínma. PM SM En este caso, V ( ˆ ) 0, ya que todas las son guales a 0.375, V( ˆ ) V ( ˆ ) y. /( 8 ) La confguracón de valores y j en la tabla 6 es del to cρmín, ya que se alcanzó el valor mínmo de la correlacón ntraclase ara esta oblacón y roorcón oblaconal. Observacón : las condcones de este ejemlo se referen a un arreglo de los valores y j = en la oblacón tales que el coefcente de correlacón ntraclase toma el valor mínmo, -/(B-), es decr, se tene erfecta heterogenedad dentro de conglomerados con resecto a la meda o roorcón oblaconal. La erfecta heterogenedad se refere a que dentro de cada conglomerado en la oblacón, hay valores mayores que y menores que. Observacón 3: Es mortante menconar que no semre se alcanzan los valores mínmo y máxmo de la correlacón ntraclase, lo cual es algo que a conocmento del autor no se mencona en la lteratura del tema. contnuacón se muestra un ejemlo de esto. 7

20 Ejemlo 3: rreglo de valores y j = en oblacón ara los que no se alcanza el valor máxmo del coefcente de correlacón ntraclase. Consdérese una oblacón con =8 PM, B=8 SM, con los tamaños de muestra como los del ejemlo, a=, b=3, solo que ahora sea =0/64=0.33. Los valores de α y β son los msmos que en el ejemlo. Tabla 7. na confguracón de los valores y j = con los que no se alcanza la ρ máxma. PM SM En este ejemlo, V( ˆ ) V ˆ V ( ˆ ) y Obsérvese que en esta oblacón ρ no alcanza el valor máxmo de ; or lo cual, no es una confguracón de valores cρmáx. De hecho el valor máxmo de ρ en este caso es de Se uede verfcar que el valor mínmo osble de ρ ara esta oblacón es de -0., or lo cual tamoco es una confguracón de valores cρmín. 3.3 Valores de la varanza en el caso de correlacón ntraclase mínma y máxma. contnuacón se muestran dos resultados del muestreo or conglomerados en dos etaas ara la varanza de roorcones en los que se areca el efecto en la varanza y en el coefcente de correlacón ntraclase cuando algunas de las roorcones de las PM son 0 8

21 y el resto toman el valor de, condcón, C, o cuando todas las roorcones de las PM son guales a alguna roorcón c, con 0<c<, condcón, C. Estos valores se emlean en la seccón 4. Condcón, C. Las condcones en las que se tene un arreglo cρmáx ara una oblacón conglomerada, véase seccón 3., son las sguentes: bajo (mas,mas), s =0 ó {,, } y exsten e j, j, tales que j, entonces cmax V y V ( ˆ ) V. La varanza que se obtene con un arreglo cρmáx se denota como c max V. Ejemlo 4: 5, 0,, 5 y V ( ˆ ) S a=3, entonces se tene que α=0.033 y V ( ˆ ) Condcón, C. Las condcones en las que se tene un arreglo cρmín ara una oblacón conglomerada, véase seccón 3., son: bajo (mas,mas), s = con 0< <, c mn {,, }, entonces: V( ˆ ) V ( ) V y B. La varanza que se obtene con un arreglo cρmín se denota como c mn V. Ejemlo 5: 5 y s 5, {,,5}, a 3 y , entonces se tene que V ( ˆ ) V En C y C se areca que tanto c max V como c mn V son guales a. No se hace uso de un solo símbolo ara esta últma exresón, ya que es mortante hacer énfass en que la varanza del estmador de la roorcón rovene de un arreglo de valores y j = en la 9

22 oblacón que es cρmáx o cρmín. demás, en el resultado que se enunca en la sguente seccón, se observa que el número de PM y SM en muestra juegan un ael mortante en la determnacón de las cotas. 4. COTS PR L VRNZ En esta seccón se establece el resultado rncal de este artículo, el cual es un teorema ara las cotas de la varanza del estmador de roorcones ara las osbles confguracones de valores y j = en una oblacón conglomerada con u dada. ntes de enuncar el teorema es necesaro ntroducr un ar de reresentacones de los valores y j =, así como algunas exresones ara varanzas y sumas de cuadrados, que servrán ara comrender mejor la notacón usada en el resultado. 4. Reresentacones y exresones necesaras ara las cotas. Caso en el que no se alcanza la correlacón ntraclase mínma osble en una oblacón. En analogía con las oblacones emleadas en la seccón anteror en las que se tenía un arreglo de los valores y j = tales que la correlacón ntraclase era mínma -/(B-), consdérese la sguente reresentacón de valores y j =. 0

23 Tabla 8. na confguracón de los valores y j = con los que no se alcanza la ρ mínma PM SM j B B En esta tabla no se alcanza el valor mínmo de la correlacón ntraclase -/(B-), ya que V 0. Por otra arte, obsérvese que PM tenen el msmo valor ara las roorcones y, dgamos, en tanto que las roorcones restantes 3 a tenen un valor gual entre sí, dgamos, ero dstnto a, con. y S etquetamos a y como, y,, y hacemos lo msmo ara las roorcones 3 a, ero con, el romedo oblaconal uede exresarse como,,, con y, (5) y la suma de cuadrados de las roorcones ara cada PM se uede descomoner de la sguente manera:,, (6) Con esto, odemos formar varanzas del to V, como se defnó en (), al descomoner la suma de cuadrados de las roorcones asocadas a las PM de la sguente manera.

24 (7) V V,, na vez que se cuenta con estos elementos a la mano, exresamos a la varanza dada en () ara una confguracón de valores y j = del to de la tabla 8. Esto es mortante ara la demostracón del teorema que se encuentra más adelante. Suóngase que y 0 0,, los comonentes de () ueden exresarse como sgue: (8) sando la gualdad (6) ara V se tene que: (9) Por lo cual, usando (8) y (9), la varanza (), V ) ˆ (, uede exresarse como: V ) ˆ ( (0) Susttuyendo (5) en (0) y sumando y restando en (0), la varanza queda como, V ) ˆ ( () En esta fórmula, sí y/o sí 0, entonces y, or lo que el segundo térmno del lado derecho de () es gual a cero y la varanza toma la forma de C: V ) ˆ ( ()

25 Caso en el que no se alcanza la correlacón ntraclase máxma de una oblacón. En analogía con las oblacones emleadas en la seccón anteror en las que se tenía un arreglo de los valores y j = tales que la correlacón ntraclase era máxma, es decr, con un valor de, consdérese la sguente reresentacón de valores y j =: Tabla 9. na confguracón de los valores y j = con los que no se alcanza la ρ máxma PM SM j B B s - En este caso, suóngase que y sean S aquellas PM cuyas ; S una PM con, 0, s s, S3 la(s) PM con 0 y S S S 3. Para ser congruente con la restrccón menconada antes de ncar la seccón.3, es decr, 0, en la tabla que se muestra a contnuacón se encuentran las osbles combnacones de casos admsbles ara los valores de S, S y S 3. 3

26 Tabla 0. Combnacón de valores admsbles ara S, S y S 3. Número de S S S3 dmsble Combnacón =0 =0 =0 No =0 =0 >0 No 3 =0 = =0 No 4 =0 = >0 Sí 5 >0 =0 =0 No 6 >0 =0 >0 Sí 7 >0 = =0 Sí 8 >0 = >0 Sí La combnacón número 6 corresonde a las confguracones de valores y j = en las que el coefcente de correlacón ntraclase toma el valor y se tene cuando S 0, or lo que S S 3, con S,,,. Por otra arte, la combnacón número 8 corresonde a la de la tabla 9. El que una combnacón sea no admsble se refere a arreglos de valores y j en la oblacón ara los cuales no alcan las cotas del teorema, no a confguracones que no se encuentren en la ráctca. contnuacón se construye la exresón ara la varanza () en térmnos de las confguracones admsbles de la tabla 0, or lo cual escrbmos los comonentes de () como sgue: S S S S (3) S S (4) 4

27 ntes de contnuar, es mortante notar que que S S y susttuyendo este térmno en (4) se tene que: S S S S, or lo S S S S (5) La varanza (), V ˆ ) usando (3) y (5): (, adquere la sguente forma, V ˆ (6) S S En esta fórmula, sí y/ó sí 0, entonces el segundo térmno del lado derecho de S (6) es gual a cero y la varanza toma la forma de C: V ˆ (7) En la fórmula (6), el número de combnacón 4 de la tabla 5, corresonde a una oblacón en la que solo una de las PM tene una 0, varanza en (6) adquere la sguente forma: y 0, or lo que la S ntes de contnuar, recordemos que tanto V ˆ S S S (8) c max V como c mn V son guales a. 5

28 4. Cotas ara la varanza, coefcente de varacón y efecto del dseño. Teorema: bajo (mas,mas), α, β, V y V defndas en () y (), α y β fjos,, B y ara cualquer ermutacón de los valores y j de la oblacón tal que B 0, B * y j j sguentes desgualdades:, con * fjo, el valor de V ( ˆ ) satsface alguna de las c mn c max (a) s α>β, V V ˆ ) V - - S S (, c max c mn (b) s α<β, V - V ˆ ) V - (, S S (c) s α=β= γ, V ˆ) ( ). ( Demostracón: véase el nexo. Corolaro : bajo las condcones del teorema, B y ara cualquer oblacón conglomerada que admta las confguracones cρmín y cρmáx y cualquer ermutacón de B los valores y j de la oblacón tal que y B 0, * j j V ( ˆ) satsface alguna de las sguentes desgualdades:, con * fjo, el valor de (a) s α>β, c mn c max V V ) V ( ˆ, (b) s α<β, c max c mn V V ) V ( ˆ, (c) s α=β= γ, V ˆ) ( ). ( Corolaro : S B,, ar, a y b, entonces se tene que: 6

29 (a) α=β, (b) efd. Es mortante menconar que en el corolaro se exhben las cotas mínma y máxma ara la varanza del muestreo or conglomerados en dos etaas ara oblacones cuyos valores y j = tenen las dos confguracones cρmín y cρmáx. En el ncso (b) del corolaro, al ser el efecto del dseño gual a uno, se tene que la varanza del estmador de roorcones bajo (mas,mas) es gual a la del muestreo aleatoro smle, or lo cual no hay efecto de conglomeracón al ermutar los valores y j = de la oblacón. Por otra arte, uede arecer oco factble tener un tamaño de muestra que sea un oco más grande que la mtad de las PM; emero, esto odría usarse en oblacones que tenen ocos conglomerados. Observacón 4: es mortante recalcar que las cotas son váldas ara una oblacón en la cual solo se ermutan los valores de las y j =, ero se mantene fjo el valor de la roorcón oblaconal, así como las constantes α y β. Cabe hacer notar que dado un arreglo de los valores y j = en la oblacón, las cotas deenden de los valores α y β. Cuando α<β, la confguracón cρmín en la oblacón, la cual corresonde al valor mínmo de la correlacón ntraclase, se asoca con la cota sueror ara las tres cantdades, la varanza del estmador de roorcones, el coefcente de varacón y el efecto del dseño; en tanto que la confguracón cρmáx en la oblacón, la cual corresonde al valor máxmo de la correlacón ntraclase, se asoca con la cota nferor ara las tres cantdades menconadas. Cuando α=β, la varanza del estmador de roorcones 7

30 ermanece sn cambo al ermutar los valores de las y j =, mantenendo fjo or suuesto el valor de la roorcón oblaconal. En este últmo caso, lo que se modfcan son los valores de V y V. El resultado obtendo ara las cotas cuando α<β ó α=β es algo nuevo en onón del autor, ya que en la lteratura del muestreo or conglomerados en dos etaas, generalmente se mencona que la varanza del estmador se ncrementa conforme el coefcente de correlacón ntraclase crece. la luz de estos resultados, es necesaro aclarar que la relacón entre la varanza y la correlacón ntraclase deende del sgno de α-β. contnuacón se muestran las fórmulas de las cotas ara el efecto del dseño y el coefcente de varacón en el caso de que satsfagan las condcones del teorema y el corolaro. Se enuncan como resultados ya que se trata de hechos que ueden verfcarse fáclmente a artr del teorema y el corolaro, usando las defncones del efecto del dseño y el coefcente de varacón; sn embargo, son cantdades útles en la ráctca y convene resentarlas de forma resumda. Resultado : bajo las condcones del teorema, el valor del efecto del dseño, V( ˆ ) Vmas ( ˆ ), satsface alguna de las sguentes desgualdades: (a) s α>β, efd ( ˆ c mín max efd ) efd c (b) s α<β, efd c max efd ) ( ˆ efd cmín (c) s γ=α=β, efd ( ˆ ) n( N ) ( f ) N, 8

31 donde, V ˆ c max efd n( N ) ( f ) N S S mas, efd V ˆ n( N ) ( f ) N cmín mas y V ( ˆ ) ( f ) N' ( ) n, con n N mas / f y N N N'. En este resultado, f=n/n se refere a la fraccón de muestreo de elementos, como s la muestra de tamaño n=ab hubese sdo extraída or mas de la oblacón de N=B elementos y N N ( N ). Como se menconó en la ntroduccón el efecto del dseño, efd, fue rouesto or Ksh (965) como una medda de efcenca de dseños muestrales dstntos al muestreo aleatoro smle. Por otra arte, cuando se tene que B y la oblacón tene las confguracones cρmín y cρmáx, las cotas ara el efecto del dseño adqueren una forma smle, lo cual se encuentra en el sguente resultado. Resultado : bajo las condcones del corolaro, el efecto del dseño, V( ˆ ) Vmas ( ˆ ), V mas ( ˆ ) 0, satsface alguna de las sguentes desgualdades: (a) s α>β, c mn c max efd efd ) efd ( ˆ (b) s α<β, c max c mn efd efd ) efd ( ˆ (c) s γ=α=β, efd ( ˆ ) n( N ) ( f ) N, donde, max mn efd c n( N ) ( f ) N efd c y 9

32 V ( ˆ ) ( n N ) N' ( ) n, con f=n/n. mas / Recordemos que el coefcente de varacón ara el estmador de una roorcón se defne como cv V( ˆ ) ˆ, con 0. Debdo a la mortanca de esta cantdad en el ámbto estadístco, en el resultado 3 se encuentran las cotas ara dcha cantdad. Cuando se tene que B y la oblacón admte las confguracones cρmín y cρmáx, las cotas ara el coefcente de varacón adqueren una forma smle, lo cual se encuentra en el resultado 4. Resultado 3: bajo las condcones del teorema, el coefcente de varacón, V ( ˆ ), satsface alguna de las sguentes desgualdades: (a) s α>β, cv ( ˆ c mn max cv ) cv c (b) s α<β, cv ( ˆ c max mn cv ) cv c (c) s γ=α=β, cv ( ˆ ) ( ) /, cv ( ) / c max donde, s s y cmín cv ( ) / Resultado 4: bajo las condcones del corolaro, el coefcente de varacón, V ( ˆ ), satsface alguna de las sguentes desgualdades: (a) s α>β, ˆ c mn c max cv cv( ) cv (b) s α<β, ˆ c max c mn cv cv( ) cv 30

33 (c) s γ=α=β, cv ( ˆ ) ( ) /, donde, c max mn cv ( )/ c cv. En la sguente seccón se mostrarán dversos ejemlos ara lustrar los valores de las cotas. 5 EJEMPLOS DE COTS Ejemlo 6: α>β, varanza entre cotas máxma y mínma. Consdérese la msma oblacón del ejemlo, con las y j = acomodadas de manera dferente a los casos de los ejemlos y 4 y los valores de a, b, α y β son los msmos, α= y β=0.049, así como la seleccón de PM y SM or mas. En este caso, V( ˆ ) V ( ˆ ) V ( ˆ ) y En este ejemlo, el valor de ρ se encuentra entre el ρ mínmo, -0.49, y el ρ máxmo que es. na reresentacón de la oblacón en térmnos de los valores y j es como sgue: Tabla. Confguracón de los valores y j con los que la varanza se encuentra entra la cota mínma y máxma. PM SM

34 Ejemlo 7: α>β, varos arreglos de los valores y j = ara mostrar las cotas mínma y máxma. Se usa la oblacón del ejemlo con =0.375, solo que ahora a=3, b=3, con estos valores se tene que α=0.098, β= Los valores de, B, a y b, satsfacen las condcones del ncso a del corolaro. En la tabla se muestra el valor de la varanza del estmador de la roorcón, los valores V y V V de V y V, las contrbucones relatvas a la varanza, el efecto del dseño, efd, el coefcente de varacón, cv, así como el coefcente de correlacón ntraclase ara sete confguracones de valores y j =. Dos de las sete confguracones corresonden al mínmo y máxmo del coefcente de correlacón ntraclase. Tabla. Valores de V y V ara dversas confguracones de los valores y j, α>β. ρ V α V βv α V /V βv /V efd cv % 00% % % 7% % % 50%.7 45% % 33% % % 5%.88 55% % 4%.64 60% % 0% % c max cmín l fnal de la seccón 3 se mostró V V, or lo cual, las cotas sueror, c mn V, e nferor, c max V, según el ncso a del corolaro toman los valores y En la tabla se areca que tanto los valores de la varanza, V, como el del comonente V, crecen conforme el coefcente de correlacón ntraclase se ncrementa, lo cual está de acuerdo con el ncso a del corolaro. Para el caso del efd se resenta el caso conocdo de que esta cantdad crece al ncrementarse la correlacón ntraclase. 3

35 Ejemlo 8: α=β, msma varanza ndeendentemente del arreglo de valores y j =. Consdérese la oblacón del ejemlo, solo que ahora sean a=5, b=, con estos valores se tene que α=0.007, β=0.007 y α=β. Los valores de, a y b, satsfacen las condcones del corolaro. Por otra arte, el valor de la roorconal oblaconal sgue sendo = Los títulos de las columnas son como en el ejemlo 7 y dos de las sete confguracones corresonden al mínmo y máxmo del coefcente de correlacón ntraclase. Tabla 3. Valores de V y V ara dversas confguracones de los valores y j, α=β. ρ V α V βv α V /V βv /V % 00% % 88% % 75% % 60% % 35% % % % 0% En la tabla 3 se observa que los valores de la varanza, V, son guales ara las ermutacones de los valores y j = que se hceron en esta oblacón, lo cual está de acuerdo con el corolaro ; sn embargo, lo que camba ara cada confguracón que se hzo son los valores de V y V, así como el coefcente de correlacón ntraclase. En las dos últmas columnas de la tabla 3 se tenen los valores del tamaño relatvo de los comonentes de varanza y se areca en este caso que, conforme la correlacón ntraclase crece, así lo hace el comonente de varacón entre PM. Se uede comrobar que el efd 33

36 toma el valor ara todos los valores de la varanza V de la tabla 3 y que el coefcente de varacón ermanece sn cambo con un valor de 38%. Ejemlo 9: α<β, relacón nversa entre la varanza y la correlacón ntraclase. Consdérese la oblacón del ejemlo, solo que ahora sean a=6, b=, con estos valores se tene que α=0.0060, β= y α<β. Los valores de α y β satsfacen el ncso b del corolaro. Por otra arte, el valor de la roorconal oblaconal sgue sendo = Los títulos de las columnas son como en el ejemlo 7 y dos de las sete confguracones corresonden al mínmo y máxmo del coefcente de correlacón ntraclase. Tabla 4. Valores de V y V ara dversas confguracones de los valores y j, α=β. ρ V α V βv α V /V βv /V efd cv % 00% % % 9% % % 8% % % 69% % % 45% % % 7% % % 0% % c max cmín Recordemos que V V, or lo cual, las cotas sueror, c mn V, e nferor, c max V, según el ncso b del corolaro toman los valores y 0.0. En la tabla 4 se observa que los valores de la varanza, V, son más grandes conforme el valor de la correlacón ntraclase es más equeño, lo cual está de acuerdo con el ncso b del corolaro. Este ejemlo hace evdente lo que se menconó en la subseccón 4.: un valor crecente del coefcente de correlacón ntraclase no necesaramente mlca un valor mayor de la varanza. Tambén camban ara cada confguracón realzada los valores de V 34

37 y V, así como el coefcente de correlacón ntraclase. En las dos últmas columnas se encuentran los valores del tamaño relatvo de los comonentes de varanza y se areca en este caso que un ncremento en la correlacón ntraclase, va asocado a un crecmento en el comonente de varacón entre las PM, V. Ejemlo 0: contnuacón se calculan las cotas ara el coefcente de varacón (lím nf cv y lím su cv) de la roorcón estmada, desvacón estándar (lím nf desv y lím su desv) y efecto del dseño (lím nf efd y lím su efd) ara una oblacón con =8, a=, B=0, tamaños de submuestreo, b, de a 4 SM y =0.5. Como α > β, ara todos los valores de b en este ejercco, los límtes nferor y sueror ara la varanza concde con los arreglos cρmín y cρmáx en la oblacón. Por este motvo, las cotas nferor y sueror que se alcan ara la varanza, el coefcente de varacón y el efecto del dseño, son las que se encuentran en el ncso a del corolaro, del resultado 4 y del resultado. Tabla 5. Cotas mínma y máxma ara la varanza, coefcente de varacón y efecto del dseño b= 3 4 α = β = α - β = lím nf desv= lím su desv= lím nf cv= lím su cv= lím nf efd= lím su efd=

38 De la Tabla 5 se areca que el límte nferor ara la desvacón estándar dsmnuye conforme b se ncrementa, lo cual es una roedad del mas dentro de cada PM; emero, la dferenca entre la cota mínma y máxma crece ya que el número de PM en muestra está fjo. Para las cotas del coefcente de varacón se observa un comortamento smlar; sn embargo, ara el efecto del dseño, la cota sueror crece al ncrementarse n=ab. Ejemlo : α>β, cotas ara la varanza con dferentes valores de. En la sguente gráfca se encuentran los valores mínmos, línea azul, y máxmos, línea roja, de la desvacón estándar ara una oblacón conglomerada de 80 elementos con =8, a=3, B=0, b=, α=0.098, β=0.085 y tomando los sguentes valores: 0.5, 0.50, 0.375, 0.5, 0.65, y Como α>β, se emlea el ncso a del corolaro ara las cotas nferor y sueror de la varanza del estmador de roorcones. Para la msma oblacón y valores de se calculó la desvacón estándar del estmador de la roorcón oblaconal bajo mas, línea verde unteada. En este caso, se consdera a la oblacón sn conglomerar y se tenen N=B=8x0=80 elementos y una muestra de n=ab=3x=6 elementos. Gráfca Valores mínmo y máxmo de la desvacón estándar ara el dseño (mas,mas), así como los de la desvacón estándar bajo mas roorcón oblaconal u lím nf desv lím su desv desv mas 36

39 En la Gráfca se observa que el valor máxmo de la desvacón estándar en el esquema (mas,mas), tanto ara el límte nferor como ara el sueror, se tene con =0.5, lo cual es smlar al caso de la varanza máxma ara el estmador de roorcones bajo mas, la cual se alcanza cuando la roorcón oblaconal adquere el valor de 0.5, como se mostró en la ntroduccón del resente artículo. En esta gráfca se areca el efecto de la conglomeracón, obsérvese que la desvacón estándar del estmador de la roorcón oblaconal bajo mas, línea verde unteada, tene un valor aenas mayor que el límte nferor de la desvacón estándar ara el dseño (mas,mas). Esto mlca que cas semre se trabajará con un efd mayor que uno en esta oblacón al usar el muestreo or conglomerados en dos etaas. Ejemlo : Efecto de un dseño muestral en el error de estmacón absoluto y seleccón del tamaño de muestra. Suonga que se tene una undad habtaconal con 75 edfcos de deartamentos y cada edfco tene 8 deartamentos. Se desea calcular el tamaño de muestra ara estmar la roorcón de deartamentos que sufreron algún robo en el últmo mes y como estmacón antcada de usamos * =0.5. Para selecconar el número de deartamentos or edfco en muestra, de la Tabla 5 se desrende que el rango de la varanza dsmnuye conforme los valores de submuestreo de b son cercanos a, con y a fjos, or lo cual evaluaremos el error de estmacón absoluto con a entre 5 y 35 edfcos y b { 3, 4}. Con estos datos, N=B=400. Como la reresentacón tabular de esta oblacón requere 75 columnas, no es convenente mostrarla; sn embargo, como se suone que * =0.5, esto mlca que hay 0 valores y j = en la oblacón. Debdo a que no arece 37

40 razonable que en todos los edfcos haya habdo robos, suóngase que aroxmadamente un 6% de los edfcos no ha tendo este to de eventos y que en una cantdad smlar de edfcos solo se ha dado un evento de este to or edfco. De esta nformacón se tene que aroxmadamente 46 edfcos no han tendo robos, 48 han tendo robos en un deartamento or edfco y los restantes 8 edfcos han tendo robos a dos deartamentos or edfco. La suma de estas 3 cantdades resulta en 75 edfcos. Esto es un suuesto de una confguracón de valores y j = en la oblacón que en la ráctca del muestreo or conglomerados se hace con el coefcente de correlacón ntraclase. Con esta nformacón ya se está en condcones de calcular V y V usando (), así V y V , or lo que, de la fórmula (4), 0.. Nótese que esta confguracón de valores y j = no corresonde a una en la que se ueda alcanzar el mínmo o máxmo valor de la varanza. En las tablas y del nexo, se encuentran los efectos en la varanza y el error de estmacón, entre otras cantdades, cuando el número de PM en muestra crece ara dos valores de b, 3 y 4. El error de estmacón se construyó usando un desvío normal, t α/ =.645. De las tablas y se observa que dcho error dsmnuye conforme el número de PM crece de 5 a 35, ara los dos valores de b. Para el caso de b=3, Tabla, el error de estmacón varía entre y 0053, y cuando b=4, Tabla, dcho error va de y Con estos datos, ya se está en condcones de selecconar los valores de a y b, deendendo del número de edfcos que se uedan vstar en el laso de * levantamento de la encuesta. Por ejemlo, un error de estmacón de 0.08 alrededor de =0.5 odría no roorconar la nformacón requerda. Se requerría que el error estuvera más concentrado alrededor de * =0.5, or lo cual las cantdades cercanas a 0.05 arecen 38

41 adecuadas, en caso de que sean costeables. Suóngase que se cuenta con recursos ara vstar a lo más el 0% de los edfcos, es decr, =75x0.0=35 edfcos, así odrían elegrse valores de a=35 y b=4, con lo cual el error de estmacón eserado es Las mlcacones de este lan en térmnos de los errores de estmacón mínmo y máxmo, e a, se ueden evaluar con las cotas del teorema. Con estos datos, n=40 y usando un desvío normal, t α/ =.645, se tene que α=0.0003, β= , α>β, or lo que alcando el ncso (a) del teorema, las cotas nferor y sueror de la varanza son, y resectvamente. De esta manera, el error de estmacón absoluto se encuentra entre y Con este ejemlo solo se retende lustrar un osble uso de una de las cotas y es una smlfcacón del roceso de determnacón de dversas cantdades en el cálculo del tamaño de muestra. Por ejemlo, la determnacón del número de SM en muestra uede estar nfluda or el costo asocado al submuestreo en las PM y no se consderó un ajuste al tamaño de muestra or no resuesta. 6. CONCLSONES Se rouseron cotas ara la varanza, el efecto del dseño y el coefcente de varacón en el caso de la estmacón de roorcones ara el muestreo or conglomerados en dos etaas con tamaños guales, suonendo muestreo aleatoro smle en las dos etaas de seleccón. Estas cotas facltan el cálculo del tamaño de muestra y tambén ermten evaluar los valores mínmo y máxmo osbles de la varanza del estmador de la roorcón. Tambén 39

42 se construyó una exresón ara el coefcente de correlacón ntraclase oblaconal en térmnos de varanzas entre y dentro de conglomerados. través de varos ejemlos se observó que los tamaños de muestra ara undades rmaras y secundaras de muestreo ara una oblacón conglomerada tenen efecto en la determnacón de las cotas nferor y sueror. Se mostraron stuacones en las cuales, deendendo de los tamaños de muestra de undades rmaras y secundaras, las cotas nferor y sueror son guales o se tenen casos de relacón nversa entre el valor del coefcente de correlacón ntraclase y la varanza. Certamente este to de casos no corresonden a stuacones que se den con frecuenca en la ráctca, ero odrían ser de nterés en stuacones artculares, como oblacones con ocos conglomerados y undades secundaras de muestreo. Las cotas ara el efecto del dseño tambén ermten evaluar los tamaños mínmo, máxmo de muestra que se tendrían en un dseño muestral con conglomerados de tamaños guales, al usar muestreo aleatoro en ambas etaas con la metodología menconada en el rmer árrafo de la ntroduccón. Por suuesto, tambén ueden calcularse varos valores del efecto del dseño y evaluar su macto en el tamaño de muestra ara dversas confguracones de los valores de la varable de nterés en la oblacón. Por otra arte, las fórmulas son sencllas de calcular y úncamente se requeren los elementos de nformacón con los que normalmente se cuenta en la ráctca en la etaa de dseño muestral. demás, como se areca en los ejemlos, no solo se encuentran las cotas sueror e nferor, sno que se ueden calcular ara dversas confguracones de los valores de la varable de nterés en la oblacón, las cantdades oblaconales como: el coefcente 40