+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h

Transcripción

1 Ecuación n de Schrödinger -h ( Ψ Ψ Ψ ) m Ψ +V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h x y z t h = h / π i = (-1) 1/ ψ(x,y,z,t)... función (compleja) de onda V(x,y,z)... función de energía potencial ψ (x,y,z,t)... puede entenderse como la probabilidad de encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t.

2 Ecuación n estacionaria de Schrödinger Solución unidimensional: Ψ(x,t) = Ψ(x) e -iet / h -h m ( ) + V(x) Ψ = E Ψ d Ψ dx

3 Oscilador Armónico Una masa m se mueve con energía E, en un campo: V = 1 k x k m E V x x Notar que la fuerza F = - dv dx

4 Solución n Clásica del Oscilador Armónico E = 1 k x + 1 m v la energía se conserva haciendo E/m = ω x + ω = k /m ( dx) ecuación diferencial (1) dt de solución conocida: x(t) = A sen (ωt + δ); con A = E k

5 Solución n Cuántica del Oscilador Armónico Considerando la energía estacionaria E en la ecuación de Schrödinger, por separación de variables se tiene que: Ψ(x,t) = Ψ(x) e -iet / h por lo que se deberá resolver la ecuación estacionaria: -h ( d Ψ ) m + V Ψ = E 1 dx con V = k x cuyas soluciones se basan en los polinomios de Hermite

6 Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía) Ψ(x) = C e - k mx / h Derivando para verificar que es una solución: d Ψ ( ) = (- k mx/ h) Ψ - k mx/ h dx = C e - k mx / h d Ψ dx = (- k m/ h) Ψ + - k mx/ h Ψ ( ) = m ( 1 ) k x h -E Ψ y llevando este valor a la ecuación diferencial: d Ψ dx resulta:

7 Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía) Ψ(x) = C e - k mx / h Derivando para verificar que es una solución: d Ψ ( ) = (- k mx/ h) Ψ - k mx/ h dx = C e - k mx / h d Ψ dx = (- k m/ h) Ψ + - k mx/ h Ψ d Ψ dx ( ) ) x = m ( 1 k x h -E Ψ resulta:

8 Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía) Ψ(x) = C e - k mx / h Derivando para verificar que es una solución: d Ψ ( ) = (- k mx/ h) Ψ - k mx/ h dx = C e - k mx / h d Ψ dx = (- k m/ h) Ψ + - k mx/ h Ψ d Ψ dx ( ) ) E 0 = m ( 1 k x h -E Ψ resulta:

9 La energía E 0 del estado base es entonces: E 0 = h k m = h.ω = h.f Un análisis similar de la Ecuación de Schrödinger demuestra que existen n niveles posibles de energía, donde: E n = (n + ½) hf ; n = 0, 1,, 3,... V ΔE= hf E E =5 E 0 E 1 =3 E 0 E 0 x La energía está cuantizada (ΔE= hf ). Su mínimo no es nulo, pues el reposo (p = 0) en x = 0, no atendería al principio de incertidumbre: Δp Δx h.

10 Consideremos nuevamente el estado de mínima energía: Ψ(x) = C e - k mx / h... con energía E 0 = h f / La constante C puede ser calculada a partir de la condición: Ψ(x) dx = 1 - e -ax - recordando la integral definida: dx = π a de donde C 4 = k m / h

11 Oscilador Armónico Mecánica Clásica La energía puede tener cualquier nivel continuo. Cambios en los niveles de energía pueden tomar cualquier valor. El cuerpo puede estar en reposo en x = 0. Mecánica Cuántica La energía solo puede tener valores discretose n = (n+½) hf Cambios en los niveles de energía solo ocurren en cuantos ΔE= hf El nivel de energía mínimo es E 0 =hf/. No existe reposo absoluto en x=0. El cuerpo no puede estar en El cuerpo si puede estar en x > A = (E / k ) 1/ x > A = (E / k ) 1/

12 El Átomo FÍSICA III III Facultad de de Ingeniería Universidad Nacional de de Asunción

13 -h Ecuación n de Schrödinger ( Ψ Ψ Ψ ) m Ψ +V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h x y z t Considerando el Laplaciano Ψ Ψ Ψ Ψ = x y z en coordenadas esféricas x z ϕ θ r y Ψ = 1 r ( r ) r Ψ r + 1 r sen θ Ψ ϕ + 1 r sen θ ( Ψ) sen θ θ

14 Espectros Atómicos Fuente de luz Red de Difracción Espectro de líneas H Espectro de líneas del Hidrógeno [1885]: m m < n; m = 1,,3,... λ = R ( n ); constante de Raydberg: R = x 10 7 m -1 Serie de Lyman: m=1, n=,3,4,... Serie de Balmer: m=, n=3,4,5,... Serie de Brackett: m=3, n=4,5,6,...

15 Átomo de Bohr (1913) E = K + U = 1mv - e (1) 4πεr F = e 4πεr = mv r de () y (1) E n = - e 8πεr n () r m r n E n -E m = - e e + =hf 8πεr n 8πεr m Cantidad de movimiento angular: L n = mv.r n = n h / π; n = 1,,3... (A) (B) de (A) y (B) Serie del H

16 Niveles Energéticos del Átomo de Bohr Serie de Balmer (visible) Serie de Paschen (IR) Serie de Bracket n = 3 n = 0.00 ev ev ev ev ev Serie de Lyman Número cuántico principal n = ev Estado Base

17 Experimento de Zeeman (1896) Se comparó el espectro de emisión de un átomo: 1. en condiciones normales (sin campo externo);. en presencia de campo magnético externo en dirección Z. y se verificó que, conforme lo predice la física cuántica: 1. El Momentum Angular orbital está cuantizado: L = ( l(l+1)) 1/ h l= 0, 1,.., (n 1) l..número cuántico del momentum orbital angular. El Momentum Angular orbital en la dirección Z está cuantizado: L z = m l h m l = l, (l-1),, 1, 0, -1,, -(l-1), -l m l..número cuántico magnético

18 Niveles energéticos sin campo externo Niveles energéticos con campo magnético n m l = m l = 1 m l = 0 m l = -1 m l = - Nivel Base Nivel Base Efecto de Zeeman Zeeman: los niveles energéticos se degeneran en subniveles (o subcapas)

19 Experimento de Stern y Gerlach (191) Un haz de átomos de plata, pasó por un campo magnético no homogéneo y chocó con una placa fotográfica, verificándose la existencia de un momentum angular intrínseco S. Goudsmit y Uhlenbeck (195) sugirieron que el electrón posee un momentum intrínseco llamado spin. S = ( s(s+1)) 1/ h S z = m s h m s = s,s-1 s= ½ para el electrón n; l n n; l S Nivel Base Nivel Base

20 Principio de Exclusión n de Pauli (191) Considerando que el comportamiento de un electrón queda determinado por 4 números cuánticos (n, l, m l, m s ) y la imposibilidad de distinguir electrones de igual comportamiento, Wolfgang Pauli, propuso en 194 el siguiente principio: Dos electrones no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos (n, l, m l,m s ) Esto explica la conformación de la tabla periódica de los elementos.

21 Notación n Espectroscópica pica Valor de n: Notación: K L M N.. capa Valor de l: Notación: s p d f g.. sub-capa l= 0, 1,.., (n 1) m l = l, (l-1),, 1, 0, -1,, -(l-1), -l m s = ± ½

22 Por el principio de exclusión de Pauli, una subcapa l solo puede tener hasta (l+1) electrones. Valor de l: Notación: s p d f g.. Número máximo de electrones:

23 Capa Nivel Número máximo Número Total O 5p 4d 5s N 4p 3d 4s M 3p 3s 6 18 L p s 6 10 K 1s

24 Tabla Periódica de los Elementos Número atómico Ebullición Fusión Densidad Estructura atómica Peso atómico Valencia

25 Electrodinámica Cuántica La Electrodinámica cuántica (o QED Quantum ElectroDynamics) mejora las ecuaciones de Schrödinger y representa a la fecha, el estado del arte en física moderna. El estudio de partículas sub-atómicas (Física de Partículas) y la Cosmología, están dando origen a nuevas fronteras de la física teórica, generando teorías, como El modelo estándar de la historia del universo y la Teoría de la Gran Unificación.