Diseño de experimentos Hugo Alexer Pérez Vicente

Transcripción

1 Diseño de experimentos Hugo Alexer Pérez Vicente

2 Métodos complementarios al análisis de varianza Comparaciones múltiples

3 Comparación o pruebas de rangos múltiples Después de que se rechazó la hipótesis nula en un análisis de varianza, es necesario revisar a detalle y ver cuáles tratamientos son diferentes. Por lo general, estas comparaciones consisten en pruebas de hipótesis o en intervalos de confianza.

4 Comparación o pruebas de rangos Algunas estrategias son: múltiples Comparación de parejas de medias de tratamientos: Método LSD (diferencia significativa mínima de Fisher) Método de Tukey Prueba del rango múltiple de Duncan Comparación de tratamientos con un control: Método de Dunnet (exposición del grupo) Método de Hsu

5 Método LSD Es posible probar la igualdad de todos los posibles pares de medias con la hipótesis: H H A Para todo i distinto de j. 0 : i : i j j Por tanto, para k tratamientos se tiene k(k-1)/k pares de medias.

6 El estadístico de prueba t 0 cada una de las hipótesis planteadas anteriormente se calcula: Para una prueba de dos colas, el criterio de rechazo sería: A la expresión LSD se le llama diferencia mínima significativa. Método LSD j i E j i n n CM y y t j i E j i n n CM t y y a N 1 1 LSD donde, LSD, 2 /

7 Método LSD Si el diseño es balanceado, n 1 =n 2 = =n a =n, entonces: LSD t 2, / N a 2CM n Para usar este método, simplemente se compara la diferencia observada entre cada par de promedios con la LSD correspondiente. Si ȳ i. ȳ j. > LSD, se concluye que las medias poblacionales μ i y μ j difieren. Note que un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la diferencia entre las medias de un solo par de tratamientos cualesquiera µ i µ j es igual a { ȳ i. ȳ j. ± LSD}. E

8 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble Un equipo de mejora investiga el efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos. En primera instancia, la estrategia experimental es aplicar cuatro veces los cuatro métodos de ensamble en orden completamente aleatorio (las 16 pruebas en orden aleatorio).

9 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble Los tiempos de ensamble se muestran en la tabla siguiente: Métodos de ensamble A B C D

10 Para investigar cuáles pares de medias son estadísticamente diferentes, se prueban los seis posibles pares de hipótesis: Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble D C D C D B D B C B C B D A D A C A C A B A B A A A A A A A H vs H H vs H H vs H H vs H H vs H H vs H : : : : : : : : : : : :

11 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble Después de realizar el ANOVA se obtiene: CME = 2.46, G.L. Error = 16-4 =12 DISTR.T.INV(0.05,12)=2.18 2CM E 2* 2.46 LSD t 2.18 / 2, N k n

12 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble La decisión sobre cada una de las seis hipótesis listadas antes se obtiene al comparar las correspondientes diferencias muestrales en valor absoluto con el número LSD. Por ejemplo: A B Por tanto, la diferencia entre ambas medias no son significativas.

13 Resultados del procedimiento LSD del ejemplo y A y B. 8.5 y D y C

14 Prueba de Tukey Tukey propuso una procedimiento para probar H 0 : μ i = μ j contra H 1 : μ i μ j para todos los p pares posible de medias, en el que el nivel de significación global es exactamente α g para tamaños de muestras iguales y es, a lo sumo, α g para tamaños de muestras diferentes. En este procedimiento se utiliza el estadístico de rango estudentizado q. q y max ymin CM / E n Donde ȳ max y ȳ min son las medias muestrales mayor y menor, respectivamente, sacadas de un grupo de p medias muestrales.

15 Prueba de Tukey La tabla de la siguiente diapositiva, contiene los valores de q α, los puntos porcentuales α g superiores de q, donde k es el número de tratamientos y df es el número de grados de libertad asociados con el error (CME).

16 Tabla del estadístico de rango estudentizado

17 Para una prueba de dos colas, el criterio de rechazo para cada par de medias sería: Si el diseño es balanceado, n 1 = n 2 = = n a = n, entonces: j i E j i n n CM df k q T T y y g g g ), ( donde, n CM df k q T E g g ), ( Prueba de Tukey

18 De manera equivalente, podría construirse una serie de intervalos de confianza de 100(1 αg)% para la diferencia de todos los pares de medias de la siguiente manera: Prueba de Tukey g g T y y T y y j i j i j i

19 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble Usamos los datos de la comparación de métodos de ensamble, con α g = 0.05 y df = 12 grados de libertad para el error. Se obtiene que q 0.05 (4, 12) = 4.20 Así que: T q (4,12) CM n E Por lo tanto, cualquier par de promedios de los tratamientos que difiera en valor absoluto por más de implicaría que el par correspondiente de medias poblacionales es significativamente diferente.

20 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble La decisión sobre cada una de las seis hipótesis listadas antes se obtiene al comparar las correspondientes diferencias muestrales en valor absoluto con el número T. Por ejemplo: g A B Por tanto, la diferencia entre ambas medias no son significativas.

21 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble y A y B. 8.5 y D y C Resultados del Método de Tukey

22 Prueba de rango múltiple de Duncan Duncan propuso el siguiente procedimiento para probar H 0 : μ i = μ j contra H 1 : μ i μ j para todos los pares posibles de medias: 1. Los k promedio de los tratamientos se arreglan en orden ascendente 2. El error estándar de cada promedio se determina como: S y i CM n h E, donde n h k i 1 k (1/ n i ) Si el diseño es balanceado, n 1 = n 2 = = n k = n, entonces n h = n.

23 Prueba de rango múltiple de Duncan 3. Los valores de r α (p, df), para p = 2, 3,, a, donde α es el nivel de significación, y df es el número de grados de libertad del error 4. Luego obtenemos un conjunto de a 1 rangos mínimos de significación calculando: R p r ( p, df ) S para p y i 2, 3,..., k

24 Prueba de rango múltiple de Duncan 5. Se prueban todas las diferencias observadas entre las medias, empezando con la más grande contra la menor, la cual se compara con el rango mínimo de significación R k. Después, se calcula la diferencia de la mayor y la segunda menor y se compara con R k 1. Este proceso se continúa hasta que todas las medias se han comparado con la media mayor. Después se calcula la diferencia de la segunda media mayor y la menor y se compara con Rk 1. Este proceso se continúa hasta que todos los k(k 1)/2 pares de medias posibles se han comparado. Si alguna diferencia es mayor que su rango de significación correspondiente, se concluye que ese par de medias es significativamente diferente.

25 Tabla de rangos para la prueba Duncan

26 Prueba de rango múltiple de Duncan En la prueba de Duncan, a medida que el número de pares de medias aumenta, se requiere una diferencia observada más grande para detectar pares de medias significativamente diferentes. El nivel de significación global de la prueba es 1 (1 α) a 1, donde α es el nivel de significación para dos medias adyacentes.

27 Prueba de rango múltiple de Duncan El índice de error de reportar al menos una diferencia significativa incorrecta entre medias que están p pasos aparte es 1 (1 α) p 1. Por ejemplo, si α = 0.05, entonces 1 (1 0.05)¹ = 0.05 es el nivel de significación para comparar cualquier par de medias adyacentes. 1 (1 0.05)² = es el nivel de significación para medias que están un paso aparte y así sucesivamente.

28 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble Continuando con el ejemplo anterior con α = 0.05 y f = 12 grados de libertad para el cuadrado medio del error. 1) Los promedios de los tratamientos en orden ascendente son: ȳ A. = 7.25, ȳ B. = 8.5, ȳ D. = 10.5, ȳ C. = ) El error estándar de cada promedio es S ȳ. = (2.46/4) ½ = 0.784

29 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble 3) De la tabla de rangos se obtienen los valores de r 0.05 (p, 12), p = 2, 3, 4 r 0.05 (2,12) = r 0.05 (3,12) = r 0.05 (4,12) = ) Los rangos mínimos de significación quedan como: R 2 r 0.05 (2,12) S y i (3.081)(0.784) R 3 r 0.05 (3,12) S y i (3.225)(0.784) R 4 r 0.05 (4,12) S y i (3.312)(0.784) 2.597

30 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble 5) Los resultados de las comparaciones serían: Comparación Diferencia RSM Resultado C vs A 5.50 R Significativa C vs B 4.25 R Significativa C vs D 2.25 R No significativa D vs A 3.25 R Significativa D vs B 2.00 R No significativa B vs A 1.25 R No significativa Veamos una gráfica de resultados: El nivel de significación global de la prueba es 1 (1 0.05) 4 1 = 0.142

31 Método Hsu El método Hsu es usado después de realizar el ANOVA y está diseñado para identificar cuál nivel de que factor es el mejor, e identificar a aquellos que están significativamente lejos de ése nivel.

32 Método Hsu Puedes definir el mejor tanto como a la media más alta y a las más pequeña, en dependencia del interés para el experimento.

33 Método Hsu El método HSU crea un intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de cada tratamiento y el valor considerado como el mejor. Si el intervalo tiene cero como punto final hay una diferencia estadísticamente significativa entre las medias correspondientes. En caso contrario, no hay diferencia estadísticamente significativa.

34 Método Hsu Específicamente: Intervalo de confianza contiene el cero Intervalo de confianza por completo por encima de cero Intervalo de confianza en su totalidad por debajo de cero Mayor es mejor No hay diferencia Significativamente mejor Significativamente peor Menor es mejor No hay diferencia Significativamente peor Significativamente mejor

35 Ejemplo: comparación de cuatro métodos de ensamble Continuando con el ejemplo anterior y suponiendo que el menor tiempo de ensamble será considerado como el mejor método, los resultados con ayuda de Minitab 17, son: Interpretando los intervalos de confianza y con ayuda de la tabla anterior se puede decir que estadísticamente los peores métodos son D y A y, en consecuencia, estadísticamente no existe un método mejor.

36 Características y ventajas de algunos métodos de comparaciones múltiples Método Tukey Dunnet Inecuación de Bonferroni Inecuación de Sidák MCB de Hsu Datos normales Sí Sí - Sí Sí Fortaleza La prueba más poderosa cuando se ejecutan comparaciones por pares La prueba más poderosa cuando se compara con un control Procedimiento robusto, pero produce largos intervalos de confianza, usualmente conservador Ligeramente mejor que el procedimiento de Bonferroni, usualmente conservador La prueba más poderosa cuando no se tiene interés en las comparaciones por pares. Comparación con un control No Sí Sí Sí No Comparación por pares Sí No Sí Sí Sí

37 Observaciones La elección del método de comparación depende de la inferencia deseada. Es ineficiente usar el enfoque de Tukey para todas las diferencias cuando se dispone del método de Dunnett o de Hsu, ya que los intervalos de confianza de Tukey son más anchos y las pruebas de hipótesis menos potente para una tasa de error de familia determinado. La elección entre Tukey y Fisher depende de si desea especificar la familia o tasa de error individual.

38 Observaciones El método Hsu sólo compara un subconjunto de todas las posibles comparaciones por pares, a diferencia del método de Tukey que hace todas las comparaciones. Por lo tanto, el método Hsu va a generar intervalos de confianza más estrictos y pruebas más poderosas para cualquier tasa de error especificado.

39 Referencias Gutiérrez, H. y de la Vara, R. (2012). Análisis y diseño de experimentos. Méxic: McGraw Hill. Hsu, J. C. (1996). Multiple Comparisons: Theory and methods. EUA: Chapman and Hall/CRC. Minitab 17 Statistical Software (2010). [Computer software]. State College, PA: Minitab, Inc. ( Montgomery, D. (2007). Design and analysis of experiments. EUA: Limusa Wiley.