MA3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Sucesiones y Series. Departamento de Matemáticas. lim z n. Resultados. Series. Geométrica.

Transcripción

1 P MA3002

2 Una sucesión, representada matemáticamente como {z n }, es una función cuyo dominio son los enteros positivos (1, 2, 3, 4,...); en otras palabras, a cada entero n = 1, 2, 3... se le asigna un número complejo z n. Por ejemplo, la sucesión {1 + i n } representaría la función n z n 1 + i 0 1 i i... P z 2 z 1 = z 5 z 3 z 4

3 P Límite una Se dice que una sucesión {z n } converge al valor L si cualquier medida cercanía ɛ > 0 existe una posición n o a partir la cual todos los terminos siguientes la sucesión aproximan a L con un error menor que ɛ; es cir, distan L en menos que ɛ: Esto se simboliza como i > n o : z i L < ɛ = L n

4 Ejemplo La sucesión { i n+1 n } converge a 0. z 4 z 8 z 1 z 5 z 9z10 z 7 z 6 z 3 P z 2

5 sobre límites Una sucesión {z n } converge al número complejo L si y sólo si Re(z n ) converge a Re(L) y Im(z n ) converge a Im(L). { } Para la sucesión z n = in+1 n n z n 1 1/2 i 1/3 1/4 i 1/5 1/6 i 1/7 1/8 i Re(z n) 1 0 1/3 0 1/5 0 1/7 0 Im(z n) 0 1/2 0 1/4 0 1/6 0 1/8 Re(z n) P n Im(z n) n

6 P Ejemplos sobre sucesiones Escriba los primeros cinco términos la sucesión dada: 1. {5 i n } 2. {1 + e n π i} Determine si la sucesión converge: { } { } 3 n i + 2 n i + 2 n n + n i 3 n i + 5 n Calcule el ĺımite : { } {( ) 4 n + 3 n i 1 + i n } n + i 4

7 Ejemplo, inciso { 3 anterior } Para la sucesión z n = 3 n i+2 n+n i n z n Re(z n) Im(z n) 1 5/2 + 1/2 i 5/2 1/ i /6 + 7/6 i 11/6 7/6 4 7/4 + 5/4 i 7/4 5/4 5 17/ /10 i 17/10 13/10 6 5/3 + 4/3 i 5/3 4/3 7 23/ /14 i 23/14 19/ /8 + 11/8 i 13/8 11/8 9 29/ /18 i 29/18 25/ /5 + 7/5 i 8/5 7/5 P Re(z n) n Im(z n) n

8 P Una serie infinita números complejos es una expresión la forma z k = z 1 + z 2 + z z n + Una serie como la anterior se dice que es convergente si la sucesión sumas parciales {S n } dada por S n = n z k = z 1 + z z n converge. Si S n L cuando n diremos que la suma la serie es L.

9 P Ejemplos sobre series Determine la fórmula la sucesión sumas parciales [ ] 1 k + 2 i 1 k i n S n Re(S n) Im(S n) 1 1/20 3/20 i 1/20 3/20 2 2/65 16/65 i 2/65 16/65 3 3/10 i 0 3/10 4 4/145 48/145 i 4/145 48/ /20 7/20 i 1/20 7/ /265 96/265 i 18/265 96/ /85 63/170 i 7/85 63/ /85 32/85 i 8/85 32/ /260 99/260 i 27/260 99/ /125 48/125 i 14/125 48/125 Re(z n) n Im(z n) n

10 P Serie Una serie geométrica es una serie la forma: a r k 1 = a + a r + a r 2 + a r a r n 1 + Primera ventaja las series geométricas: Si S n es la n-ésima sima parcial S n = a + a r + a r a r n 1 entonces S n = a (1 r n ) 1 r Segunda ventaja las series geométricas: sobre la convergencia: Si r < 1, entonces la serie geométrica converge y converge al valor a r k 1 a 1 r Si r 1,entonces la serie geométrica diverge.

11 P Ejemplos sobre series geométricas Determine si existe el valor cada serie: ( ) 1 k i 3 ( ) i k ik ( ) 2 k i k=0 Observe que la serie geométrica inicia en k = 1 y que el exponente r be ser k 1. Esto es equivalente si inicia en k = 0 y el exponente es k.

12 P Ejemplos sobre series geométricas Determine si existe el valor cada serie: ( ) 1 k i : a = 4 i, r = 1/3 = 1/3, convergente 3 ( ) i k 2 : a = i/2, r = i/2 = 1/2 < 1, convergente ik : a = i/2, r = i = 1, no se sabe ( ) 2 k ( ) 2 k = 3, convergente i i k=0 Observe que la serie geométrica inicia en k = 1 y que el exponente r be ser k 1. Esto es equivalente si inicia en k = 0 y el exponente es k.

13 P Si z k converge, entonces lim k z k = 0. La contrapositiva la implicación anterior es también cierta: Si lim k z k 0, entonces z k diverge. Concepto Se dice que una serie z k es absolutamente convergente si z k converge.

14 P Prueba la Suponga que z k es una serie geométrica términos complejos no nulos tales que lim z n+1 n z n = L entonces: 1 Si L < 1, entonces la serie es absolutamente convergente. 2 Si L > 1 o bien L =, entonces la serie diverge. 3 Si L = 1, la prueba no es concluyente.

15 P Prueba la Suponga que z k es una serie geométrica términos complejos tales que n zn = L entonces: lim n 1 Si L < 1, entonces la serie es absolutamente convergente. 2 Si L > 1 o bien L =, entonces la serie diverge. 3 Si L = 1, la prueba no es concluyente.

16 P Potencias Una serie potencias en z z o es una serie infinita la forma a k (z z o ) k = a 0 + a 1 (z z o ) + a 2 (z z o ) 2 + k=0 Diremos que la serie está centrada en z o y que el centro la serie es z o. Todas las series potencias complejas tienen un radio convergencia R. El equivalente al intervalo convergencia series potencias reales es el círculo convergencia finido por z z o = R cuando 0 < R <. El radio convergencia pue ser 1 R = 0, en cuyo caso sólo hay convergencia z = z o. 2 R =, en cuyo caso la serie converge cualquier z. 3 R es un número finito, en cuyo caso la serie converge en el interior los puntos l círculo z z o = R.

17 Ejemplo Determine la región convergencia Aplique el criterio la razón. 1 k zk+1 P

18 P Ejemplo Determine la región convergencia 1 k zk+1 Aplique el criterio la razón. 1 k+1 lim zk+2 k k 1 = lim k k zk+1 k+1 ( z ) k = lim k z = 1 z = z k+1 La convergencia requiere que z < 1; el radio convergencia es 1. Se be interpretar que que exista convergencia la serie potencias el valor z be tener módulo menor que 1.

19 P convergencia Para una serie potencias a k (z z o ) k = a 0 + a 1 (z z o ) + a 2 (z z o ) 2 + k=0 al aplicar el criterio la razón lim a n+1 (z z o ) n+1 n a n (z z o ) n = z z o lim a n+1 n a n = z z o L pomos concluir que si 1 L 0, el radio convergencia es R = 1/L. 2 L = 0, el radio convergencia es infinito. Hay convergencia todo valor z. 3 L =, el radio convergencia es R = 0.

20 Ejemplos sobre series potencias Determine la ROC cada serie: ( 1) k+1 1 (z (1 + i)) k k! ( ) 6 k + 1 k 2 (z 2 i) k 2 k + 5 P

21 P Desarrollo Sea f (z) una función anaĺıtica en un dominio D y sea z o un punto D. Entonces f (z) se representa como la seerie potencias: f (k) (z o ) f (z) = (z z o ) k k! k=0 Cuando z o = 0 el sarrollo se llama la Serie Maclaurin. a conocer: 1 e z 1 = k! zk k=0 2 sen(z) = 3 cos(z) = k=0 k=0 ( 1) k k+1 z2 (2 k + 1)! ( 1) k (2 k)! z2 k

22 P Ejemplos sobre series potencias Determine los series 1 f (z) = z 1 + z en z o = 0 2 f (z) = e 2 z en z o = 0 3 f (z) = 1 z en z o = 1 A veces es conveniente usar: 1 1 z = 1 + z + z2 + z 3 +

23 Transformada z Dada una sucesión número complejos {c n } n=0 se construye la función compleja: C(z) = c o + c 1 1 z + c 2 1 z 2 + c 3 1 z 3 + P

24 P Ejemplos sobre Transformada z Determine la transformada z cada una las sucesiones: 1 c n = {e a n } Propiedad 1: Suponga que la señal discreta {c n } tiene como transformada z la función compleja C(z) entonces la señal {n c n } tendrá como transformada: z dc(z) dz