Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla Práctica 1. Condensador de placas planas y paralelas 1.1. Objeto de la práctica En esta práctica se estudiará la capacidad de un condensador plano, con y sin efectos de borde. A partir de las medidas de capacidad, se determinará la permitividad del vacío y de un material dieléctrico. Figura 1.1: Dispositivo experimental Fundamento teórico Capacidad de un condensador Dos superficies conductoras se dice que se encuentran en influencia total cuando todas las líneas de campo eléctrico que parten de una de ellas llegan a la otra. En este caso se dice que las dos superficies forman un condensador. La carga en las dos superficies es la misma, aunque de signo opuesto, y es proporcional a la diferencia de potencial entre las superficies: Q 1 = C(V 1 V 2 ) Q 2 = Q 1 = C(V 2 V 1 ) A la cantidad C se la denomina capacidad del condensador. Cuando la carga se mide en culombios y la tensión en voltios, la capacidad está expresada en faradios. En la mayoría de las situaciones prácticas la capacidad es muy pequeña, por lo que se emplean submúltiplos como el microfaradio o el nanofaradio.

2 Capacidad de un condensador plano Cuando se tienen dos superficies metálicas, de sección S, separadas una distancia d (mucho menor que la dimensión típica de las placas), puede admitirse que el campo es esencialmente perpendicular a las placas. Si suponemos que la placa inferior está a una tensión V 0 y la superior a tierra, el problema eléctrico se reduce a resolver la ecuación y las condiciones de contorno d 2 φ dz 2 = 0 φ(0) = V 0 φ(d) = 0 Hemos supuesto que el eje Z es perpendicular a las placas. La solución de este problema es φ(z) = V 0 d (d z) E = V 0 d u z Conocido el campo, la carga se calcula aplicando la ley de Gauss a una superficie que rodee una de las placas, Q = ε 0 E d S = ε 0SV 0 d de donde la capacidad de un condensador plano con placas circulares es C = ε 0S d = ε 0πR 2 d (1.1) En la práctica comprobaremos la validez de esta fórmula Efectos de borde La ecuación (1.1) es una aproximación válida cuando la distancia entre placas es mucho menor que su radio. Esta aproximación desprecia los llamados efectos de borde debido a la deformación de las líneas de campo en la periferia de las placas. El valor exacto de estos efectos depende de cada caso concreto y normalmente requiere resolver la ecuación de Laplace por métodos numéricos. Dos propiedades, no obstante, son generalmente aplicables: Aumentan la capacidad del sistema. Son proporcionalmente más importantes a medida que la distancia entre placas aumenta. No obstante, para conocer la incidencia cuantitativa de estos efectos en el valor de la capacidad eléctrica del sistema es necesario resolver la ecuación de Laplace teniendo en cuenta que el potencial no va a ser solamente función de la variable z. Si el sistema de conductores tiene simetría cilíndrica, se tendrá que: φ( r) = φ(ρ, z) 2 φ = 1 ( ρ ρ ρ φ ρ ) + 2 φ z 2 = 0; φ C inferior = V 0 ; C superior = 0; (1.2) Si, además, el espesor de las placas no es despreciable, este problema ha de ser resuelto por métodos numéricos. En esta práctica se utilizará la técnica de los elementos finitos, implementado en la herramienta de software FlexPDE, para resolver el problema (1.2) y obtener la capacidad eléctrica del condensador. Este parámetro se va a calcular mediante dos definiciones distintas:

3 1.3 Descripción del instrumental 1-3 Figura 1.2: Esquema de los efectos de borde. A partir de la carga eléctrica en uno de los discos C = Q 1 φ ; con Q 1 = ε 0 ds (1.3) V 1 V 2 C inferior n A partir de la energía electrostática almacenada en el sistema C = 2U e (V 1 V 2 ) 2; con U e = ε 0 2 E 2 dv (1.4) que, para un sistema electrostático, deberían dar el mismo resultado Condensador relleno de dieléctrico Un material dieléctrico se caracteriza por su permitividad relativa ε r, de modo que la permitividad absoluta se define como ε = ε 0 ε r. Cuando el espacio entre las placas está lleno de un material dieléctrico lineal la capacidad es C = εs d = ε rc 0 (1.5) siendo C 0 la capacidad sin dieléctrico. Dado que ε r > 1 siempre, se deduce que un condensador relleno de dieléctrico posee una capacidad mayor que si no hubiera dieléctrico Capacímetros Los aparatos de medida de capacidades se basan en que, en corriente alterna, un condensador es análogo a un resistor, sustituyendo la resistencia por la impedancia Z C = 1/(iωC). A partir de aquí se pueden desarrollar distintos sistemas de medida, como pueden ser un puente de capacidades o, más simplemente, un óhmetro que mide la relación entre la corriente que llega al condensador y la tensión entre sus placas Descripción del instrumental El material preciso para la realización de esta práctica es:

4 1-4 Un condensador de placas planas con distancia regulable. Un capacímetro. Diversas láminas de dieléctrico Un pie de rey Cinta métrica Cables de conexión Realización de la práctica Medida de la capacidad para distancias pequeñas: permitividad del vacío 1. Con las placas separadas lo suficiente, mide su diámetro usando la cinta métrica. A partir de este valor calcula la superficie de las placas. 2. Asegúrate de que el nonio marca 0 cuando las placas del condensador están pegadas. Si eso no ocurre consulta la nota al final de esta sección. 3. Con ayuda del nonio incorporado al condensador, fija la distancia entre placas en 0.4 mm. 4. Conecta el capacímetro al condensador. Fíjalo en la máxima sensibilidad. 5. Mide la capacidad para distancias entre 0.4 mm y 2.4 mm, espaciadas 0.2 mm. Antes de cada medida debes esperar a que el el capacímetro marque un valor estacionario. Dado que el tornillo puede presentar un pequeño efecto de histéresis, es mejor hacer las medidas de una vez sin retroceder. 6. De acuerdo con la ecuación (1.1), la capacidad puede relacionarse linealmente con la distancia entre placas según la ecuación 1 C = d 0 + d = a + bd Sε 0 Aquí, d 0 es el posible error de cero que aparece cuando la distancia entre las placas no es nula aunque así lo indique el nonio. Comparando los dos miembros de la igualdad obtenemos b = 1 Sε 0 a = d 0 Sε 0 = d 0 b (1.6) Halla la recta de mejor ajuste entre la inversa de la capacidad y la distancia entre placas. A partir de esta recta, determina la permitividad del vacío, ε 0 (o del aire, que es prácticamente la misma) y el error de cero d Gráficas Recta de mejor ajuste de 1/C frente a d. Nota: A veces puede ocurrir que el tornillo del condensador se quede bloqueado y no avance más. Para solucionarlo hay que aflojar el tornillo, hacer retrodecer el disco para dar espacio, y volver a apretar el tornillo.

5 1.4 Realización de la práctica Influencia de los efectos de borde 1. Mide la capacidad para las distancias desde 1 mm a 15 mm, en intervalos de 1 mm (añade a la lista los valores para d = 1 mm y d = 2 mm, medidos en el apartado anterior). 2. Mide el espesor de los discos con la cinta métrica. En la casilla del diámetro pon el mismo valor medido en el apartado anterior. 3. Abre el fichero practica1.pde, de forma que se ejecute la aplicación FlexPDE. 4. En el editor del programa, introduce los valores medidos del diámetro de los discos, D d, y espesor de los discos, e d. 5. Como distancia de separación, (d) introduce valores de 1 mm a 15 mm, en intervalos de 1 mm. Ejecuta el programa para cada valor de d y toma nota de los valores de capacidad C q y C e, calculados numéricamente a partir de las definiciones (1.3) y (1.4), respectivamente. Nota: el valor de la permitividad diélectrica del vacío es ε 0 = nf/mm. Por tanto, intoduciendo las distancias medidas en milímetros, se obtiene la capacidad en nanofaradios. 6. Representa en una gráfica los valores experimentales de la inversa de la capacidad frente a la distancia, así como los valores de la simulación numérica C e. 7. Sobre la misma gráfica traza la recta calculada en la sección anterior, extrapolada hasta la distancia de 15 mm. 8. Hacia donde se desvían los datos al aumentar la distancia entre placas? Mide la diferencia relativa entre el valor experimental y el predicho por la recta extrapolada para una distancia d = 15 mm, así como la diferencia relativa entre el valor numérico y el experimental. Para ello calcula los cocientes ǫ teo = C exp C teo C exp ǫ num = C exp C num C exp siendo C teo = 1/(a + bd). Para el calcular el error de la interpolacion a + bd debes usar la fórmula del error de extrapolación de una recta. Es la última formula en la hoja final resumen del apéndice de errores. 9. Gráficas Gráfica experimental y numérica (C e ) de 1/C frente a d. Sobre la misma gráfica la recta del apartado anterior extrapolada Medida de la permitividad de un dieléctrico Para medir la permitividad del metacrilato introduciremos láminas de diferente espesor entre las placas del condensador y realizaremos un análisis similar al del vacío. 1. Mide el espesor de cada una de las cuatro láminas de metacrilato. 2. Sitúa la lámina más fina entre las placas y acerca éstas hasta que quede sujeta. Ten cuidado de no forzar el tornillo.

6 Mide la capacidad del sistema. 4. Retira la lámina. Con la ayuda del pie de rey, fija la distancia entre las placas igual al espesor de la lámina. 5. Vuelve a medir la capacidad del sistema. 6. Repite el proceso para las otras tres láminas. 7. A partir de las medidas anteriores calcula la permitividad relativa del metacrilato de dos formas a) A partir de la expresión (1.5) y empleando una recta de mejor ajuste análoga a la del vacío, determina la permitividad absoluta del material.utilizando la permitividad del vacío medida en el apartado anterior, determina la permitividad relativa. Calcula también el error de cero asociado a la distancia entre placas. b) También de la expresión (1.5) se deduce que, para la misma distancia, el cociente entre la capacidad del sistema con y sin diélectrico es igual a la permitividad relativa del material. Halla este cociente para las cuatro placas y calcula el valor medio de la permitividad relativa. 8. Gráficas Gráfica experimental de 1/C frente a d.