Mecánica de las Estructuras II. Ejercicios de Láminas de Revolución

Transcripción

1 - Tanque Cilíndrico ecánica de las Estructuras II Ejercicios de Láinas de Revolución Se trata de un tanque cilíndrico de horigón arado epotrado en la base y soetido a presión hidrostática. Se busca deterinar los esfuerzos que peritan diensionar las araduras de refuerzo de odo de cuplir las condiciones de estabilidad y funcionales (control de fisuras de la pared). Datos: r 5 H h. γ T/ 3 E 3 ν. Solución ebranal: pr 5 4 δ.5 Eh 3. 4 δ.5 4 β.47 rad H pr γ Hr 5 5 T / h h. Solución fleional: rh ( ν ) ( ) 3 Eh D 83 T ( ν ).77

2 3 D D F D D H H 4.3 T.54 T / Tensiones: a) En el borde inferior: Debido a coportaiento fleional r H r sin ( π / 4) 5 T / h h f h T / I h. f Tensión final: f 5 5. Este resultado confira que en la sección de epotraiento las tensiones circunferenciales son nulas ya que la deforación específica ε es nula y el esfuerzo N tabién es nulo (se ha despreciado el peso de las paredes). f (en la cara interior de la pared en T / correspondencia con el epotraiento) Aradura vertical necesaria en cara interior: e kg / c (se adopta este valor suponiendo que son barras de acero conforadas superficialente con tensión de fluencia de 4 kg/c, a los efectos de control de fisuras de la pared). 3 kg..54 fe.3 c / 9 / kg φ.8 (..5..)[ ] c

3 Araduras Coo la tensión en la base es nula, se estia que la tensión áia ocurrirá aproiadaente a distancias y de la base, aunque estrictaente habría que evaluar la tensión a distintas alturas para deterinar eactaente cual es la ás elevada a los efectos de definir la cuantía de aradura en el sector inferior de la pared. Adeás, la aradura no debería ser inferior en ninguna sección a la correspondiente a la solución ebranal coo una edida de resguardo adicional. b) Tensiones a ( ) f γ H r r H r π cos e sin e h h 4 h (.77) π.54 cos()e sin e T / sin e H π sin e T / f h.4 3. T / I h. 3 kg.4 fe. c / / kg φ.8.57 [ ] c Esta cantidad de aradura es inferior a la aradura ínia de piel que corresponde adoptar para control de la figuración, y por lo tanto se deberá continuar en esta sección con la aradura vertical calculada para la sección de epotraiento en la base. b) Tensiones a ( ) f γ H r r H r π cos e sin e h h 4 h (.77) π.54 cos()e sin e T /

4 Efecto de retracción del Horigón Si la losa de base se horigona antes que el resto del cilindro (coo es la práctica usual) y se tiene en cuenta la retracción en el horigón, en la pared del tanque se producirán tensiones y debido a este efecto. Considerando la base coo rígida y una retracción del. %o, es necesario deterinar los esfuerzos debidos a la restricción que ipone la losa de base a la retracción de la pared. Para ello se plantean las ecuaciones de copatibilidad de deforación en la sección de la base: δ ε r H H.5 T 4.4 T / Tensiones en el borde inferior debido a la retracción al fin de la construcción 4 E ε retr T / (tracción, que resulta ás de dos veces superior a la tensión ebranal en esa isa sección para la presión hidrostática) Otra anera de calcular es a través de H y : r H r sin ( π / 4) 3 T / h h f De este análisis surge claraente que en las proiidades de la base la pared y sus araduras deben ser verificadas coo ínio para estas dos condiciones de carga (presión hidrostática, y retracción), y que las araduras en la proiidad de la base son necesarias especialente para controlar las fisuras debidas a los efectos de retracción por fragüe.

5 - Rigidez de un anillo Solicitaciones aplicadas en el plano baricéntrico del anillo de sección rectangular Desplazaientos Hr r ε δ εr δ H A E AE Giros f πr r wi fθπ r f r wi π r w E θπ r EI EI πr r r θπ r θ EI EI Fleibilidad del anillo r EA H δ r β EI 3- Tanque Cilíndrico con anillo en la base El estado de carga es el iso del ejeplo anterior, es decir presión hidrostática interior en el tanque. A r 5 EA 3.3 r 5 4. / T 3 EI / T En este caso corresponde suar la atriz de fleibilidad del anillo a la del cilindro para plantear las ecuaciones de copatibilidad de deforaciones. Los térinos

6 independientes de la ecuación, que son el desplazaiento radial y el giro asociado a la solución ebranal para la carga hidrostática, son los isos ya deterinados en el ejeplo del cilindro epotrado. 3 r D EA D H δ r β D D EI H H.94 T. T / Se puede apreciar que en este caso H es enor a la itad de H del valor del caso epotrado y que es /5 del anterior. 4- Cáscara Esférica con anillo en la base La carga eterior aplicada consiste en presión interna unifore P rh ( ν ) ( ) Eh 3.8 ( ν ) ( ) D.3 T. Sistea Isostático Fundaental

7 Solución ebranal pr 5 4 N N 3 T / Las tensiones ebranales en la cáscara: 3 / T/ (tracción) son deasiado elevadas para controlar las fisuras con araduras pasivas y es necesario disponer de un sistea de cables de post-tensado. Este aspecto del problea no se analiza en este ejeplo. pr 5 4 u ( ν ).4 Eh 3.8 Solución Fleional 3 r cos φ cos φ D EA D H δ δ r cos φ D D EI pr 5 4 δ ( ν) cos( φ ) (.) cos ( )., que es el Eh 3.8 desplazaiento radial horizontal debido a solución ebranal. pr r 5 4 δ sen ( φ ) sen().9, que es el desplazaiento EA 3 radial del anillo debido a la solución ebranal que le transite la cáscara al anillo para estar en equilibrio H H 9.49 T 89.8 T / Esfuerzos en el anillo pr 5 4 Na sen ( φ) r Hr sen ( ) T Na 33.3 a 8 T / (copresión circunferencial en el anillo) A r T f

8 Tensiones en la cáscara ( φ) pr R H cos R cos e π sen e h h 4 h En la base, ( ) cos T / Coo caso particular del presente ejeplo es interesante considerar qué pasa cuando el anillo es uy rígido, o ejor dicho, infinitaente rígido. Se puede apreciar que en tal caso, la fleibilidad del anillo tiende a cero, y el térino independiente asociado a la deforación del anillo tiende a cero. Por lo tanto el planteo del caso del anillo contepla coo caso particular el caso de la base epotrada toando líite de la fleibilidad del anillo que tienda a cero. 5- Esfera sipleente apoyada. Se considera el caso de la esfera con apoyo tipo rodillo deslizante horizontal en todo el períetro de la base soetida a presión interna unifore. En este caso el sistea no es hiperestático coo los casos anteriores, y por lo tanto no es necesario plantear las ecuaciones de copatibilidad de deforaciones en la base. La solución ebranal es la isa del caso anterior. De todos odos, el estado de equilibrio de la cáscara (tensiones y deforaciones) se obtiene coo la sua del estado ebranal ás el estado fleional en el borde que genera una fuerza radial horizontal H en la base igual y de signo opuesto al esfuerzo ebranal horizontal en el borde. El equilibrio en sentido vertical lo provee la reacción N V de los apoyos óviles. N H Solución ebranal: pr 5 4 N N 3 T / pr T / h.8 pr 5 4 u ( ν ).4 Eh 3.8 β

9 Solución Fleional: Fuerza de restitución: pr 5 4 H N s en ( φ ) sen( φ ) sen ( ) 59.8 T / 3 f u cos e H cos( φ) D f sen π e β H cos ( φ) D 4 f r H cos ( ) N cos e φ h sin e H cos( φ) Solución Copleta: a) En la base : 3 f pr uh uh uh ( ν) cos( φ ) H cos ( )...8 Eh φ D f π sen e β β β H cos ( φ ).9 rad D 4 pr r sen ( φ) cos( φ ) 375{ 7.97} T / h f b) para : pr r cos( ) e sen ( φ) cos( φ ) 375{.58} 9 T / h sin e H cos( φ ) 74. T / f - Esfera articulada en la base Este caso es siilar al anterior, sólo que el apoyo es capaz de proveer la reacción horizontal necesaria para equilibrar la coponente horizontal del esfuerzo ebranal N. La solución ebranal es la isa que en los dos casos anteriores. La diferencia es que en este caso hay que plantear una única ecuación de copatibilidad en la base; dicha ecuación es la que ipone la condición que el desplazaiento radial del borde sea igual a cero. La rotación del borde la cáscara es libre, y el oento flector en el borde es igual a cero.

10 Hay dos foras diferentes pero que dan resultados idénticos para plantear las ecuaciones de copatibilidad. Abas foras deben cuplir las condiciones de equilibrio pero usan sisteas isostáticos fundaentales diferentes. Alternativa : El térino independiente de la ecuación de copatibilidad δ se copone de dos partes; por un lado está la coponente horizontal del desplazaiento ebranal δ ya calculado en un ejeplo anterior, y por otra parte está el desplazaiento cabiado. f δ fleional debido a la coponente horizontal de f N con el signo La ecuación de copatibilidad a resolver es: 3 f H cos( φ ) δ δ D 3 3 pr pr H cos( ) ( ) cos ( ) sin ( ) cos( ) D φ υ ϕ ϕ ϕ EH D H ν cos φ sin ϕ cos ϕ T / 3 pr pr D ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Eh D cos ( ) ( ) cos El esfuerzo final N en base de la cáscara está dado por la sua de tres térinos: - El esfuerzo ebranal N f - El esfuerzo fleional N provocado por la coponente horizontal de N en el borde con el signo cabiado, y - El esfuerzo N f provocado por la fuerza horizontal H que surge de la solución de la ecuación de copatibilidad. f pr pr N N N H.sen ( φ ) sen ( φ ) H.sen ( φ ) T / Los esfuerzos fleionales finales, por ejeplo en cualquier sección, se obtienen coo la sua del oento flector debido a la fuerza H ás el oento flector producido por la coponente horizontal del esfuerzo ebranal N con el signo cabiado. ( φ)

11 a) Para : pr sin ( ) e H sen ( φ) cos( φ ) 7.5 T / Alternativa : El térino independiente de la ecuación de copatibilidad δ es igual a la coponente horizontal del desplazaiento ebranal δ. La ecuación de copatibilidad a resolver es: δ δ δ δ f f 3 pr H cos cos D Eh ( φ ) ( ν) ( φ) pr D ( ) ( ) ( φ) ( ) ( ) H ν cos φ. cos 3 3 Eh cos cos T / El esfuerzo final N en base de la cáscara está dado por la sua de dos térinos: - El esfuerzo ebranal N f - El esfuerzo N provocado por la fuerza horizontal H que surge de la solución de la ecuación de copatibilidad. f pr N N N H.sen ( φ ) T / El apoyo articulado ejerce sobre la cáscara una fuerza total que tabién es la sua de los dos térinos anteriores: pr Htot H H sen ( ϕ ) H T / Los esfuerzos fleionales finales, por ejeplo en cualquier sección es igual al oento flector debido a la fuerza H de la ecuación de copatibilidad. a) Para : ( ) ( ) sin e H cos φ 7.5 T / Nota: Se puede observar que los resultados finales de abas alternativas planteadas son iguales. ( )

12 7. Esfera epotrada en la base Alternativa : Adoptando coo sistea isostático fundaental al caso de la esfera sipleente apoyada del ejeplo 5, y planteando las dos ecuaciones de copatibilidad en el borde (desplazaiento y giro). Estado inicial: pr 5 4 δ ( ν) cos( φ ) (.) cos( ). Eh 3.8 β Ecuación de copatibilidad a resolver: 3 cos φ cos φ D D H δ cos φ D D H H 5. T 5. T / Tensiones en la cáscara: En este esquea las tensiones se obtienen coo la sua de la solución ebranal y la solución fleional producidas por los esfuerzos de copatibilidad H y. ( φ) pr R H cos R cos e π sen e h h 4 h a) En la base, cos T / b) Para ( ) ( ) pr R H cos φ R π cos ( ) e sen e h h 4 h T /

13 ( ) ( ) π 4 sin e H cos φ.sen e T / La reacción horizontal que efectúa el epotraiento sobre el casquete esférico se calcula coo la sua de la fuerza de copatibilidad y la coponente horizontal de equilibrio del sistea isostático fundaental. El oento de epotraiento es el oento calculado y la reacción vertical surge de plantear equilibrio en esa dirección. pr HTot H N.sen ( ϕ ) H.sen ( ϕ ) T / Alternativa : Adoptando coo sistea isostático fundaental el definido en el ejeplo 4 de la esfera con un anillo de borde, y después suponer que el área y el oento de inercia del anillo tiende a infinito. 3 r cos φ cos φ D EaA D H δ δ r cos φ D D EaI a a r r Ea δ E A E I 3 cos φ cos φ pr D D H ( v) cos( φ ) Eh cos φ D D De esta anera se obtiene el iso sistea de ecuaciones que en la alternativa planteada anteriorente y las tensiones se calculan de la isa anera. Alternativa 3: Usando coo sistea isostático fundaental el adoptado coo alternativa del ejeplo. En este caso el térino independiente es la sua de los desplazaientos ebranales ás los desplazaientos fleionales producidos por la coponente horizontal de la solución ebranal cabiada de signo. N H

14 3 cos φ cos φ f D D H δ δ f β β cos φ D D pr 5 4 δ ( ν) cos( φ ) (.) cos( ). β Eh f pr sin ( ) cos ( ). f pr δ ϕ ϕ D β sin ( ϕ) cos ( ).9 ϕ D H H 7.7 T / 5.57 T / En este esquea las tensiones se obtienen coo la sua de los siguientes térinos: El térino correspondiente a la solución ebranal, el térino correspondiente a la solución fleional de la coponente horizontal del equilibrio ebranal cabiado de signo y de la solución fleional correspondiente a los esfuerzos de copatibilidad H y. ( H N s en ( φ) ) cos( φ) pr R R π cos e sen e h h 4 h a) En la base, ( ) cos( ) T / b) Para ( H N.sen ( )) cos( ) pr R φ φ R π cos( ) e sen e h h 4 h T /

15 π sin ( ) e ( H N.sen ( φ) ) cos( φ ).sen e T / Reacciones de epotraiento: Las reacciones H y son los esfuerzos totales que efectúa el epotraiento sobre el casquete esférico. La reacción vertical surge de plantear equilibrio en esa dirección. Nota: Se puede observar que los resultados obtenidos ediante los tres esqueas planteados son equivalentes.