Derivando dos veces respecto del tiempo obtenemos la aceleración del cuerpo:

Transcripción

1 MMENT ANGULAR: El vecto de posición de un cuepo de 6 kg de masa está dado po = ( 3t 2 6t) i ˆ 4t 3 ˆ j ( en m y t en s). Halla la fueza que actúa sobe la patícula, el momento de fuezas especto del oigen, el momento lineal y el momento angula de la patícula especto del oigen. Solución: I.T.I. 95, 96, 97, 99, 00, 03, I.T.T. 00, 04 Deivando dos veces especto del tiempo obtenemos la aceleación del cuepo: a ( t) = d 2 dt 2 = 6 i ˆ 24t ˆ j Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la fueza que actúa sobe él: F ( t) = ma = El momento de fuezas especto del oigen seá: τ = F = 36ˆ i 144t ˆ j 288t 2 ( 3 t) k ˆ El momento lineal de la patícula seá: p = mv = m d dt = 36( t 1) i ˆ 72t 2 ˆ j El momento angula especto del oigen seá: L = p = 72t 3 ( 4 t) k ˆ Un cuepo de masa M descibe cicunfeencias de adio 0 a velocidad v 0 sobe una mesa hoizontal lisa (despeciamos todo tipo de ozamientos) y sujeto po un hilo que pasa po un oificio en el cento de la mesa como se indica en la figua. Si se tia del hilo hacia abajo las cicunfeencias se acotan hasta tene un adio. Calcula en función de las magnitudes mencionadas la nueva velocidad del objeto. Solución: I.T.I. 98, 01, I.T.T. 97, 99, 01, 04 Al tia del hilo hacia abajo la tensión de la cueda modifica el movimiento del cuepo disminuyendo el adio de su tayectoia cicula. Ahoa bien, esta fueza es cental, está oientada constantemente hacia el cento del ciculo con lo cual el momento angula del cuepo va a pemanece constante duante todo el poceso. Teniendo en cuenta que en todo momento y p = mv son pependiculaes: F Física Dinámica de la Patícula Página 1

2 L inicial = mv 0 0 L final = mv L inicial = L final v = v 0 0 Un poyectil de masa m es dispaado desde el punto con una velocidad v 0 y un ángulo sobe la hoizontal. Calcula el momento angula del poyectil especto del punto en función del tiempo. Detemina su vaiación a lo lago del tiempo. Calcula el momento del peso del poyectil especto de y compaalo con el esultado anteio. Solución: I.T.I. 96, 98, 99, 01, I.T.T. 96, 99, 01, 03 Si tomamos el oigen de coodenadas en el punto, escogemos los ejes X e Y de tal foma que el movimiento se ealiza en el plano XY y ponemos a ceo el conómeto cuando se dispaa el poyectil, la posición y la velocidad del poyectil vendán dadas po: ( t) = v 0 cos t, v 0 sen t 1 2 gt2, 0 v ( t) = ( v 0 cos, v 0 sen gt, 0) El momento lineal de la patícula seá: p t ( ) ( ) = mv ( t) = m v 0 cos, v 0 sen gt, 0 El momento angula especto de seá: L t ( ) = ( t) p ( t) = = 1 2 mv 0 Su vaiación con el tiempo seá: d L dt = mv 0 cos gt k cos gt2 k Si calculamos el momento de fuezas del peso del poyectil especto del punto : τ ( t) = t ( ) m g = = mv 0 cos gt k Compaando vemos que los dos últimos esultados coinciden. Lo cual veifica la segunda ley de Newton paa magnitudes angulaes: τ = d L dt Física Dinámica de la Patícula Página 2

3 Se petende que una patícula de masa m desciba la tayectoia paabólica de ecuación y = ax 2 + b con velocidad aeola constante, bajo la acción de una fueza que pasa po el oigen de coodenadas. Si en el instante inicial t 0 = 0 se encuenta en P 0 de coodenadas (x 0,y 0 ) con velocidad v( t 0 ) = v 0, obtene: a) la velocidad aeola, b) las componentes de la velocidad de la patícula en función de su posición, c) la fueza que ha de actua sobe la patícula en función de su posición. Solución: I.T.T. 97 Texto solución Física Dinámica de la Patícula Página 3

4 Una patícula de masa m se lanza desde A con una velocidad v 0 pependicula a la línea A y se mueve bajo la acción de una fueza cental F a lo lago de una tayectoia semicicula de diámeto A. Demosta: a) que la velocidad de la patícula es invesamente popocional al cuadado de la distancia de la patícula al cento de fueza, b) que la fueza F es invesamente popocional a la quinta potencia de la distancia. c) Hállese el módulo de F paa = 0. v F A v 0 Solución: I.T.I. 00, 04, I.T.T. 02, 05 En la figua se muestan difeentes ángulos que apaeceán en los cálculos siguientes. El tiángulo CP es isósceles. En dicho tiángulo 2 + β =180º. Po oto lado ϕ + β = 180º con lo que deducimos que ϕ = 2. Cualquie tiángulo cicunscito a una semicicunfeencia es un tiángulo ectángulo, en nuesto caso el tiángulo AP seá ectángulo, con lo que el vecto velocidad v, que es tangente a la cicunfeencia, fomaá un ángulo con la diección AP. v β C ϕ P A a) Como se tata de un poblema de fuezas centales, siendo el cento de fuezas el oigen, el momento angula calculado especto al oigen seá constante: L = m v = mv cos Po el teoema de los senos: R sen = senβ = senϕ = sen( 2) = 2sen cos cos = Sustituyendo en la expesión paa el momento angula y despejando la velocidad: L = mv 2 v = L m 2 b) Teniendo en cuenta que la diección nomal a la tayectoia, diección CP, foma un ángulo con la diección P, que es la diección de la fueza cental, y po lo tanto la diección de la aceleación a de la patícula: a n = v2 R = a cos F = ma = mv2 Rcos = m R L m 2 2 = 8R 2 L 2 m 5 c) Paa = 0 la distancia al oigen ea =, sustituyendo en la expesión de la fueza: F( = ) = L 2 4m 3 Física Dinámica de la Patícula Página 4

5 Física Dinámica de la Patícula Página 5