Series de números reales

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1 Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió de sumas parciales de la sucesió {a }. Al par de sucesioes {{a }, {S } } se le deomia serie de térmio geeral a, y suele represetarse por a. 6.. Carácter de ua serie. Defiició 6. Diremos que la serie sucesió {S } a es covergete, divergete u oscilate, si la es respectivamete covergete, divergete u oscilate. Si la serie coverge y S S, se dice que S es la suma de la serie y se escribe S = a. Series geométricas 6.3 Las series de la forma a, co a IR costate, so: a) Divergetes, si a b) Covergetes, si a < c) Oscilates, si a Demostració: Cosideremos S = a + a + + a + a y as = a + a a + a + restado ambas, obteemos que ( a)s = a a + y, por tato: Si a, teemos que S = a a+ a. E cuyo caso lim S a a + = lim a +, si a > a = a, si a <, si a Si a =, teemos que S = + + ) + = y, por tato, lim S = lim = +. Defiició 6.4 Diremos que dos series tiee el mismo carácter, y lo represetaremos por, si so simultáeamete covergetes, divergetes u oscilates. Proposició 6.5 Sea a ua serie umérica. Se tiee que Sucesioes y Series de Fucioes. 75

2 6 Series de úmeros reales a) b) a a =k 0 + λa, para todo λ IR {0}. a, para todo k 0 IN. c) Si la serie es covergete (o es divergete), la serie b j j= formada de la aterior agrupado térmios cosecutivos, es decir, co b j = a j + + a j a j, es tambié covergete (o es tambié divergete). Demostració: Sea S = i= e cada apartado. a, y deotaremos por S la suma parcial -ésima de la otra serie ivolucrada a) S = a = λa = λ a = λs, luego se tiee que lim i= i= i= S = λ lim S y, por tato, lim S es fiito, ifiito o o existe si respectivamete lim S es fiito, ifiito o o existe, y viceversa. b) Sea k 0 IN fijo. Para cada, se tiee luego S = k 0 + j=k 0 + a j = k 0 + j= k 0 a j a j = S k0 + S k0, j= lim S = lim (S k 0 + S k0 ) = S k0 + lim S k 0 +. E cosecuecia, lim S es fiito, ifiito o o existe si respectivamete lim S es fiito, ifiito o o existe, y viceversa. c) Basta teer e cueta que S = b = a + a + + a = S S = b + b = a + + a + a a = S. S j = b + + b j = a + + a + + a j a j = S j, { } { } es decir, que S j = S es ua subsucesió de {S j } j= j=. Por tato, si el límite de {S } existe y es fiito/ifiito, el límite de ua subsucesió suya existe y toma el mismo valor fiito/ifiito. 6.. Series covergetes. Proposició 6.6 Sea a y b dos series covergetes, etoces (a + b ) coverge y (a + b ) = a + b. 76 Sucesioes y Series de Fucioes.

3 6. Series de térmios positivos. Demostració: Sea S = lim S = lim a i y S = lim i= S = lim b i. Etoces i= S = (a i + b i ) = a i + b i = S + S, i= i= i= de dode, y, por tato, lim S = lim (S + S ) = lim S + lim S = S + S (a + b ) coverge y (a + b ) = a + b. Codició ecesaria de covergecia 6.7 Si a es covergete etoces lim a = 0. Demostració: Como S S y S = S + a, se tiee que a = S S y, por tato, lim a = lim (S S ) = lim S lim S = S S = 0 La serie armóica 6.8 La serie armóica,, diverge. Solució: Verifica la codició ecesaria, pues lim = 0, pero o coverge. Supogamos que sí coverge, es decir, que lim S = S IR. Etoces, para ε = 4, existirá u 0, tal que si 0 se verifica que S S = < 4 ; pero esto es absurdo ya que como los térmios de la sucesió so positivos se tiee que: S S = > > = = y o puede ser meor que 4 si es mayor que. E cosecuecia, o coverge. Además, como S + = S + +, la sucesió {S } es moótoa creciete y o coverge, luego o está acotada superiomete, es decir, S + y la serie diverge. 6. Series de térmios positivos. Diremos que ua serie a es de térmios positivos si a 0, para todo IN. Teorema 6.9 Ua serie de térmios positivos parciales {S } está acotada superiormete. a coverge si, y sólo si, la sucesió de sumas Demostració: Como a 0 se tiee que S = S + a S, luego la sucesió de sumas parciales {S } es moótoa creciete. Etoces, Sucesioes y Series de Fucioes. 77

4 6 Series de úmeros reales = si {S } está acotada superiormete, por ser moótoa creciete, es covergete, luego a coverge; = si {S } o está acotada, por ser moótoa creciete, se tiee que S + luego a diverge a + y, por tato, o coverge. Observació 6.0 El resultado aterior (así como los resultados siguietes sobre series de térmios positivos) so ciertos tambié para series que sólo sea de térmios positivos a partir de u térmio e adelate, es decir, que exista 0 IN tal que a 0, para todo 0. Para verificarlo, basta teer e cueta que Además, como carácter de ua serie a a (apartado (b) de la proposició 6.5). = 0 a ( )a (apartado (a) de la proposició 6.5), para estudiar el a de térmios egativos o egativos a partir de u térmio e adelate, basta estudiar el carácter de la serie de térmios positivos 6.. Criterios de comparació. Primer criterio de comparació 6. Sea a y ( )a. b series de térmios positivos tales que a b, para todo IN o a partir de u térmio e adelate, etoces: a) Si b) Si b coverge = a diverge = Demostració: Como a b, se tiee S = a) Si b) Si a coverge. b diverge. j= a b = S y, etoces, j= b coverge = {S } está acotada superiormete = {S } superiormete = a coverge. a diverge = {S } o está acotada superiormete = {S } acotada superiormete = b diverge. Ejemplo.- Estudiar el carácter de las series +3 y 3 7. está acotada o está Solució: La primera es de térmios positivos pues + 3 > 0 para todo. Además + 3 3, para todo, luego se tiee que +3 3, para todo. Etoces, como 3 coverge, tambié la serie +3 coverge. Para la seguda, 3 7 > 0 para 3, luego es de térmios positivos a partir de 0 = 3 y 3 7 < 3, para todo 3, luego se tiee que 3 7 > 3, para todo 3. Etoces, 78 Sucesioes y Series de Fucioes.

5 6. Series de térmios positivos. como =3 3 = 3 y esta diverge, la serie =3 =3 =3 3 7 diverge. Segudo criterio de comparació 6. Sea a que lim b = L, etoces: a) Si 0 < L < + = a b a y 3 7 diverge y, por tato, la serie b series de térmios positivos tales b) Si L = 0 y (i) (ii) b coverge = a diverge = a coverge. b diverge. Demostració: a) Si 0 < L < +, y tomamos ε = L, existe 0 IN tal que si 0 se tiee que a b L < L. De dode L + L < a b < L + L y, como b 0, se tiee 0 L b a 3L b para todo 0. Aplicado el Primer criterio de comparació a los casos 0 L b a y 0 a 3L b se obtiee el resultado. b) Si L = 0, tomado ε =, se tiee que existe 0 IN tal que si 0 etoces 0 a < b, y recaemos e el Primer criterio. Observació 6.3 Si L = +, tambié puede aplicarse el criterio itercambiado los papeles b de a y b, pues etoces se tiee que lim a = 0. Ejemplo.- Estudiar el carácter de la serie de térmios positivos Solució: Como lim = lim = 0, y diverge, se tiee que. diverge. Criterio de la itegral 6.4 Sea f: [, + ) IR positiva, moótoa decreciete e itegrable e cada cerrado [, ], y sea a = f(). Etoces + a coverge b = f(x) dx coverge. Demostració: Por ser f moótoa decreciete, e cada itervalo [m, m + ], se verifica que a m = f(m) f(x) f(m + ) = a m+, Sucesioes y Series de Fucioes. 79

6 6 Series de úmeros reales a a a3 a5 a Fig. 6.. y, por tato, que Luego, a m = m+ m a m dx m+ m f(x) dx m+ m a m+ dx = a m+. a + a + + a es decir, S f(x) dx + f(x) dx + + f(x) dx > a + a a + f(x) dx = b S + a. positivos, basta aplicar adecuadamete el primer citeriode comparació: = si b coverge, etoces S + a coverge y por tato = si b diverge, etoces S diverge y por tato Como las tres sucesioes so de térmios a diverge. a coverge. Ejemplo 6.5 Estudiar el carácter de las series, segú los valores de α > 0. α Solució: Si α > 0: = f() para la fució f(x) = α x, fució que es positiva y decreciete e α [, + ). Como b = + x α dx = ( ) α (+) α, si α, y b = + dx = l( + ), si α =, x se tiee que b coverge si α > y diverge si α. E cosecuecia, coverge si α > y diverge si α. α 6.. Criterios de covergecia. Los criterios de comparació de la subsecció aterior so tambié criterios para el estudio de la covergecia, pero que ecesita de otra serie co la que comparar. Los criterios de esta ueva subsecció, sólo usa los propios térmios de la serie para obteer los resultados. Criterio del cociete (o de D Alambert) 6.6 Sea que a + lim = L. Etoces: a a ua serie de térmios positivos tal 80 Sucesioes y Series de Fucioes.

7 6. Series de térmios positivos. a) si L < = b) si L > = a coverge. a diverge. c) si L = el criterio o decide. Demostració: a) Si L <, tomemos k = L + ε > 0 tal que L < k <, etoces debe existir 0 IN tal que para todo 0 se verifica que a + a k < y, por tato, que a + ka, para todo 0. Luego a 0 + ka 0 a 0 + ka 0 + k a 0 a 0 +3 ka 0 + k 3 a 0 a 0 +4 ka 0 +3 k 4 a 0.. a = a 0 +( 0 ) ka k 0 a 0.. Sumado miembro a miembro, se obtiee de dode = 0 + = 0 + a = 0 + k 0 a 0 = a 0 k 0 a coverge, ya que la serie geométrica b) Si L >, etoces 0 IN tal que a + a y la serie diverge ya que a 0. = 0 + = 0 + k, >, para todo 0, luego a < a +, para todo 0, k coverge ( k = k < ). Nota: Si el criterio o decide, es decir, que si para ua serie L = ésta puede ser tato covergete como divergete. Puede verse cosiderado las series que es divergete y que es covergete, pues e ambas L =. Ejemplo.- Estudiar el carácter de la serie Solució: Como la serie coverge. a + lim a = lim Criterio de Raabe 6.7 Sea Etoces: (+)!! = lim!.! ( + )! = lim + = 0 <, ( a ua serie de térmios positivos co lim a + a )=R. Sucesioes y Series de Fucioes. 8

8 6 Series de úmeros reales a) si R > = b) si R < = a coverge. a diverge. c) si R = el criterio o decide. Ejemplo.- Estudiar el carácter de la serie Solució: Como a + a = /(+) = y lim / (+) decide. Aplicado Raabe, teemos que ( lim a + a a + a. = lim (+) =, el criterio del cociete o ) ( = lim ) ( + ) = lim ( + ) ( + ) = lim + ( + ) + = lim ( + ) = lim = >, y la serie coverge. Criterio de la raíz (o de Cauchy) 6.8 Sea lim a = L. Etoces: a) si L < = b) si L > = a coverge. a diverge. c) si L = el criterio o decide. a ua serie de térmios positivos tal que Demostració: a) si L <, tomemos k > 0 tal que L < k <, etoces existe 0 IN tal que para todo 0, se verifica que a k y por tato, que a k, de dode a k y = 0 = 0 a coverge ya que está mayorada que ua serie que coverge. = 0 b) si L >, etoces existe 0 IN tal que para todo 0, se verifica que a >, luego a > y la serie o puede coverger ya que a 0. Ejemplo.- Estudiar el carácter de la serie Solució: Coverge, pues: lim a = lim. = lim = lim = <. 8 Sucesioes y Series de Fucioes.

9 6.3 Series de térmios cualesquiera. 6.3 Series de térmios cualesquiera Covergecia absoluta. Defiició 6.9 Ua serie a es covergete. a se dice absolutamete covergete si, y sólo si, la serie Teorema 6.0 Toda serie absolutamete covergete es covergete. Demostració: Si a coverge, etoces, para cada ε > 0, existe 0 IN tal que si 0, se verifica que a + a a +p < ε, para todo p IN. Pero, como a + a a p+ a + a a +p = a + a a +p < ε la serie a tambié coverge. Ejemplo 6. Estudiar el caracter de la serie se. Solució: Como la serie o es de térmios positivos (i egativos), o podemos aplicar los criterios de la secció aterior. Veamos si coverge absolutamete, es decir, estudiemos la serie de térmios positivos se() se(). Teemos que se() < y como y, e cosecuecia, se coverge. coverge, tambié coverge 6.3. Series de Leibitz. Teorema de Leibitz 6. Sea {a } ua sucesió de térmios positivos, moótoa decreciete y de límite cero. Etoces la serie ( ) + a coverge. Demostració: Para demostrarlo, veamos que {S } = {S } {S } coverge, probado que {S } y {S } coverge al mismo valor. E efecto, los térmios S (+) y S (+), par e impar, de la sucesió de sumas parciales se obtiee de los ateriores térmios par e impar co S + = S + ( ) + a + + ( ) +3 a + = S + a + a + = S + (a + a + ) S + = S + ( ) + a + ( ) + a + = S a + a + = S (a a + ) Como {a } es decreciete, a k a k+ 0 para todo k, etoces S + S, y S + S, para todo ; luego {S } es creciete y {S } es decreciete, y se tiee S S 4 S S + y S + S S 3 S 6. Además, como S = S + ( ) + a = S a S, Sucesioes y Series de Fucioes. 83

10 6 Series de úmeros reales de 6. se tiee que S S S S y, e cosecuecia, {S } está acotada superiormete por S y {S } está acotada iferiormete por S, luego coverge. Cocluyedo, como existe el lim S, existe el lim S, lim a = 0 y S = S a, se tiee que 0 = lim a = lim (S S ) = lim S lim S ; luego lim S = lim S y {S } coverge. Defiició 6.3 Ua serie a, se dice que es que es alterada si el sigo de a es distito del sigo de a +, para todo. Ua serie a, se dice que es que es Leibitz si es alterada y verifica las codicioes del ) teorema ( de Leibitz. Es decir, si es alterada, verifica la codició ecesaria de covergecia lim a = 0 y la sucesió { a } es decreciete. Ejemplo.- La serie armóica alterada, Solució: Es ua serie alterada, ( ) + lim ( )+ = lim es covergete. = 0 y > +, luego es ua serie de Leibitz y, e cosecuecia, coverge. (De hecho, la suma de esta serie es l.) Corolario 6.4 Si a es ua serie de Leibitz, etoces S S a +, para todo. Demostració: Supogamos, si pérdida de geeralidad que a > 0, a < 0, a 3 > 0, a 4 < 0,..., es decir, que a = ( ) + a. Por la demostració del teorema de Leibitz, se cumple luego: S S 4 S S + S S + S S 3 S, Si es par, + es impar y S S S +. Restado S e cada parte, se tiee 0 S S S + S = a + = a +. Si es impar, + es par y S + S S. Restado S e cada parte, se tiee S + S S S 0 y, como S + S = a + = a +, queda a + S S 0. E cosecuecia, S S a +, para todo. Nota: Como e el caso de las series de térmios positivos, todos los resultados ateriores so aplicables a series que verifique las codicioes a partir de u térmio e adelate. 84 Sucesioes y Series de Fucioes.

11 6.4 Ejercicios Multiplicació de series. Teorema 6.5 Sea a y b series covergetes y al meos ua de ellas absolutamete covergete, etoces la serie ( ) c = a i b i+ = (a b + a b + + a i b i+ + + a b ) i= obteida como producto de Cauchy de las series a y b coverge, y se verifica que ( ) ( ) c = a b. 6.4 Ejercicios 6. Usar la codició ecesaria de covergecia y los criterios de comparació, para estudiar el carácter de las siguietes series a) c) e) 3 b) 3e + d) ++ + f) 3 cos + tg + l ( ) + e 6. Estudiar el carácter de las siguietes series a) b) c) e) g) =! (+) d) l f) ( ) tg h) =0 e! ( ( + ( ) l +( ) + ) ) + + Sucesioes y Series de Fucioes. 85

12 6 Series de úmeros reales 6.3 Estudiar el carácter de las siguietes series, segú los valores de los parámetros. a) c) e) g) i) x + b) ) ( ) ( ( k) k k d) (a+)! (a+)(a+) (a+), a / Z ( ) +, α>0 f) a (+ l α + + ), a>0, a e ( ) tg a + θ, 0<a< π ( ) h) ( ) + α e β ( ) β ( ) α l +, 0 < α < β j) α = +α, α Usar la serie =0 x x! para ecotrar el lim!, e cada x IR. 6.5 Estúdiese, segú los valores de x IR, el carácter de las series a) =0 (x ) + b) =0 (x 4) + c) ( x+ x) d) =0 ( ) ( ) x + 3x 6.6 Dada la serie =0 x ( + x, se pide: ) a) Para qué valores de x IR la serie coverge? b) Hallar la suma de la serie e los x dode coverja. 6.7 Sea a y a) Demostrar que b dos series de térmios positivos covergetes. b) Demostrar que a coverge. a b coverge. c) Ecotrar ua serie de térmios positivos covergete para la que la serie sea covergete y otra para la que sea divergete. d) Qué se puede decir sobre el carácter de la serie a b? a 86 Sucesioes y Series de Fucioes.

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