Sucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7

Transcripción

1 Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r} S Por ejemplo, la sucesió fiita, (de logitud 4) de úmeros primos meores que 0:,3,5,7 correspode a la fució f : {,,3,4} P (dode P es el cojuto de úmeros primos) defiida por: f() =,f() = 3,f(3) = 5,f(4) = 7 Ua sucesió ifiita (a k ) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució e dode, de forma aáloga, a k correspode a f(k). f : N S Sucesioes moótoas Ua sucesió moótoa es ua sucesió creciete o decreciete. Sucesió creciete Si se impoe al térmio geeral de ua sucesió umérica la codició que a < a +, es decir, que el siguiete térmio, a +, siempre sea mayor estricto que su predecesor, a, se llama sucesioes estrictamete crecietes: Para aturales:,, 3, 4, 5, 6,... Para eteros: -0, -9, -8, -7, -6,... Para reales: 0,, 0,, e, π,,... Si se impoe a a +, es decir, ua desigualdad o estricta, etoces se puede icluir, etre otras, las sucesioes costates. Sucesió decreciete Al igual que las crecietes teemos, segú el térmio geeral, que: * si a > a + es estrictamete decreciete. * si a a + etoces la sucesió es decreciete. Sucesioes Acotadas Se puede dar tres formas de sucesió acotada: * Ua sucesió {a } estará acotada superiormete e el caso que exista u umero real M que limite de la siguiete forma la secuecia: {a } M. * Por otro lado, la sucesió estará acotada iferiormete cuado u umero real N la limite de la forma cotraria a la aterior: {a } M.

2 * Fialmete, e caso de que se de ambas opcioes {a } será ua sucesió acotada. Sucesioes Covergetes Ua sucesió {a }, a R, coverge a a o tiee por límite a (cuado ), y se escribe, lim a = a cuado, ǫ R,ǫ > 0, 0 N : a a < ǫ, 0, N Uicidad del límite de ua sucesió Si ua sucesió {a }, a R coverge, etoces el lim a es úico. Relació etre el cocepto de sucesió acotada y el de sucesió covergete Si ua sucesió {a }, a R es covergete, etoces está acotada. Defiició formal Las series cosideradas so uméricas (co térmios reales o complejos) o vectoriales (co valores e u espacio vectorial ormado). La serie de térmio geeral a coverge cuado la sucesió (A ) N de sumas parciales coverge, dode para todo etero atural,. A = k=0 a k E este caso la suma de la serie es el límite de la sucesió de sumas parciales. + k=0 a k = lim + A La aturaleza de covergecia o o-covergecia de ua serie o se altera si se modifica ua catidad fiita de térmios de la serie. Ejemplos Resulta covergetes las series de las secuecias: * de los recíprocos de los eteros impares, co sigos alterados (, 3, 5, 7, 9,, ), coocida como Serie de Leibiz: = π 4

3 * de los recíprocos de los sucesivos factoriales (!): * de los recíprocos de las potecias de : * = e = * de los de recíprocos de los aturales co sigos alterados (,, 3, 4, 5, 6, 7, ). ( ) k+ k= k = l Resulta divergetes las series de las secuecias: * de los de recíprocos de los aturales (es la coocida como serie armóica) *de los recíprocos de los úmeros primos Series. Itroductio E matemáticas, ua serie es la geeralizació de la oció de suma a los térmios de ua sucesió ifiita. Iformalmete, es el resultado de sumar los térmios: a +a +a 3 + lo cual suele escribirse e forma más compacta co el símbolo de sumatorio: a. El estudio de las series cosiste e la evaluació de la suma de u úmero fiito de térmios sucesivos, y mediate u pasaje al límite idetificar el comportamieto de la serie a medida que crece idefiidamete. Ua secuecia o cadea fiita, tiee u primer y último térmio bie defiidos; e cambio e ua serie ifiita, cada uo de los térmios suele obteerse a partir de ua determiada regla o fórmula, o por algú algoritmo. Al teer ifiitos térmios, esta oció suele expresarse como serie ifiita, pero a diferecia de las sumas fiitas, las series ifiitas requiere de herramietas del aálisis matemático para ser debidamete compredidas y maipuladas. Existe ua gra catidad de métodos para determiar la aturaleza de covergecia o o-covergecia de las series matemáticas, si realizar explícitamete los cálculos. Ejemplos: es ua serie artitmetica co diferecia 3, debido a que a a = 3, a 3 a = 3, y asi sucesivamete. Ua serie geométrica es aquella e la que cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por ua costate, llamada razó r. Por ejemplo esta seria aparece e muchos porblemas practicos de igeieria, ciecias y matematicas. r +r +r 3 +r

4 . Ua forma de estudiar ua serie particular cosiste e defiir ua secuecia de los primeros termios. Por ejemplo para estuair la serie geometrica: S (r) = r i. Geeralmete estuaidado la secuecia de las sumas parciales se puede eteder el comportamieto de la serie ifiira. Las dos pregutas mas importates sobre series so:: Coverge? Si coverge a cuato coverge? U resultado sorpredete es quizas que la serie geométrica es covergete, sólo si r <, esto es S (r) coverge a u valor fiito. Especificamete es posible mostrar que i= lim S (r) = r r. Ciertamete cosideremos Debido a que esto muestra que ( r)s (r) = ( r) r = i= i= + r r = r r +. i= r + 0as for r <, ( r)s (r) ras. La catidad r es diferet de cero y o depede de por lo tato podemos dividir etre r y obteer el resultado deseado. Seria deseable poder realizar coclusioes similares para cualquier serie, si embargo o existe ua forma simple de hacerlo. Lo máximo que podemos hacer e geeral es determiar si la serie coverge. Las series geométricas y telescópica so las úicas e las cuales podemos fácilmete ecotrar la suma. Covergecia Para que ua serie coverja a debe teder a cero (debido a que la suma de ifiitos úmeros positivos mayores que u umero dado positivo sera ifiito ), si embargo que a tieda a 0, o es suficiete para decir que la serie coverge. Cosideremos la serie armóica, la suma de /, y los térmios m = p=+ p 3 > + 4 () + 8 (4) = (m terms) Si m tiede a ifiito, tambié lo hace la serie y por lo tato la serie diverge. Test de Comparacio Puede ser aplicado a cualquier serie co térmios o egativos: Si b coverge y 0 a b, etoces a coverge. Si b diverge y 0 b a, etoces a diverge. 4

5 Ejemplo: = +. Solució: Compare co Coverge. Ejemplo: = sqrt. Solució: Compare co sqrt Diverge. Ejemplo: =. Solució: Compare co Coverge. Existe muchos tests para aalizar la covergecia y divergecia, los mas importates se describe abajo. Covergecia absoluta Teorema: Si la serie de valores absolutos, = a, coverge, etoces tambié lo hara la serie = a Podemos decir que esta serie coverge absolutamete. Lo cotrario o es cierto. Por ejemplo, la serie -/+/3-/4... coverge, si embargo la serie de sus valores absolutos diverge. Ua serie como esta que coverge, pero o absolutamete, se dice que coverge codicioalmete. Si ua serie coverge absolutamete, osotros podemos sumar los térmios e cualquier orde. El limite sera el mismo. Las series absolutamete covergete so mas fáciles de estudiar. De esta forma, todos los tests de covergecia e esta seccio excepto uo sera para series cuyos térmios so todos positivos, las cuales sera series absolutamete covergetes o divergetes. Otras series sera estudiadas cosiderado las correspodiete series de valores absolutos. Criterio k a o de Prigsheim: Sea a 0: i) Si lim + k a = L > 0 etoces: a coverge k > ii)si lim k a = L = 0 y k > a coverge. iii) Si lim k a = y k a o coverge. Ejemplo: + = 3 +3si(). Solutio: lim + a = L = > 0 Coverge. Ejemplo: = Itegral test L(). Solutio: lim + a = Coverge. Si f(x) es mootoicamete decreciete, positiva, etoces la serie f(x)dx coverge. = f() coverge isi y solo si la itegral Example. Cosidere f(x) = /x p, para u p fijo. *Si p= teemos la serie armóica la cual diverge. *Si p < cada termio es mas grade que la serie armóica, por lo tato diverge. *Si p > la itegral coverge, y la series coverge. Test del cociete o Criterio de D Alembert 5

6 Para ua serie co térmios etoces la serie coverge (absolutamete) si r < la serie diverge si r > (o si r es ifiito) si r =, el test o es cocluyete e este caso. a,si lim a + a = r Ejemplo Supogamos a =!! ()! etoces a + (+) a = (+)(+) = por lo tato esta serie coverge. Ejemplo Supogamos a = 5 (+)! (coverge!). Criterio de Raabe: Sea a 0: i) Si lim ( a+ a ) = L > etoces: a coverge. ii) Si lim ( a+ a ) = L < etoces: a o coverge. Criterio de la raíz o de Cauchy: Sea a 0: i) Si lim a = L > etoces: a o coverge. ii) Si lim a = L < etoces: a coverge. Test de comparació por Limite Dada ua serie ifiita a co térmios positivos solamete, si uo puede ecotrar ua serie ifiita b a co termios positivos para los cuales lim b = L para u valor positivo y fiito L (i.e., el limite existe y o es cero), etoces ambas series coverge o ambas diverge. Esto es, * a coverge si b coverge, y * a diverge si b diverge. Ejemplo: a = + For large, the terms of this series are similar to, but smaller tha, those of the harmoic series. We compare the limits. + lim a b = lim / = lim + = lim = > 0 so this series diverges. Series Alterates Dada ua serie ifiita a, si el sigo de los a altera, esto es a = ( ) a para todo o a = ( ) + a para todo, etoces se llama serie alterate. El test para series alterates afirma que tal serie coverge si lim a = 0 6

7 y a + < a (esto es, la magitud de los térmios es decreciete). Note que este test o puede collevar a la coclusió que la serie diverge; si o podemos cocluir que la serie coverge, este test es o cocluyete, si embargo otros tests puede ser cocluyetes. Criterio de Leibiz: Si a 0, la serie ( ) + a es covergete. Estimado la suma de series alterates El error absoluto que resulta e usar suma parciales de ua serie alterate series para estimar la suma fial de series ifiitas es meor que la magitud del primer termio omitido. = a m = a < a m+ Serie Geométrica La serie geométrica puede tomar cualquiera de las siguietes formas ar o a( r Como ya sabemos la suma de la serie geométrica es s = lim S = lim ) r Serie Telescópica (b b + ) = ar. = a r for r <. Expadiedo este tipo de series es iformativo: Cacelado: k (b b + ) = (b 0 b )+(b b )+...+(b k b k ) k (b b + ) = b 0 b k Por lo tato, (b b + ) = lim k k (b b + ) = lim k (b 0 b k ) = b 0 lim k b k y solo falta evaluar el limite. Tests para Covergecia de Series Iformació básica. A coverge absolutamete si k=k 0 a k coverge. Si A coverge absolutamete, etoces A coverge. Si A coverge pero o absolutamete, etoces osotros decimos A coverge codicioalmete. Si A o coverge (a u umero fiito), etoces A diverge. Series de Potecia Ua serie de potecia e (x-a) es ua serie ifiita de la forma c (x a) Tal serie tambie llamada ua serie de potecias cetrada e a. Las series mas usadas geeralmete so series 7

8 de potecia e x. Por ejemplo, serie de potecia e x. 7 x Series de Potecia. Covergecia. Ua series de potecia es covergete e u valor especifico x si su secuecia de sumas parciales S N (x) coverge, esto es, lim S N(x) = lim N N N c (x a) existe. Si el limite o existe e x, etoces la serie es divergete. Itervalo de Covergecia. Cada serie de potecia tiee u itervalo de covergecia. El itervalo de covergecia es el cojuto de úmeros reales x para el cual la series coverge. El cetro del itervalo de covergecia es el cetro de la serie. Radio de Covergecia El radio R del itervalo de covergecia de ua series de potecia es llamdo el radio de covergecia. Si R > 0 etoces la series de potecia coverge para x a < R y diverge para x a > R. Si la serie coverge soloe su cetro a, etoces R=0. Si la serie coverge para todo x, etoces escribimos R =. Ua serie de potecia puede o o coverger e los putos de la frotera del itervalo. Covergecia absoluta Detro de este itervalo de covergecia ua serie de potecia coverge absolutamete. Esto es, si x esta e el itervalo de covergecia y o es u puto de la frotera del itervalo, etoces la serie de valores absolutos c (x a) coverge. Test del cociete Supogamos que c 0 para todo y que c + (x a) + lim c (x a) = lim x a c + = L c Si L < la serie coverge absolutamete; si L > la serie diverge; y si L = el test o es cocluyete. El test del cociete es uca puede ser utilizado para los putos de la frotera del itervalo. Problema. Determiar si la serie divergete. = Problema. Ecotrar la suma de la serie! es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o ( ) π 6 + ()!. Problema. Ua secuecia {a } esta dada por a =,a + = +a. (i) Muestre que la secuecia {a } esta acotada superiormete por. (ii) Muestre que la secuecia {a } es creciete mediate iducció. (iii) Ecotrar el limite lim a. Problema. Estudiar la covergecia de la serie alterate =3 ( )l. 8

9 Problema. Determiar si la serie coverge o diverge. (i) = (ii) = l (iii) = si( ) 9