Series infinitas de números reales. Series convergentes

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1 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas a + a + a + a a +... Ya vimos u ejemplo de esta situació e el artículo dedicado a la paradoja de Zeó. Vimos tambié que se hablaba de suma ifiita e el setido de covergecia de ua sucesió muy especial: la sucesió de sumas parciales. Vamos a formalizar esta idea. Defiició. Ua serie ifiita de úmeros reales (o simplemete, serie de úmeros reales) es u par ({a }, {s }), dode {a } es ua sucesió de úmeros reales y {s } es la sucesió defiida por s a + a + a a, N La sucesió {a } recibe el ombre de térmio geeral de la serie, mietras que la sucesió {s } se llama sucesió de sumas parciales de la serie. Obsérvese que, segú la defiició aterior, a + s + s, N Tambié usaremos la escritura a para desigar la serie de úmeros reales de térmio geeral {a }. Ejemplo. La expresió ( + ) desiga la serie ifiita de térmio geeral { }. La sucesió de sumas parciales es (+) } {s } puesto que para todo úmero atural k { ( + ) k(k + ) k k + { } +

2 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Parece atural asigar el úmero a la suma de la serie aterior, es decir, ( + ) ya que la sucesió de sumas parciales {s } coverge a. Ejemplo. Cosideremos ahora la serie ifiita ( l + ) Ahora teemos que la sucesió de sumas parciales es { {s } l + l l + } {l( + )} puesto que, usado las propiedades de los logaritmos, para todo úmero atural k l k + k l(k + ) l k Observemos ahora que la sucesió de sumas parciales, {s } {l( + )} o es covergete (o está acotada). Por tato tambié será atural decir que la serie aterior o tiee suma fiita o que o es sumable. Vamos a expresar co rigor las ideas vistas e los ejemplos ateriores. Defiició. Se dice que la serie de úmeros reales a es covergete cuado su sucesió de sumas parciales {s } es covergete, e cuyo caso el límite de la sucesió de sumas parciales recibe el ombre de suma de la serie y se represeta por Así pues, simbólicamete a a lím s lím{a + a + a a } La serie del primer ejemplo aterior es covergete de suma, y la serie del segudo ejemplo o es covergete. Veamos u par de ejemplos más.

3 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Ejemplo. Dado u úmero real x, la serie x recibe el ombre de serie geométrica de razó x. Si x dicha serie o es covergete, pues la sucesió de sumas parciales es {}. Para x teemos { x {s } { + x + x x } } x dode hemos utilizado la fórmula de la suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica. Si x < teemos {x } 0 y por tato {s } x. Si x > teemos que { x } + luego e este caso la serie o es covergete. Resumiedo, la serie geométrica de razó x, x, es covergete si, y sólo si, x <, e cuyo caso se tiee: Ejemplo 4. x x E la discusió de la paradoja de Zeó se vio que las sumas parciales s de la serie satisface la igualdad s k0 k l( + ) o es cover- Puesto que {l( + )} + lo mismo ocurre co {s } y por tato la serie gete. Esta serie se deomia serie armóica. Hemos de resaltar que estudiar la covergecia de ua serie ifiita de úmeros reales cosiste e estudiar la covergecia de ua sucesió de úmeros reales, la sucesió de sumas parciales de la serie. Por otra parte, cualquier sucesió de úmeros reales es la sucesió de sumas parciales de ua serie; e efecto, si {x } es cualquier sucesió de úmeros reales, tomado a x, a + x + x, N es imediato comprobar por iducció que la sucesió de sumas parciales de la serie a es {x }. Resulta por tato que los coceptos de serie covergete y suma de ua serie está e correspodecia biuívoca co los de sucesió de úmeros reales covergete y límite de ua tal sucesió. La razó para el estudio específico de las series ifiitas de úmeros reales estriba e que, dada ua serie a, a diferecia de lo que ocurría e los ejemplos o, la sucesió {s } de sumas parciales se cooce de forma recurrete y o es fácil ecotrar ua expresió de s e fució de que permita estudiar co comodidad la covergecia de la sucesió {s }. Lo que iteresa, por tato, es ecotrar criterios de covergecia para series ifiitas de úmeros reales a que

4 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes vega dados e térmios de la sucesió {a } que es perfectamete coocida. A cotiuació obteemos de maera imediata ua codició ecesaria de este tipo. Proposició. Sea a ua serie ifiita de úmeros reales covergete. Etoces la sucesió {a } coverge a cero. Demostració. Sea {s } la sucesió de sumas parciales de la serie, sucesió que, por hipótesis, es covergete. Etoces resulta que {a + } {s + s } coverge a cero y, por tato, {a } coverge a cero. El recíproco de la proposició aterior o es cierto. Los térmios geerales de las series de los ejemplos y 4, coverge a cero, pero las series o so covergetes. Parece ser pues que, para que ua serie sea covergete o sólo debe ocurrir que su térmio geeral {a } coverja a cero, sio que lo debe de hacer lo suficietemete deprisa. Esto es porque para que ua serie coverja es ecesario que la sucesió de sumas parciales {s } sea covergete y, por tato, acotada. Si cosideramos ua serie covergete de úmeros reales positivos, es decir, a > 0 para todo ; teemos que s + s + a para cada ; de forma que, para que {s } esté acotada, es ecesario que los térmios de la sucesió {a } se haga pequeños lo suficietemete ( deprisa. ) Así, los térmios geerales de las series de los ejemplos y 4, respectivamete {l + } y { }, o tiede a cero co la suficiete rapidez pues las series correspodietes o so covergetes. Si embargo el térmio geeral de la serie del ejemplo, { }, sí que debe de coverger a cero lo (+) suficietemete rápido, lo que hace que la serie sea covergete. (+) Presetamos a cotiuació dos resultados que os da propiedades elemetales de las series covergetes. Proposició. Sea a, b dos series de úmeros reales covergetes y α, β dos úmeros reales cualesquiera. Etoces la serie (αa + βb ) es covergete y se verifica que Demostració. 0 (αa + βb ) α 0 a + β Si {s }, {t } y {u } so las sucesioes de sumas parciales de las series a, b y (αa + βb ) respectivamete, es evidete que: u αs + βt, N 4 0 b

5 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Proposició. Sea a ua serie de úmeros reales y k u úmero atural. Etoces la serie a es covergete si, y sólo si, la serie a k+ es covergete, e cuyo caso se tiee: Demostració. a (a + a a k ) + a k+ Notado {s } y {t } a las sucesioes de sumas parciales de a y a k+, para todo atural, teemos: s (a + a a k ) + (a k+ + a k a k+ ) (a + a a k ) + t La serie a k+ que aparece e la proposició aterior recibe el ombre de serie de resto k-ésimo de la serie a, se la suele otar >k a, y e caso de que sea covergete se suele otar k+ a a su suma. La proposició aterior os dice por tato que ua serie es covergete si, y solo si, lo es cualquiera de sus restos, e cuyo caso las sumas de ambas series está relacioadas por: a (a + a a k ) + a 0 k+ Coviee observar que los térmios a, a,..., a k o iterviee para ada e la serie >k a ; ello permite referiros a la serie auque o se coozca los térmios aludidos o, más cocretamete, auque la expresió geeral de a o tega setido para,,..., k. Así por ejemplo > l deota iequívocamete a la serie l(+) tega setido para. Cualquiera que sea el valor que asigemos al térmio a, la proposició y para ada os iteresa que la expresió l o aterior os dice que > l es covergete si, y sólo si, lo es a siempre que a l, N {}. E el mismo orde de cosas, se utiliza tambié co frecuecia series co subídice iicial cero. Si {a } es ua sucesió de úmeros reales y a 0 es u úmero real se deota 0 a a la serie a y cuado dicha serie es covergete otamos 0 a a su suma. Puesto que a es el primer resto de la serie 0 a, la proposició aterior os garatiza que la serie 0 a es covergete si, y sólo si, los es a, e cuyo caso teemos: a a 0 + a 0 Así por ejemplo, la serie geométrica de razó x, x, suele deotarse por 0 x, y cuado x <, la serie es covergete y escribiremos: x 0 x 5

6 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Ejercicios.. Probar que Solució. ( + ) + +. Si multiplicamos y dividimos por el cojugado de la expresió del deomiador obteemos: ( + ) + + ( + ) + ( + ) + + Etoces la sucesió de sumas parciales viee dada por: {( ) ( ) ( {s } Por tato,. Probar que Solució. { ( + ) } { } )} + + Vamos a estudiar el térmio -ésimo de la sucesió de sumas parciales {s }. ( s ( ) ( ) ) ( + + ( ) ( ) ) ( ) Usado ahora la fórmula de la suma de los térmios de ua progresió geométrica teemos: ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ( ) ) ( ( ) ) + ( ) + +

7 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Así pues, fialmete Por tato,. Probar que Solució. {s } { 6 ( ( ) l + l ( ( + ) l ) l. ( ) ) ( + + Obsérvese e primer lugar que ( ) l + l ( l( + ) l ( + ) l ) l l( + ) ( ) )} l l( + ) Así pues ( s l ) ( + l l ) ( l 4 l( ) ) l Por tato y etoces ( ) l + {s } l ( ( + ) l ) l. { } l l( + ) l + ( ) l l( + ) 4. Sea a y b series de úmeros reales tales que (a + b ) es covergete. Qué puede afirmarse sobre la covergecia de las series a y b? Solució. Que, o so las dos covergetes, o igua lo es. Para verlo llamemos, respectivamete, {s }, {t } y {u } a las sucesioes de sumas parciales de las series a, b y (a + b ). Etoces es obvio que {u } {s } + {t }. Por hipótesis, {u } es covergete. Si {s } fuera covergete debería de serlo {t } pues {t } {u } {s }. Este ejercicio es ua reformulació del ejercicio del artículo dedicado a las sucesioes acotadas y a las propiedades de las sucesioes covergetes. 7

8 Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes 5. Sea a y b dos series de úmeros reales. Supogamos que k N : > k a b. Probar que a es covergete si, y solo si, lo es b, e cuyo caso Solució. a (a + a a k ) (b + b b k ) + b Llamemos, respectivamete, {s } y {t } a las sucesioes de sumas parciales de las series a y b. Etoces, utilizado la hipótesis segú la cual k N : > k a b, teemos: s a + a a k + a k a a + a a k + b k b a + a a k (b + b b k ) + (b + b b k ) + b k b (a + a a k ) (b + b b k ) + (b + b b k + b k b ) (a + a a k ) (b + b b k ) + t De aquí se deduce claramete que a es covergete si, y sólo si, lo es a y, además se cumple la igualdad a (a + a a k ) (b + b b k ) + b 8

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