Introducción básica a series

Transcripción

1 Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy especial, que resulta de la suma de los valores de la sucesió a : s = a () s 2 = a + a 2 (2) s 3 = a + a 2 + a 3 (3) s 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 (4)... (5) s = a + a 2 + a a (6) La última expresió represeta la forma que tiee el elemeto -ésimo de la sucesió s y que se puede escribirse co la otació sigma: (7) s = i= a i Si seguimos co la idea origial de sucesió, es posible hacer ua lista ordeada los elemetos de uestra ueva sucesió: * Profesor de la Beemérita Uiversidad Autóoma de Puebla, México.

2 s, s 2, s 3, s 4, s 5,... (8) La fució s es coocida como sucesió de sumas parciales. Qué ocurre cuado la sucesió s coverge? Por lo visto e la parte de sucesioes, si lím s = L etoces coforme crezca, los elemetos será semejates etre ellos y muy parecidos a L. Así, el elemeto s 0000 sería la suma de los primeros 0000 elemetos de la sucesió a y ésta suma se parece a L. Lo mismo ocurre si se cosidera s 0 6: es la suma de los primeros 0 6 elemetos de a y dicha suma se parecea a L: s 0000 = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a a 0000 L s 0 6 = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a a 0 6 L Por lo tato, de maera iformal, se puede pesar que: L = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 + a 0 + a +... (9) Iformal, pues, tal parece que L es la suma ifiita de los elemetos de la sucesió a. Dicha observació, justifica la siguiete defiició. Defiició.. Si la sucesió de sumas parciales s es covergete su límite se deota por = a, esto es = a := lím s (0) Es frecuete decir que = a es la serie que correspode a la sucesió a. Tambié se dirá que = a es covergete si s, lo es. Se sigue que = a es divergete si s lo es. Existe ua serie importatísima derivada de la sucesió geométrica. 2. Serie geométrica Recuerda que la sucesió goemétrica tiee la forma c = ar y su desarrollo e lista es a, ar, ar 2, ar 3, ar 4,... () Gearo Lua Carreto 2 Noviembre 206

3 La covergecia de dicha sucesió está totalmete determiada por el valor de r: < r <. Veamos que ocurre co su serie asociada. Costruyamos la sucesió de sumas parciales: s = a (2) s 2 = a + ar (3) s 3 = a + ar + ar 2 (4) s 4 = a + ar + ar 2 + ar 3 (5)... (6) s = a + ar + ar ar (7) Como ya se dijo, s es el elemeto -ésimo de la sucesió de sumas parciales. Coloquemos los úmeros s y por rs jutos: s = a + ar + ar ar (8) rs = ar + ar 2 + ar ar (9) Dichas expresioes tiee muchos elemetos comues. No es difícil, calcular su diferecia: por lo tato s rs = a ar s rs = a ar (20) s ( r) = a( r ) (2) s = a( r ) r (r ) (22) Observe que la covergecia de s, e este caso, esta totalmete determiada por la covergecia de r. Si < r <, etoces Gearo Lua Carreto 3 Noviembre 206

4 E resume: = ar = lím s (23) a( r ) = lím r = a r (24) ( < r < ) ar = = Ejemplo 2.. Sea = a, dode < r < (25) r ( 2). Observe que = ( ) = 2 = ( ) (26) 2 2 (27) Se trata de ua serie geométrica co a = y r =. Como r es u úmero 2 2 etre y, es ua serie covergete. Segú la fórmula (25): = ( ) = r = 2 2 = Escribámosla de maera que se ote la suma ifiita: = ( ) = = Ejemplo 2.2. Determiemos la covergecia o divergecia de ( 2) 3 7 = Por su apariecia, e ua primera vista, o parece ua serie geométrica. Se tiee que llevar a la forma ar. = Gearo Lua Carreto 4 Noviembre 206

5 = ( 2) 3 7 = = = = [( 2) 3 ] 7 (28) ( 8) 7 (29) ( 8)( 8) 7 (30) ( ) 8 ( 8) 7 (3) = = = = Si duda es ua sucesió goemétrica co a = 8 y r = 8. De acuerdo 7 a lo idicado e la expresió (25), la covergecia se ecuetra determiada por r. E este caso r = 8 7 >. Etoces la serie 3. Prueba de la divergecia = ( 2) 3 7 es divergete. Ua tarea usual e esta rama, es la forma de determiar si ua serie es covegete o divergete. La primera cosiste ivestigar si la serie es geométrica o o. El siguiete método, cosiste e usar la llamada prueba de la divergecia. Teorema 3.. = a covergete implica lím a = 0 Demostració. Por hipótesis, la sucesió de sumas parciales s que correspode a a, es covergete, esto es, lím s existe. Cosidere la sucesió t = s +. Cuál es la diferecia etre s y t? Si las poemos e ua lista: s : s, s 2, s 3, s 4, s 5, s 7, s 8... (32) t : s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7, s 8,... (33) se ota que solamete difiere e el primer elemeto. De maera que lím s = lím t = lím s + Gearo Lua Carreto 5 Noviembre 206

6 Ahora bie, por defiició de sumas parciales: s = a + a 2 + a a (34) t = a + a 2 + a a + a + (35) Etoces t s = a +. Por ede lím a + = lím t lím s = 0 Co lo cual se cocluye que lím a = 0 E realidad, la prueba de la divergecia correspode a u euciado equivalete al teorema (3.), obteido a través de la equivalecia: (p q) ( q p) Teorema 3.2 (Prueba de la divergecia). Si lím a 0 etoces divergete. Ejemplo 3.. Ivestiguemos la covergecia o divergecia de La sucesió que geera a la serie es a =. 2+ = a es = 2 +. lím 2 + = lím 2 + = 2 Segú la prueba de la divergecia idicada e el teorema (3.2), la serie es divergete. 2 + = Ejemplo 3.2. Sea = 5. E forma aáloga al ejemplo aterior, toma mos la sucesió que geera a la serie a = lím = lím pues el lím ( 3 5) = 0. De maera que 5 y calculamos su límite ( 3 5 = ) = 5 es divergete Gearo Lua Carreto 6 Noviembre 206

7 Ejemplo 3.3. La serie es llamada serie armóica y es muy importate. Apliquemos la prueba de la divergecia. lím = 0 Alguas persoas poco cuidadosas, respodería: la serie es divergete, pero o es correcto. La prueba de la divergecia da respuesta siempre y cuado el límite o sea cero. Si es cero, la prueba de la divergecia o es suficiete, esto es, si el límite es cero, la prueba de la divergecia o puede afirmar que la serie diverge o coverge. Lo que probaremos ahora es que la serie armóica es divergete a pesar de que el límite de la sucesió que geera a tal serie es cero. La argumetació será u poco difícil, pues su costrucció es muy particular. E seccioes posteriores se costruirá herramietas más poderosas, que mostrará, o sólo que la armóica es divergete, sio decidirá la covegecia o divergecia de todas las del tipo = Como es bie sabido. p s = Hagamos ver que aquellos elemetos de la sucesioó s que tiee la forma s 2, s 2 2, s 2 3, s 2 4, s 2 5,... crece si cotrol, lo cual implicará la divergecia de la serie armóica. La idea es mostrar que s 2 > +. Co el elemeto s 2 2, es obvio s 2 =. Veamos 2 el caso de s 2 2: ) ) s 2 2 = ( > ( = La desigualdad es fácil pue sólo se hizo uos de de que 3 > 4. Cotiuemos co s 2 3. Se asociará de la misma maera como e s 2 2: Lo que se justifica este discurso tiee que ver co lógica de proposicioes. El euciado [p q] o implica i es equivalete a [ p q]. Gearo Lua Carreto 7 Noviembre 206

8 s 2 3 = + ( ) ( ) 8 > + ( ) ( ) = s 2 4 = + ( ) ( ) ) 6 s 2 4 = + ( ) ( ) ) 6 Cada uo de los parétesis es, por lo tato 2 (36) (37) ( (38) (39) ( (40) (4) (42) s 2 4 > Resulta imposible hacer operacioes de esa maera. Trabajemos co s 2 5, e forma compacta s 2 5 = s > s Sume co cuidado las fraccioes y saldrá. Usado que s > + 4: 2 ( s 2 5 > + 4 ) = (43) (44) (45) E geeral s 2 > +. Los elemetos s 2 2, como se observa e la desigualdad, so más grades que + : crece cada que avaza. Así, s 2 es divergete, e otras palabras, la serie armóica es divergete. Gearo Lua Carreto 8 Noviembre 206 =

9 4. Pruebas por comparació El siguiete teorema e su parte pricipal, hace uso del teorema de la sucesió moótoa. Aquél que dice que si ua sucesió es creciete y acotada superiormete etoces es covergete. Tambié, que si ua sucesió es decreciete y acotada iferiormete etoces es covergete. Teorema 4. (Prueba de comparació). Sea = a y = b series dode 0 a b. (a) Si = a es divergete etoces = b es divergete. (b) Si = b es covergete etoces = a tambié lo es. Demostració. Sea s = i= a i y t = i= b i las sucesioes de sumas parciales correspodietes. La hipótesis iicial sobre las sucesioes 0 a b, trae como cosecuecia que s y t sea crecietes. Veamos esto co s : s + = a + a a + a + (46) = s + a + (47) Se sabe que a + 0, etoces s + a + s (48) s + s (49) Se puede hacer los mismo co el fi de probar que t es creciete. U dato importate es que s t. Veamos por trasitividad s = a + a 2... a b + b b = t Sólo basta probar uo de ellos. s t. (50) Prueba (b). = b es covergete. Equivaletemete, lím t existe. Sea lím t = T. Si existe m N tal que T < t m, etoces Gearo Lua Carreto 9 Noviembre 206

10 T < t m t m+ t m+2 t m+3... pues t es creciete. Gráficamete el plateamieto se vería así: Todos los elemetos de la sucesió, a partir de t m, está por ecima de T, excepto u úmero fiito. Se puede formar u itervalo alrededor de T (itervalo de la gráfica), de tal maera que e su iterior sólo haya u úmero fiito de elemetos de t, lo cual es ua cotradicció a la covergecia de t. Lo aterior muestra que N : t T dicho de otra maera, T es cota superior de t. Por la ecuació (50), resulta que s tambié esta acotada superiormete por T. Así pues, s es creciete y acotada superiormete, por lo tato es covergete. Etoces = a = lím s es covergete. Ejemplo 4.. Use la prueba por comparació para probar que la serie es divergete. = La dificultad pricipal el el uso de esta prueba, cosiste e que debemos presetar ua sucesió comparable co y cuya serie se acomode a las hipótesis del teorema y pues o siempre es fácil. E este caso < 2, por lo tato <, es decir <. Además, La serie que correspode a es la armóica =, que es divergete. Por lo tato = es divergete. 5. Criterio de la itegral e la covegecia de series E esta secció toca el turo de hacer la demostració de la prueba de la itegral. La covergecia o divergecia de series podrá ser tratada usado Gearo Lua Carreto 0 Noviembre 206

11 itegrales impropias. Es ecesario usar el teorema del valor medio para itegrales. Recuerde que si f es cotiua sobre u itervalo [a, b], etoces existe c [a, b] tal que b a f(x)dx = f(c)(b a) Teorema 5. (Criterio de la itegral). Sea f ua fució defiida sobre [, ) tal que f(x) > 0. Supoga que f es cotiua decreciete y deote f() = a. Etoces (a) Si f(x) es covergete, etoces = a es covergete (b) Si f(x) = etoces = a es divergete Demostració. La fució se ecuetra defiida e [, ). E particular, la fució f está defiida e todos los aturales, que a su vez, divide al itervalo [, ) e subitervalos: [, 2], [2, 3], [3, 4],..., [i, i + ],.... Si duda f es cotiua e cada itervalo. Aplicado el teorema de la valor medio para itegrales e el geérico [i, i + ], existe c [i, i + ] tal que i+ i f(x)dx = f(c)(i + i) = f(c) (5) Cosidere el itervalo i c i +. Como f es decreciete, al mometo de aplicarla a los tres miembros la desigualdad, los símbolos de orde se ivierte, etoces f(i) f(c) f(i + ) Reescribimos co otació de serie y reacomodamos la expresió por comodidad. Tambié, sustituimos la expresió (5) a i+ i+ i f(x)dx a i Escribamos varias desigualdades haciedo variar i, empezado desde hasta : Gearo Lua Carreto Noviembre 206

12 a 2 a 3 a 4 a + Si sumamos las desigualdades f(x)dx a (52) f(x)dx a 2 (53) f(x)dx a 3 (54)... (55) + f(x)dx a (56) (57) a 2 +a 3 +a 4... a + etoces 2 f(x)dx+ 3 f(x)dx a i + f(x)dx i=2 i= + f(x)dx a +a 2... a a i (58) Prueba (a). Supoga que f(x) = L. E particular se tiee f(x) L, para cada N. De lo cotrario, existe m N tal que L < m f(x). Etoces L < m f(x)dx m+ f(x)dx m+2 f(x)dx m+3 f(x)dx... Sea 0 < ɛ tal que el itervalo geerado por él, o cotiee a m f(x). Existe δ > 0 tal que si t δ etoces t f(x)dx L < ɛ. Se visualiza la cotradicció, pues detro de las itegrales t f(x)dx se ecuetra alguas de la forma m f(x)dx mecioadas ateriormete y que o está a ua distacia meor que epsilo de L. Así pues, para cada f(x) L Gearo Lua Carreto 2 Noviembre 206

13 Ahora regresemos a la ecuació (58). Tomado parte de la desigualdad, se tiee + + a i f(x)dx L (59) i=2 + La sucesió t = a i es creciete y acotada superiormete por L, asi i=2 que es covergete. De esto, es fácil 2 mostrar que lím a = 0. Ahora bie, ote que si s = a + a 2 + a 3 + a etoces e forma equivalete t = s + a + a s = t a + + a s es covergete, pues es la suma de covergetes. Así pues lím s = = a es covergete. Prueba (b). Supoga que f(x)dx =. Tomemos parte de la desigualdad (58) + f(x)dx a i (60) Las itegrales de la forma + f(x)dx coforme crece, toma valores grades, va creciedo si medida, e cosecuecia i= a i tambié crece si medida. Fialmete = a es divergete. Ejemplo 5. (Serie p). Ahora tratemos las series de la forma, dode p = p es ua cotate. E primer lugar supoga que p < 0. Qué ocurre co la expresió mietras aumeta? Escriba = p. Se p p ota que p > 0, etoces si aumeta, la sucesió p estaría elevado a ua potecia positiva los úmeros aturales, lo cual idica que p crecería si medida, es decir, lím i= =. Si ahora usa la prueba de la divergecia p 2 Es secillo mostrar que t + t = a +2. Además, es claro que lím t + = lím t. Por lo cual lím a + = 0, por ede lím a = 0 Gearo Lua Carreto 3 Noviembre 206

14 (vea Teorema (3.2)) etoces es divergete. p = Ahora sea p > 0. Cuado p =, la serie es la armóica y ya ya sabemos = que es divergete. Por lo tato, supogamos que p > 0 y p. Usemos la prueba de la itegral. Si duda, la fució de variable real f(x) = x p asociada a la sucesió a = p, satisface las hipótesis del criterio de la itegral: cotiua, positiva y decreciete e [, ). Calculemos la itegral: t dx = lím dx (6) xp t xp = lím x p dx (62) [ x p+ t ] = lím t p + (63) [ t p = lím t p ] (64) p t t (65) Observe que la fució t p decide la covergecia de la itegral, el resto esta formado por costates. Hay dos casos: p > ó p <. E el primero, p > 0, etoces lím t t p = lím t = 0 p Si p <, etoces 0 < p, por lo tato t lím t t p =. E resume, dx es covergete cuado p >. Además, dx es x p x p divergete cuado p <. La coclusió de la prueba de la itegral, permite decir que = { covergete p > p divergete p (66) Gearo Lua Carreto 4 Noviembre 206

15 6. Prueba de comparació de límites Teorema 6. (Comparació de límites). Sea = a y = b series, dode a, b > 0. Etoces a (a) lím = c > 0 = (Ambas series coverge o ambas diverge) b = 0 y = b es covergete etoces = a es cover- a (b) Si lím b gete. a (c) Si lím = y = b b diverge etoces = a tambié Demostració. Las pruebas se basa pricipalmete e la defiició de límite de ua sucesió y la prueba de comparació dada e el teorema (4.). a Prueba (a). Supoga que lím = c > 0. Tome ɛ = c. Etoces existe 2 b 0 N tal que 0 = a c b < c 2 Por ua propiedad 3 de valor absoluto c 2 < a c < c b 2 (67) c 2 < a < 3c b 2 (68) c 2 b < a < 3c 2 b (b > 0) Tomemos ua parte: cb 2 < a. Las costates positivas c y 3c o afecta la 2 2 covergecia de las sucesioes de la desigualdad. E geeral, las costates o afecta la covergecia de series i sucesioes. Segú el teorema (4.), si c = b 2 diverge etoces = a es divergete. Ahora cosidere a < 3cb 2. Si c = b 2 covegete etoces = a tambié. 3 x < y = y < x < y Gearo Lua Carreto 5 Noviembre 206

16 Prueba (b). E el caso aterior fue ecesario u ɛ particular. E este caso o importa. Sea ɛ > 0. Existe 0 N tal que si 0 a < ɛ b E forma equivalete ɛ < a b < ɛ. Si embargo los cocietes a b so positivos, por ede 0 < a b < ɛ. Se sigue que a < b ɛ. E forma aáloga al iciso (a), si = b ɛ es covergete, etoces = a es covergete. a Prueba (c). Recuerde que lím = sigifica que si ɛ > 0 existe b 0 N tal que si 0 etoces a > ɛ b Así pues, a > b ɛ. A partir de esto, es claro que, si = b diverge, etoces = a diverge. Ejemplo 6.. Sea = Coverge o diverge? 6 3 Para usar el criterio de los límites es ecesario teer dos series, pero sólo teemos ua serie y su sucesió geeradora a = Es posible, obteer 6 3 otra apartir de a, despreciado los térmios que o aporta gra cosa. Se propoe b = 2 = 6 4 E el umerador, se quitó el coeficiete 2 y el sumado uo. E el deomiador se despreció al sumado 3. Resulta que la serie geerada por b =, es ua serie p, 4 = del cociete 4 covergete pues p = 4. Calculemos el límite lím = lím (69) = lím (divisió etre 6 ) = 2 (70) el límite es 2, que es mayor a cero, caemos e el iciso (a) del criterio (6.). Como = coverge, etoces = coverge Gearo Lua Carreto 6 Noviembre 206