+ i,... es una sucesión. Otra forma de denotar la misma sucesión es {z n } n N

Transcripción

1 Capítulo 6 Sucesiones y series en C Todo el trabajo de este capítulo esta destinada a mostrar que tiene sentido sumar infinitas funciones de variable compleja. En gran medida es un copy/paste de la versión real, y está hecho de esa forma para enfatizar las similitudes entre los dos casos. Las diferencias importantes aparecen al final del capítulo Sucesiones complejas Definición 6.1 Si a cada número natural n se le asigna un número complejo z n, decimos que estos números z 1, z 2, z 3,..., z n,... forman una sucesión infinita que se denota {z n } ó {z n} n N ó {z 1, z 2, z 3,...}. A los números z 1, z 2, z 3,... se los llama términos de la sucesión. Ejemplo i, i, i, i,... es una sucesión. Otra forma de denotar la misma sucesión es {z n } n N, con z n = 1 n + i. Diremos que la sucesión {z n } n N converge a un número c C si para todo ε > 0 existe N > 0 tal que z n c < ε si n > N. Dicho en lenguaje llano, la sucesión converge a c si para todo entorno de c hay un N (que depende del entorno que elija) tal que todos los z n con subíndice mayor que N están el entorno. z 1 z 2 z 3 z n z 4 c " B 163

2 164 Sucesiones y series en C Esta situación se denota por lím z n = c ó z n c. Notar que lím z n = c si y solo si lím z n c = 0 (ejercicio), y por lo tanto para estudiar sucesiones complejas basta estudiar las reales. Además notar que si una sucesión converge entonces el límite es único, es decir, no pueden existir dos valores distintos c 1 y c 2 tales que z n c 1 y z n c 2 (ejercicio). Proposición 6.3 Si {z n } n N y {w n } n N son sucesiones complejas tales que lím z n = c y lím w n = d, entonces: 1. {z n } n N es acotada, es decir, existe M > 0 tal que x n M n N. 2. lím (αz n + w n ) = αc + d. 3. lím (z n w n ) = cd 4. Si d 0 entonces w n 0 para n suficientemente grande, y lím z n w n = c d. 5. Si z n = x n + iy n y c = a + ib, entonces lím z n = c si y solo si lím x n = a y lím y n = b. 6. lím z n+1 = c, en general, para cualquier número natural k se tiene que lím z n+k = c. Demostración. 1. Existe N N tal que z n c 1 si n N, y entonces z n 1 + c si n N. Tomando M = máx { z 1,..., z N, 1 + c } tenemos z n M n N. 2. Doy ε > 0; notar que el único caso interesante es α 0. Por definición de límite se que N 1 tal que z n c < ε 2α si n > N 1, y N 2 tal que w n c < ε 2 si n > N 2. Tomemos N = máx (N 1, N 2 ), entonces si n > N valen las dos desigualdades de arriba, y (αz n + w n ) (αc + d) = (αz n αc) + (w n d) (αz n αc) + (w n d) < α ε 2α + ε 2 = ε. 3. Exactamente igual al caso real. 4. Símil al anterior. 5. Usando que x n a = Re (z n c) (z n c), y y n b = Im (z n c) (z n c), concluimos inmediatamente que si lím z n = c entonces lím x n = a y lím y n = b. Recíprocamente, notar que (z n c) = x n + iy n a ib x n a + iy n ib = x n a + y n b, y ahí se ve que si lím x n = a y lím y n = b, entonces lím z n = c.

3 Sucesiones y series en C Ejercicio de notación. Ejemplo 6.4 La sucesión { 1 + i, 1 + i 2, 1 + i 3, 1 + i 4, 1 + i 5,...}, o sea la sucesión {z n } n N con z n = 1 + i n, converge a 1 pues z n 1 = 1 + i n 1 = 1 n Notar que Re (z n ) = 1 y Im (z n ) = 1 n, por lo tanto 0. Re (z n ) 1 y Im (z n ) 0. Nota 6.5 Comenzar desde n = 1 es por costumbre, se puede comenzar desde cualquier natural, o incluso desde un entero negativo. En muchos casos usaremos sucesiones así: {z 0, z 1, z 2,...}. Cuando los términos de una sucesión compleja se hacen arbitrariamente grandes en módulo, diremos que la sucesión tiene límite infinito. Es decir: lím z n = si R > 0 N > 0 tal que z n c > R si n > N. Notar que una sucesión puede ser no acotada y sin embargo no tener límite infinito, por ejemplo la sucesión z n = n (1 + ( 1) n ) Series complejas Si z 1, z 2, z 3,... es una sucesión compleja, podemos intentar calcular la suma z 1 + z 2 + z 3 +.Para poder sumar infinitos términos, lo que vamos a hacer es primero sumar n (una cantidad finita), llamar s n = z 1 + z 2 + z z n, y luego hacer lím s n. Notar que esto es razonable pues si existe algo que pueda llamarse la suma infinita z 1 + z 2 + z 3 +, entonces los números s n deberían aproximarse, a medida que n crece, a dicha suma tanto como queramos. Definición 6.6 Una sucesión {z n } n N se dice sumable si la sucesión {s n } n N, (con s n = z 1 + z 2 + z z n ), es convergente. En tal caso se denota lím s n = z j = lím j=1 j=1 n z j.

4 166 Sucesiones y series en C La definición anterior es para echar un poco de luz a la terminología popular: una suma infinita j=1 z j se llama en general serie infinita, destacando la conexión de la palabra serie con la sucesión {z n } n N. La afirmación de que la sucesión {z n } n N es sumable (o no) se sustituye usualmente por la afirmación de que la serie j=1 z j converge (o no). Esa terminología es confusa, porque en el mejor de los casos, j=1 z j es un número complejo (y entonces no puede converger ), o es nada si la sucesión {z n } n N no es sumable. De todos modos, como es buena costumbre hablar el mismo lenguaje que habla la gente del lugar donde uno vive, vamos a adoptar la terminología popular. Otro complemento de esta terminología es la divergencia: cuando una serie no converge se dice que diverge. Otra cosa: la suma puede comenzar desde cualquier número, o sea tiene perfecto sentido j=8 z j y significa lím s n donde s n = z 8 + z 9 + z z n (obviamente debemos tomar n 8 en este caso). Usualmente comenzaremos nuestras sumas con 0 ó 1, pero no hay ninguna restricción al respecto. Ejemplo 6.7 Si tomamos w o un número complejo distinto de 1, llamo z n = wo n para n = 0, 1, 2, 3,... (o sea tengo la sucesión {z n } n N {0} con z n = wo n ). Entonces s n = 1 + w o + wo wo n, y entonces w o s n = w o + wo 2 + wo wo n+1, restando esas dos igualdades y despejando s n, obtenemos que s n = 1 wn+1 o 1 w o (esta operación es legítima pues pedimos w o 1). Si w o < 1, entonces w n o por lo tanto lím s n = 1 1 w o, 0 (ejercicio), y si w o > 1 entonces wo n (ejercicio) por lo que la sucesión {s n } n N no converge. Por lo tanto tenemos que la sucesión {z n } n N {0} es sumable si w o < 1 y no es sumable si w o > 1. Dicho de otra forma, la serie converge a 1 1 w o y si w o < 1 y no converge si w o > 1. Por ejemplo, w n o ( ) i n = i 2 (3i) n = i, no converge. A esta serie se la llama serie geométrica de razón w o.

5 Sucesiones y series en C 167 Proposición 6.8 Tomemos {z n } n N y {w n } n N dos sucesiones, y c C, entonces: 1. si {z n } n N y {w n } n N son sumables entonces {cz n + w n } n N es una sucesión sumable y (cz n + w n ) = c z n + w n. 2. si z n = x n +iy n, entonces {z n } n N es sumable si y solo si {x n } n N y {y n } n N son sumables, y en tal caso z n = x n + i y n. Demostración. Ejercicio, aplicar las propiedades de sucesiones a las sumas parciales Notar que (2) es un caso particular de (1). s n = z z n y r n = w w n. Proposición 6.9 (criterio del resto) La serie z n converge si y solo si la serie r N = n=n+1 z n converge para todo N N {0}, y en tal caso lím N r N = 0. Demostración. La primera afirnación (cuya vuelta es trivial) resulta de la siguiente igualdad: m z n = N z n + m n=n+1 Para determinar la convergencia de cualquiera de las dos series debemos tomar lím m, pero tenemos dos sucesiones de sumas parciales (en m) que difieren en una constante ( N z n), y por lo tanto una tiene límite si y solo si la otra lo tiene, y en tal caso (tomando límite) queda z n = s N + r N, es decir r N = z n s N, de donde se deduce que lím r N = 0. El siguiente criterio elemental nos permite detectar algunas sucesiones no sumables: Proposición 6.10 (Condición del Resto) Si una sucesión {z n } n N es sumable, entonces lím z n = 0, es decir, para que la serie z n sea convergente es indispensable que los términos tiendan a cero. Demostración. Si s n = z z n entonces lím n = c, y también lím n+1 = c, de donde se concluye que lím (s n+1 s n ) = 0, z j. o sea listo.

6 168 Sucesiones y series en C Ejemplo 6.11 El lema anterior nos permite terminar nuestros conocimientos sobre series geométricas (no sabíamos que pasaba si w o = 1): la serie converge si y solo si w o < 1. w n o A continiuación, a modo de referencia, enunciamos los cinco resultados sobre series de términos reales que usaremos: los cuatro primeros se refieren a la convergencia de series de términos positivos, y el último una forma de abordar el problema de convergencia, reduciendolo (cuando es posible) a un problema de convergencia de una serie de términos positivos. Proposición 6.12 (Criterio de Comparación) Si {t n } n N y {r n } n N son sucesiones de números reales positivos tal que 0 t n r n n N, entonces Corolario Si la serie r n converge entonces la serie t n converge. 2. Si la serie t n diverge entonces la serie r n diverge. Proposición 6.14 (Criterio de la integral) Si ϕ : [1, ) [0, ) es una función decreciente y t n = ϕ(n), entonces la serie t n converge si y solo si 1 ϕ converge. Proposición 6.15 (Criterio del Cociente) Supongamos que t n > 0 n N (donde N es algún natural) y t n+1 lím = l t n (o sea suponemos que el límite existe y vale l). Entonces la serie t n converge si l < 1 y diverge si l > 1. Proposición 6.16 (Criterio de la raíz) Tomemos {t n } n N una sucesión tal que t n 0 n N (donde N es algún natural), y tal que lím n tn = l (o sea suponemos que el límite existe y vale l). Entonces la serie t n converge si l < 1 y diverge si l > 1. Teorema 6.17 (Convergencia absoluta convergencia) Si t n converge, entonces t n converge y t n t n Una de las nociones mas importantes en el estudio de series complejas (y la razón para insistir con las series de términos positivos) es la de convergencia absoluta:

7 Sucesiones y series en C 169 Definición 6.18 Una sucesión {z n } n N se llama absolutamente sumable si la sucesión { z n } n N es sumable. Dicho de otra forma, la serie z n se llama absolutamente convergente si la serie z n es convergente (notar que nada se dice de la convergencia de z n propiamente dicha). Ejemplo 6.19 Según lo visto en Análisis I, la sucesión es sumable pero no absolutamente sumable, o sea la serie { ( 1) n+1 } n n N converge, pero la serie no converge El ejemplo anterior es el de un caso muy indeseable, donde la primera serie converge por una cuestión de cancelación: notar que el hecho de que la segunda serie no converja significa que las sumas parciales se hacen arbitrariamente grandes (pues estamos intentando sumar muchos números positivos), fenómeno que desaparece con los signos menos de la primer serie. Nosotros vamos a trabajar con series absolutamente convergentes, cuyo comportamiento es mucho más benigno, según el siguiente: Teorema 6.20 Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente (dicho de otra forma, si la sucesión { z n } n N es sumable entonces la sucesión {z n } n N es sumable). Además en tal caso se tiene que z n z n Demostración. Pongamos z n = x n + iy n. Como x n z n, la convergencia de z n implica la convergencia de x n, y esta a su vez implica la convergencia de x n. De manera análoga se ve que y n converge, y finalmente tenemos que ( ) ( ) z n = x n + i y n. Para la última afirmación del teorema, notar que N N z n z n y hacer N. El resultado anterior nos marca, de alguna manera, el camino a seguir: puesto que existen muchos criterios para decidir si una serie de términos positivos converge, cuando se nos presenta

8 170 Sucesiones y series en C el problema de determinar la convergencia de una serie siempre, como primer paso, intentamos ver si converge absolutamente. Para terminar, mencionamos el siguiente hecho que marca la tremenda diferencia entre series absolutamente convergentes y no: si z n converge absolutamente, y {w n } n N es una reordenación de {z n } n N (o sea los mismos números pero en otro orden), entonces la serie w n converge y z n = (es decir que en este caso la suma infinita es conmutativa). Por otro lado, si r n es una serie de términos reales que converge pero no converge absolutamente, entonces para todo a real existe una reordenación de {r n } n N cuya serie converge a a (hay extensiones parciales de este hecho a series complejas convergentes pero no absolutamente convergentes, pensar alguna). w n Ejemplo 6.21 converge pues 1. La serie n n + i 2 n n = 1 n 2 n + i n n + i 2 n n 1 n 2 n + in n n = < 1, donde el último vale para todo n La serie no converge pues y entonces los términos no tienden a cero. ( ) n i n + i n i n + i = n + i n + i = 1, 6.3. Series de funciones De la misma forma que pensamos en sucesiones de números complejos {z n } n N, donde teníamos un número complejo para cada natural n, podemos pensar en una sucesión de funciones {f n } n N, donde cada f n (z) es una función compleja definida en cierto dominio (o sea, tenemos una función compleja para cada número natural n). Por ejemplo si llamamos f n (z) = nz, entonces {f n } n N es una sucesión de funciones complejas, cada una de las funciones de la sucesión esta definida en todo C, y la n-ésima función de la sucesión es nz.

9 Sucesiones y series en C 171 Supongamos que tenemos una sucesión de funciones {f n } n N, y tomemos un número z fijo que esté en el dominio de todas las funciones f n, entonces {f n (z)} n N es una sucesión de números complejos, así que tiene sentido plantear la serie f 1 (z) + f 2 (z) + f 3 (z) + = f n (z). Para decidir si una serie de este tipo converge, se puede aplicar cualquiera de los criterios vistos, pues se trata de una serie normal de números complejos. Pero estamos interesados en ver el problema desde otro punto de vista: dada una sucesión de funciones {f n } n N, queremos encontrar los números complejos z para los cuales la serie numérica f n (z) es convergente (si es que hay alguno). Suponiendo que la serie f n (z) converge para todo z de cierto conjunto D, llamamos N S (z) = lím f n (z) = f n (z), N y esto define una nueva función, S (z), en D (la función que asigna a cada z de D el valor de la serie numérica f n (z)). Este hecho se suele denotar omitiendo la variable: S = lím N N f n = f n, y se dice que la serie de funciones f n converge a la función S. La definición de convergencia queda así: Definición 6.22 Sea {f n } una sucesión de funciones complejas definidas en D C. La serie de funciones f n converge a la función S en D si para todo z en D es cierto que, n dado ε > 0 existe N > 0 tal que f j (z) S (z) < ε si n N (por supuesto que en general, N dependerá no solo de ε sino también de z). j=1 Ejemplo 6.23 Tomar f n (z) = z n, con n N (es decir, f 1 (z) = z, f 2 (z) = z 2, f 3 (z) = z 3, etc.), y queremos ver para que valores de z podemos calcular f 1 (z) + f 2 (z) + f 3 (z) + (notar que cada función f n está definida en todo C). Llamando S n (z) = f 1 (z)+f 2 (z)+f 3 (z)+ f n (z) y haciendo la misma cuenta que para la serie geométrica, concluimos que para z 1 vale S n (z) = z zn+1 1 z. Entonces, para z con z < 1 tenemos que f n (z) = lím S n (z) = z 1 z,

10 172 Sucesiones y series en C y para z con z 1 la serie no converge pues los términos no tienden a cero. Es decir, la serie f n converge en la región D = {z : z < 1}. Definición 6.24 Dada una sucesión de funciones f n : D C C diremos que f n converge en un conjunto D si f n (z) converge para todo z D (notar que, necesariamente D Dom (f n ) n, es decir, los puntos donde la serie converge son, necesariamente, puntos del dominio de las funciones f n ). Análogamente, diremos que la serie f n converge absolutamente en D si la serie f n (z) converge para todo z D (o sea si la serie f n (z) converge absolutamente para todo z D). Definición 6.25 La región de convergencia de la serie f n es el conjunto { } z C : f n (z) converge, es decir, el mayor conjunto donde la serie converge. Los criterios enunciados para series numéricas quedan ahora así: Si f n y g n son series de funciones, f n converge a f en D f C, y g n converge a g en D g C, y α es un número complejo, entonces la serie de funciones (αf n + g n ) converge a la función αf + g en D f D g. Si f n = u n + iv n y f = u + iv, entonces f n converge a f en D f si y solo si converge a u en D f y v n converge a v en D f. u n La serie f n converge en D si y solo si la serie R N = n=n+1 f n converge en D para todo N, y en tal caso lím R N(z) = 0 z D. N Si f n converge en D C entonces lím f n (z) = 0 z D. Si f n converge absolutamente en D C entonces converge en D (es decir, si f n (z) converge para todo z en D entonces f n (z) converge para todo z en D). Si h n (z) f n (z) z D y f n converge en D, entonces h n converge en D (y entonces h n converge en D). Si {f n } n N es una sucesión con f n (z) 0 z D y n N (donde N es algún natural) y para todo z D existe q z < 1 tal que lím f n+1 (z) f n (z) = l z, entonces la serie f n converge absolutamente en D si l z < 1 z D (y diverge para los valores de z tales que l z > 1).

11 Sucesiones y series en C 173 Si {f n } n N es una sucesión y lím n fn (z) = l z, entonces la serie f n converge absolutamente en D si l z < 1 z D (y diverge para los valores de z tales que l z > 1). Ejemplo 6.26 Tomemos f n (z) = ( z ) n z + 1 (o sea que cada f n está definida en C { 1}), buscamos la región de convergencia de f n. Por el ejemplo anterior, sabemos que necesitamos ( ) z < 1, z + 1 y si ponemos z = x + iy, entonces ( ) z < 1 z < z + 1 z 2 < z z + 1 x 2 + y 2 < (x + 1) 2 + y 2 x 2 < x 2 + 2x < x, es decir, la serie converge en el semiplano { z : Re (z) > 1 2}. Al igual que lo hecho en el caso de series de funciones de variable real, al considerar una serie de funciones f n queremos que se porte como una suma finita. Es decir: si {f n } n N es una sucesión de funciones continuas en D y la serie f n converge en D, será cierto que la función f n (z) es continua en D?. Y si las f n son analíticas?. A continuación vamos a contestar esas preguntas. Los resultados que se obtienen son mejores aún que en el caso real, y marcan la diferencia entre series de funciones de variable real y las de variable compleja. Teorema 6.27 Si {f n } n N es una sucesión de funciones continuas en un abierto D C y existe una sucesión de números {M n } n N tales que 1. para cada n N, vale que f n (z) M n z D, y 2. la serie M n converge. Entonces la serie f n converge absolutamente en D a una función continua S(z). Además, S (z) dz = f n (z) dz para toda curva suave C D. C C

12 174 Sucesiones y series en C Demostración. Primero notar que por comparación la serie f n(z) converge (absolutamente) para todo z D. Llamemos S(z) = f n(z). Además, para todo z D vale que N R N (z) = f n (z) f n (z) = f n (z) f n (z) M n 0 N n=n+1 n=n+1 n=n+1 (por ser el resto de una serie convergente), y entonces dado ε > 0 puedo encontrar n 0 N tal que R n0 (z) < ε z D 3 Doy un z 0 fijo en D, quiero ver que puedo hacer S (z) S (z 0 ) chico tomando z suficientemente próximo a z 0, es decir, doy ε > 0 y quiero ver que hay un δ > 0 tal que Llamemos S n (z) = n j=1 f j (z), entonces S (z) S (z 0 ) < ε si z z 0 < δ. S (z) S (z 0 ) = S (z) S n0 (z) + S n0 (z) S n0 (z 0 ) + S n0 (z 0 ) S (z 0 ) S (z) S n0 (z) + S n0 (z) S n0 (z 0 ) + S n0 (z 0 ) S (z 0 ) = = R n0 (z) + S n0 (z) S n0 (z 0 ) + R n0 (z 0 ) < < 2 ε 3 + S n 0 (z) S n0 (z 0 ). (6.1) Ahora tomo δ tal que S n0 (z) S n0 (z 0 ) < ε 3 si z z 0 < δ (6.2) (que existe pues la función S n0 (z) es continua en z 0 pues es la suma de n 0 funciones continuas). Combinando (6.1) con (6.2), vemos que tal δ es el que estábamos buscando. En cuanto a la parte de integrar término a término: notar que el enunciado dice que la serie numérica f n (z) dz C converge, y que converge al número complejo C S (z) dz (bien definido pues S es continua en C). Por definición de convergencia de una serie numérica, queremos ver que N S (z) dz f n (z) dz 0 N C Llamemos l a la longitud de C; como la suma de las integrales es la integral de la suma, queda N ( N ) S (z) dz f n (z) dz = S (z) dz f n (z) dz C C C C = ( ) N = S (z) f n (z) dz C = R N (z) dz C ( ) l M n 0, N C n=n+1

13 Sucesiones y series en C 175 donde el último vale pues R N (z) n=n+1 M n para todo z C (en realidad sabemos que dicha desigualdad vale en todo D). Observación 6.28 Con la notación del teorema anterior, si de antemano sabemos que S es continua en C, para integrar término a término sobre C sólo necesitamos la hípotesis (1) en C, es decir, 1. para cada n N, vale que f n (z) M n z C, y 2. la serie M n converge. La hipótesis (1) en todo D se usa solo para ver que S es continua. Teorema 6.29 Si {f n } n N es una sucesión de funciones analíticas en un abierto D y existe una sucesión de números {M n } n N tales que 1. para cada n N, vale que f n (z) M n z D, y 2. la serie M n converge. Entonces la serie f n converge absolutamente en D a una función analítica S (z), y S (z) = f n (z) z D. Demostración. Para ver que f es analítica en D basta con demostrar que f es analítica en cada bola B contenida en D, y para eso vamos a usar el Teorema Como cada f n es analítica en B, el Teorema de Cauchy dice que C f n (z) dz = 0 n N para toda curva cerrada en C B, y entonces el Teorema 6.27 nos dice que S (z) dz = 0, C de donde concluimos (usando el Teorema 5.26) que S (z) es analítica en B. Veamos que se puede derivar término a término: tomemos z 0 en D y calculemos S (z 0 ). Tomo r > 0 tal que la bola B r = {z : z z 0 r} este en D (que existe pues D es abierto), y llamo C r = {z : z z 0 = r}, recorrida en sentido antihorario. D r C r z 0

14 176 Sucesiones y series en C Para todo z D vale que y para todo n N vale que S (z) (z z 0 ) 2 = 1 (z z 0 ) 2 f n (z) = f n (z) (z z 0 ) 2, f n (z) (z z 0 ) 2 M n r 2 para todo z C r. Entonces el Teorema 6.27 (y la Observación que le sigue), y la Fórmula Integral de Cauchy (aplicada dos veces) implican que S (z 0 ) = 1 2πi C r S (z) (z z 0 ) 2 dz = 1 2πi C r f n (z) (z z 0 ) 2 dz = f n (z 0 ). Nota importante 6.30 Este Teorema marca una diferencia importante entre la teoría de variable compleja y la teoría de variable real: notar que su homólogo real (el Teorema 1.14) pide condiciones sobre las derivadas f n, y este no. Ejemplo 6.31 Consideremos la serie Si R = {z : Re (z) < 1}, entonces e nz e nz = e nx e n z R, y como la serie e n converge, podemos concluir que S(z) = enz es una función analítica en R, y además S (z) = ne nz Series de potencias En esta sección vamos a estudiar un caso particular de series de funciones, que es cuando la sucesión de funciones a sumar es particularmente sencilla, más concretamente, sumaremos sucesiones {f n } n N {0} donde f n (z) = a n (z a) n (un monomio de grado n, creo que le dicen). Definición 6.32 Una serie de la forma a 0 + a 1 (z a) + a 2 (z a) 2 + a 3 (z a) 3 + a 4 (z a) 4 + donde a y a 0, a 1,... son números complejos, se llama una serie de potencias centrada en a (o una serie de potencias en a ). Es decir, una serie de potencias en a es una serie f n, donde f n (z) = a n (z a) n.

15 Sucesiones y series en C 177 Ejemplo La serie geométrica zn es una serie de potencias centrada en 0, donde todos los coeficientes a n valen 1. Notar que vimos que la región de convergencia de dicha serie era el disco {z : z < 1}. 2. La serie ( 1) n+1 (z 1) n n es una serie de potencias centrada en 0 (veremos que converge en {z : z 1 < 1} a log (z)). La región de convergencia de una serie de funciones puede tener muchas formas, pero la región de convergencia de una serie de potencias es siempre un disco, según puede deducirse del siguiente teorema: Teorema 6.34 Si la serie de potencias a n (z a) n converge para z = z 0 entonces converge absolutamente para todo z con z a < z 0 a. Demostración. Puesto que la serie que a n (z 0 a) n converge, la Condición del Resto nos dice lím a n (z 0 a) n = 0, y entonces M tal que a n (z 0 a) n M n. Si tomamos z tal que z a < z 0 a, tendremos ( ) a n (z a) n z a n = a n r n M z a n z 0 a z 0 a. Puesto que la serie z a z 0 a converge (por ser geométrica de razón menor que 1), por comparación concluimos que n a n (z 0 a) n converge absolutamente. El resultado anterior nos permite definir el concepto de radio de convergencia de una serie de potencias: consideremos la serie a n (z a) n, que siempre converge (a cero) cuando z = a. Llamemos R 0 = 0, y exploremos dos posibilidades: 1. Si existe z 0 tal que z 0 a > R 0 y tal que la serie a n (z 0 a) n sea convergente, llamemos R 1 = z 0 a (notar R 1 > R 0 ). En tal caso el Teorema anterior nos dice que la serie converge absolutamente z {z : z a < R 1 }.

16 178 Sucesiones y series en C 2. Si no existe z 0 tal que z 0 a > R 0 y la serie a n (z 0 a) n sea convergente, llamamos R = R 0 = 0, y la serie converge solo en z = a. En el caso 1., seguimos iterativamente de la siguiente manera: 1. Si existe z 1 tal que z 1 a > R 1 y tal que la serie a n (z 1 a) n sea convergente, llamemos R 2 = z 1 a (notar R 2 > R 1 ). En tal caso el Teorema anterior nos dice que la serie converge absolutamente z {z : z a < R 2 }. 2. Si no existe z 1 tal que z 1 a > R 1 y la serie a n (z 1 a) n sea convergente, llamamos R = R 1, y la serie converge absolutamente z {z : z a < R} y diverge z {z : z a > R}. Este proceso iterativo nos permite construir una sucesión creciente {R n } cuyo límite ( ) se llama el radio de convergencia de la serie de potencias: Definición 6.35 El radio de convergencia de la serie a n (z 0 a) n es un número R [0, ] con la siguiente propiedad: la serie converge absolutamente z {z : z a < R} y diverge z {z : z a > R}. No sabemos que pasa en {z : z a = R}. Nota 6.36 El radio de convergencia puede ser infinito (cuando la serie converge en todo el plano complejo), y puede ser cero (cuando la serie converge solo en un punto). Las series z n n! y n!z n son ejemplos de esta situación, ya que la primera converge para todo z, y la segunda sólo para z = 0. Veremos ahora un par de métodos para encontrar el radio de convergencia a partir de los coeficientes a n de una serie de potencias a n (z a) n. Proposición 6.37 Considerar la serie de potencias a n (z a) n. Si el límite lím a n+1 a n existe y vale L, entonces el radio de convergencia de la serie es R = 1/L. Demostración. Tomemos z fijo y distinto de a, entonces con nuestras hipótesis tenemos que a n+1 (z a) n+1 lím a n (z a) n = lím a n+1 a n (z a) = L (z a), por lo cual el corolario del criterio del cociente nos dice que la serie va a converger si L (z a) < 1, es decir si (z a) < 1/L, y va a diverger si L (z a) > 1, o sea si (z a) > 1/L, es decir que el mayor disco abierto donde la serie converge es es decir el radio de convergencia es 1/L. {z : z a < 1/L},

17 Sucesiones y series en C 179 Proposición 6.38 Considerar la serie de potencias a n (z a) n. Si el límite n an lím existe y vale L, entonces el radio de convergencia de la serie es R = 1/L. Demostración. Tomemos z fijo y distinto de a, entonces con nuestras hipótesis tenemos que n lím a n (z a) n = lím (z a) n a n = (z a) L, por lo cual el corolario del criterio de la raíz nos dice que la serie va a converger si L (z a) < 1, es decir si (z a) < 1/L, y va a diverger si L (z a) > 1, o sea si (z a) > 1/L, es decir que el mayor disco abierto donde la serie converge es es decir el radio de convergencia es 1/L. {z : z a < 1/L}, Los resultados más importantes tienen que ver con derivadas e integrales de series de potencias. Notar que si la serie a n (z a) n tiene radio de convergencia R, entonces la función compleja S (z) = a n (z a) n está definida en el disco abierto D = {z : z a < R}, y si r < R entonces 1. a n (z a) n a n r n para todo z B r (a) 2. a n r n converge (pues la serie converge absolutamenten en z = a + r), y entonces puedo derivar e integrar término a término en B r (a) (usando los Teoremas 6.29 y 6.27, y que cada f n (z) = a n (z a) n es analítica en C). Pero como r es cualquiera menor que R, resulta que puedo derivar e integrar término a término en todo D ( pensar!). Entonces S (z) = na n (z a) n 1, y puedo encontrar una primitiva de S (z) en D integrando (como en el Teorema de las Primitivas) término a término, es decir, una primitiva de S (z) en D es z ( z ) ( z ) S (w) dw = a n (w a) n dw = a n (w a) n a n dw = (z a)n+1 n + 1 a a (el último igual vale pues an n+1 (z a)n+1 es una primitiva de a n (z a) n en D, recordar lo que significa la notación de integral usada arriba). Ahora, el teorema que nos permite derivar término a término nos asegura que la serie que define S (z) converge (por lo menos) en la misma región donde converge la serie que define S (z), y por lo tanto el radio de convergencia de la serie na n (z a) n 1 (6.3) a

18 180 Sucesiones y series en C debe ser por lo menos R, y exactamente lo mismo se aplica a la serie a n n + 1 (z a)n+1. (6.4) Esto implica que el radio de convergencia de la serie (6.3) debe ser exactamente R, pues si fuera mayor que R, integrando concluiríamos que la serie a n (z a) n tiene radio de convergencia mayor que R. Un razonamiento análogo se aplica para concluir que la serie (6.4) debe tener radio de convergencia R, o sea tenemos el siguiente teorema: Teorema 6.39 Si la serie de potencias a n (z a) n tiene radio de convergencia R, entonces la función S (z) = a n (z a) n que define en el disco abierto D = {z : z a < R} es analítica en D, y las derivadas (resp. integrales) de S se obtienen derivando (resp. integrando) término a término, y las series resultantes tienen el mismo radio de convergencia R. El teorema anterior es muy importante porque, a partir de él, hemos creado una cantidad inmensa de funciones analíticas: cada serie de potencias con radio de convergencia mayor que cero nos da una. Veremos pronto que, en algún sentido, son las únicas funciones analíticas en abiertos simplemente conexos. Ejemplo 6.40 Puesto que la serie z2n ( 1)n+1 (2n)! tiene radio de convergencia infinito (verificar!), me define una función analítica en todo el plano, y puedo derivar e integrar término a término, obteniendo ( ) d ( 1) n+1 z 2n = dz (2n)! y z 0 d dz ( 1)n+1 ( ) ( 1) n+1 w 2n dw = (2n)! = z 2n (2n)! = z ( 1) n+1 2n z2n 1 (2n)! = ( 1) n+1 ( 1) n+1 w 2n 0 (2n)! dw = ( 1) n+1 z 2n+1 (2n + 1)! ( 1) n z 2n 1 (2n 1)! = ( 1) n+1 z 2n 1 (2n 1)!, z 2n 1 (2n 1)!, es decir, la derivada y la integral de la serie son iguales, salvo por el signo (!) Qué función que Ud. conozca tiene esa propiedad?

19 Sucesiones y series en C 181 Para terminar, un teorema que caracteriza a las series de potencias en términos de sus coeficientes: si tengo dos series de potencias a n (z a) n y b n (z a) n que convergen ambas en cierto disco D = {z : z a < r} (no estoy pidiendo que tengan el mismo radio de convergencia), y sé que a n = b n para todo n, entonces está claro que las dos series son iguales. La pregunta obvia es si la recíproca es cierta: supongamos que a n (z a) n = b n (z a) n z D, será cierto que a n = b n n?, o se podrán elegir los coeficientes a n y b n distintos pero de forma tal que cuando uno hace la suma infinita de igual? La respuesta es: Teorema 6.41 Si dos series de potencias a n (z a) n y b n (z a) n convergen ambas en D = {z : z a < r} y entonces a n = b n n. a n (z a) n = b n (z a) n z D, Demostración. Llamemos f (z) = a n (z a) n y g (z) = b n (z a) n, ambas funciones analíticas en D. Puesto que f (a) = g (a), tenemos que a 0 = b 0. Derivando tenemos que f (z) = na n (z a) n 1 y g (z) = nb n (z a) n 1, y además sabemos que f = g, en particular f (a) = g (a), es decir a 1 = b 1. Siguiendo el mismo procedimiento y usando inducción en n concluimos que a n = b n n.

20 182 Sucesiones y series en C