SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

Transcripción

1 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS y T T x y=se x T T Las sumas parciales T de ua serie de Taylor da aproximacioes cada vez mejores a ua fució cuado aumeta. Las sucesioes ifiitas y las series se trataro brevemete e la Presetació prelimiar del cálculo e relació co las paradojas de Zeó y la represetació decimal de los úmeros. La importacia e el cálculo radica e la idea de Newto de represetar las fucioes como sumas de series ifiitas. Por ejemplo, al determiar áreas, co frecuecia itegraba ua fució, pero primero la expresaba como ua serie y luego itegraba cada uo de los térmios de la serie. Esta idea se trata e la secció.0 co objeto de itegrar fucioes como e x. (Recuerde que esto aú o ha sido hecho). Muchas de las fucioes que surge e la física matemática y e la química matemática, como las fucioes de Bessel, se defie como sumas de series, de modo que es importate coocer los coceptos básicos de covergecia de sucesioes y series ifiitas. Los físicos tambié utiliza las series e otro aspecto, como se explica e la secció.. Al estudiar campos ta diversos como la óptica, la relatividad especial y el electromagetismo, aaliza feómeos reemplazado ua fució co los primeros térmios e la serie que la represeta. 674

2 . SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a es el segudo térmio y, e geeral, a es el -ésimo térmio. Aquí se trata exclusivamete co sucesioes ifiitas, por lo que cada térmio a tiee u sucesor a. Observe que para todo etero positivo hay u úmero correspodiete a, por lo que ua sucesió se puede defiir como ua fució cuyo domiio es el cojuto de eteros positivos. Por lo regular, se escribe a e lugar de la otació de fució f() para el valor de la fució e el úmero. NOTACIÓN La sucesió {a, a, a 3,...}tambié se deota mediate a o a (a) (b) EJEMPLO Alguas sucesioes se puede defiir dado ua fórmula para el térmio -ésimo. E los ejemplos siguietes se ofrece tres descripcioes de la sucesió: Ua e la que se aplica la otació aterior, e otra se aplica ua fórmula defiida y e la tercera se escribe los térmios de la sucesió. Observe que la o tiee que empezar e. 3 a a 3,, 3, 4,..., 3 4 5,..., 3, 4, 5,...,, (c) (d) {s 3} 3 cos 6 0 a s 3, 3 a cos 6, 0 {0,, s, s3,..., s 3,...}, s3,, 0,..., cos 6,... V EJEMPLO Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió 3, 4 5 5, 5 5, 6 65, 7 35,... y supoga que el patró de los primeros térmios cotiúa. SOLUCIÓN Se sabe que a 3 5 a 4 5 a a a Observe que los umeradores de estas fraccioes empieza co 3 y se icremeta ua uidad al pasar al siguiete térmio. El segudo térmio tiee umerador 4, el siguiete umerador es 5; e geeral, el -ésimo térmio tedrá como umerador. Los deomiadores so las potecias de 5, de modo que a tiee por deomiador 5. El sigo de los térmios es alteradamete positivo y egativo, por lo que es ecesario 675

3 676 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS multiplicar por ua potecia de. E el ejemplo (b) el factor sigifica que empieza co u térmio egativo. Como aquí se busca iiciar co u térmio positivo, se usa, o bie,. Por lo tato, a 5 EJEMPLO 3 E este caso hay alguas sucesioes que o tiee ua ecuació que las defia e forma simple. (a) La sucesió p, dode p es la població mudial el uo de eero del año. (b) Si a es el -ésimo dígito e la expasió decimal del úmero e, etoces a es ua sucesió bie defiida cuyos primeros térmios so 7,, 8,, 8,, 8,, 8, 4, 5,... (c) Las codicioes siguietes defie e forma recursiva la sucesió de Fiboacci f f f f f f 3 Cada uo de los térmios es la suma de los dos ateriores. Los primeros térmios so,,, 3, 5, 8, 3,,... Esta sucesió surgió cuado el matemático italiao del siglo XIII, a quie se cooce como Fiboacci, resolvió u problema que se relacioaba co la cría de coejos (véase ejercicio 7). 0 FIGURA a a a a Ua sucesió como la del ejemplo (a), a, se puede represetar dibujado sus térmios e ua recta umérica como e la figura, o trazado la gráfica como e la figura. Observe que, como ua sucesió es ua fució cuyo domiio es el cojuto de los eteros positivos, su gráfica costa de putos aislados co coordeadas, a, a 3, a 3..., a... a 7 a = 8 De acuerdo co la figura o la, parece que los térmios de la sucesió a se aproxima a cuado se icremeta. E efecto, la diferecia FIGURA se puede hacer ta pequeña como se quiera al icremetar a. Se idica lo aterior escribiedo lím l E geeral, la otació lím a L l quiere decir que los térmios de la sucesió a se aproxima a L cuado se icremeta suficietemete. Observe que la defiició siguiete del límite de ua sucesió es muy parecida a la defiició de límite de ua fució e el ifiito dada e la secció.6.

4 SECCIÓN. SUCESIONES 677 DEFINICIÓN Ua sucesió a tiee como límite L, y se escribe lím a L l o a l L cuado l si podemos aproximar los térmios a tato como se quiera cuado es suficietemete grade. Si existe lím l a, se dice que la sucesió coverge (o que es covergete). De lo cotrario se dice que la sucesió diverge (o es divergete). E la figura 3 se ilustra la defiició mostrado las gráficas de las dos sucesioes que tiee como límite a L. a a FIGURA 3 Gráficas de las dos sucesioes lím a =L ` L 0 L 0 Ua versió más exacta de la defiició es como se idica a cotiuació. DEFINICIÓN Ua sucesió a tiee por límite a L y se escribe & Compare esta defiició co la defiició.6.7. lím a L l o bie a l L cuado l si para todo 0 hay u etero correspodiete N tal que si N etoces a L La defiició se ilustra mediate la figura 4, e la cual los térmios a, a, a 3,... se localiza e la recta umérica. No importa qué ta pequeño se escoja al itervalo L, L, existe ua N tal que todos los térmios de la sucesió desde a N e adelate debe estar e el itervalo. a a a aˆ a N+ a N+ a aß a a a FIGURA 4 0 L- L L+ Otra ilustració de la defiició es la figura 5. Los putos sobre la gráfica de a debe estar etre las rectas horizotales y L y y L si N. Esta image debe ser válida, o importa qué ta pequeño se haya escogido, pero por lo regular u más pequeño requiere ua N más grade. y L y=l+ y=l- FIGURA N

5 678 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La comparació de la defiició y la defiició.6.7 señala que la úica diferecia etre lím l a L y lím xl fx L es que se requiere que sea etero. E estos térmios está el siguiete teorema, el cual se ilustra e la figura 6. 3 TEOREMA Si lím xl fx L y f a, cuado es u etero, etoces lím l a L. y y=ƒ L FIGURA x E particular, puesto que ya se sabe que lím x l x r 0, cuado r 0 (teorema.6.5), se tiee 4 lím l r 0 si r 0 Si a tiede a ser muy grade cuado lo es, se usa la otació lím l a. La siguiete defiició exacta es parecida a la defiició DEFINICIÓN etero N tal que lím l a sigifica que para todo úmero positivo M hay u a M siempre que N Si lím l a, etoces la sucesió a es divergete pero de ua maera especial. Se dice que a diverge a. Las leyes de los límites que se estudia e la secció.3 tambié se cumple para los límites de sucesioes y sus demostracioes so similares. LEYES DE LOS LÍMITES PARA LAS SUCESIONES. Si a y b so sucesioes covergetes y c es ua costate, etoces lím a b lím a lím b l l l lím a b lím a lím b l l l lím ca c lím a l l lím c c l lím a b lím a lím b l l l a lím l b lím a l lím b l si lím l b 0 lím a p [lím a l l ] p si p 0 y a 0

6 SECCIÓN. SUCESIONES 679 El teorema de la compresió tambié se puede adaptar a las sucesioes como sigue (véase figura 7). TEOREMA DE LA COMPRESIÓN PARA LAS SUCESIONES. c Si a b c para 0 y lím a lím c, etoces lím b L L. l l l Otro hecho útil co respecto a los límites de sucesioes se proporcioa e el teorema siguiete cuya demostració se deja como ejercicio (ejercicio 75). b a 6 TEOREMA Si lím a 0, etoces lím a 0. l l 0 FIGURA 7 La sucesió hbj es comprimida etre las sucesioes haj y hcj EJEMPLO 4 Determie lím. l SOLUCIÓN El método es similar al que se preseta e la secció.6: Se divide tato el umerador como el deomiador etre la potecia más alta de y luego se aplica las leyes de los límites. & Esto demuestra que la cojetura que se hizo ates a partir de las figuras y era correcta. lím l lím l 0 E este caso se aplica la ecuació 4 co r. lím l lím lím l l l EJEMPLO 5 Calcule lím. l SOLUCIÓN Observe que tato el umerador como el deomiador tiede al ifiito cuado l. No se puede aplicar directamete la regla de l Hospital porque o se aplica a sucesioes, sio a fucioes de ua variable real. No obstate, se puede aplicar la regla de l Hospital a la fució relacioada fx l xx y obteer l x lím x l x Por lo tato, de acuerdo co el teorema 3 x lím x l 0 l lím l 0 a _ FIGURA 8 EJEMPLO 6 Determie si la sucesió a es covergete o divergete. SOLUCIÓN Si escribe los térmios de la sucesió obtiee,,,,,,,... La gráfica de esta sucesió se muestra e la figura 8. Como los térmios oscila etre y e forma ifiita, a o se aproxima a igú úmero. Por lo tato, lím l o existe; es decir, la sucesió es divergete.

7 680 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & La gráfica de la sucesió del ejemplo 7 se muestra e la figura 9 y apoya la respuesta. EJEMPLO 7 Evaluar lím si es que existe. l a SOLUCIÓN lím l lím l 0 0 _ FIGURA 9 Por lo tato, de acuerdo co el teorema 6, lím 0 l El siguiete teorema dice que al aplicar ua fució cotiua a los térmios de ua sucesió covergete, el resultado tambié es covergete. La prueba se deja como ejercicio TEOREMA Si lím a L y la fució f es cotiua e L, etoces l lím l f a f L EJEMPLO 8 Ecuetre lím sep. l SOLUCIÓN Como la fució seo es cotiua e 0, el teorema 7 hace posible escribir lím sep se lím l l p se 0 0 V EJEMPLO 9 Aalice la covergecia de la sucesió a!, dode! 3. & GRAFICACIÓN DE SUCESIONES Alguos sistemas algebraicos computacioales cotiee comados especiales que permite crear sucesioes y dibujarlas directamete. Si embargo, co la mayoría de las calculadoras para trazar gráficas se puede dibujar sucesioes usado ecuacioes paramétricas. Por ejemplo, la sucesió del ejemplo 9 se puede dibujar itroduciedo las ecuacioes paramétricas y dibujado e el modo puto (dot mode) iiciado co t ; se establece el paso t-ésimo igual a. El resultado se muestra e la figura 0. x t y t!t t SOLUCIÓN Tato el umerador como el deomiador tiede al ifiito cuado l, pero e este caso o hay fució correspodiete para usar la regla de l Hospital (x! o está defiida cuado x o es u etero). Se escribe alguos de los térmios para ver qué pasa co a cuado es grade: 8 a a a a Al parecer, por estas expresioes y la gráfica de la figura 0, los térmios so decrecietes y quizá se aproxime a 0. Para cofirmarlo, observe que segú la ecuació 8 a 3 Observe que la expresió etre parétesis es cuado mucho porque el umerador es meor que (o igual) al deomiador. De este modo 0 FIGURA a Sabe que l 0 cuado l. Por lo tato, a l 0 cuado l por el teorema de la compresió.

8 SECCIÓN. SUCESIONES 68 V EJEMPLO 0 Para qué valores de r es covergete la sucesió r? SOLUCIÓN Sabe por la secció.6 y las gráficas de las fucioes expoeciales de la secció.5 que lím para a y lím x l a x x l a x 0 para 0 a. Por lo tato, si hace a r y aplica el teorema 3 llega a Es obvio que lím r l lím l 0 y si r si 0 r lím 0 0 l Si r 0, por lo tato 0 r, de modo que lím r lím r 0 l l y, debido a eso, lím de acuerdo co el teorema 6. Si r, etoces r l r 0 diverge como e el ejemplo 6. E la figura se ilustra las gráficas de varios valores de r. (El caso de r se muestra e la figura 8.) a a r> r= _<r<0 0 FIGURA La sucesió a =r 0 0<r< r<_ Los resultados del ejemplo 0 se resume para uso futuro como sigue. 9 La sucesió r es covergete si r y divergete para todos los otros valores de r. lím r 0 l si r si r & El lado derecho es meor porque tiee u deomiador mayor. 0 DEFINICIÓN Ua sucesió a se llama creciete si a a para toda, es decir, a a a 3. Se deomia decreciete si a a para toda. Recibe el ombre de moótoa si es creciete o decreciete. EJEMPLO La sucesió 3 5 es decreciete porque y por lo tato a a para toda.

9 68 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS EJEMPLO Demuestre que la sucesió a SOLUCIÓN Es ecesario demostrar que a a, es decir, es decreciete. Esta desigualdad equivale a la obteida por multiplicació cruzada: &? &? &? 3 3 Puesto que, ya sabe que la desigualdad es verdadera. Por lo tato, a a y tambié a es decreciete. x SOLUCIÓN Cosidere la fució f x : x f x x x x x x 0 cuado x E estos térmios, f es decreciete e, y por eso a es decreciete. f f. Por lo tato DEFINICIÓN M tal que Ua sucesió a está acotada por arriba si hay u úmero a M para toda Se dice que está acotada por abajo si hay u úmero m tal que m a para toda Si está acotada por arriba y por abajo, e tal caso a es ua sucesió acotada. a M L 0 3 FIGURA Por ejemplo, la sucesió a está acotada por abajo a 0, pero o por arriba. La sucesió a está acotada porque 0 a para toda. Ya sabe que o toda sucesió acotada es covergete [por ejemplo, la sucesió a cumple co a, pero es divergete del ejemplo 6] y o toda sucesió moótoa es covergete a l. Pero si ua sucesió es tato acotada como moótoa, etoces tiee que ser covergete. Este hecho se demuestra e la forma del teorema, pero ituitivamete se etiede por qué es cierto viedo la figura. Si a es creciete y a M para toda, después los térmios está forzados a aglomerarse y a aproximarse a u úmero L. La demostració del teorema se apoya e el axioma de completitud para el cojuto de los úmeros reales, que dice que si S es u cojuto o vacío de úmeros reales que tiee ua cota superior M (x M para toda x e S), luego S tiee ua cota superior míima b. [Esto quiere decir que b es ua cota superior para S, pero si M es cualquier otra cota superior, por lo tato b M]. El axioma de completitud expresa el hecho de que o hay brecha o agujero e la recta de los úmeros reales.

10 SECCIÓN. SUCESIONES 683 TEOREMA DE LA SUCESIÓN MONÓTONA covergete. Toda sucesió acotada y moótoa es DEMOSTRACIÓN Supoga que a es ua sucesió creciete. Puesto que a está acotada, el cojuto S a posee ua cota superior. De acuerdo co el axioma de completitud, tiee ua cota míima superior L. Dado 0, L o es ua cota superior para S (puesto que L es la cota superior míima). Por lo tato, a N L para u etero N Pero la sucesió es creciete de modo que a a N para toda N. E estos térmios, si N a L de tal maera puesto que a L. Así que, 0 L a L a cuado N así lím l a L. Ua demostració similar (aplicado la cota iferior más grade) fucioa si a es decreciete. La demostració del teorema demuestra que ua sucesió que es creciete y acotada por arriba es covergete. (De igual maera, ua sucesió decreciete que está acotada por abajo es covergete.) Este hecho se aplica muchas veces al trabajar co series ifiitas. EJEMPLO 3 Ivestigue la sucesió a defiida por la relació de recurrecia a a a 6 para,, 3, SOLUCIÓN Para empezar se calcula los primeros térmios: a a 6 4 a a a a a a a & Co frecuecia, la iducció matemática se aplica cuado se trabaja co sucesioes recursivas. Véase págia 77 dode se ecuetra u aálisis del pricipio de iducció matemática. Estos térmios iiciales hace pesar que la sucesió es creciete y que los térmios se aproxima a 6. Para cofirmar que la sucesió es creciete, aplique la iducció matemática para demostrar que a a para toda. Esto es válido para porque a 4 a. Si supoe que se cumple para k, después tiee a k a k de modo que a k 6 a k 6 y Por esto, a k 6 a k 6 a k a k

11 684 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Ya se dedujo que a a es válida para k. Por lo tato, la desigualdad se cumple para toda por iducció. Luego de verificar que a está acotada demostrado que a 6 para toda. (Puesto que la sucesió es creciete, se sabe que tiee ua cota iferior: a a para toda.) Se tiee que a 6, de modo que la aseveració es válida para. Supoga que se cumple para k. E tal caso a k 6 de este modo a k 6 a k 6 6 Por eso, a k 6 Esto demuestra por iducció matemática que a 6 para toda. Como la sucesió a es creciete y acotada, el teorema garatiza que tiee u límite. El teorema o dice cuál es el valor del límite, pero ahora que sabe que L lím l a existe, puede aplicar la relació de recurrecia para escribir lím a lím l l a 6 ( lím a 6 l ) L 6 & Ua demostració de este hecho se pide e el ejercicio 58. Como a l L, se ifiere que a l L, tambié (cuado l, l, tambié). De este modo L L 6 Al resolver esta ecuació, determia que L 6, tal como había predicho.. EJERCICIOS. (a) Qué es ua sucesió? (b) Qué sigifica decir que lím l a 8? (c) Qué sigifica decir que lím l a?. (a) Qué es ua sucesió covergete? Proporcioe dos ejemplos. (b) Qué es ua sucesió divergete? Dé dos ejemplos. 3 8 Proporcioe los primeros cico térmios de la sucesió. 3. a a 3 5. a ! 7. a 3, a a 8. a 4, a a 9 4 Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió, supoiedo que se matega el patró de los primeros térmios. 9. {, 3, 5, 7, 9,...} 0. {, 3, 9, 7, 8,...} a., 7,, 7, {, 3, 4 9, 8 7,...} { 4, 9, 3 6, 4 5,...} 4. 5,, 5,, 5,,... Haga ua lista de los seis primeros térmios de la sucesió defiida por a Parece que la sucesió tiee u límite? Si es así, hállelo. 6. Haga ua lista de los ueve primeros térmios de la sucesió cosp3. Parece que esta sucesió tiee u límite? Si es así, hállelo; si o es así, explique por qué Determie si la sucesió coverge o diverge. Si coverge, calcule el límite. 7. a a 3 3

12 SECCIÓN. SUCESIONES a a e. 3. a ta p a 6. 3 a a 3 5 a 9 a (a) Determie si la sucesió defiida como sigue es covergete o divergete: a a 4 a para (b) Qué ocurre si el primer térmio es a? 55. Si se ivierte 000 dólares a 6% de iterés, compuesto aualmete, por lo tato años después la iversió tiee u valor de a dólares. (a) Determie los primeros cico térmios de la sucesió a. (b) La sucesió es covergete o divergete? Explique 7. a cos 8. a cos arcta! e l l e e 33. e 34. cos p a se 38. a 4. a l l ,, 0, 0,, 0, 0, 0,, a! 46. a l l ; Co la ayuda de ua gráfica de la sucesió, establezca si ésta es covergete o divergete. Si la sucesió es covergete, deduzca el valor del límite a partir de la gráfica, y luego demuestre su cojetura. (Véase ua advertecia sobre las gráficas de sucesioes e la ota al marge de la págia 680). 47. a e a 50. a s a cos a cos a 53. a 3 5! 3 5! a 40. a a s 3 se s l {, 3,, 4, 3, 5, 4, 6,...} a 3! a s se(ps) 56. Determie los primeros 40 térmios de la sucesió defiida por y a. Haga lo mismo para a 5. Cojeture co respecto al tipo de sucesió. 57. Para qué valores de r es covergete la sucesió r? 58. (a) Si a es covergete, demuestre que 59. (b) Ua sucesió a se defie co a y a a para. Si supoe que a es covergete, calcule el límite. Supoga que sabe que a es ua sucesió decreciete y que todos sus térmios está etre los úmeros 5 y 8. Explique por qué la sucesió tiee u límite. Qué puede decir co respecto al valor del límite? Determie si la sucesió es creciete, decreciete, o o es moótoa. Está acotada la sucesió? 60. a 6. a a a 3a 3 lím a lím l l a a 64. a e 65. a 66. a 67. Determie el límite de la sucesió si a es u úmero par si a es u úmero impar a {s, ss, sss,...} Ua sucesió a está dada por a s, a s a. (a) Mediate iducció u otro método, demuestre que a es creciete y que su cota superior es 3. Aplique el teorema de sucesió moótoa para demostrar que sí existe lím l a. (b) Determie lím l a.

13 686 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 69. Demuestre que la sucesió defiida por a es creciete y que a 3 para toda. Deduzca que a es covergete y determie su límite. 70. Demuestre que la sucesió defiida por a cumple co 0 a y es decreciete. Deduzca que la sucesió es covergete y ecuetre el límite. 7. (a) Fiboacci plateó el problema siguiete: Supoga que los coejos vive toda la vida, que cada mes todas las parejas tiee u uevo par de coejitos, los cuales empieza a ser productivos a la edad de dos meses. Si empieza co ua pareja de recié acidos, cuátas parejas de coejos tedrá e el -ésimo mes? Demuestre que la respuesta es f, dode f es la sucesió de Fiboacci que se defie e el ejemplo 3(c). (b) Sea a f f y demuestre que a a. Supoiedo que a es covergete, determie el límite. 7. (a) Sea a a, a f a, a 3 f a f f a,..., a f a, dode f es ua fució cotiua. Si lím l a L, demuestre que fl L. (b) Ilustre el iciso (a) haciedo f x cos x, a, y calculado el valor de L co cico cifras decimales. ; 73. (a) Mediate ua gráfica, deduzca el valor del límite (b) Co ua gráfica de la sucesió del iciso (a) calcule los valores más pequeños de N que correspode a 0. y 0.00 e la defiició. 74. Aplique directamete la defiició para demostrar que lím l r 0 cuado r. 75. Demuestre el teorema 6. [Sugerecia: Aplique la defiició o el teorema de la compresió]. 76. Demuestre el teorema Demuestre que si lím l 0 y b es acotada, etoces lím l a b Sea a. a 3 a a 3 a 5 lím l! (a) Demuestre que si 0 a b, e tal caso b a b b a (b) Deduzca que b a b a. (c) Aplique a y b e el iciso (b) para demostrar que a es creciete. (d) Use a y b e el iciso b) para demostrar que a 4. (e) Mediate los icisos (c) y (d) demuestre que a 4para toda. (f) Aplique el teorema para demostrar que existe lím l. (El límite es e. Vea la ecuació 3.6.6) 79. Sea a y b úmeros positivos co a b. Sea a la media aritmética y b la media geométrica: Repita el proceso de modo que, e geeral, a a a b a b (a) Mediate la iducció matemática demuestre que a a b b (b) Deduzca que tato a como b so covergetes. (c) Demuestre que lím l a lím l b. Gauss llamó al valor comú de estos límites media aritmética-geométrica de los úmeros a y b. 80. (a) Demuestre que si lím l a L y lím l a L, etoces a es covergete y lím l a L. (b) Si a y a a calcule los primeros ocho térmios de la sucesió a. Luego use el iciso (a) para demostrar que lím l a s. Esto da el desarrollo e fracció cotiua s 8. El tamaño de ua població de peces ialterada está modelado mediate la fórmula p bp a p b sab b sa b dode p es la població de peces después de años y a y b so costates positivas que depede de las especies y su medio. Supoga que la població e el año 0 es p 0 0. (a) Demuestre que si p es covergete, después los úicos valores posibles de este límite so 0 y b a. (b) Demuestre que p bap. (c) Mediate el iciso (b) demuestre que si a b, e seguida lím l p 0, e otras palabras, la població muere. (d) Ahora supoga que a b. Demuestre que si p 0 b a, por lo tato p es creciete y 0 p b a. Asimismo, demuestre que si p 0 b a, e tal caso p es decreciete y p b a. Deduzca que si a b, por lo tato lím l p b a.

14 SECCIÓN. SERIES 687 PROYECTO DE LABORATORIO CAS SUCESIONES LOGÍSTICAS Ua sucesió que surge e ecología como u modelo para el crecimieto poblacioal se defie por medio de la ecuació logística e diferecias p kp p dode p es el tamaño de la població de la -ésima geeració de ua sola especie. Para poder trabajar co los úmeros, p es ua fracció del tamaño máximo de la població, de modo que 0 p. Observe que la forma de la ecuació es similar a la ecuació logística e diferecias de la secció 9.4. El modelo discreto, co sucesioes e lugar de fucioes cotiuas, es preferible para modelar las poblacioes de isectos, dode el apareamieto y la muerte ocurre de u modo periódico. U ecologista se iteresa e predecir el tamaño de la població a medida que el tiempo avaza, y platea estas pregutas: Se estabilizará e u valor límite? Cambiará de maera cíclica? O bie, mostrará u comportamieto aleatorio? Escriba u programa para calcular los primeros térmios de esta sucesió co ua població iicial p 0, dode 0 p 0. Co este programa efectúe lo siguiete.. Calcule 0 o 30 térmios de la sucesió para p 0 y para dos valores de k tales que k 3. Dibuje las sucesioes. Coverge? Repita para u valor distito de p 0 etre 0 y. El límite depede del valor de p 0 escogido? Depede del valor elegido de k?. Calcule térmios de la sucesió para u valor de k etre 3 y 3.4 y dibújelos. Qué observa co respecto al comportamieto de los térmios? 3. Experimete co valores de k etre 3.4 y 3.5. Qué sucede co los térmios? 4. Para valores de k etre 3.6 y 4, calcule y dibuje por lo meos 00 térmios y comete el comportamieto de la sucesió. Qué sucede si cambia p 0 por 0.00? Este tipo de comportamieto se llama caótico y lo muestra poblacioes de isectos e ciertas codicioes.. SERIES Si trata de sumar los térmios de ua sucesió ifiita a, obtiee ua expresió de la forma a a a 3 a que se deomia serie ifiita, o sólo serie, y se deota co el símbolo a o a Pero, tiee setido hablar de suma de ua catidad ifiita de térmios? Sería imposible ecotrar la suma fiita de la serie porque si empieza a sumar los térmios, obtiee sumas acumulativas, 3, 6, 0, 5,,... y después del -ésimo térmio, llega a, lo cual se vuelve muy grade cuado se icremeta. Si embargo, si empieza por sumar los térmios de la serie

15 688 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Suma de los primeros térmios obtiee, 4, 8, 6, 3, 64,...,,... E la tabla se puede ver que cuado suma más y más térmios, estas sumas parciales se vuelve más y más cercaas a. (Véase tambié la figura e Presetació prelimiar del cálculo e la págia 7). De hecho, al sumar suficietes térmios de la serie es posible hacer que las sumas parciales sea ta cercaas a como se quiera. Por eso es razoable decir que la suma de esta serie ifiita es igual a y escribir Se aplica ua idea similar para determiar si ua serie geeral () tiee o o tiee ua suma. Cosidere las sumas parciales s a s a a s 3 a a a 3 s 4 a a a 3 a 4 y, e geeral, s a a a 3 a a i i Estas sumas parciales forma ua ueva sucesió s, la cual puede teer o o teer u límite. Si existe lím l s s (como u úmero fiito), después, como e el ejemplo aterior, se llama suma de la serie ifiita a. DEFINICIÓN Dada ua serie a a a a 3, deote co s la -ésima suma parcial: s i a i a a a Si la sucesió s es covergete y lím l s s existe como u úmero real, etoces la serie a se dice covergete y se escribe a a a s o a s El úmero s se llama suma de la serie. Si o es así, la serie se dice divergete. & Compare co la itegral impropia y f x dx lím t l y t f x dx Para determiar esta itegral itegre desde hasta t y hacemos que t l. E el caso de series, sume desde hasta y hacemos que l. Así, la suma de ua serie es el límite de la sucesió de sumas parciales. Cuado escribe a s quiere decir que al sumar suficietes térmios de la serie puede llegar ta cerca como quiera al úmero s. Observe que a lím l a i i EJEMPLO U ejemplo importate de ua serie ifiita es la serie geométrica a ar ar ar 3 ar ar a 0

16 SECCIÓN. SERIES 689 & La figura proporcioa ua demostració geométrica del resultado del ejemplo. Si los triágulos se costruye como se idica y s es la suma de la serie, después, por triágulos semejates s a a a ar por lo que s a r ar# ar@ Cada térmio se obtiee a partir del térmio precedete y se multiplica por la razó comú r. (Ya se cosideró el caso especial cuado a y r de la págia 687). Si r, e cosecuecia s a a a a l. Puesto que lím l s o existe, la serie geométrica diverge e este caso. Si r, y Al restar estas ecuacioes obtiee s a ar ar ar rs ar ar ar ar a-ar ar ar@ ar s 3 s rs a ar s a r r a a Si r, sabe por (..9) que r l 0 cuado l, de modo que FIGURA a lím s a r lím l l r a r a r lím r l a r Por esto, cuado r, la serie geométrica es covergete y su suma es a r. Si r o bie, r, la sucesió r es divergete de acuerdo co (..9) y de ese modo, segú la ecuació 3, lím l s o existe. Por lo tato, la serie geométrica diverge e esos casos. El resume de los resultados del ejemplo es como se señala a cotiuació. 4 La serie geométrica ar a ar ar & E palabras: la suma de la serie geométrica covergete es primer térmio razó comú es covergete si r y su suma es ar a r Si r, la serie geométrica es divergete. r V EJEMPLO Calcule la suma de la serie geométrica r 3 SOLUCIÓN El primer térmio es a 5 y la razó comú es r 3. Como, la serie es covergete segú (4) y su suma es ( 3)

17 690 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & Qué se quiere dar a eteder e realidad cuado se dice que la suma de la serie del ejemplo es 3? Naturalmete, o puede sumar uo más uo ua catidad ifiita de térmios. Pero, de acuerdo co la defiició, la suma total es el límite de la sucesió de sumas parciales. De este modo, al efectuar la suma de suficietes térmios, se acerca tato como quiera al úmero 3. La tabla muestra las primeras diez sumas parciales s, y e la gráfica de la figura se ilustra cómo la sucesió de las sumas parciales se aproxima a 3. s s FIGURA EJEMPLO 3 Es covergete o divergete la serie 3? SOLUCIÓN Escriba el -ésimo térmio de la serie e la forma ar : & Otra maera de idetificar a y r es escribir los primeros térmios: Idetifique esta serie como ua serie geométrica co a 4 y r 4 3. Como r, la serie diverge, de acuerdo co (4). 4( 4 3) V EJEMPLO 4 Escriba el úmero como ua razó de eteros. SOLUCIÓN Después del primer térmio tiee ua serie geométrica co a 70 3 y r 0. Debido a eso, EJEMPLO 5 Ecuetre la suma de la serie x dode x. TEC E Module. se estudia ua serie que depede del águlo u e u triágulo y permite ver qué ta rápido coverge la serie cuado varía u. SOLUCIÓN Observe que esta serie iicia co 0 y por eso el primer térmio es x 0. (E las series, se adopta la coveció de que x 0 au cuado x 0). De este modo, x x x x 3 x 4 0 Ésta es ua serie geométrica co a y r x. Puesto que acuerdo co (4) se tiee r x, coverge, y de 5 x 0 x

18 SECCIÓN. SERIES 69 EJEMPLO 6 Demuestre que la serie es covergete, y determie su suma. SOLUCIÓN No es ua serie geométrica, de modo que regrese a la defiició de ua serie covergete y calcule las sumas parciales. s i ii Puede simplificar esta expresió si la descompoe e fraccioes parciales ii i i & Observe que los térmios se cacela por pares. Éste es u ejemplo de ua suma telescópica. Debido a las cacelacioes, la suma se colapsa, al igual que u telescopio de pirata que se colapsa, e dos térmios. & E la figura 3 se ilustra el ejemplo 6 y se muestra la gráfica de la sucesió de térmios a y la sucesió s de sumas parciales. Observe que a l 0 y s l. Refiérase a los ejercicios 6 y 63, e dode se trata dos iterpretacioes geométricas del ejemplo 6. (véase secció 7.4). Así que, y de este modo Por lo tato, la serie dada es covergete y V s i ii i i lím s lím 0 l l i EJEMPLO 7 Demuestre que la serie armóica s a 0 FIGURA 3 es divergete. SOLUCIÓN Para esta serie particular, es coveiete cosiderar las sumas parciales s, s 4, s 8, s 6, s 3,... y demostrar que se hace grades. s s 3 4 s 4 ( 3 4) ( 4 4) s 8 ( 3 4) ( ) ( 4 4) ( ) 3 s 6 ( 3 4) ( 5 8) ( 9 6) ( 4 4) ( 8 8) ( 6 6 ) 4

19 69 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS E forma similar, s, s , y, e geeral, s & El método usado e el ejemplo 7 para demostrar que la serie armóica diverge es origial del fracés Nicole Oresme (33-38). Esto demuestra que s l cuado l y por eso s es divergete. Debido a eso, la serie armóica es divergete. 6 TEOREMA Si la serie a es covergete, etoces lím a 0. l DEMOSTRACIÓN Sea s a a a. E tal caso, a s s. Puesto que a es covergete, la sucesió s es covergete. Sea lím l s s. Como l cuado l, tambié se tiee lím l s s. Por lo tato, lím a lím s s lím s lím s l l l l s s 0 NOTA Co cualquier serie a se asocia dos sucesioes: la sucesió s de sus sumas parciales y la sucesió a de sus térmios. Si a es covergete, etoces el límite de la sucesió s es s, (la suma de la serie) y, como establece el teorema 6, el límite de la sucesió a es 0. NOTA E geeral, el iverso del teorema 6 o se cumple. Si lím l a 0, o puede cocluir que a es covergete. Observe que para la serie armóica tiee a l 0 cuado l, pero ya demostró e el ejemplo 7 que es divergete. 7 LA PRUEBA DE LA DIVERGENCIA Si lím a o existe o si lím a 0, etoces la serie l l a es divergete. La prueba de la divergecia se ifiere del teorema 6 porque si la serie o es divergete, etoces es covergete y por lo tato lím l a 0. EJEMPLO 8 Demuestre que la serie 5 4 es divergete. SOLUCIÓN lím a lím lím l l 5 4 l De modo que la serie diverge de acuerdo co la prueba de la divergecia. NOTA 3 Si ecuetra que lím l a 0, sabe que a es divergete. Si tiee que lím l a 0, o sabe ada co respecto a la covergecia o la divergecia de a. Recuerde la advertecia de la ota : si lím l a 0, la serie a podría ser covergete o divergete

20 SECCIÓN. SERIES TEOREMA Si a y b so series covergetes, etoces tambié lo so las series ca (dode c es ua costate), a b y a b,y (i) (iii) ca c a a b a b (ii) a b a b Estas propiedades de las series covergetes se ifiere de las leyes de los límites correspodietes a las sucesioes de la secció.. Por ejemplo, aquí se demuestra la parte (ii) del teorema 8: Sea s a i i s La -ésima suma parcial de la serie a b es y, a través de la ecuació 5..0, tiee a u Por lo tato, a b es covergete y su suma es i lím l a i lím i l b i i t a i b i b i i t lím u lím l l a i b i lím i l a i b i i i b lím l s lím l t s t a b s t a b 3 EJEMPLO 9 Determie la suma de la serie. SOLUCIÓN La serie es ua serie geométrica co a y r, de modo que E el ejemplo 6 ecuetra que Así, por el teorema 8, la serie dada es covergete y NOTA 4 Ua catidad fiita de térmios o afecta la covergecia o divergecia de ua serie. Por ejemplo, supoga que es capaz de demostrar que la serie 4 3

21 694 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS es covergete. Puesto que se ifiere que la serie completa 3 es covergete. Asimismo, si sabe que la serie N a es covergete, etoces la serie completa es tambié covergete a N a 4 a N 3. EJERCICIOS. (a) Cuál es la diferecia etre ua sucesió y ua serie? (b) Qué es ua serie covergete? Qué es ua serie divergete?. Explique qué sigifica decir que a 5. ; 3 8 Calcule por lo meos 0 sumas parciales de las series. Dibuje tato la sucesió de los térmios como la sucesió de las sumas parciales e la misma patalla. Cómo parece ser la serie? Covergete o divergete? Si es covergete, determie la suma. Si es divergete, explique la razó ta s 0. (a) Explique la diferecia etre a i y i (b) Explique la diferecia etre a i y i 0 Determie si la serie geométrica es covergete o divergete. Si es covergete, calcule la suma (0.9) (9) 5 9. Sea a. 3 (a) Determie si a es covergete. (b) Diga si a es covergete a j j a j i Determie si la serie es covergete o divergete. Si es covergete, ecuetre su suma s l arcta e ( Determie si la serie es covergete o divergete al expresar s como suma extesible (como e el ejemplo 6). Si es covergete, ecuetre su suma k k l ( 3) k k 3 0 kk k cos k k 3 5 e (s) e

22 SECCIÓN. SERIES 695 CAS Exprese el úmero como ua razó de eteros Calcule los valores de x para los cuales la serie coverge. Determie la suma de la serie para dichos valores de x x (e / e /() ) cos cos 0, x 3 0 cos x 0 5. Puesto que la serie armóica es ua serie divergete cuyos térmios se aproxima a 0. Demuestre que l es otra serie co esta propiedad Aplique el comado de las fraccioes parciales e su sistema algebraico computacioal para determiar la suma parcial, y luego aplique esta expresió para determiar la suma de la serie. Compruebe su respuesta usado directamete el sistema algebraico a la suma de la serie Si la -ésima suma parcial de ua serie a es determie a y a. ( ) s x 4 x Si la -ésima suma parcial de ua serie a es s, determie a y 3 a. 57. Cuado el diero se gasta e biees y servicios, los que recibe el diero tambié gasta u poco de él. Las persoas que recibe algo del diero gastado dos veces, gastará algo de dicho diero, y así sucesivamete. Los ecoomistas llama a esta reacció e cadea efecto multiplicador. E u hipotético pueblo aislado, el gobiero local iicia el proceso gastado D dólares. Supoga que cada persoa que recibe diero gasta 00c% y ahorra 00s% del diero. Los valores c y s se deomia propesió margial al cosumo y propesió margial al ahorro y, aturalmete, c s. (a) Sea S el total de lo gastado que ha sido geerado después de trasaccioes. Determie ua ecuació para S. (b) Demuestre que lím l S kd, dode k s. La catidad k se llama multiplicador. Cuál es el multiplicador si la propesió margial al cosumo es 80%? Nota: El gobiero federal de Estados Uidos usa este pricipio para justificar el gasto que muestra déficit. Los bacos utiliza el pricipio para justificar los préstamos de u gra porcetaje del diero que recibe como depósito. 58. Ua cierta pelota tiee la característica de que cada vez que cae desde ua altura h sobre ua superficie ivelada y dura, rebota hasta ua altura rh, dode 0 r. Supoga que la pelota cae desde ua altura iicial de H metros. (a) Supoga que la pelota cotiúa rebotado de maera idefiida y calcule la distacia total que recorre. (Use el hecho de que la pelota cae tt metros e t segudos). (b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja. (c) Supoga que cada vez que la pelota golpea la superficie co velocidad v rebota co velocidad kv, dode 0 k. Cuáto tiempo le tomará a la pelota llegar al reposo? 59. Cuál es el valor de c si c? 60. Ecuetre el valor de c tal que e c E el ejemplo 7 se demostró que la serie armóica es divergete. Aquí se resume otro método, haciedo uso del hecho de que e x x para cualquier x 0. (Vea el ejercicio ) Si s es la -ésima suma parcial de la serie armóica, demuestre que e s. Por qué esto implica que la serie armóica es divergete? ; 6. Dibuje las curvas y x, 0 x, para 0,,, 3, 4,... sobre ua misma patalla. Determie las áreas etre las curvas sucesivas y mediate geometría demuestre el hecho siguiete, demostrado e el ejemplo 6,

23 696 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 63. E la figura se ilustra dos círculos C y D de radio que se toca e P. T es ua tagete comú; C es el círculo que toca C, D y T; C es el círculo que toca C, D y C ; C 3 es el círculo que toca C, D y C. Este procedimieto puede cotiuar e forma idefiida y produce ua sucesió ifiita de círculos C. Determie ua expresió para el diámetro de C y, de ese modo, proporcioe otra demostració geométrica del ejemplo U triágulo rectágulo ABC está defiido co A y AC b. CD se traza perpedicular a AB, DE se traza e forma perpedicular a BC, EF AB, y este procedimieto cotiúa e forma idefiida como se ilustra e la figura. Determie la logitud total de todas las perpediculares 65. C CD DE EF FG e térmios de b y. B Qué es lo que está mal e el cálculo siguiete? H F G (Guido Ubaldus pesaba que esto demostraba la existecia de Dios, porque se había creado algo de la ada ). P C C C D E C A b T D 69. Si a es covergete y b es divergete, demuestre que la serie a b es divergete. [Sugerecia: aplique el razoamieto de cotradicció.] 70. Si a y b so divergetes, ecesariamete a b es divergete? 7. Supoga que ua serie a costa de térmios positivos y sus sumas parciales s cumple co la desigualdad s 000 para toda. Explique por qué a debe ser covergete. 7. La sucesió de Fiboacci se defie e la secció. mediate las ecuacioes Demuestre que cada uo de los siguietes euciados es válido. (a) (b) (c) f f f f f f f, f, f f f f f f f f El cojuto de Cator, ombrado así e hoor al matemático alemá Georg Cator (845-98), se costruye como se señala a cotiuació. Empiece co el itervalo cerrado [0, ] y retire el itervalo abierto ( 3,. Esto deja los dos itervalos [0, y [ 3 ) 3 ] 3, ] y luego elimie el itervalo abierto costituido por el tercio medio de cada uo. De este modo queda cuatro itervalos y de uevo elimie el tercio medio de cada uo de ellos. Cotiúe este procedimieto de maera idefiida elimiado e cada paso el tercio medio de cada itervalo que queda del paso aterior. El cojuto de Cator cosiste e los úmeros que queda e [0, ] después de que todos esos itervalos se ha elimiado. (a) Demuestre que la logitud total de todos los itervalos que se elimia es. A pesar de eso, el cojuto de Cator cotiee ua catidad ifiita de úmeros. Proporcioe ejemplos de alguos úmeros del cojuto de Cator. (b) El tapete de Sierpiski es u equivalete e dos dimesioes del cojuto de Cator. Se costruye elimiado el oveo cetral de u cuadrado de lado, y luego se elimia el cetro de cada uo de los ocho cuadrados restates, y así sucesivamete. (E la figura se ilustra los primeros tres pasos de la costrucció). Demuestre que la suma de las áreas de los cuadrados elimiados es. Esto sigifica que el área del tapete de Sierpiski es cero. 66. Supoga que se sabe que a a 0 es ua serie covergete. Demuestre que a es ua serie divergete. 67. Demuestre la parte (i) del teorema Si a es divergete y c 0, demuestre que ca es divergete.

24 SECCIÓN.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS (a) Ua sucesió a se defie recursivamete mediate la ecuació a a a para 3, dode a y a so úmeros reales. Experimete co varios valores de a y a y co la ayuda de su calculadora adivie el límite de la sucesió. (b) Ecuetre lím l a e térmios de a y a escribiedo a a e fució de a a y sume la serie. 75. Cosidere la serie! (a) Calcule las sumas parciales s, s, s 3 y s 4. Recooce los deomiadores? Mediate el patró cojeture ua fórmula para s. (b) Aplique la iducció matemática para demostrar su cojetura. (c) Demuestre que la serie ifiita dada es covergete y calcule la suma 76. E la figura hay ua catidad ifiita de círculos que se aproxima a los vértices de u triágulo equilátero. Cada círculo toca a otros círculos y a los lados del triágulo. Si el triágulo tiee lados que mide ua uidad de logitud, calcule el área total que ocupa los círculos..3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS s i i E geeral, es difícil determiar la suma exacta de ua serie. Se es capaz de lograrlo e el caso de series geométricas y las series porque e cada uo de estos casos es posible ecotrar ua fórmula simple para la -ésima suma parcial s. Pero por lo regular o es fácil calcular lím l s. Por lo tato, e las siguietes seccioes se trata varias pruebas que permite determiar si ua serie es covergete o divergete si que se tega que ecotrar e forma explícita su suma. (E alguos casos, los métodos permite determiar uas bueas estimacioes de la suma.) El primer método utiliza itegrales impropias. Empiece por ivestigar las series cuyos térmios so los recíprocos de los cuadrados de los eteros positivos: No hay ua fórmula secilla para la suma de los primeros térmios, pero la tabla geerada mediate ua computadora de los valores, dados e el marge sugiere que las sumas parciales se aproxima a u úmero cercao a.64 cuado l y de este modo parece como si la serie fuera covergete. Se cofirma esta impresió co u razoamieto geométrico. E la figura se ilustra la curva y x y alguos rectágulos que se ecuetra abajo de la curva. La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud igual a ; la altura es igual al valor de la fució y x e el extremo derecho del itervalo de este modo, la suma de las áreas de los rectágulos es y y= s x FIGURA área= 3@ área= 4@ área= 5@

25 698 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Si excluye el primer rectágulo, el área total de los rectágulos restates es meor que el área bajo la curva y x para x, que es el valor de la itegral x x dx. E la secció 7.8 descubrió que esta itegral impropia es covergete y que tiee u valor de. De modo que la figura muestra que todas las sumas parciales so meores que E estos térmios, las sumas parciales está acotadas. Tambié sabe que las sumas parciales so crecietes porque todos los térmios so positivos. Por lo tato, las sumas parciales coverge, de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa, y de esa maera la serie es covergete. La suma de la serie (el límite de las sumas parciales) es tambié meor que : y dx x 3 4 s i si [El matemático suizo Leohard Euler ( ) calculó que la suma exacta de esta serie es, pero la demostració de esto es muy difícil. Véase el problema 6 e los Problemas adicioales después del capítulo 5]. Ahora estudie la serie 6 La tabla de valores de s hace pesar e que las sumas parciales o se aproxima a u úmero fiito, de modo que se sospecha que la serie dada podría ser divergete. Ua vez más use ua image para cofirmarlo. E la figura se ilustra la curva y sx, pero esta vez se usa rectágulos cuya parte superior queda por ecima de la curva. y y= œx s s s s3 s4 s5 FIGURA área= œ área= œ área= œ3 área= œ4 x La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud. La altura es igual al valor de la fució y sx e el extremo izquierdo del itervalo. Así, la suma de las áreas de todos los rectágulos es s s s3 s4 s5 Esta área total es mayor que el área bajo la curva para, que es igual a la itegral x (sx) y sx x dx. Pero segú la secció 7.8, esta itegral impropia es divergete. E otras palabras, el área bajo la curva es ifiita. Por eso, la suma de la serie debe ser ifiita; es decir, la serie es divergete. El mismo tipo de razoamieto geométrico aplicado para estas dos series, se puede hacer para demostrar la prueba siguiete. (La demostració se ecuetra al fial de esta secció.) s

26 SECCIÓN.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS 699 PRUEBA DE LA INTEGRAL Supoga que f es ua fució cotiua, positiva y decreciete e, y sea a. E tal caso la serie f a es covergete si y sólo si la itegral impropia f x dx es covergete. E otras palabras: y (i) Si f x dx es covergete, etoces es covergete. y x a a (ii) Si f x dx es divergete, etoces es divergete. NOTA Cuado use la prueba de la itegral o es ecesario iiciar la serie o la itegral e. Por ejemplo, al probar la serie use Asimismo, o es ecesario que f sea siempre decreciete. Lo importate es que f sea decreciete por último, es decir, decreciete para x más grade que algú úmero N. E cosecuecia N a es covergete, de modo que a es covergete de acuerdo co la ota 4 de la secció.. es cover- EJEMPLO Aplique la prueba de la itegral para saber si la serie gete o divergete. SOLUCIÓN La fució f x x es cotiua, positiva y decreciete e, de modo que aplique la prueba de la itegral: y 4 3 dx lím x t l yt lím t l ta t t dx lím x] x t l ta 4 Por lo tato, x x dx es ua itegral covergete y si es así, de acuerdo co la prueba de la itegral, la serie es covergete. y 4 x 3 dx 4 4 & Para usar la prueba itegral ecesita evaluar x fx dx y, por lo tato, tiee que hallar ua atiderivada de f. Es frecuete que esto sea difícil o imposible, de modo que tambié ecesita otras pruebas para covergecia. V EJEMPLO Para qué valores de p es la serie covergete? SOLUCIÓN Si p 0, etoces lím. Si p 0, etoces lím l p l p. E cualquier caso lím l p 0, por lo que la serie dada es divergete de acuerdo co la prueba de la divergecia (..7). Si p 0, etoces la fució f x x p evidetemete es cotiua, positiva y decreciete e,. Segú el capítulo 7 [véase (7.8.)], p y p dx coverge si p y diverge si p x Se ifiere de la prueba de la itegral que la serie p coverge si p y diverge si 0 p. (E el caso de p, esta serie es la serie armóica estudiada e el ejemplo 7 de la secció.). La serie del ejemplo se llama serie p. Es importate e el resto de este capítulo, de modo que se resume los resultados del ejemplo para referecia futura como se idica a cotiuació.

27 700 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La serie p, es covergete si p y divergete si p. p EJEMPLO 3 (a) La serie es covergete porque es ua serie p co p 3. (b) La serie 3 s 3 s 3 s 3 3 s 3 4 es divergete porque es ua serie p co p 3. NOTA No debe iferir que, de acuerdo co la prueba de la itegral, la suma de la serie es igual al valor de la itegral. E efecto, Por lo tato, 6 e tato que a y f x dx y dx x V EJEMPLO 4 Determie si la serie l es covergete o divergete. SOLUCIÓN La fució f x l xx es positiva y cotiua para x porque la fució logaritmo es cotiua. Pero o es obvio si f es decreciete o o lo es, de modo que al calcular su derivada: f x xx l x x Por lo tato, f x 0 cuado l x, es decir, x e. Se ifiere que f es decreciete cuado x e y así aplicar la prueba de la itegral: l x x y l x x dx lím t l y t l x l x t dx lím x t l l t lím t l Puesto que esta itegral impropia es divergete, la serie l tambié es divergete de acuerdo co la prueba de la itegral. ESTIMACIÓN DE LA SUMA DE UNA SERIE Supoga que pudo aplicar la prueba de la itegral para demostrar que ua serie a es covergete y que quiere ecotrar ua aproximació a la suma s de la serie. Claro, cualquier suma parcial s es ua aproximació a s porque lím l s s. Pero, qué ta buea es esa aproximació? Para saberlo, ecesita estimar el tamaño del residuo. R s s a a a 3

28 SECCIÓN.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS 70 y y=ƒ El residuo R es el error que se comete cuado s, la suma de los primeros térmios, se usa como ua aproximació a la suma total. Se usa la misma otació y las ideas que e la prueba de la itegral, supoiedo que f es decreciete e,. Al comparar las áreas de los rectágulos co el área bajo y f x para x e la figura 3 a + a x FIGURA 3 Asimismo, e la figura 4 R a a y f x dx y y=ƒ R a a y De este modo se demuestra la siguiete estimació de error. f x dx a + a x FIGURA 4 ESTIMACIÓN DEL RESIDUO PARA LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Supoga f k a k, dode f es ua fució cotiua, positiva y decreciete para x y a es covergete. Si R s s, etoces y f x dx R y f x dx V EJEMPLO 5 (a) Obtega u valor aproximado de la suma de la serie 3 usado la suma de los primeros 0 térmios. Estime el error origiado e esta aproximació. (b) Cuátos térmios se requiere para asegurar que la suma o difiere e más de ? SOLUCIÓN E los icisos (a) y (b) ecesita coocer f x dx. Co f x x 3, que satisface las codicioes de la prueba itegral, tiee (a) y 3 dx lím x t l s De acuerdo co el residuo estimado e () tiee R 0 y x 0 3 dx x 0 00 De modo que el tamaño del error es cuato mucho de (b) La precisió de quiere decir que debe ecotrar u valor de tal que R Puesto que R y t x lím t l t 3 dx x se quiere que

29 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Al resolver la desigualdad, sabe que o bie, s Necesita 3 térmios para teer la seguridad de que o habrá ua diferecia mayor que Si suma s a cada miembro de las desigualdades e (), obtiee 3 s y f x dx s s y f x dx porque s R s. Las desigualdades e (3) da ua cota iferior y ua cota superior para s. Proporcioa ua aproximació más certera a la suma de la serie que la suma parcial s. EJEMPLO 6 Use (3) co 0 para estimar la suma de la serie. SOLUCIÓN Las desigualdades e (3) se vuelve Del ejemplo 5 sabe que s 0 y x dx s s 3 0 y 0 x dx 3 y 3 dx x 3 de modo que s 0 s s 0 0 Si usa s , obtiee.0664 s.053 Si obtiee la aproximació de s por medio del puto medio de este itervalo, e este caso el error es cuato mucho la mitad de la logitud del itervalo. Así, 3.0 co error Si compara el ejemplo 6 co el ejemplo 5, se observa que la estimació e (3) es mucho mejor que la estimació s s. Para que el error sea meor que tiee que usar 3 térmios e el ejemplo 5, pero sólo 0 térmios e el ejemplo 6. DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Ya se trató la idea básica e la que se apoya la demostració de la prueba de la itegral e las figuras y para la serie y s. E el caso de la serie geeral a examie las figuras 5 y 6. El área del primer rectágulo sombreado de la figura 5 es el valor de f e el extremo derecho de [, ], es decir, f a. De esta maera, al comparar

30 SECCIÓN.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS 703 y y=ƒ las áreas de los rectágulos sombreados co el área bajo y f x desde hasta observa que a a 0... x FIGURA 5 y y=ƒ a a - a a 0... x FIGURA 6 4 (Observe que esta desigualdad depede del hecho de que f es decreciete.) De maera similar, e la figura 6 se muestra que` 5 (i) Si y f x dx puesto que f x 0. Por lo tato a a 3 a y f x dx y f x dx a a a es covergete, e este caso (4) da i s a a i y f x dx y f x dx i a i a y f x dx M Como s M para toda, la sucesió s está acotada por arriba. Asimismo, como a f 0. E estos térmios, s es ua sucesió acotada creciete y, de este modo, es covergete de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa (..). Esto quiere decir que a es covergete. (ii) Si es divergete, etoces x x f x dx f x dx l cuado l porque f x 0. Pero co (5) se obtiee y s s a s f x dx a i s i y tambié s l. Esto quiere decir que s l etoces a diverge..3 EJERCICIOS. Dibuje ua image para demostrar que Qué puede cocluir co respecto a la serie?. Supoga que f es ua fució cotiua, positiva y decreciete para x y a f. E ua image acomode las tres catidades siguietes e orde creciete. y 6 f x dx y.3 5 a i i dx.3 x 6 a i i 3 8 Mediate la prueba de la itegral determie si la serie es covergete o divergete s ( ) 3 7. e 8. 5 s 4

31 704 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 9 6 Determie si la serie es covergete o divergete s l s 3s3 4s4 5s Determie los valores de p para los cuales la serie es covergete l p 3 e / 3 4 l 9. p La fució zeta de Riema z se defie como x y se usa e teoría de los úmeros para estudiar la distribució de los úmeros primos. Cuál es el domiio de z? 3. (a) Calcule la suma parcial s 0 de la serie 4. Estime el error al usar s 0 como ua aproximació a la suma de la serie. (b) Use (3) co 0 para coseguir ua estimació mejorada de la suma. (c) Calcule u valor de tal que s o difiera más de del valor de la suma. x e ( ) 4 l ll p l p CAS 33. (a) Mediate la suma de los primeros 0 térmios, estime la suma de la serie. Qué ta buea es la estimació? (b) Mejore esta estimació usado (3) co 0. (c) Ecuetre u valor de que dé la certeza de que el error e la aproximació s s es meor que Calcule la suma de la serie 5 correcta e tres cifras decimales. 35. Estime 6 correcta a cico lugares decimales. 36. Cuátos térmios de la serie l se ecesitaría sumar para calcular la suma que o difiera de 0.0? 37. Demuestre que si busca obteer u valor aproximado de la suma de la serie.00 de modo que el error sea meor de 5 e la ovea cifra decimal, e este caso ecesita sumar más de 0,30 térmios! 38. (a) Demuestre que la serie l es covergete. (b) Ecuetre ua cota superior para el error e la aproximació s s. (c) Cuál es el valor más pequeño de tal que esta cota superior sea meor que 0.05? (d) Ecuetre s para este valor de. 39. (a) Mediate (4) demuestre que si s es la -ésima suma parcial de la serie armóica, etoces s l (b) La serie armóica diverge, pero muy letamete. Co ayuda del iciso (a) demuestre que la suma del primer milló de térmios es meor que 5 y que la suma de los primeros mil milloes de térmios es meor que. 40. Siga los pasos siguietes para demostrar que la sucesió t 3 l tiee u límite. (El valor del límite se deota co g y se deomia costate de Euler.) (a) Dibuje u diagrama como la figura 6 co fx x e iterprete t como u área, o bie use (5), para demostrar que t 0 para toda. (b) Iterprete t t l l como ua diferecia de áreas para demostrar que t t 0. Por lo tato, t es ua sucesió decreciete. (c) Aplique el teorema de sucesió moótoa para demostrar que t es covergete. 4. Determie todos los valores positivos de b para los cuales la serie b l coverge. 4. Ecuetre todos los valores de c para los que coverge la siguiete serie. c

32 SECCIÓN.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN PRUEBAS POR COMPARACIÓN E las pruebas por comparació, la idea es comparar ua serie dada co ua serie que ya se sabe que es covergete o divergete. Por ejemplo, la serie recuerde la serie, la cual es ua serie geométrica co a y r por lo tato, es covergete. Como la serie () es similar a la serie covergete, se presiete que tambié debe ser covergete. De hecho, así es. La desigualdad demuestra que la serie dada () tiee térmios meores que los de la serie geométrica y, por lo tato, todas las sumas parciales so tambié más pequeñas que (la suma de la serie geométrica). Esto quiere decir que las sumas parciales forma ua sucesió creciete acotada, la cual es covergete. Asimismo, se ifiere que la suma de la serie es meor que la suma de la serie geométrica: U razoamieto similar se puede hacer para demostrar la prueba siguiete, la cual se aplica sólo a series cuyos térmios so positivos. La primera parte dice que si tiee ua serie cuyos térmios so meores que los de ua serie coocida covergete, por lo tato la serie tambié es covergete. La seguda parte establece que si empieza co ua serie cuyos térmios so mayores que los de ua serie divergete coocida, e tal caso tambié es divergete. PRUEBA POR COMPARACIÓN Supoga que a y b so series co térmios positivos. (i) Si b es covergete y a b para toda, etoces a es covergete. (ii) Si b es divergete y a b para toda, etoces a es divergete. & Es importate estar ateto a la distició etre sucesió y serie. Ua sucesió es u listado de úmeros, y ua serie es ua suma. Co toda serie a hay dos sucesioes asociadas: la sucesió a de térmios y la sucesió s de sumas parciales. La serie estádar se usa co la prueba por comparació DEMOSTRACIÓN (i) Sea s a i i t b i i t b Puesto que ambas series tiee térmios positivos, las sucesioes s y t so crecietes s s a s. Asimismo, t l t, así que t t para toda. Como a i b i, s t. De este modo, s t para toda. Esto quiere decir que s es creciete y está acotada superiormete, por el teorema de sucesioes moótoas la serie a es covergete. (ii) Si b es divergete, después t l (puesto que t es creciete). Pero a i b i de modo que s t. Así que s l. Por lo tato a diverge. Naturalmete, al usar la prueba por comparació es ecesario teer algua serie coocida b para los fies de la comparació. La mayor parte de las veces se usa las series: & p [ p que coverge si p y diverge si p ; véase (.3.)] o bie, & series geométricas [ ar es covergete si r y es divergete si r ; véase (..4)].

33 706 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS V EJEMPLO Determie si la serie es covergete o divergete. SOLUCIÓN E el caso de grades el térmio domiate e el deomiador es de modo que compare la serie dada co la serie 5. Observe que porque el lado izquierdo tiee u deomiador más grade. (E la otació de la prueba por comparació, a está e el lado izquierdo y b e el lado derecho). Ya sabe que es covergete porque es ua costate por ua serie p co p. Por lo tato, es covergete de acuerdo co el iciso (i) de la prueba por comparació. NOTA La codició a b o bie, a b de la prueba por comparació es para toda, es ecesario comprobar sólo que se cumple para N, dode N es u etero establecido, porque la covergecia de ua serie o está afectada por u úmero fiito de térmios. Lo aterior se ilustra co el ejemplo siguiete. V EJEMPLO Pruebe si la serie l es covergete o divergete. SOLUCIÓN Esta serie se probó (usado la prueba de la itegral) e el ejemplo 4 de la secció.3, pero tambié es posible probarla por comparació co la serie armóica. Observe que l para 3 y de esa maera l 3 Ya sabe que es divergete (serie p co p ). De esta maera la, serie dada es divergete de acuerdo co la prueba por comparació. NOTA Los térmios de la serie que se está probado debe ser meores que los de ua serie covergete, o mayores que los de ua serie divergete. Si los térmios so más grades que los térmios de ua serie covergete, o bie, meores que los de ua serie divergete, e tal caso la prueba por comparació o se aplica. Por ejemplo, cosidere la serie La desigualdad b ( ) ( ) es iútil e cuato a la prueba por comparació porque es covergete y a b. Si embargo, la impresió es que tiee que ser covergete porque es muy parecida a la serie geométrica covergete. E tal caso se puede aplicar la prueba siguiete.

34 SECCIÓN.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 707 PRUEBA POR COMPARACIÓN EN EL LÍMITE Supoga que a y b so series co térmios positivos. Si & Los ejercicios 40 y 4 trata los casos c 0 y c. a lím c l b dode c es u úmero fiito y c 0, e seguida ambas series coverge o ambas diverge. DEMOSTRACIÓN Sea m y M úmeros positivos tales que m c M. Como a b está cercao a c para grade, hay u etero N tal que y así mb a Mb cuado N Si b es covergete tambié lo es Mb. Así a es covergete segú el iciso (i) de la prueba por comparació. Si la serie b diverge tambié mb es divergete y por el iciso (ii) de la prueba por comparació la serie a diverge. EJEMPLO 3 Pruebe si la serie m a b M cuado N es covergete o divergete. SOLUCIÓN Aplique la prueba por comparació e el límite co y obtiee a b a lím lím lím l b l l Puesto que existe este límite y es ua serie geométrica covergete, la serie dada coverge de acuerdo co la prueba por comparació e el límite. EJEMPLO 4 Determie si la serie 3 s5 5 lím l 0 es covergete o divergete. SOLUCIÓN La parte domiate del umerador es y la parte domiate del deomiador es s 5 5. Esto recomieda efectuar a 3 s5 5 b 5 a 3 lím lím l b l s5 5 lím l lím l s5 5 0 s0

35 708 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Puesto que b es divergete (es ua serie p co p ), la serie dada diverge de acuerdo co la prueba por comparació e el límite. Observe que al probar muchas series se ecuetra ua serie coveiete b coservado sólo las potecias más altas e el umerador y e el deomiador. ESTIMACIÓN DE SUMAS Si ha usado la prueba por comparació para demostrar que ua serie a es covergete comparado co la serie b, etoces se puede hacer ua estimació de la serie a al comparar los residuos. Como e la secció.3, cosidere el residuo R s s a a E cuato a la serie de comparació b cosidere el residuo correspodiete T t t b b Puesto que a b para toda, R T. Si b es ua serie p, estime su residuo T como e la secció.3. Si b es ua serie geométrica, por lo tato T es la suma de ua serie geométrica y puede sumarla exactamete (véase ejercicios 35 y 36). E cualquier caso, sabe que R es meor que T. V EJEMPLO 5 Co la suma de los primeros 00 térmios obtega u valor aproximado de la suma de la serie 3. Estime el error de esta aproximació. SOLUCIÓN Como 3 3 la serie dada es covergete de acuerdo co la prueba por comparació. El residuo T de la serie de comparació 3 ya se estimó e el ejemplo 5 de la secció.3 por medio de la estimació del residuo para la prueba de la itegral. Allí se ecotró que T y Por lo tato, el residuo R de la serie dada cumple co 3 dx x R T Co 00 R Co ua calculadora programable o ua computadora, resulta que co u error meor que

36 SECCIÓN.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN EJERCICIOS. Supoga que a y b so series co térmios positivos y que se sabe que b es covergete. (a) Si a b para toda, qué puede decir co respecto a a? Por qué? (b) Si a b para toda, qué puede decir co respecto a a? Por qué?. Supoga que a y b so series co térmios positivos y que se sabe que b es divergete. (a) Si a b para toda, qué puede decir de a? Por qué? (b) Si a b para toda, que puede decir co respecto a a? Por qué? 3 3 Determie si la serie es covergete o divergete s arcta s s s ! se cos. s e e! 3 4 s se 0 0 s s s Mediate la suma de los primeros 0 térmios, obtega u valor aproximado de la suma de la serie. Estime el error s El sigificado de la represetació decimal de u úmero 0.d d d 3... (dode el dígito d i es uo de los úmeros 0,,,...,9) es que Demuestre que esta serie siempre es covergete. 38. Para qué valores de p la serie p l es covergete? 39. Demuestre que si a 0 y a coverge, por lo tato a tambié coverge. 40. (a) Supoga que a y b so series co térmios positivos y que b es covergete. Demuestre que si 4. 0.d d d 3d 4... d 0 etoces a tambié es covergete. (b) Mediate el iciso (a) demuestre que la serie coverge. (i) (ii) (a) Supoga que a y b so series co térmios positivos y que b es divergete. Demuestre que si etoces a tambié es divergete. (b) Use el iciso (a) para demostrar que la serie es divergete. (i) l 3 l d 0 a lím 0 l b a lím l b (ii) d3 d4 3 l se l se 3 4. Proporcioe u ejemplo de u par de series a y b co térmios positivos dode lím la b 0y b diverge, pero a coverge. [Compare co el ejercicio 40.] 43. Demuestre que si a 0 y lím l a 0, e tal caso a es divergete. 44. Demuestre que si a 0y a es covergete, por lo tato l a es covergete. 45. Si a es ua serie covergete co térmios positivos, es cierto que sea tambié es covergete? 46. Si a y b so series covergetes co térmios positivos, es cierto que a b tambié es covergete?

37 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS.5 SERIES ALTERNANTES Las pruebas de covergecia que se ha examiado hasta este mometo se aplica sólo a series co térmios positivos. E esta secció y e la siguiete, se estudia cómo tratar a series cuyos térmios o so ecesariamete positivos. De particular importacia so las series alterates, cuyos térmios se altera e sigo. Ua serie alterate es ua serie cuyos térmios so alteradamete positivos y egativos. Aquí hay dos ejemplos: De acuerdo co los ejemplos, el -ésimo térmio de ua serie alterate es de la forma a b o bie, a b dode b es u úmero positivo. (E efecto, b a.) La prueba siguiete establece que si los térmios de ua serie alterate decrece hacia 0 e valor absoluto, e este caso la serie coverge. PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE Si la serie alterate b b b b 3 b 4 b 5 b 6 b 0 cumple co (i) b b para toda (ii) lím 0 l etoces la serie es covergete. Ates de proporcioar la demostració vea la figura, la cual es ua represetació de la idea e la que se apoya la demostració. Primero dibuje s b e ua recta umérica. Para determiar s reste b, de modo que s está a la izquierda de s. Luego, para determiar s 3 sume b 3, de modo que s 3 está a la derecha de s. Pero como b 3 b, s 3 está a la izquierda de s. Al cotiuar de esta maera, se observa que las sumas parciales oscila hacia u lado y hacia el otro. Puesto que b l 0, los pasos siguietes se vuelve más y más pequeños. Las sumas parciales pares s, s 4, s 6,... se icremeta, y decrece las sumas parciales impares s, s 3, s 5,... E estos térmios, es posible que ambas coverja e el mismo úmero s, el cual es la suma de la serie. Por cosiguiete, e la demostració siguiete se cosidera por separado las sumas parciales pares e impares. b -b +b -b +b -bß FIGURA 0 s s sß s s s s

38 SECCIÓN.5 SERIES ALTERNANTES 7 DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE pares: Primero cosidere las sumas parciales s b b 0 puesto que b b s 4 s b 3 b 4 s puesto que b 4 b 3 E geeral, s s b b s puesto que b b Por esto, 0 s s 4 s 6 s Pero tambié puede escribir s b b b 3 b 4 b 5 b b b Todos los térmios etre parétesis so positivos, de modo que s b para toda. Por lo tato, la sucesió s de las sumas parciales pares se icremeta y está acotada por arriba. Debido a eso, de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa es covergete. Llame s a su límite, es decir, lím s s l Ahora calcule el límite de las sumas parciales impares: lím s lím s b l l lím l s lím l b s 0 s [segú la codició ii)] Puesto que tato la suma parcial par como la suma parcial impar coverge e s, lím l s s (véase el ejercicio 80(a) de la secció.), por lo que la serie es covergete. & E la figura se ilustra el ejemplo ; se muestra las gráficas de los térmios a y las sumas parciales s. Observe cómo los valores de s va e zigzag detro del límite, el cual al parecer está alrededor de 0.7. De hecho, la suma exacta de la serie es l (véase ejercicio 36). s a 0 V EJEMPLO La serie armóica alterate cumple co (i) b b (ii) porque de modo que la serie es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate. V EJEMPLO La serie 3 4 lím b lím l l es alterate pero FIGURA lím b 3 3 lím lím l l 4 l 4 3 4

39 7 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS por lo que la codició (ii) o se cumple. E cambio, vea el límite del -ésimo térmio de la serie: lím a 3 lím l l 4 Este límite o existe, de modo que la serie es divergete de acuerdo co la prueba de la divergecia. EJEMPLO 3 Pruebe si la serie 3 es covergete o divergete. SOLUCIÓN La serie dada es alterate, de modo que trate de comprobar las codicioes (i) y (ii) de la prueba de la serie alterate. Al cotrario de la situació e el ejemplo, o es obvio que la sucesió dada por b 3 sea decreciete. Si embargo, si cosidera la fució relacioada fx x x 3, ecuetre que & E lugar de verificar la codició (i) de la prueba de la serie alterate calculado ua derivada, puede comprobar que b b directamete usado la técica de la solució del ejemplo de la secció.. f x x x 3 x 3 Puesto que se cosidera sólo x positivas, fx 0 si x 3 0, es decir, x s 3. De esta maera, f es decreciete e el itervalo (s 3, ). Esto quiere decir que f f y, por lo tato, b b cuado. (La desigualdad b b se puede comprobar de maera directa, pero lo que realmete importa es que la sucesió b decrece co el tiempo.) La codició (ii) se comprueba rápidamete: lím b lím lím l l 3 l 0 3 Por esto, la serie dada es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate. ESTIMANDO SUMAS Ua suma parcial de s de cualquier serie covergete se puede usar como ua aproximació a ua suma total s, pero o es muy utilizado, a meos que estime la exactitud de la aproximació. El error geerado al usar s s es el residuo R s s. El teorema siguiete establece que para las series que cumple co la codició de la prueba de la serie alterate, el tamaño del error es meor que b, lo cual es el valor absoluto del primer térmio igorado. & Desde el puto de vista de la geometría, puede ver por qué el teorema de estimació para series alterates es verdadero al examiar la figura e la págia 70. Observe que s s, s 4 b 5 s5 b 6, y así sucesivamete. Note tambié que s queda etre dos sumas parciales cosecutivas. TEOREMA DE ESTIMACIÓN PARA SERIES ALTERNANTES suma de ua serie alterate que cumple co etoces (i) 0 b b y (ii) R s s b Si s b es la lím b 0 l DEMOSTRACIÓN Sabemos de la demostració para la prueba de series alterates que s queda etre dos sumas parciales cosecutivas s y s. Se ifiere que s s s s b

40 SECCIÓN.5 SERIES ALTERNANTES 73 EJEMPLO 4 Calcule la suma de la serie V co tres cifras decimales. 0! (Por defiició, 0!.) SOLUCIÓN Primero observe que la serie es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate porque (i)!!! (ii) 0 de modo que coforme l! l 0! l 0 Para ver cuátos térmios ecesitamos usar e la aproximació, escriba los primeros térmios de la serie s 0!!! 3! 4! 5! 6! 7! Observe que y b s De acuerdo co el teorema de la estimació de la serie alterate, se sabe que s s 6 b & E la secció.0 se demuestra que e x 0 x! para toda x, de modo que el resultado del ejemplo 4 es e realidad ua aproximació al úmero e. Este error de meos de o afecta la tercera cifra decimal, de modo que teemos s que es correcta hasta la tercera cifra decimal. NOTA La regla de que el error (al usar s para aproximarse a s) es meor que el primer térmio igorado es e geeral válida sólo para series alterates que cumple co las codicioes del teorema de la estimació de la serie alterate. La regla o se aplica a otros tipos de series..5 EJERCICIOS. (a) Qué es ua serie alterate? (b) E qué codicioes ua serie alterate coverge? (c) Si estas codicioes se cumple, qué puede decir co respecto al residuo después de térmios? 0 Pruebe las series para ver si so covergetes o divergetes s s3 s4 s5 s l 4 s cos l se ! 34 e l se! cos 5 s s

41 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS ; Calcule las 0 primeras sumas parciales de la serie y dibuje tato la sucesió de térmios como la sucesió de las sumas parciales e la misma patalla. Estime el error al usar la décima suma parcial para aproximarse a la suma total Demuestre que la serie es covergete. Cuátos térmios de la serie ecesita sumar para determiar la suma co la exactitud señalada? 3. error error error ! 0 6. e error Obtega u valor aproximado de la suma de la serie que sea correcta hasta la cuarta cifra decimal ! 3. Es la 50a. suma parcial s 50 de la serie alterate ua estimació excesiva o ua subestimació de la suma total? Explique Para qué valores de p es covergete cada serie? p p l 35. Demuestre que es divergete la serie b, dode b si es impar y b si es par. Por qué o se aplica la prueba de la serie alterate? 36. Siga los pasos siguietes para demostrar que 33. Sea h y s las sumas parciales de las series armóica y armóica alterate. (a) Demuestre que s h h. (b) Segú el ejercicio 40 de la secció.3 y, por lo tato, h l l h l l l p cuado l cuado l Apoyádose e estos hechos y el iciso (a), demuestre que s l l cuado l..6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ Dada ua serie a, cosidere las series correspodietes a a a a 3 cuyos térmios so los valores absolutos de los térmios de la serie origial. & Hay pruebas para la covergecia para series co térmios positivos y para series alterates. Pero, y si los sigos de los térmios cambia de maera irregular? E el ejemplo 3, se observa que la idea de la covergecia absoluta ayuda a veces e tales casos. DEFINICIÓN Ua serie a es llamada absolutamete covergete si la serie de valores absolutos a es covergete. Observe que si a es ua serie co térmios positivos, etoces a a y por lo tato la covergecia absoluta es lo mismo que la covergecia. EJEMPLO La serie 3 4

42 SECCIÓN.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 75 es absolutamete covergete porque es ua serie p covergete p. 3 4 EJEMPLO Ya sabe que la serie armóica alterate 3 4 es covergete (véase ejemplo de la secció.5), pero o es absolutamete covergete porque la serie correspodiete de valores absolutos es 3 4 que es la serie armóica (serie p co p ) y, por lo tato, es divergete. DEFINICIÓN Ua serie a se llama codicioalmete covergete si es covergete pero o absolutamete covergete. E el ejemplo se muestra que la serie armóica alterate es codicioalmete covergete. E estos térmios, es posible que ua serie sea covergete, pero o absolutamete covergete. No obstate, el teorema siguiete muestra que la covergecia absoluta sigifica covergecia. 3 TEOREMA Si ua serie a es absolutamete covergete, etoces es covergete. & E la figura se ilustra las gráficas de los térmios a y las sumas parciales s de la serie del ejemplo 3. Observe que la serie o es alterate, pero tiee térmios positivos y egativos. 0.5 FIGURA s a 0 DEMOSTRACIÓN Observe la desigualdad es cierta porque a es a o bie, a. Si a es absolutamete covergete, etoces a es covergete, así que a es covergete. Por lo tato, segú la prueba de la comparació, es covergete. Etoces, (a a ) a a a a es la diferecia de dos series covergetes y, por lo tato, covergete. V EJEMPLO 3 Determie si la serie es covergete o divergete. 0 a a a cos cos cos cos 3 3 SOLUCIÓN La serie posee térmios tato positivos como egativos, pero o es alterate. (El primer térmio es positivo, los siguietes tres so egativos, y los otros tres que sigue so positivos. Los sigos o sigue u patró regular.) Etoces puede aplicar la prueba de comparació a la serie de valores absolutos cos cos

43 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Puesto que cos para toda, etoces cos Sabemos que es covergete (serie p co p ) y, por lo tato, cos es covergete segú la prueba por comparació. De esta maera, la serie dada cos es absolutamete covergete y, debido a eso, covergete de acuerdo co el teorema 3. La prueba siguiete es muy útil para determiar si ua cierta serie es absolutamete covergete PRUEBA DE LA RAZÓN (i) Si, etoces la serie lím a a es absolutamete covergete l a L (y, e cosecuecia, covergete). (ii) Si, o bie, lím a lím, etoces la serie l a a l a L es divergete. a (iii) Si lím a, la regla de comparació o es cocluyete; es decir, o se l a puede sacar coclusió algua co respecto a la covergecia o a la divergecia de a. DEMOSTRACIÓN (i) La idea es comparar la serie dada co ua serie geométrica covergete. Puesto que L, puede escoger u úmero r tal que L r. Como lím l a a L y L r el cociete a a evetualmete será meor que r; es decir, existe u etero N tal que r cuado N a a 4 que equivale, a a r cuado N Al hacer a sucesivamete igual a N, N, N,... e (4), se obtiee y, e geeral, a N a N r a N a N r a N r a N3 a N r a N r 3 5 a Nk a N r k para toda k

44 SECCIÓN.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 77 Ahora la serie k a N r k a N r a N r a N r 3 es covergete porque es ua serie geométrica co 0 r. De modo que la desigualdad 5), juto co la prueba de la comparació demuestra que la serie a N k a Nk a N a N a N3 a tambié es covergete. Se ifiere que la serie es covergete. (Recuerde que ua catidad fiita de térmios o afecta la covergecia.) Por lo tato, a es absolutamete covergete. (ii) Si a a, o bie, a a, etoces el cociete a l l L a evetualmete será mayor que ; es decir, existe u etero N tal que Esto sigifica que a a a a siempre que N siempre que N y de este modo, lím a 0 l E cosecuecia, a es divergete segú la prueba de la divergecia. NOTA La parte (iii) de la regla de comparació establece que si lím la a, la prueba o proporcioa iformació. Por ejemplo, e cuato a la serie covergete a a pero para la serie divergete l cuado l a a cuado l Por lo tato, si lím la a, la serie a podría ser covergete o divergete. E este caso, la regla de comparació o fucioa, razó por la cual debe aplicar otra prueba. l & ESTIMACIÓN DE SUMAS E las tres últimas seccioes estudió varios métodos para estimar la suma de la serie, y el método depedía de cuál prueba se usaba para demostrar la covergecia. Qué sucede co las series para las cuales sí fucioa la regla de comparació? Hay dos posibilidades: si la serie es alterate, como e el ejemplo 4, etoces es mejor aplicar los métodos de la secció.5. Si todos los térmios so positivos, e este caso aplique los métodos especiales que se explica e el ejercicio 34. EJEMPLO 4 Pruebe si la serie 3 3 es absolutamete covergete. SOLUCIÓN Aplique la regla de comparació co a : a a l

45 78 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS De esta maera, de acuerdo co la regla de comparació, la serie dada es absolutamete covergete y, e cosecuecia, covergete. EJEMPLO 5 Pruebe si la serie V es covergete.! SOLUCIÓN Puesto que los térmios a! so positivos, o ecesita los sigos del valor absoluto. a a!!!! l e cuado l (Véase ecuació ) Puesto que e, la serie dada es divergete segú la prueba de la razó. NOTA La prueba de la razó fucioa e el ejemplo 5, pero u método más fácil es la prueba de la divergecia. Como a! 3 se ifiere que a o tiede a 0 cuado l. Por lo tato, la serie dada es divergete segú la prueba de la divergecia. Es coveiete aplicar la siguiete prueba cuado hay potecias -ésimas. Su demostració es similar a la de la prueba de la razó y se deja e el ejercicio 37. PRUEBA DE LA RAÍZ (i) Si lím L, etoces la serie es absolutamete covergete (y, por lo tato, covergete). (ii) Si lím L o lím, etoces la serie es divergete. (iii) Si lím l s a l s a l s a l s a a, la prueba de la raíz o es cocluyete. a Si lím l s a, etoces la parte (iii) de la prueba de la raíz establece que la prueba o proporcioa iformació. La serie a podría ser covergete o divergete. (Si L e la prueba de la razó o itete co la prueba de la raíz porque L será ua vez más. Y si L e la prueba de la raíz, o itete la prueba de la razó porque tambié fallará.) EJEMPLO 6 Pruebe la covergecia de la serie 3 V. 3 SOLUCIÓN a 3 3 s a l 3 Así, la serie dada coverge segú la prueba de la raíz.

46 SECCIÓN.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 79 REORDENAMIENTOS La preguta de si ua serie dada que es covergete es absolutamete covergete o codicioalmete covergete, tiee relació co la preguta si las sumas ifiitas se comporta como sumas fiitas. Naturalmete, si reordea los térmios e ua suma fiita, pues el valor de la suma o cambia. Pero esto o siempre sucede e las series ifiitas. Co reordeamieto de ua serie ifiita a se da a eteder ua serie obteida simplemete al cambiar el orde de los térmios. Por ejemplo, u reordeamieto de a podría ser el siguiete: a a a 5 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 0 Resulta que si a es ua serie absolutamete covergete de suma s, e tal caso cualquier reordeamieto de a tiee la misma suma s. Si embargo, cualquier serie codicioalmete covergete se puede reordear, co lo cual la suma será distita. Para ilustrar este hecho cosidere la serie armóica altera l & Sumar ceros o afecta la suma de la serie; se repite cada uo de los térmios de la sucesió de sumas parciales, pero el límite es el mismo. (Véase ejercicio 36 e la secció.5.) Si multiplica la serie por, obtiee Si iserta ceros etre los térmios de esta serie, tiee l l Ahora sume la serie de las ecuacioes 6 y 7 usado el teorema..8: l Observe que la serie e (8) costa de los mismos térmios que e (6), pero reordeados de modo que haya u térmio egativo después de cada par de térmios positivos. Pero las sumas de estas series so diferetes. De hecho, Riema demostró que si a es ua serie codicioalmete covergete y r es cualquier úmero real, por lo tato hay u reordeamieto de a que tiee ua suma igual a r. Ua demostració de este hecho se platea e el ejercicio EJERCICIOS. Qué puede decir acerca de la serie a e cada uo de los casos siguietes? (a) lím (b) lím a l a a 0.8 l a 8 (c) 8 Determie si la serie es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o divergete ! 4 0 lím l a a s e.. 3. k k( 3) k se 4 4! 00 s 3!

47 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS arcta l Los térmios de ua serie se defie e forma recursiva mediate las ecuacioes a Determie si a es covergete o divergete. 30. Ua serie a está defiida de acuerdo co las ecuacioes ! a Determie si a coverge o diverge. Para cuáles de las series siguietes la prueba de la razó o es cocluyete (es decir, o proporcioa ua respuesta defiida)? (a) (c) 3 cos3 9.!. 3 s 3 5 5! 4 6! 3. Para cuáles eteros positivos k la serie siguiete es covergete? !! a a 33. (a) Demuestre que 0 x! coverge para toda x. (b) Deduzca que lím l x! 0 para toda x. 34. Sea a ua serie co térmios positivos y sea r a a. Supoga que lím l r L, de modo que a es covergete (b) (d)! k! a cos s 3 cos 3! 3 5! s 5 l a segú la prueba de la razó. Como es lo usual, R sea el residuo después de térmios, es decir, R a a a 3 (a) Si r es ua sucesió decreciete y r, demuestre co la suma de ua serie geométrica que (b) Si r es ua sucesió creciete, demuestre que 35. (a) Calcule la suma parcial s 5 de la serie. Co ayuda del ejercicio 34 estime el error al usar s 5 como ua aproximació a la suma de la serie. (b) Determie u valor de de tal modo que s o difiera de la suma real. Use este valor de para obteer u valor aproximado de la suma de la serie. 36. Use la suma de los primeros 0 térmios para obteer u valor aproximado de la suma de la serie Aplique el ejercicio 34 para estimar el error. 37. Demuestre la prueba de la raíz. [Sugerecia para la parte (i): tome cualquier úmero r tal que L r y aplique el hecho de que hay u etero N tal que cuado N.] 38. Hacia 90, Sriivasa Ramauja, matemático de la Idia, descubrió la fórmula s 4! p 980 0! William Gosper utilizó esta serie e 985 para calcular los primeros 7 milloes de dígitos de p. (a) Verifique que la serie sea covergete. (b) Cuátos lugares decimales correctos de p obtiee el lector si usa sólo el primer térmio de la serie? Qué pasa si usa dos térmios? 39. Dada cualquier serie a defie ua serie a si todos sus térmios so positivos de a y ua serie a si todos sus térmios so egativos de a. Para ser específicos, a a a R r R L a a a a a s a r Observe que si a 0, por lo tato a y a a 0, siempre que a 0, después a a y a 0. (a) Si a es absolutamete covergete, demuestre que tato la serie a como la a so covergetes. (b) Si a es codicioalmete covergete, demuestre que tato la serie a como la a so divergetes. 40. Demuestre que si a es ua serie codicioalmete covergete y r es cualquier úmero real, e este caso hay u reordeamieto de a cuya suma es r. [Sugerecias: utilice la otació del ejercicio 39. Tome sólo suficietes térmios positivos a de modo que su suma sea mayor que r. Luego sume sólo suficietes térmios egativos a para que la suma acumulativa sea meor que r. Cotiúe así y aplique el teorema..6.]

48 SECCIÓN.7 ESTRATEGIA PARA PROBAR SERIES 7.7 ESTRATEGIA PARA PROBAR SERIES Ya cooce varias maeras de probar la covergecia o divergecia de ua serie. Ahora el problema es decidir cuál prueba aplicar e cada serie. E este aspecto, probar series es parecido a itegrar fucioes. No hay reglas rígidas y rápidas co respecto a qué prueba aplicar a ua serie dada, pero puede seguir las recomedacioes siguietes, puesto que le puede ser útiles. No es prudete aplicar ua lista de pruebas e u orde específico hasta que ua acaba por fucioar. Eso sería u desperdicio de tiempo y esfuerzo. E lugar de eso, al igual que e la itegració, la estrategia pricipal es clasificar las series de acuerdo co su forma.. Si la serie es de la forma p, es ua serie p, lo cual sigifica que es covergete si p y divergete si p.. Si la serie es de la forma ar o ar, es ua serie geométrica, la cual coverge si r y diverge si r. Se podría requerir alguas operacioes algebraicas para hacer que la serie alcace esta forma. 3. Si la serie posee ua forma similar a la de ua p-serie o a ua serie geométrica, etoces se debe cosiderar ua de las pruebas por comparació. E particular, si a es ua fució racioal o ua fució algebraica de (es decir, que cotiee raíces de poliomios), por lo tato, la serie se debe comparar cotra ua p-serie. Observe que la mayoría de las series de los ejercicios.4 posee esta forma. (El valor de p se debe escoger como e la secció.4, y coservar sólo las potecias más altas de e el umerador y e el deomiador.) Las pruebas por comparació se aplica sólo e series co térmios positivos, pero si a tiee alguos térmios egativos, e seguida puede aplicar la prueba por comparació a a y probar si hay covergecia absoluta. 4. Si es fácil ver que lím l a 0, etoces se debe aplicar la prueba para la divergecia. 5. Si la serie es de la forma b, o bie, b, etoces ua posibilidad obvia es la prueba de la serie alterate. 6. Las series que cotiee factoriales u otros productos (icluso ua costate elevada a ua potecia -ésima) se prueba e forma aceptable usado la prueba de la razó. Siempre piese que a a l cuado l para todas las p-serie y, por lo tato, todas las fucioes racioales o algebraicas de. E estos térmios, la prueba de la razó o se debe aplicar para dichas series. 7. Si a es de la forma b, etoces la prueba de la raíz podría ser útil. 8. Si a f, dode x f x dx se puede evaluar co facilidad, etoces la prueba de la itegral es efectiva (supoiedo que la hipótesis de esta prueba se cumple). E los ejemplos siguietes o se preseta todo el desarrollo, sio que simplemete se idica qué prueba se debe usar. V EJEMPLO Puesto que a l 0 cuado l, debe usar la prueba de la divergecia. EJEMPLO s Como a es ua fució algebraica de, compare la serie dada co la p-serie.

49 7 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La serie de comparació de la prueba de comparació e el límite es b, dode V EJEMPLO 3 e b s Puesto que la itegral x dx se evalúa co facilidad, use la prueba de la itegral. xex La prueba de la razó tambié fucioa. EJEMPLO 4 Como la serie es alterate, aplique la prueba de la serie alterate. V EJEMPLO k k k! Como la serie cotiee k!, se aplica la prueba de la razó. EJEMPLO 6 3 La serie está estrechamete relacioada co la serie geométrica 3, por lo que se aplica la prueba por comparació..7 EJERCICIOS 38 Pruebe si las series so covergetes o divergetes sl k 9. k e k 0... l ! 5.! k l s e 3 se se 3 s k k k! k! k 5 5 k.. 3. ta 4.! e 7. k l k 8. k 3 k cosh k k 4 k 33. se 34. s k (s ) se 5 e j j! 4 s 3 5 cos l l sj j 5 (s )

50 SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 73.8 SERIES DE POTENCIAS Ua serie de potecias es ua serie de la forma & SERIES TRIGONOMÉTRICAS Ua serie de potecias es ua serie e la cual cada uo de los térmios es ua fució co potecias. Ua serie trigoométrica a cos x b se x 0 es ua serie cuyos térmios so fucioes trigoométricas. Este tipo de serie se aaliza e la págia web Dé u clic e Additioal Topics y luego e Fourier Series. & Nótese que! 3! c x c 0 c x c x c 3 x 3 0 dode x es ua variable y las c so costates que se deomia coeficietes de la serie. Para cada x establecida, la serie () es ua serie de costates que puede probar para ver si so covergetes o divergetes. Ua serie de potecias podría ser covergete para alguos valores de x y ser divergete para otros. La suma de la serie es ua fució cuyo domiio es el cojuto de todas las x para las cuales la serie es covergete. Observe que f es parecida a u poliomio. La úica diferecia es que f tiee ua catidad ifiita de térmios. Por ejemplo, si hace c para toda, la serie de potecias se trasforma e ua serie geométrica que es covergete cuado x y es divergete cuado (véase ecuació..5). E geeral, ua serie de la forma se deomia serie de potecias e x a, o bie, serie de potecias cetrada e a, o tambié, serie de potecias co respecto a a. Observe que al escribir el térmio correspodiete a 0 e las ecuacioes y, se ha adoptado la coveció de x a 0 au cuado x a. Asimismo, ote que cuado x a todos los térmios so 0 para y de este modo la serie de potecias () siempre es covergete cuado x a. V EJEMPLO Para qué valores de x la serie es covergete? SOLUCIÓN Aplique la prueba de la razó. Si deota co a, como se acostumbra, el -ésimo térmio de la serie, etoces a!x. Si x 0, lím a!x lím l x l a lím l!x Segú la prueba de la razó, la serie es divergete cuado x 0. E estos térmios, la serie dada coverge sólo cuado x 0. V f x c 0 c x c x c x x x x x 0 c x a c 0 c x a c x a 0 EJEMPLO Para qué valores de x la serie SOLUCIÓN Sea a x 3. E tal caso a x 3 a x 3!x 0 x 3 x 3 l x 3 x es covergete? cuado l

51 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS De acuerdo co la regla de comparació, la serie dada es absolutamete covergete y, por lo tato, covergete cuado x 3 y divergete cuado x 3. Ahora x 3 &? x 3 &? x 4 de modo que la serie coverge cuado x 4 y diverge cuado x o bie x 4. La prueba de la razó o proporcioa iformació cuado x 3 de modo que debe cosiderar x y x 4 por separado. Si poe x 4 e la serie, se vuelve, la serie armóica, la cual es divergete. Si x, la serie es, la cual es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate. Por lo tato, la serie de potecias dada coverge para x 4. Natioal Film Board of Caada Ya verá que el uso pricipal de las series de potecias es proporcioar ua maera de represetar alguas de las fucioes más importates que surge e matemáticas, física y química. E particular, la suma de la serie de potecias del ejemplo siguiete se llama fució de Bessel, e hoor al astróomo alemá Friedrich Bessel ( ), y la fució dada e el ejercicio 35 es otro ejemplo de la fució de Bessel. E efecto, estas fucioes surgiero primero cuado Bessel resolvió la ecuació de Kepler para describir el movimieto de los plaetas. Desde esa época, estas fucioes se aplica e diversas situacioes físicas, si olvidar la distribució de temperaturas e ua lámia circular y las vibracioes de ua membraa de u tambor. EJEMPLO 3 Determie el domiio de la fució de Bessel de orde 0 defiida por J 0 x 0 x! & Observe cómo la aproximació del modelo geerado por computadora (el cual utiliza fucioes de Bessel y de coseos) coicide co la fotografía de ua membraa vibratoria de hule. SOLUCIÓN Sea a x!. E tal caso a a x!! x x!! x x 4 l 0 para toda x De este modo, de acuerdo co la prueba de la razó, la serie dada coverge para todos los valores de x. E otras palabras, el domiio de la fució de Bessel J 0 es,. Recuerde que la suma de ua serie es igual al límite de la sucesió de las sumas parciales. De esa maera, cuado se defie la fució de Bessel del ejemplo 3 como la suma de ua serie quiere decir que, para todo úmero real x, J 0 x lím l s x Las primeras sumas parciales so dode s x i0 i x i i i! s 0 x s x x 4 s x x 4 x 4 64 s 3 x x 4 x 4 64 x s 4 x x 4 x 4 64 x x

52 SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 75 y s s s 0 x J s s FIGURA Sumas parciales de la fució de Bessel J y y=j (x) E la figura se muestra las gráficas de estas sumas parciales, las cuales so poliomios. Todas so aproximacioes de la fució J 0, pero observe que la aproximació es mejor cuado se icluye más térmios. E la figura se ilustra ua gráfica más completa de la fució de Bessel. E lo que respecta a la serie de potecias examiadas hasta el mometo, el cojuto de valores de x para los cuales la serie es covergete ha resultado ser siempre u itervalo [u itervalo fiito de la serie geométrica y la serie del ejemplo, el itervalo ifiito, del ejemplo 3 y u itervalo colapsado 0, 0 0 del ejemplo. El teorema siguiete, demostrado e el apédice F, establece que esto es válido e geeral. 3 TEOREMA Para ua serie de potecias dada c x a hay sólo tres posibilidades: 0 (i) La serie coverge sólo cuado x a. (ii) La serie coverge para toda x. (iii) Hay u úmero positivo R tal que la serie coverge si x a R y diverge si x a R. _0 FIGURA 0 0 x El úmero R e el caso (iii) se llama radio de covergecia de la serie de potecias. Por coveció, el radio de covergecia es R 0 e el caso (i) y R e el caso (ii). El itervalo de covergecia de ua serie de potecias es el itervalo que cosiste e todos los valores de x para los cuales la serie coverge. E el caso (i) el itervalo costa de u solo puto a. E el caso (ii) el itervalo es,. Observe que e el caso (iii) la desigualdad x a R se puede escribir de uevo como a R x a R. Cuado x es u extremo del itervalo, es decir, x a R, cualquier cosa puede suceder: la serie podría ser covergete e uo o e ambos extremos, o podría ser divergete e ambos extremos. Por lo tato, e el caso (iii) hay cuatro posibilidades para el itervalo de covergecia: a R, a Ra R, a Ra R, a Ra R, a R La situació se ilustra e la figura 3. covergecia para x-a <R FIGURA 3 a-r a a+r divergecia para x-a >R Se resume a cotiuació el radio y el itervalo de covergecia para cada uo de los ejemplos ya cosiderados e esta secció. x 0 Serie Radio de covergecia Itervalo de covergecia Serie geométrica R, 0 Ejemplo! x R 0 0 Ejemplo x 3 R, 4 Ejemplo 3 x R,! 0

53 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS E geeral, la prueba de la razó (o a veces, la prueba de la raíz) se debe usar para determiar el radio de covergecia R. Las pruebas de la razó y la raíz siempre fracasa cuado x es u extremo del itervalo de covergecia, de modo que es ecesario verificar los extremos por medio de algua otra prueba. EJEMPLO 4 Determie el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la serie 3 x 0 s SOLUCIÓN Sea a 3 x s. Por lo tato a a 3 x s s 3 x De acuerdo co la prueba de la razó, la serie dada coverge si 3 x y es divergete si 3 x. E estos térmios, es covergete si x y diverge si x. Esto quiere decir que el radio de covergecia es R Sabemos que la serie coverge e el itervalo ( 3, 3 ), pero ahora es ecesario probar si hay covergecia e los extremos de este itervalo. Si x 3, la serie se trasforma e 3 ( 3) 0 s 0 3 x l 3 x la cual es divergete. (Aplique la prueba de la itegral o simplemete observe que es ua p-serie co p.) Si x 3, la serie es 3 ( 3) 0 s 0 la cual coverge de acuerdo co la prueba de la serie alterate. Por lo tato, la serie dada de potecias coverge cuado, de modo que el itervalo de covergecia es ( 3, 3 x 3 3]. V EJEMPLO 5 Determie el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la serie x 0 3 SOLUCIÓN Si a x 3, etoces a a s s s s3 s4 x 3 x 3 3 x Al aplicar la prueba de la razó, se ve que la serie es covergete si x 3 y que es divergete si x 3. De modo que es covergete si x 3 y divergete si x 3. Así que, el radio de covergecia es R 3. l 3x s x 3 cuado l cuado l

54 SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 77 La desigualdad x 3 se puede escribir como 5 x, así que probamos la serie e los extremos 5 y. Cuado x 5, la serie es la cual es divergete segú la prueba de la divergecia [ o coverge e 0]. Cuado x, la serie es la cual tambié es divergete segú la prueba de la divergecia. Por esto, la serie coverge sólo cuado 5 x, de modo que el itervalo de covergecia es (5, )..8 EJERCICIOS. Qué es ua serie de potecias?. (a) Cuál es el radio de covergecia de ua serie de potecias? Cómo se determia? (b) Cuál es el itervalo de covergecia de ua serie de potecias? Cómo se calcula? 3 8 Determie el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la serie. 3. x x 0.. x. s l x 4 8. s x , b 0. x a b x s x 0! 3 x 0 x x 0 sx x 0 x 3 3x 3 x x! x 3 0 x 4 x x !x Si 0 c 4 es covergete, se ifiere que la serie siguiete es covergete? (a) (b) 30. Supoga que 0 c x es covergete cuado x 4 y diverge cuado x 6. Qué puede decir co respecto a la covergecia o divergecia de la serie siguiete? (a) (c) x 3 5!x 3 5 c 0 c 0 c (b) (d) c 4 0 x l c 8 0 c 9 0 x Si k es u etero positivo, ecuetre el radio de covergecia de la serie! k k! x 3. Sea p y q úmeros reales co p q. Ecuetre ua serie de potecias cuyo itervalo de covergecia sea (a) p, q (b) p, q (c) p, q (d) p, q 33. Es posible hallar ua serie de potecias cuyo itervalo de covergecia sea 0,? Explique. 4.

55 78 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS ; 34. Dibuje las primeras sumas parciales s x de la serie 0 x, juto co la fució suma fx x, sobre ua misma patalla. E qué itervalo parece que coverge estas sumas parciales y fx? 35. La fució J defiida por J x 0 se llama fució de Bessel de orde. (a) Determie el domiio. ; (b) Dibuje las primeras sumas parciales e ua misma patalla. CAS (c) Si su CAS tiee icorporadas las fucioes de Bessel, dibuje J e la misma patalla que las sumas parciales del iciso (b) y observe cómo se aproxima las sumas parciales a J. 36. La fució A se defie mediate x!! Ax x 3 3 x x que se llama fució de Airy e hoor al matemático y astróomo iglés sir George Airy (80-89). (a) Determie el domiio de la fució de Airy. ; (b) Dibuje las primeras sumas parciales s x e ua misma patalla. CAS 37. (c) Si su CAS tiee icorporadas las fucioes de Airy, dibuje A e la misma patalla que las sumas parciales del iciso b), y observe cómo las sumas parciales se aproxima a A. Ua fució f está defiida mediate f x x x x 3 x 4 es decir, sus coeficietes so c y c para toda 0. Determie el itervalo de covergecia de la serie y platee ua fórmula explícita para fx. 38. Si f x 0 c x, dode c 4 c para toda 0, determie el itervalo de covergecia de la serie y ua fórmula para fx. 39. Muestre que si lím l s c c, dode c 0, e tal caso el radio de covergecia de la serie de potecias c x es R c. 40. Supoga que la serie de potecias c x a satisface c 0 para toda. Demuestre que si existe lím l c c, por lo tato es igual al radio de covergecia de la serie de potecias. 4. Supoga que el radio de covergecia de la serie c x es y que el radio de covergecia de la serie d x es 3. Cuál es el radio de covergecia de la serie c d x? 4. Supoga que el radio de covergecia de la serie de potecias c x es R. Cuál es el radio de covergecia de la serie de potecias c x?.9 & Ua ilustració geométrica de la ecuació se muestra e la figura. Como la suma de ua serie es el límite de la sucesió de las sumas parciales lím x sx l dode s x x x x es la -ésima suma parcial. Observe que cuado se icremeta, s x se vuelve ua mejor aproximació para fx e x. REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS E esta secció aprederá a represetar ciertos tipos de fucioes como sumas de series de potecias mediate la maipulació de series geométricas, o mediate derivació o itegració de dichas series. Quizá se pregute por qué siempre se busca expresar ua fució coocida como ua suma de ua catidad ifiita de térmios. Más adelate se explica la utilidad de esta estrategia e la itegració de fucioes que o tiee atiderivadas elemetales, e la solució de ecuacioes difereciales y para aproximar fucioes mediate poliomios. (Los cietíficos lo hace así para simplificar las expresioes co las que trabaja; los especialistas e computació lo hace así para represetar fucioes e calculadoras y computadoras.) Iicie co ua ecuació que estudió ates: x x x x x 3 x 0 Ya ecotró esta ecuació e el ejemplo 5 de la secció., dode la obtuvo al observar que es ua serie geométrica co a y r x. Pero e este caso la opiió es distita. Ahora cosidere la ecuació como expresió de la fució f x x como ua suma de ua serie de potecias. y s sˆ s f s FIGURA ƒ= -x y alguas sumas parciales 0 x _

56 SECCIÓN.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 79 & Cuado se pide ua serie de potecias e esta secció, se supoe que la serie está cetrada e 0, a meos que se idique de otra forma. V EJEMPLO Exprese x como la suma de ua serie de potecias, y determie el itervalo de covergecia. SOLUCIÓN Al reemplazar x por x e la ecuació, queda x x 0 0 x x x x 4 x 6 x 8 Como es ua serie geométrica, es covergete cuado x, es decir, x, o bie, x. Por lo tato, el itervalo de covergecia es,. Naturalmete, podría haber determiado el radio de covergecia aplicado la prueba de la razó, pero esa catidad de trabajo es iecesaria e este caso. EJEMPLO Determie ua represetació para x. SOLUCIÓN Co objeto de poer esta fució e la forma del lado izquierdo de la ecuació, primero se factoriza u del deomiador: x x x 0 x 0 x Esta serie coverge cuado x, es decir, x. De modo que el itervalo de covergecia es,. EJEMPLO 3 Obtega ua represetació como serie de potecias de x 3 x. & Es válido pasar x 3 al otro lado del sigo de la suma porque o depede de. [Aplique el teorema..8(i) co c x 3.] SOLUCIÓN Puesto que esta fució es justamete x 3 veces la fució del ejemplo, todo lo que debe hacer es multiplicar esa serie por x 3 : x 3 x x 3 x x 3 0 x 0 3 x x 3 4 x 4 8 x 5 6 x 6 Otra forma de escribir esta serie es como sigue: x 3 x 3 x Como e el ejemplo, el itervalo de covergecia es,. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS La suma de ua serie de potecias es ua fució f x 0 c x a cuyo domiio es el itervalo de covergecia de la serie. Para ser capaces de derivar e itegrar estas fucioes, el siguiete teorema (el cual o será demostrado) establece que es posible hacerlo derivado o itegrado cada uo de los térmios de la serie, justo como se haría para u poliomio. Esto se deomia derivació e itegració térmio a térmio.

57 730 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TEOREMA Si la serie de potecias c x a posee u radio de covergecia R 0, etoces la fució f defiida por f x c 0 c x a c x a c x a es derivable (y, por lo tato, cotiua) e el itervalo a R, a R y 0 (i) f x c c x a 3c 3 x a c x a & E el iciso (ii), x c 0 dx c 0x C se escribe como c 0x a C, dode C C ac 0, de modo que todos los térmios de la serie tiee la misma forma. (ii) y f x dx C c 0 x a c C c 0 x a x a c x a3 3 Los radios de covergecia de la serie de potecias e las ecuacioes (i) y (ii) so R. NOTA Las ecuacioes (i) y (ii) del teorema se puede volver a escribir e la forma (iii) (iv) d dx c x a 0 0 y 0 c x a dx 0 d dx c x a y c x a dx Se sabe que, por lo que toca a las sumas fiitas, la derivada de ua suma es la suma de las derivadas y la itegral de ua suma es la suma de las itegrales. Las ecuacioes (iii) y (iv) asegura que lo mismo se cumple para sumas ifiitas, siempre que esté trabajado co series de potecias. (E el caso de otros tipos de series de fucioes la situació o es ta simple; véase ejercicio 36.) NOTA Auque el teorema establece que el radio de covergecia es el mismo cuado ua serie de potecias es derivada o itegrada, esto o quiere decir que el itervalo de covergecia siga siedo el mismo. Podría suceder que la serie origial coverja e el extremo, y que la serie derivada sea divergete aquí. (Véase ejercicio 37.) NOTA 3 La idea de derivar ua serie de potecias térmio a térmio es la base de u método eficaz para resolver ecuacioes difereciales. Estudiará este método e el capítulo 7. EJEMPLO 4 E el ejemplo 3 de la secció.8 vio que la fució de Bessel J 0 x 0 x! se defie para toda x. De esta maera, de acuerdo co el teorema, J 0 es derivable para toda x y su derivada se ecuetra derivado térmio a térmio como sigue: J 0 x 0 d dx x! x!

58 SECCIÓN.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 73 V EJEMPLO 5 Exprese x como ua serie de potecias derivado la ecuació. Cuál es el radio de covergecia? SOLUCIÓN Al derivar cada miembro de la ecuació se obtiee x x x x 3 x x 3x x 0 x Si quisiera podría reemplazar por y escribir la respuesta como x De acuerdo co el teorema, el radio de covergecia de la serie derivada es el mismo que el radio de covergecia de la serie origial, R. EJEMPLO 6 Determie ua represetació como serie de potecias para l x y su radio de covergecia. SOLUCIÓN Observe que, excepto e el caso de u factor de, la derivada de esta fució es x. Por eso itegre ambos miembros de la ecuació : 0 x l x y x dx y x x dx x x x3 3 C 0 x C x C x Para determiar el valor de C haga x 0 e esta ecuació y obtega l 0 C. Por lo tato, C 0 y l x x x x 3 3 x x El radio de covergecia es el mismo que el de la serie origial: R. Observe qué sucede si hace l l, x e el resultado del ejemplo 6. Puesto que V EJEMPLO 7 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para fx ta x. SOLUCIÓN Observe que fx x y ecuetre la serie requerida itegrado la serie de potecias para x determiada e el ejemplo. ta x y l x dx y x x 4 x 6 dx C x x 3 3 x 5 5 x 7 7

59 73 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & La serie de potecias para ta x obteida e el ejemplo 7 se llama serie de Gregory e hoor al matemático escocés James Gregory ( ), quie proosticó alguos de los descubrimietos de Newto. Ya se demostró que la serie de Gregory es válida cuado x, pero resulta que (auque o es fácil de demostrar) tambié es válida cuado x. Observe que cuado x la serie se trasforma e Este admirable resultado se cooce como fórmula de Leibiz para p. Para determiar C haga x 0 y obtiee C ta 0 0. Por lo tato, ta x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 Puesto que el radio de covergecia de la serie para x es, el radio de covergecia de esta serie para ta x es tambié. EJEMPLO 8 (a) Evalúe x x 7 dx como ua serie de potecias. (b) Mediate el iciso (a) obtega ua aproximació de x 0.5 x 7 dx que o difiera e del valor real. 0 x SOLUCIÓN (a) El primer paso es expresar la itegral, x 7, como la suma de ua serie de potecias. Como e el ejemplo, iicie co la ecuació y reemplace x por x 7 : x 7 x x 7 x 7 x 7 x 4 & Este ejemplo demuestra ua maera útil de las represetacioes como series de potecias. Itegrar x 7 a mao es icreíblemete difícil. Diferetes sistemas algebraicos computacioales da respuestas de distitas formas, pero so extremadamete complicadas. (Si tiee u CAS, itételo usted mismo.) La respuesta de la serie ifiita que se obtiee e el ejemplo 8(a) es realmete mucho más fácil de maejar que la respuesta fiita que proporcioa u CAS. Ahora itegre térmio a térmio: y x 7 dx y C x x 8 Esta serie coverge para x 7, es decir, para x. 0 x 7 dx C 8 x 5 5 x (b) Si aplica el teorema fudametal del cálculo o importa qué atiderivada use, de modo que utilice la atiderivada del iciso (a) co C 0: 0 x 7 7 y x dx x x Esta serie ifiita es el valor exacto de la itegral defiida, pero como es ua serie alterate, puede obteer ua aproximació de la suma aplicado el teorema de la estimació de la serie alterate. Si deja de sumar después del térmio 3, el error es meor que el térmio co 4: De modo que x 5 5 x y x dx

60 SECCIÓN.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS EJERCICIOS. Si el radio de covergecia de la serie de potecias 0 c x es 0, cuál es el radio de covergecia de la serie c x? Por qué?. Supoga que sabe que la serie 0 b x es covergete para x. Qué puede decir de la serie siguiete? Por qué? 3 0 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para la fució y determie el itervalo de covergecia. 3. f x 4. x f x x 0. x Exprese la fució como la suma de ua serie de potecias usado primero fraccioes parciales. Determie el itervalo de covergecia. 3. f x. x x 3. f x 3 x f x x 9 x 0 (a) Use la derivació para determiar ua represetació como serie de potecias para f x Cuál es el radio de covergecia? (b) Por medio del iciso (a) determie ua serie de potecias para f x (c) Mediate el iciso (b) determie ua serie de potecias para f x b x 4. (a) Determie ua represetació como serie de potecias para f x l x. Cuál es el radio de covergecia? (b) Mediate el iciso (a) determie ua serie de potecias para f x x l x. (c) Mediate el iciso (a) determie ua serie de potecias para f x lx x x 3 x x 3 f x 3 x 4 f x x 0 f x f x x x f x x a 3 x 3 x x x 5 8 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para la fució, y determie el radio de covergecia f x 8. f x arctax3 x ; 9 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para f, y dibuje f y varias sumas parciales s x e la misma patalla. Qué sucede cuado se icremeta? x 9. fx 0. fx lx 4 x f x l 6. x. fx ta x x 3 6 Evalúe la itegral idefiida como ua serie de potecias. Cuál es el radio de covergecia? 3. f x l5 x y 7 30 Use ua serie de potecias para aproximar la itegral defiida co seis cifras decimales y x ta x dx 6. y ta x dx x 3 7. y x dx 5 y 0. 0 t t 8 dt 9. x arcta3x dx A través del resultado del ejemplo 6, calcule l. co cico cifras decimales. 3. Demuestre que la fució es ua solució de la ecuació diferecial 33. (a) Demuestre que J 0 (la fució de Bessel de orde 0 dada e el ejemplo 4) cumple co la ecuació diferecial (b) Evalúe x 3 x J 0x xj 0x x J 0x 0 x J0x dx 0 f x 0 y x! y f x f x 0 f x l t t y 0.4 l x 4 dx 0 x x 4 dx co tres cifras decimales. x x dt

61 734 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 34. La fució de Bessel de orde se defie co (a) Demuestre que (b) Demuestre que J 0x J x. 35. (a) Demuestre que la fució satisface la ecuació diferecial es ua solució de la ecuació diferecial (b) Demuestre que f x e x. 36. Sea f x se x. Demuestre que la serie f x es covergete para todos los valores de x, pero la serie de derivadas f x es divergete cuado x, es u etero. Para qué valores de x la serie f x es covergete? 37. Sea J x J 0 x!! x J x xj x x J x 0 f x Determie los itervalos de covergecia para f, f y f. 0 f x x! f x f x x 38. (a) Empezado co la serie geométrica 0 x, calcule la suma de la serie x x (b) Calcule la suma de cada ua de las series siguietes. (i) x, (ii) (c) Determie la suma de cada ua de las series siguietes. (i) x, (ii) (iii) 39. Utilice la serie de potecias para ta x para demostrar que la expresió siguiete para como la suma de ua serie ifiita: (a) Aplique el método de completar cuadrados para demostrar que (b) Mediate la factorizació de x 3 como ua suma de cubos, escriba de uevo la itegral del iciso (a). Luego exprese x 3 como la suma de ua serie de potecias y úsela para demostrar la fórmula siguiete para : s3 x s3 y 0 0 x dx x x 3s3.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN E la secció aterior, se represetaro como series de potecias ua cierta clase restrigida de fucioes. E esta secció se trata problemas más geerales: Qué fucioes se puede represetar como series de potecias? Cómo es posible hallar esa represetació? Empiece por supoer que f es cualquier fució que se puede represetar mediate ua serie de potecias f x c 0 c x a c x a c 3 x a 3 c 4 x a 4 x a R Trate de determiar qué coeficietes c tiee que estar e fució de f. Para empezar, observe que si hace x a e la ecuació, e tal caso todos los térmios después del primero so 0 y obtiee f a c 0 De acuerdo co el teorema.9., puede derivar la serie de la ecuació térmio a térmio: f x c c x a 3c 3 x a 4c 4 x a 3 y al sustituir x a e la ecuació tiee x a R f a c

62 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 735 E seguida derive ambos miembros de la ecuació y obtiee 3 f x c 3c 3 x a 3 4c 4 x a Ua vez más haga x a e la ecuació 3. El resultado es x a R f a c Aplique el procedimieto ua vez más. La derivació de la serie de la ecuació 3 origia 4 f x 3c 3 3 4c 4 x a 3 4 5c 5 x a y la sustitució de x a e la ecuació 4 da x a R f a 3c 3 3!c 3 Ahora ya puede ver el patró. Si cotiúa derivado y sustituyedo x a, obtedrá f a 3 4 c!c Al resolver esta ecuació para el -ésimo coeficiete c, tiee c f a! Esta fórmula sigue siedo válida icluso para 0 si adopta la coveció de que 0! y f 0 f. E estos térmios, ha demostrado el teorema siguiete: 5 TEOREMA Si f se puede represetar como ua serie de potecias (expasió) e a, es decir, si f x c x a 0 x a R etoces sus coeficietes los da la fórmula c f a! Si sustituye esta fórmula de c de uevo e la serie, observe que si f tiee u desarrollo e serie de potecias e a, después debe ser de la forma siguiete: 6 f x 0 f a! f a f a! x a x a f a! x a f a 3! x a 3

63 736 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TAYLOR Y MACLAURIN & La serie de Taylor lleva este ombre e hoor al matemático iglés Brook Taylor (685-73) y la serie de Maclauri se llama así para recordar al matemático escocés Coli Maclauri ( ) a pesar del hecho de que la serie de Maclauri es realmete u caso especial de la serie de Taylor. Pero la idea de represetar fucioes particulares como sumas de series de potecias se remota a Newto, y el matemático escocés James Gregory cooció la serie geeral de Taylor e 668 y el matemático suizo Joh Beroulli la cooció por 690. Al parecer, Taylor o coocía el trabajo de Gregory i de Beroulli cuado publicó sus descubrimietos relacioados co las series e 75 e su libro Methodus icremetorum directa et iversa. Las series de Maclauri se llama así porque Coli Maclauri las popularizó e su libro de texto Treatise of Fluxios que se publicó e 74. La serie de la ecuació 6 se deomia serie de Taylor de la fució f e a (o bie, co respecto a a o cetrada e a). Para el caso especial a 0 la serie de Taylor se trasforma e 7 f x 0 f 0! x f 0 f 0! x f 0! x Como este caso surge co bastate frecuecia, se le da el ombre especial de serie de Maclauri. NOTA Ya se demostró que si f se puede represetar como ua serie de potecias co respecto a a, después f es igual a la suma de sus series de Taylor. Pero hay fucioes que o so iguales a la suma de sus series de Taylor. U ejemplo de tales fucioes se preseta e el ejercicio 70. V EJEMPLO Determie la serie de Maclauri de la fució f x e x y su radio de covergecia. SOLUCIÓN Si f x e x, etoces f x e x, por lo que f 0 e 0 para toda. Por lo tato, la serie de Taylor para f e 0, (es decir, la serie de Maclauri), es 0 f 0! x 0 x! x! x! x 3 3! Para determiar el radio de covergecia haga a x! E tal caso por esto, segú la prueba de la razó, la serie coverge para toda x y el radio de covergecia es R. La coclusió que obtiee del teorema 5 y el ejemplo es que si e x tiee u desarrollo de serie e potecias e 0, por lo tato Por eso, cómo se puede decir si e x tiee ua represetació como serie de potecias? Ivestigue la cuestió más geeral: e qué circustacias es ua fució igual a la suma de su serie de Taylor? E otras palabras, si f tiee derivadas de todos los órdees, cuádo es cierto que Como sucede co cualquier serie covergete, esto quiere decir que f x es el límite de la sucesió de sumas parciales. E el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales so T x i0 a a f ia i! f a f a! x!! x x a i f x e x 0 0 f a! x a f a! x! x l 0 x a x a f a! x a

64 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 737 y=t (x) FIGURA y=t (x) y y= y=t (x) y=t (x) (0, y=t (x) 0 x Observe que T es u poliomio de grado llamado poliomio de Taylor de -ésimo grado, de f e a. Por ejemplo, e el caso de la fució expoecial f x e x, el resultado del ejemplo muestra que los poliomios de Taylor e 0 (o poliomios de Maclauri), co, y 3 so Las gráficas de la fució expoecial y estos tres poliomios de Taylor se ilustra e la figura. E geeral, f x es la suma de su serie de Taylor si Si hace T x x T x x x! f x lím l T x T 3 x x x! x 3 3! & Cuado se icremeta, T x parece aproximarse a e x e la figura. Esto hace pesar que e x es igual a la suma de su serie de Taylor. R x f x T x de modo que f x T x R x etoces R x se llama residuo de la serie de Taylor. Si puede de algua maera demostrar que lím l R x 0, etoces se sigue que lím T x lím f x R x f x lím R x f x l l l Por lo tato, ha demostrado lo siguiete: 8 TEOREMA Si f x T x R x, dode T es el poliomio de Taylor de -ésimo grado de f e a y lím R x 0 l para x x a a R R., etoces f es igual a la suma de su serie de Taylor e el itervalo Al tratar de demostrar que lím l R x 0 para ua fució específica f, se usa por lo regular el hecho siguiete. f x M x a d 9 DESIGUALDAD DE TAYLOR Si para, etoces el residuo R x de la serie de Taylor cumple co la desigualdad R x M! x a para x a d Para eteder por qué es cierto para, supoga que tiee f x M, y de tal maera para a x a d f x M. E particular, se y x a f t dt y x M dt Ua atiderivada de f es f, por lo que segú la parte del teorema fudametal del cálculo teemos a f x f a Mx a o bie, f x f a Mx a

65 738 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & Otras opcioes aparte de la desigualdad de Taylor so las fórmulas siguietes para el residuo. Si f es cotiua e u itervalo I y x I, por lo tato R x! yx x t f t dt a E estos térmios, y x a f t dt y x f a Mt a dt a f x f a f ax a M x a Esta expresió recibe el ombre de forma itegral del térmio del residuo. Otra fórmula, que se llama forma de Lagrage del térmio del residuo, establece que hay u úmero z etre x y a tal que R x f z x a! Esta versió es ua geeralizació del teorema del valor medio, que es el caso 0). Las demostracioes de estas fórmulas, además del aálisis de cómo usarlas para resolver los ejemplos de las seccioes.0 y., se ecuetra e la págia web Dé u clic e Additioal Topics y luego e Formulas for the Remaider Term i Taylor series. Pero R x f x T x f x f a f ax a. De modo que R x M x a U razoamieto similar, aplicado f xm, demuestra que R x M x a De dode f x f a f ax a M x a R x M x a Auque hemos supuesto supuesto que x a, cálculos similares muestra que esta desigualdad es válida tambié para x a. Esto demuestra la desigualdad de Taylor para el caso dode. El resultado para cualquier se demuestra de maera parecida itegrado veces. (Véase el ejercicio 69 para el caso.) NOTA E la secció. se explora el uso de la desigualdad de Taylor e fucioes que se aproxima. Aquí, el uso imediato es juto co el teorema 8. Co frecuecia, al aplicar los teoremas 8 y 9 es útil recurrir al hecho siguiete. 0 x lím l! 0 para todo úmero real x Es verdadero porque de acuerdo co el ejemplo, la serie x! es covergete para toda x y de este modo su -ésimo térmio se aproxima a 0. V EJEMPLO Demuestre que e x es igual a la suma de su serie de Maclauri. SOLUCIÓN Si f x e x, etoces f x e x para toda. Si d es cualquier úmero positivo y x d, después f x e x e d. Por eso, la desigualdad de Taylor, co a 0 y M e d, establece que e d R x para x d M e d! x Observe que la misma costate ecuació 0, fucioa para todo valor de. Pero, segú la lím l e d! x e d lím l x! 0

66 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 739 Se ifiere etoces del teorema de la compresió que el lím l R x 0 y, por lo tato, lím para todos los valores de x. De acuerdo co el teorema 8, e x l R x 0 es igual a la suma de la serie de Maclauri, es decir, e x 0 x! para toda x & E 748, Leohard Euler aplicó la ecuació para determiar el valor de e co 3 dígitos decimales. E 003 Shigeru Kodo, de uevo usado la serie e (), calculó e a más de 50,000 milloes de lugares decimales. Las técicas especiales que utilizaro para acelerar el cálculo se explica e la págia web E particular, si hace x e la ecuació, obtiee la expresió siguiete para el úmero e como ua suma de ua serie ifiita: e 0!!! 3! EJEMPLO 3 Determie la serie de Taylor para f x e x e a. SOLUCIÓN Se tiee f e y, de este modo, al hacer a e la defiició de la serie de Taylor (6) obtiee 0 f! x 0 e x! Tambié se puede verificar, como e el ejemplo, que el radio de covergecia es R. Como e el ejemplo puede comprobar que lím l R x 0, de modo que 3 e x 0 e x! para toda x Hay dos desarrollos de series de potecias para e x, la serie de Maclauri de la ecuació y la serie de Taylor de la ecuació 3. El primero es mejor si está iteresado e valores de x cercaos a 0 y el segudo fucioa muy bie si x es cercao a. EJEMPLO 4 Determie la serie de Maclauri para se x y demuestre que represeta a se x para toda x. SOLUCIÓN Acomode los cálculos e dos columas como sigue: f x se x f 0 0 f x cos x f 0 f x se x f 0 0 f x cos x f 0 Puesto que la derivada se repite e u ciclo de cuatro, puede escribir la serie de Maclauri como sigue: f 0 f 0! f 4x se x f 40 0 x f 0! x f 0 3! x 3 x x 3 3! x 5 5! x 7 7! x! 0

67 740 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & E la figura se ilustra la gráfica de se x juto co su poliomio de Taylor (o de Maclauri) T x x T 3x x x 3 Observe que cuado se icremeta, T x se vuelve ua mejor aproximació para se x. 3! T 5x x x 3 3! x 5 5! Puesto que f x es se x o bie, cos x, sabe que para toda x. De este modo puede tomar a M e la desigualdad de Taylor 4 R x M! x f x x! De acuerdo co la ecuació 0 el lado derecho de esta desigualdad tiede a 0 cuado l, de modo que R x l 0 segú el teorema de compresió. Se ifiere etoces que R x l 0 cuado l, de modo que se x es igual a la suma de su serie de Maclauri de acuerdo co el teorema 8. y=se x y T T 0 x T Se establece el resultado del ejemplo 4 para referecia futura. 5 se x x x 3 x! 0 3! x 5 5! x 7 7! para toda x FIGURA EJEMPLO 5 Determie la serie de Maclauri para cos x. SOLUCIÓN Podría proceder e forma directa como e el ejemplo 4, pero es más fácil derivar la serie de Maclauri para se x dada por la ecuació 5: cos x d dx se x d x x 3 dx 3! x 5 5! x 7 7! 3x 3! 5x 4 5! 7x 6 7! x! x 4 4! x 6 6! & La serie de Maclauri para e x, se x y cos x que determió e los ejemplos, 4 y 5 la descubrió Newto aplicado métodos distitos. Estas ecuacioes so otables porque se cooce todo co respecto a cada ua de estas fucioes si cooce todas sus derivadas e el úmero 0. Puesto que la serie de Maclauri para se x coverge para toda x, el teorema de la secció.9 señala que la serie derivada para cos x coverge tambié para toda x. E estos térmios, 6 cos x x! x 4 4! x 6 6! x! 0 para toda x EJEMPLO 6 Determie la serie de Maclauri para la fució f x x cos x. SOLUCIÓN E lugar de calcular las derivadas y sustituir e la ecuació 7, es más fácil multiplicar la serie para cos x, ecuació 6, por x: x cos x x x! x! 0 0 EJEMPLO 7 Represete e 3. f x se x como la suma de su serie de Taylor cetrada

68 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 74 & Ha obteido dos diversas series de represetacioes para se x, la serie de Maclauri e el ejemplo 4 y la serie de Taylor e el ejemplo 7. Es mejor utilizar la serie de Maclauri para los valores de x cerca a 0 y la serie de Taylor para x cerca a p/3. Observe que el tercer poliomio de Taylor T 3 e la figura 3 es ua buea aproximació al se x cerca de p/3, mas o así cerca de 0. Compárelo co el tercer poliomio de Maclauri T 3 e la figura, dode está el poliomio opuesto verdadero. y y=se x 0 π x 3 T SOLUCIÓN Primero acomode los valores e columas f x se x f 3 s3 f x cos x f 3 f x se x f 3 s3 f x cos x f 3 y este patró se repite e forma idefiida. Por lo tato, la serie de Taylor e 3 es f f x x x!! 3! f 3 s3! x La demostració de que esta serie represeta se x para toda x es muy similar a la del ejemplo 4. [Sólo reemplace x por x 3 e (4).] Puede escribir la serie co la otació sigma o suma si separamos los térmios que cotiee s3: se x 0 f 3 3 s3! x s3! x La serie de potecias obteidas mediate métodos idirectos e los ejemplos 5 y 6 y e la secció.9 so realmete la serie de Taylor o de Maclauri de las fucioes dadas porque el teorema 5 así lo establece, ya que o importa cómo ua represetació de ua serie de potecias f x c se obtega, siempre es cierto que c f x a a! E otras palabras, la determiació de los coeficietes es úica. E la tabla siguiete está reuidas, para referecia futura, alguas de las series importates de Maclauri deducidas e esta secció y e la aterior. 0 x 3!!x EJEMPLO 8 Ecuetre la serie de Maclauri para f(x) ( x) k, dode k es cualquier úmero real. SOLUCIÓN Al ordear el trabajo e columas f(x) ( x) k f(0) f(x) k( x) k f(0) k f(x) k(k )( x) k f(0) k(k ) f(x) k(k )( )( x) k 3 f(0) k(k )(k ) f () (x) k(k ) (k )( x) k f () (0) k(k ) (k ) Por lo tato, la serie de Maclauri de f(x) ( x) k es f () (0) x k(k ) (k ) x 0! 0!

69 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Esta serie se deomia serie biomial. Si su -ésimo térmio es a, etoces a k(k ) (k )(k )x a! k x k x l x! k(k ) (k )x es l Etoces, por la prueba de la razó, la serie biomial coverge si x y diverge si x. La otació tradicioal para los coeficietes de la serie biomial es k k(k )(k ) (k )! y los úmeros se llama coeficietes del biomio. El siguiete teorema expresa que ( x) k es igual a la suma de su serie Maclauri. Es posible demostrar esto al probar que el térmio restate R (x) se aproxima a 0, pero esto resulta ser muy difícil. La prueba resumida e el ejercicio 7 es mucho más fácil. 7 SERIE BINOMIAL Si k es cualquier úmero real y x, etoces ( x) k 0 x k k(k ) k(k )(k ) kx x x 3! 3! Au cuado la serie biomial siempre coverge cuado x, la preguta de si coverge o o e los extremos,, depede del valor de k. Resulta que la serie coverge e si k 0 y e ambos extremos si k 0. Nótese que si k es u etero positivo y k, etoces la expresió para k cotiee u factor (k k), de modo que k 0 para k. Esto sigifica que la serie termia y reduce el teorema del biomio ordiario cuado k es u etero positivo. (Véase la págia de referecia.) V EJEMPLO 9 Ecuetre la serie de Maclauri para la fució radio de covergecia. f(x) s4 x y su SOLUCIÓN Escriba f(x) de forma que pueda usar la serie biomial: s4 x 4 x 4 4 x 4 x 4

70 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 743 Y al usar la serie biomial co k y dode x fue reemplazada por x4, teemos s4 x x x 4 x 4 3! x ! x x!8 x x 3 3!8 3! x 4 3 5!8 x Sabe de (7) que esta serie coverge co x4, es decir, x 4, de modo que el radio de covergecia es R 4. E la tabla siguiete está reuidas, para referecia futura, alguas de las series importates de Maclauri que ha deducido e esta secció y e la aterior.. TABLA Series importates de Maclauri y sus radios de covergecia. x e x 0 x! x! x! x 3 3! se x x! 0 cos x x! 0 0 ta x x 0 x x x x 3 x x 3 x! x 4 4! x 6 6! x x 3 3! x 5 5! x 7 7! 3 x 5 5 x 7 7 R R R R R x k 0 x k kk kk k kx x x 3! 3! R TEC Module.0/. permite ver cómo poliomios sucesivos de Taylor se aproxima a la fució origial. Ua razó de que las series de Taylor sea importates, es que permite itegrar fucioes que o se podía maejar ates. E efecto, e la itroducció de este capítulo mecioamos que Newto itegraba a meudo fucioes expresádolas primero como series de potecias, y que después itegraba la serie térmio a térmio. No es posible itegrar la fució f x e x por medio de las técicas coocidas hasta este mometo, porque su atiderivada o es ua fució elemetal (véase secció 7.5). E el ejemplo siguiete se aplica la idea de Newto para itegrar esta fució.

71 744 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS V EJEMPLO 0 (a) Evalúe x e x dx como ua serie ifiita. (b) Evalúe x de tal maera que o difiera 0.00 del valor real. 0 ex dx SOLUCIÓN (a) Primero ecuetre la serie de Maclauri de f x e x. Auque es posible usar el método directo, determiémosla simplemete mediate el reemplazo de x co x e la serie de e x dada e la tabla. Por esto, para todos los valores de x, e x 0 x! x 0! x! x 4! x 6 3! Ahora itegre térmio a térmio y e x dx y x C x x 3 3! x 5 5! x 7 Esta serie es covergete para toda x porque la serie origial para toda x. (b) El teorema fudametal del cálculo! x 4! x 6 x 3!! dx 7 3! x! e x coverge para & Es posible hacer C 0 e la atiderivada del iciso (a). y e x dx x x 3 0 3! x 5 5! x 7 7 3! x 9 9 4! El teorema de estimació de la serie alterate demuestra que el error que hay e esta aproximació es meor que 5! Otra aplicació de la serie de Taylor se ilustra e el ejemplo siguiete. El límite podría ser calculado co la regla de l Hospital, pero e lugar de hacerlo así se recurre a las series. e x x EJEMPLO Evalúe lím. x l 0 SOLUCIÓN Al utilizar la serie de Maclauri para x e x & Alguos sistemas algebraicos computacioales calcula los límites de esta maera. x x e x x!! x 3 3! x lím lím x l 0 x x l 0 x lím x l 0 lím x l 0 x! x 3 x4 3! 4! x x 3! x porque las series de potecias so fucioes cotiuas. 4! x 3 5!

72 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 745 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE SERIES DE POTENCIAS Si las series de potecias se suma o resta, se comporta como poliomios; (el teorema..8 lo ilustra). E efecto, como lo ilustra el ejemplo siguiete, las series tambié se puede multiplicar y dividir como los poliomios. Primero determie los primeros térmios porque los cálculos para los siguietes se vuelve tediosos y los térmios iiciales so los más importates. EJEMPLO Calcule los primeros tres térmios o cero de la serie de Maclauri para (a) e x se x y (b) ta x. SOLUCIÓN (a) Mediate la serie de Maclauri para e x y se x e la tabla e x se x x! x Al multiplicar esta expresió y agrupar por térmios semejates, al igual que co los poliomios: x x x x x! x 3 3! x x 3 3! x 6 x 3 6 x 3 6 x 4 x 3 6 x 4 6 x 3 x 3 x 3 Así, e x se x x x 3 x 3 (b) Al utilizar la serie de Maclauri e la tabla ta x se x cos x x x 3 3! x 5 5! x! x 4 4! Aplique u procedimieto como el de la divisió larga x 3 x 3 5 x 5 x 4 x 4 x x x 5 x x 3 4 x 5 3 x 3 30 x 5 3 x 3 6 x 5 5 x 5 Por cosiguiete, ta x x 3 x 3 5 x 5 No se ha itetado justificar las maipulacioes formales que se utilizaro e el ejemplo, pero so legítimas. Hay u teorema que establece que si tato f x c x como tx b coverge para x x R y las series se multiplica como si fuera poliomios, e tal caso la serie resultate tambié coverge para x R y represeta f xtx. E cuato a la divisió es ecesario que b ; la serie resultate coverge para x 0 0 suficietemete pequeña.

73 746 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS.0 EJERCICIOS. Si f x 0 b x 5 para toda x, escriba ua fórmula para. b 8. Se proporcioa la gráfica de f. y (a) Explique por qué la serie o es la serie de Taylor de f cetrada e. (b) Explique por qué la serie 0 x.6 0.8x 0.4x 0.x x.5x 0.x 3 o es la serie de Taylor de f cetrada e. 3. Si f () (0) ( )! para 0,,,, ecuetre la serie de Maclauri para f y su radio de covergecia. 4. Ecuetre la serie de Taylor para f co cetro e 4 si f () 4! 3 Cuál es el radio de covergecia de la serie de Taylor? 5 Ecuetre la serie de Maclauri para f x usado la defiició de la serie de Maclauri. [Supoga que f tiee u desarrollo e serie de potecias. No demuestre que R x l 0.] Determie tambié el radio asociado co la covergecia. f 7. f x cos x, a 8. f x se x, a 9. f x sx, a 9 0. f x x,. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio 7 represeta se px para toda x.. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio 8 represeta se x para toda x. 3. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio represeta seh x para toda x. 4. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio represeta cosh x para toda x. 5 8 Use la serie biomial para expadir la fució como ua serie de potecias. Exprese el radio de covergecia. 5. s x Utilice la serie de Maclauri que paracere e la tabla para obteer la serie de Maclauri para la fució dada f x se x f x e x e x ( x) 3 f x x cos x x 35. f x s4 x 37. f x se x [Sugerecia: utilice se x cos x.] ( x) 4 ( x) 3 f x cos(x) f x e x e x f x x ta (x) 3 f x x s x a 5. f x x f x se px 8. f x l x f x cos 3x 38. f x 6 x se x x 3 isif x 0 isif x 0 9. f x e 5x 0. f x xe x. f x seh x. f x cosh x 3 0 Calcule la serie de Taylor para f x cetrada e el valor dado de a. [Supoga que f tiee u desarrollo de serie de potecias. No demuestre que R x l 0.] 3. f x x 4 3x, a 4. f x x x 3, a 5. f x e x, a 3 6. f x x, a 3 ; 39 4 Determie la serie de Maclauri de f (mediate cualquier método), y su radio de covergecia. Dibuje f y sus primeros poliomios de Taylor e la misma patalla. Qué observa co respecto a la correspodecia etre estos poliomios y f? 39. f x cosx f x xe x 4. f x e x cos x f x ( x ) 43. Mediate la serie de Maclauri para e x calcule e 0. co cico posicioes decimales.

74 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN Utilice la serie de Maclauri para se x a fi de calcular co cico posicioes decimales. se 3 6. y x 6. se x y e x l x 45. (a) Use la serie biomial para expadir s x (b) Use la parte (a) para hallar la serie de Maclauri para se x. 46. (a) Expada s 4 x como ua serie de potecias. (b) Use el iciso (a) para estimar correctamete 4 co tres s. posicioes decimales Evalúe la itegral idefiida como ua serie ifiita. 47. y x cosx 3 dx Utilice series para obteer u valor aproximado de la itegral defiida co la exactitud idicada. y 0 5. x cosx 3 dx (tres decimales); y e x x cos x 49. y dx 50. y arcta(x ) dx x dx Calcule la suma de la serie ! ! 68. x 4 0! 0 7 3! l 8 4! l! l 3 3! 0 6! 0 3 5! 69. Demuestre la desigualdad de Taylor para, es decir, demuestre que si para, e tal caso f x M x a d y ta x 3 sex 3 dx (cico decimales) Rx M 6 x a 3 para x a d 53. y 0.4 s x 4 dx 0 ( error ) 70. (a) Demuestre que la fució defiida por 54. y 0.5 x e x dx 0 ( error 0.00) f x ex 0 si x 0 si x Mediate las series evalúe el límite. x ta x 55. lím 56. x l0 x 3 se x x 6 x lím x l 0 x Utilice la serie del ejemplo (b) para evaluar Este límite se calculó e el ejemplo 4 de la secció 4.4 utilizado la regla de l Hospital tres veces. Cuál método prefiere? 59 6 Utilice la multiplicació o la divisió de series de potecias para determiar los primeros tres térmios diferetes de cero e la serie de Maclauri para cada fució. 59. y e x cos x ta x x lím x l 0 x 3 lím x l0 60. y sec x cos x x e x o es igual a la serie de Maclauri. ; (b) Dibuje la fució del iciso (a) y comete su comportamieto cerca del orige. 7. Use los pasos siguietes para demostrar (7). (a) Sea gx 0 kx. Derive esta serie para demostrar que gx kgx x (b) Sea h(x) ( x) k g(x) y demuestre que h(x) 0. (c) Deduzca que g(x) ( x) k. x 7. E el ejercicio 53 de la secció 0. se demostró que la logitud de la elipse x a se, y b cos, dode a b 0, es L 4a y s e se d 0 dode e sa b a es la excetricidad de la elipse. Expada el itegrado como serie biomial y use el resultado del ejercicio 46 de la secció 7. para expresar L como ua serie e potecias de la excetricidad hasta el térmio e e 6.

75 748 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS PROYECTO DE LABORATORIO CAS UN LÍMITE ESCURRIDIZO Este proyecto es sobre la fució seta x tase x f x arcsearcta x arctaarcse x. Utilice su sistema algebraico computacioal para evaluar fx para x, 0., 0.0, 0.00, y Parece teer f u límite cuado x l 0?. Use el CAS para dibujar f cerca de x 0. Parece teer f u límite cuado x l 0? 3. Itete evaluar lím x l 0 fx co la regla de l Hospital, usado el CAS para hallar las derivadas del umerador y el deomiador. Qué descubrió? Cuátas aplicacioes de la regla de l Hospital se requiere? 4. Evalúe lím x l 0 fx co ayuda del CAS para ecotrar la catidad suficiete de térmios de la serie de Taylor del umerador y el deomiador. (Utilice el comado taylor e Maple o Series e Mathematica). 5. Utilice el comado límite e su CAS para calcular directamete lím x l 0 fx (La mayor parte de los sistemas algebraicos computacioales utiliza el método del problema 4 para calcular límites.) 6. E vista de las respuestas a los problemas 4 y 5, cómo explica los resultados de los problemas y? REDACCIÓN DE PROYECTO CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL El Teorema Biomial, que proporcioa el desarrollo de a b k, ya lo coocía los matemáticos chios muchos siglos ates de que aciera Newto, e especial para el caso dode el expoete k es u etero positivo. E 665, cuado Newto teía años, descubrió por primera vez el desarrollo de la serie ifiita a b k cuado k es u expoete fraccioario, positivo o egativo. No publicó sus descubrimietos, pero los plateó y proporcioó ejemplos de cómo usarlos e ua carta de fecha 3 de juio de 676, carta que (ahora se llama epistola prior), que evió a Hery Oldeburg, secretario de la Royal Society of Lodo, para que la trasmitiera a Leibiz. Cuado éste cotestó, le pregutó a Newto cómo había descubierto las series biomiales. Newto escribió ua seguda carta, la epistola posterior, del 4 de octubre de 676, e la cual explica co lujo de detalles la maera como llegó a su descubrimieto mediate ua ruta muy idirecta. Estaba ivestigado las áreas bajo las curvas y x de 0 a x para 0,,,3,4,... So fáciles de calcular si es par. Al observar patroes y al iterpolar, Newto fue capaz de adiviar las respuestas de valores impares de. Por lo tato se dio cueta de que podía obteer las mismas respuestas expresado x como ua serie ifiita. Escriba u esayo sobre el descubrimieto de Newto. Iicie dado el euciado de serie biomial e la otació de Newto (véase epistola prior e la págia 85 de [4] o la págia 40 de []). Explique por qué la versió de Newto es equivalete al teorema 7 de la págia 74. Luego lea la epistola posterior de Newto (págia 87 de [4] o págia 404 de []) y explique los patroes que descubrió Newto e las áreas bajo las curvas y x. Muestre cómo podía él calcular el área bajo las curvas restates y cómo comprobó su respuesta. Para fializar, explique cómo estos descubrimietos llevaro a las series biomiales. Los libros de Edwards [] y Katz [3] cotiee cometarios de las cartas de Newto.. C. H. Edwards, The Historical Developmet of the Calculus, Nueva York: Spriger-Verlag, 979, pp Joh Fauvel y Jeremy Gray, eds., The History of Mathematics: A Reader, Lodres: MacMilla Press, Victor Katz, A History of Mathematics: A Itroductio, Nueva York: HarperCollis, 993, pp D. J. Struik, ed., A Sourcebook i Mathematics, , Priceto, N.J.: Priceto Uiversity Press, 969.

76 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 749. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR E esta secció se explora dos tipos de aplicacioes de los poliomios de Taylor. Primero se examia cómo se usa para aproximar fucioes; a los cietíficos de la computació les gusta porque los poliomios so los más secillos de las fucioes. Luego ivestigamos cómo los físicos y los igeieros los usa e campos como la relatividad, óptica, radiació de cuerpos egros, dipolos eléctricos, la velocidad de las odas e el agua y la costrucció de carreteras e el desierto. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE POLINOMIOS Supoga que f x es igual a la suma de su serie de Taylor e a: f x 0 f a! x a E la secció.0 se presetó la otació T x para la -ésima suma parcial de esta serie y se le llamó poliomio de -ésimo grado de Taylor de f e a. Así, T x i0 f ia i! x a i f a f a! x a f a! x a f a! x a y=t (x) FIGURA y=t (x) y (0, y= y=t (x) y=t (x) y=t (x) 0 x x 0. x 3.0 T (x) T 4(x) T 6(x) T 8(x) T 0(x) e x Puesto que f es la suma de su serie de Taylor, sabe que T x l f x cuado l y de este modo T se puede usar como ua aproximació de f : f xt x. Observe que el poliomio de primer grado de Taylor T x f a f ax a es lo mismo que la liealizació de f e a que estudió e la secció 3.0. Note tambié que T y su derivada tiee los mismos valores e a que f y f. E geeral, se puede demostrar que las derivadas de T e a cocuerda co las de f hasta las derivadas de orde, iclusive (véase ejercicio 38). Co el fi de ilustrar estas ideas, vea ua vez más las gráficas de y e x y sus primeros poliomios de Taylor, como se ilustra e la figura. La gráfica de T es la tagete a y e x e 0, ; esta tagete es la mejor aproximació lieal a e x cerca de (0, ). La gráfica de T es la parábola y x x, y la gráfica de T 3 es la curva cúbica y x x x 3 6, que es u ajuste más cercao a la curva expoecial y e x que T. El poliomio siguiete de Taylor T 4 sería ua aproximació mejor, y así sucesivamete. Los valores de la tabla proporcioa ua demostració umérica de la covergecia de los poliomios de Taylor T a la fució y e x x. Cuado x 0. la covergecia es muy rápida, pero cuado x 3 es u poco más leta. De hecho, etre más lejos esté x de 0 es u poco más leta. T coverge más despacio hacia e x x. Cuado usa u poliomio de Taylor T para aproximar ua fució f, debe pregutarse: qué ta buea es ua aproximació? Qué ta grade quiere que sea co objeto de que alcace ua precisió deseada? Para respoder estas pregutas, es ecesario que examie el valor absoluto del residuo: R x f x T x

77 750 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Hay tres métodos posibles para estimar el tamaño del error:. Si cueta co ua calculadora que trace gráficas o ua computadora, la puede usar para dibujar R x y de ahí estimar el error.. Si sucede que la serie es alterate, puede aplicar el teorema de estimació de la serie alterate. 3. E todos los casos puede aplicar la desigualdad de Taylor (Teorema.0.9), el cual establece que si, por lo tato V EJEMPLO (a) Obtega ua aproximació de la fució f x s 3 x por medio del poliomio de Taylor de grado e a 8. (b) Qué ta exacta es esta aproximació cuado 7 x 9? SOLUCIÓN (a) E estos térmios, el poliomio de Taylor de segudo grado es La aproximació deseada es (b) La serie de Taylor o es alterate cuado x 8, de modo que o puede aplicar el teorema de estimació de la serie alterate e este ejemplo. Pero sí puede usar la desigualdad de Taylor co y a 8: f x M dode. Como x 7, tiee x y de esa maera f x x Por lo tato, puede hacer M Asimismo, 7 x 9, de modo que x 8 y. Después la desigualdad de Taylor da x 8 R x f x M R x f x s 3 x x 3 f 8 f x 3 x 3 f 8 f x 9 x 53 f 8 44 f x 0 7 x 83 T x f 8 f 8! x 8 88x 8 s 3 x T x x 8 88x 8 Rx ! M! x a x 8 f 8! M 3! x x E estos térmios, si 7 x 9, la aproximació e el iciso (a) o difiere e más de del valor real.

78 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR T y=œ# œx FIGURA y= R (x) 5 Co la ayuda de ua calculadora para trazar gráficas o de ua computadora compruebe el cálculo del ejemplo. E la figura se muestra que las gráficas de y s 3 x y y T x está muy cercaas etre sí cuado x está cerca de 8. E la figura 3 se ilustra la gráfica de calculada a partir de la expresió R x A partir de la gráfica: R x s 3 x T x R x cuado 7 x 9. Así, la estimació de error mediate métodos gráficos es ligeramete mejor que cuado se hace a partir de la desigualdad de Taylor, e este caso. V EJEMPLO (a) Cuál es el error máximo posible al utilizar la aproximació FIGURA 3 cuado 0.3 x 0.3? Utilice esta aproximació para calcular se co seis cifras decimales. (b) Para qué valores de x esta aproximació o difiere e más de del valor real? SOLUCIÓN (a) Observe que la serie de Maclauri se x x x 3 3! x 5 5! se x x x 3 3! x 5 5! x 7 7! es alterate para todos los valores o cero de x, y los térmios sucesivos decrece e tamaño porque x, de modo que puede usar el teorema de estimació de la serie alterate. El error e la aproximació de se x por medio de los tres térmios de su serie de Maclauri es cuado mucho x 7 7! x Si 0.3 x 0.3, etoces 0.3, de modo que el error es más pequeño que x Para calcular se primero covierta a radiaes. se se 80 se ! 5 5 5! Por esto, co seis dígitos decimales, se (b) El error será meor que si x

79 75 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Al resolver la desigualdad y ecotrar x TEC E Module.0/. se muestra e forma gráfica los residuos de las aproximacioes de los poliomios de Taylor * _ FIGURA 4 y= Rß(x) y= _ 0 FIGURA 5 y= Rß(x) x o bie, De modo que la aproximació dada o difiere e más de cuado. Qué sucede si recurre a la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo? Puesto que f 7x cos x, tiee y de esa maera De este modo llegamos a la misma estimació que co el teorema de la estimació de la serie alterate. Qué hay co respecto a los métodos gráficos? E la figura 4 se ilustra la gráfica de R 6x y observe que cuado 0.3. Es la misma estimació que obtuvo e el ejemplo. E el caso del iciso (b) quiere, de modo que dibuja tato y R 6x R 6x como y e la figura 5. Si coloca el cursor e el puto de itersecció derecho, verá que la desigualdad se cumple cuado x 0.8. Ua vez más llega a la misma estimació que obtuvo e la solució del ejemplo. Si se hubiera pedido que aproximara se 7 e lugar de se e el ejemplo, habría sido prudete utilizar los poliomios de Taylor e a p3 (e lugar de a 0), porque so mejores aproximacioes de se x para valores de x cercaos a p3. Observe que 7 es cercao a 60, es decir, p3 radiaes, y las derivadas de se x so fáciles de calcular e p3. La figura 6 muestra las gráficas de las aproximacioes de los poliomios de Maclauri T x x T 3 x x x 3 T 5 x x x 3 f 7x R 6x se x (x 6 x 3 0 x 5 ) x 3! x 5 5! R 6x 7! x 7 a la curva seo. Puede ver que cuado se icremeta, T x es ua buea aproximació a se x e u itervalo más y más grade. y x x 0.8 T 7 x x x 3 T 3! 3! x 5 5! x 7 7! T 0 x FIGURA 6 T T y=se x Las calculadoras y computadoras aplica el tipo de cálculo hecho e los ejemplos y. Por ejemplo, cuado usted presioa la tecla se o e x de su calculadora, o bie, cuado u programador de computadoras utiliza ua subrutia e el caso de ua fució trigoométrica o expoecial o de Bessel, e muchas máquias se calcula ua aproximació poliomial. Co frecuecia, el poliomio es uo de Taylor que ha sido modificado de modo que el error se extiede más uiformemete e todo el itervalo. APLICACIONES EN LA FÍSICA Los poliomios de Taylor tambié se usa co mucha frecuecia e la física. Co objeto de eteder ua ecuació, los físicos simplifica a meudo ua fució cosiderado sólo los dos o tres térmios de su serie de Taylor. E otras palabras, los físicos usa u polio-

80 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 753 mio de Taylor como ua aproximació de la fució. La desigualdad de Taylor se puede usar para medir la exactitud de la aproximació. E el ejemplo siguiete, se muestra ua maera e la cual esta idea se usa e la relatividad especial. V EJEMPLO 3 E la teoría de Eistei de la relatividad especial, la masa de u objeto que se desplaza co velocidad v es dode m 0 es la masa del objeto cuado está e reposo y c es la velocidad de la luz. La eergía ciética del objeto es la diferecia etre su eergía total y su eergía e reposo: (a) Demuestre que cuado v es muy pequeña comparada co c, esta expresió para K cocuerda co la física clásica de Newto: K m 0 v. (b) Aplique la desigualdad de Taylor para estimar la diferecia e estas expresioes para K cuado 00 ms. v SOLUCIÓN (a) Mediate las expresioes dadas para K y m obtiee m 0 m s v c K mc m 0 c & La curva superior de la figura 7 es la gráfica de la expresió de la eergía ciética K de u objeto co velocidad v e la relatividad especial. La curva iferior muestra la fució usada para K e la física clásica ewtoiaa. Cuado v es mucho más pequeña que la velocidad de la luz, las curvas so prácticamete idéticas. K K=mc@-m c@ Co x v c, la serie de Maclauri para x es más fácil de calcular que ua serie biomial co k. (Observe que porque v c.) Por lo tato y x x ( )( 3 )! x 3 8 x 5 6 x 3 K m 0 c m 0 c K mc m 0 c m 0 c v v c 3 8 v c 3 8 c x v 4 c m 0 c s v c m 0c x ( )( 3 )( 5 ) 3! v 4 c 5 v v 6 c 6 c 6 x 3 0 K = c Si v es mucho más pequeña que c, etoces todos los térmios después del primero so muy pequeños cuado se les compara co el primer térmio. Si los omite, obtiee K m 0 c v c m 0 v FIGURA 7 (b) Si x v c, f x m 0 c x y M es u úmero tal que, etoces aplica la desigualdad de Taylor para escribir f x M Rx M! x Tiee f x 3 4m 0 c x5 y sabe que 00 ms, de modo que v f x 3m 0 c 4 v c 5 3m 0 c 4 00 c 5 M

81 754 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Así, co c ms, R x 3m 0 c c m c 4 0 v De modo que cuado 00 ms, la magitud del error al usar la expresió ewtoiaa para la eergía ciética es cuato mucho m 0. Estos coceptos tambié se aplica e el campo de la óptica. La figura 8 es ua adaptació de Optics, 4a. ed. de Eugee Hecht, Readig, MA: Addiso-Wesley, 00, p. 53. Represeta ua oda de la fuete putual S que se ecuetra ua iterfaz esférica de radio R cetrado e C. El rayo SA se refracta hacia P. r i A FIGURA 8 Refracció e ua iterfaz esférica S s o L o h R V t s i L i C P Cortesía de Eugee Hecht Al aplicar el pricipio de Fermat de que la luz viaja e el meor tiempo posible, Hecht deduce la ecuació o i s i R i s o o dode y so ídices de refracció y o, i, s o y s i so las distacias idicadas e la figura 8. De acuerdo co la ley de los coseos aplicada e los triágulos ACS y ACP, tiee o sr s o R Rs o R cos & E este caso utilice la idetidad cos cos i sr s i R Rs i R cos Como es u poco complicado trabajar co la ecuació, Gauss, e 84, la simplificó usado la aproximació lieal cos para valores pequeños de. (Esto equivale a usar el poliomio de Taylor de grado.) Por lo tato la ecuació se trasforma e la siguiete ecuació más secilla, que se le pide demostrar e el ejercicio 34(a): 3 s o s i R La teoría óptica resultate se cooce como óptica de Gauss u óptica de primer orde,y se ha vuelto la herramieta teórica básica para diseñar letes. Ua teoría más exacta se obtiee al aproximar cos por medio de su poliomio de Taylor de grado 3 (que es el mismo que el poliomio de Taylor de grado ). Esto cosidera los rayos para los cuales o es ta pequeña, es decir, rayos que golpea la superficie

82 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 755 a mayores distacias h por arriba del eje. E el ejercicio 34(b) se le pide usar esta aproximació para deducir la ecuació más exacta 4 s o s i R h s o s o R s i R s i La teoría óptica resultate se cooce como óptica de tercer orde. Otras aplicacioes de los poliomios de Taylor a la física y la igeiería se explora e los ejercicios 3, 33, 35, 36 y 37 y e el proyecto de aplicació de la págia EJERCICIOS ;. (a) Ecuetre los poliomios de Taylor hasta de grado 6 para f x cos x cetrada e a 0. Dibuje f y estos poliomios e ua misma patalla. (b) Evalúe f y estos poliomios e x 4, y p. (c) Explique cómo los poliomios de Taylor coverge e f x. ;. (a) Ecuetre los poliomios de Taylor hasta de grado 3 para f x x cetrada e a. Dibuje f y estos poliomios e ua misma patalla. (b) Evalúe f y estos poliomios e x 0.9 y.3. (c) Explique cómo los poliomios de Taylor coverge e f x. ; 3 0 Determie los poliomios de Taylor T x para la fució f e el úmero a. Dibuje f y T e la misma patalla. 3. f x l x, a 4. f x x e x, a 0 ; (c) Compruebe el resultado del iciso (b) mediate la gráfica de. R x 3. f x sx, a 4,, 4 x f x x, a,, 0.9 x. 5. f x x 3, a, 3, 0.8 x. 6. f x se x, a 6, 4, 0 x 3 7. f x sec x, a 0,, 0. x f x l x, a, 3, 0.5 x.5 9. f x e x, a 0, 3, 0 x f x x l x, a, 3, 0.5 x.5. f x x se x, a 0, 4, x. f x seh x, a 0, 5, x CAS 5. f x cos x, 6. f x e x se x, 7. f x arcse x, 8. f x l x, x 9. f x xe x, 0. f x ta x, a Use u sistema algebraico computacioal para ecotrar los poliomios de Taylor T co cetro e a para, 3, 4, 5. Luego dibuje estos poliomios y f e la misma patalla.. f x cot x, a 3. f x s3 x, a a 0 a 0 a 0 a (a) Ecuetre u valor aproximado de f mediate u poliomio de Taylor co grado e el úmero a. (b) Co la desigualdad de Taylor estime la exactitud de la aproximació f xt x cuado x está e el itervalo dado. 3. Mediate la iformació del ejercicio 5 estime cos 80 co cico cifras decimales. 4. Mediate la iformació del ejercicio 6 estime se 38 co cico cifras decimales. 5. Aplique la desigualdad de Taylor para determiar el úmero de térmios de la serie de Maclauri para e x que se debe usar para estimar e 0. de tal maera que o difiera de del valor real. 6. Cuátos térmios de la serie de Maclauri para l x so ecesarios para estimar l.4 co 0.00 de precisió? ; 7 9 Aplique el teorema de estimació de la serie alterate o la desigualdad de Taylor para estimar los valores de x para los cuales la aproximació dada es exacta y está detro del error establecido. Compruebe gráficamete su respuesta se x x x 3 6 cos x x x arcta x x x3 ( error 0.005) 3 ( error 0.0) x5 5 ( error 0.005)

83 756 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 30. Supoga que 3. La resistividad de u coductor es el recíproco de la coductividad y se mide e uidades ohm-metros ( -m). La resistividad de u metal dado depede de la temperatura de acuerdo co la ecuació dode t es la temperatura e C. Hay tablas que da los valores de (llamado coeficiete de temperatura) y (la resistividad a 0 C) para varios metales. Excepto a temperaturas muy bajas, la resistividad varía casi e forma lieal co la temperatura, por lo que es comú aproximar la expresió para t mediate su poliomio de Taylor de primero o segudo grados e t 0. (a) Ecuetre expresioes para estas aproximacioes lieales y cuadráticas. ; (b) Por lo que se refiere al cobre, las tablas da C y -m. Dibuje la resistividad del cobre y las aproximacioes lieales y cuadráticas para 50 C t 000C. ; (c) Para qué valores de t la aproximació lieal cocuerda co la expresió expoecial de tal maera que o difiera % del valor real? 33. U dipolo eléctrico cosiste e dos cargas eléctricas de igual magitud y sigos opuestos. Si las cargas so q y q y hay ua distacia d etre ellas, e tal caso el campo eléctrico E e el puto P e la figura es Al expadir esta expresió para E como serie e potecias de dd, demuestre que E es aproximadamete proporcioal a D 3 cuado P está alejada del dipolo. P f 4 )! 3 y la serie de Taylor de f co cetro e 4 coverge a f(x) para toda x e el itervalo de covergecia. Demuestre que el poliomio de Taylor de quito grado aproxima f(5) co error meor a U vehículo se desplaza a ua velocidad de 0 ms y a ua aceleració de ms e u istate dado. Mediate u poliomio de Taylor de segudo grado, estime qué tato se desplazará el automóvil e el siguiete segudo. Sería razoable utilizar este poliomio para estimar la distacia recorrida durate el miuto siguiete? t D 0e t0 E q D q D d 34. (a) Deduzca la ecuació 3 para la óptica de Gauss a partir de la ecuació aproximado cos e la ecuació mediate su poliomio de Taylor de primer grado. (b) Demuestre que si cos es reemplazado por su poliomio de Taylor de tercer grado e la ecuació, e tal caso la ecuació se trasforma e la ecuació 4 para ua óptica q d _q de tercer orde. [Sugerecia: utilice los dos primeros térmios de la serie biomial para o y i. Aplique tambié.] se 35. Si ua oda de agua de logitud L se desplaza co ua velocidad v a través de u cuerpo de agua de profudidad d como e la figura, por lo tato (a) Si el agua es profuda, demuestre que v stl. (b) Si el agua es poco profuda, aplique la serie de Maclauri para tah para demostrar que v std. (Así, e agua poco profuda, la velocidad de ua oda tiede a ser idepediete de la logitud de la oda). (c) Mediate el teorema de estimació de la serie alterate, demuestre que si L 0d, etoces la estimació v td es exacta detro de 0.04tL. d 36. El periodo de u pédulo co logitud L que subtiede u águlo máximo co la vertical es 0 v tl T 4 L y t 0 tah d L dx s k se x dode k se( 0) y t es la aceleració debida a la gravedad. E el ejercicio 40 de la secció 7.7 se aproximó esta itegral usado la regla de Simpso. (a) Desarrolle el itegrado como ua serie biomial y use el resultado del ejercicio 46 de la secció 7. para demostrar que T L t k 3 4 k k 6 Si 0 o es demasiado grade, se usa a meudo la aproximació T slt, obteida usado sólo el primer térmio de la serie. Se obtiee ua mejor aproximació si se usa sólo dos térmios: T L t ( 4 k ) (b) Observe que todos los térmios de la serie después del primero tiee coeficietes que so cuato mucho 4. Aplique este hecho para comparar esta serie co ua serie geométrica y demuestre que L t ( 4 k ) T L t 4 3k 4 4k (c) Mediate las desigualdades del iciso (b), estime el periodo de u pédulo co L m y 0 0. Cómo es si se le compara co la estimació T slt? Cómo es si 0 4? L

84 PROYECTO DE APLICACIÓN RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS Si u topógrafo mide diferecias e la altitud cuado hace plaos para ua carretera que cruza u desierto, se debe hacer correccioes tomado e cueta la curvatura de la Tierra. (a) Si R es el radio de la Tierra y L es la logitud de la carretera, demuestre que la correcció es C R seclr R (b) Mediate u poliomio de Taylor demuestre que C L 4 5L R 4R 3 (c) Compare las correccioes dadas por las fórmulas e los icisos (a) y (b) para ua carretera que mide 00 km de logitud. Tome como radio de la Tierra km R C 38. Demuestre que T y f tiee las mismas derivadas e a hasta el orde. 39. E la secció 4.9 utilizó el método de Newto para obteer u valor aproximado de ua raíz r de la ecuació f x 0, y a partir de ua aproximació iicial x obtuvo aproximacioes sucesivas x, x 3,...,dode x x f x f x Aplique la desigualdad de Taylor co, a x y x r para demostrar que si f x existe e u itervalo I que cotiee r, y, y f x M, f x x x K para toda x I, por lo tato x r M K x r [Esto quiere decir que si x es exacta co d cifras decimales, e tal caso x es exacta co alrededor de d cifras decimales. Más exactamete, si el error e la etapa es cuato mucho 0 m, por lo tato el error e la etapa es cuato mucho MK0 m.] PROYECTO DE APLICACIÓN RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS Luke Dodd, Photo Researchers, Ic. Cualquier objeto emite radiacioes cuado se calieta. U cuerpo egro es u sistema que absorbe toda la radiació que le llega. Por ejemplo, ua superficie egra mate o ua cavidad grade co u pequeño agujero e su pared, (como u alto horo), es u cuerpo egro y emite radiació de cuerpo egro. Icluso la radiació que llega del Sol está cerca de ser radiació de u cuerpo egro. La ley de Rayleigh-Jeas, propuesta a fies del siglo XIX, expresa la desidad de eergía de radiació de cuerpo egro de logitud de oda l como f 8kT 4 dode l se mide e metros, T es la temperatura e kelvis (K) y k es la costate de Boltzma. La ley de Rayleigh-Jeas cocuerda co las medicioes experimetales para logitudes de oda largas, pero o sucede lo mismo co las logitudes de oda cortas. [La ley predice que f l cuado pero los experimetos ha demostrado que f l 0.] Este hecho recibe el ombre de catástrofe ultravioleta. E 900, Max Plack ecotró u mejor modelo, (que se cooce ahora como ley de Plack), para la radiació de cuerpo egro: l 0 f 8hc5 e hckt dode l se mide e metros, T es la temperatura e kelvis, y h costate de Plack Js c velocidad de la luz ms k costate de Boltzma JK. Co ayuda de la regla de l Hospital demuestre que lím f 0 y lím l 0 l f 0 para la ley de Plack. De este modo, esta ley modela la radiació de cuerpo egro mejor que la ley de Rayleigh-Jeas para logitudes de oda cortas.