Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series

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1 Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a a + se le deomia serie ifiita de úmeros reales; a ua serie ifiita la represetamos como: a = a +a 2 ++a + Dode a,a 2, se deomia térmios de la serie y a es llamado -ésimo térmio o térmio geeral de la serie Ejemplo La serie ifiita la represetamos como: = Ejemplo 2 La serie ifiita es represetada por 7 2 = Ejemplo 3 La serie ifiita tiee como termio geeral (-ésimo termio) 20 a = Luego la serie se represeta por (+) (+) = Dada ua serie ifiita de úmeros reales a, podemos defiir la sucesió {s } N como s = a s 2 = a +a 2 s 3 = a +a 2 +a 3 s = a +a 2 ++a = i= a i Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP

2 A la sucesió {s } N la deomiamos sucesió de sumas parciales de la serie a, siedo s la -ésima suma parcial de la serie Sea a ua serie ifiita y {s } N su sucesió de sumas parciales Si lim s existe, etoces diremos que la serie a es covergete y coverge a lim s Si la serie coverge, podemos escribir a = lim s Al límite lim s lo llamamos la suma de la serie Si la sucesió de sumas parciales o coverge, diremos que la serie diverge Ejemplo 4 Hallar la suma de la serie e caso de que esta sea covergete (+), Solució El térmio geeral de la serie es a = Luego Notemos que (+) a = (+) = + a = 2 a 2 = 2 3 a 3 = 3 4 a = a = + Así s = a +a 2 ++a = Calculado su límite, obteemos que + lim s = lim + = Etoces, la serie es covergete y su suma es igual a, es decir (+) = Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 2

3 Propiedades de las series ) Si la serie a es covergete, etoces lim a = 0 2) Si lim a 0, etoces la serie a es divergete Observació: Esta propiedad es muy importate, pues permite, e alguos casos determiar de forma imediata si ua serie es divergete 3) Si a y b so series covergetes co sumas s y s 2 respectivamete y c R ua costate Etoces: i) c a coverge a c s, es decir c a = c a ii) (a ±b ) coverge a s ±s 2, es decir (a ±b ) = a ± b 4) Si a es divergete y c R es ua costate, etoces ca es divergete 5) Si a es covergete y b es divergete, etoces (a +b ) es divergete 6) La serie p tiee la forma p = p + 2 p + 3 p + co p u valor costate Cuado p > la serie es covergete Si p es divergete Alguas series especiales ) La serie armóica es de la forma: Esta serie es divergete = ) La serie geométrica es de la forma: ar = a+ar+ar 2 +ar 3 + Esta serie es covergete cuado r <, e este caso la suma de la serie es Esta serie es divergete si r ar = a, si r < r a Esto es r Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 3

4 Ejemplo 5 La serie es divergete pues Ejemplo 6 La serie como , 2 + lim 2 + = 0 es ua serie geométrica, de hecho, el térmio geeral lo podemos escribir = 4 3 ( ) 3 Luego r = 3 <, así la serie es covergete y = 3 3 = 2 Ejemplo 7 La serie = , se puede escribir como = = =0 ( ) Dode 2 ) =0( 5 es ua serie geométrica covergete, ya que r = 2 Por otro lado =0 s = 3 5 Por lo tato, = 5 2 =0 ( ) <, y su suma es 2 5 ( ) 3 es ua serie geométrica covergete, ya que r = <, y su suma es = = =0 ( ) Es decir, la serie es covergete y su suma es 25 6 =0 ( ) 3 = = 25 6 Ejemplo 8 La serie =0 4 3 es divergete, de hecho, es ua serie geométrica co r = 4 3 > Ejemplo 9 Determiar la covergecia o divergecia de la serie ( )! (!) Teemos que ( )! (!) = Luego es ua serie p, co p = 2, así la serie es covergete ( )! ( )! = 2 = 5 3 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 4

5 Ejemplo 0 Determie la covergecia o divergecia de la serie Teemos que ( )!! ( )! = (!) ( )! ( )! Luego es ua serie p, co p = 5 <, así la serie es divergete Criterios para la covergecia o divergecia de ua serie Criterio de comparació directa Cosideremos la serie a, co a 0 para N, etoces: i) Si la serie b, co b 0 para todo N, es covergete y a b, para todo N, etoces la serie a es covergete ii) Si la serie b, co b 0 para todo N, es divergete y b a, para todo N, etoces la serie a es divergete Ejemplo Determiar la covergecia o divergecia de la serie Solució Como, teemos que = (+) De estos último cocluimos que + + 2, para todo N Como serie diverge Ejemplo 2 Determiar la covergecia o divergecia de la serie 2 Solució Para todo N teemos que 2 2, etoces 2 ua geométrica covergete (r = 2 < ), cocluímos que la serie diverge, cocluimos que la 2, para todo N, como la serie es covergete 2 2 es Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 5

6 Ejemplo 3 Determiar la covergecia o divergecia de la serie 2+si 3 (+) Solució Para todo N se cumple que si 3 (+), sumado 2 e estas desigualdades, obteemos 2+si 3 (+) 3, esto es 0 2+si 3 (+) 3, diviedo por , os queda Ahora como 0 2+si3 (+) , obteemos fialmete que para todo N Como la serie la serie 2+si 3 (+) es covergete 0 2+si3 (+) , 3 2 es ua serie geométrica covergete (r = 2 < ) cocluímos que Criterio de comparació al límite Sea las series a y b, co a 0 y b 0 para todo N, etoces: i) Si lim a b > 0, etoces ambas series coverge o diverge ii) Si lim a b = 0 y b coverge, etoces a coverge iii) Si lim a b = y b diverge, etoces a diverge Ejemplo 4 Determiar si la serie es covergete o divergete Solució Sea a = y b = 2 La serie b = Ahora a lim = lim b 2 es ua serie geométrica covergete (r = 2 < ) ( ) 2 = 0 2 = lim Así por la parte (ii) del criterio de comparació al límite teemos que la serie es covergete Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 6

7 Ejemplo 5 Determiar si la serie Solució Sea a = es covergete o divergete y b = La serie es divergete Por otro lado a lim = lim b = lim = 4 > 0 Luego, por la parte (i) de criterio de comparació al límite teemos que la serie es divergete + Ejemplo 6 Determiar si la serie si( ) es covergete o divergete Solució Cosideremos a = si ( ) y b = La serie es divergete Por otro lado a si( lim = lim ) b = > 0 Luego por la parte (i) del criterios de comparació al límite teemos que la serie si( ) diverge Criterio de la razó o Criterio de D alambert Sea la serie a a, co a 0 para todo N, tal que lim + a = k, etoces: i) Si k <, la serie a es covergete ii) Si k >, la serie a es divergete iii) Si k =, el criterio o determia ada Ejemplo 7 Determiar si la serie 2 es covergete o divergete Solució Teemos que a = 2, etoces a + = (+)2 (+), calculado el límite obteemos a + (+)2 (+) + lim = lim a 2 = lim 2 = 2 Por la parte (i) del criterio de la razó cocluímos que la serie 2 es covergete Ejemplo 8 Determiar si la serie 3 + e es covergete o divergete Solució Teemos que a = 3 + (+)3 + e, etoces a + = e +, calculado el límite a + lim = lim a (+) 3 + e + (+)3 + = lim 3 + e 3 = + e 3 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 7

8 Por la parte (i) del criterio de la razó cocluímos que la serie 3 + e, es covergete Criterio de la itegral Si f es ua fució positiva, cotiua y decreciete para todo x, y a = f() para todo N, etoces a coverge si y sólo si f(x)dx coverge Aálogamete a diverge si y sólo si f(x)dx diverge Ejemplo 9 Determiar si la serie e es covergete o divergete Solució Como a = e = f(), etoces f(x) = xe x Debemos verificar que f es positivo y decreciete para todo x Si x, etoces x 0 y e x > 0 para todo x R, luego f(x) > 0 para todo x Para ver si es decreciete ocuparemos el criterio de la primera derivada f (x) = e x ( x 2 ) Así f (x) < 0 para todo x > y f (x) = 0 si x =, luego f(x) es decreciete si x Ahora xe x dx = lim b b [ xe x dx = lim b b] xe x +e x = lim b be b +e b = 0 Por lo tato como xe x dx es covergete, etoces la serie e es covergete Ejemplo 20 Determiar si la serie =2 l() es covergete o divergete Solució Como a = l() = f(), etoces f(x) = Para x 2 teemos que l(x) > 0, luego xl(x) > 0, xl(x) así f(x) > 0 Para ver si es decreciete calculamos la primera derivada de la fució f (x) = +l(x) (xlx) 2 Para x 2 f (x) < 0, luego la fució es decreciete e [2, [ Ahora, Etoces se tiee que 2 2 b [ b] dx = lim dx = lim l(l(x)) xlx b 2 xlx b 2 = lim b l ( ) lb = l2 l() diverge xlx dx es divergete, por lo tato la serie Criterio de la raíz o Criterio de Cauchy Sea la serie a, co a 0 para todo N, tal que lim a = k, etoces: i) Si k <, la serie a es covergete ii) Si k >, la serie a es divergete iii) Si k =, o se puede determiar ada Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 8

9 Ejemplo 2 Determiar si la serie ( ) + es covergete o divergete 2 Solució Teemos que a = ( ) + Luego, 2 lim a = lim ( + 2 ) = lim + 2 = 2 < Por la parte (i) del criterio de la raíz, teemos que la serie ( ) + es covergete 2 Ejemplo 22 Determie si la serie 3 ( 2+2) 3 es covergete o divergete Solució Ocupamos el criterio de la raíz Teemos a = 3 ( 2+2) 3 y lim a = lim 3 ( 2+2) 3 = lim = > 3 3 Luego, por la parte (ii) del criterio de la raíz, teemos que la serie 3 ( 2+2) 3 es divergete Series alteradas Ua serie de la forma ( ) a = a +a 2 a 3 ++( ) a + dode a 0 para todo N, se deomia serie alterada Criterio de Leibiz La serie alterada ( ) a es covergete si cumple que: i) 0 < a + < a, para todo N ii) lim a = 0 Ejemplo 23 Determiar si la serie alterada =2 ( ) l() Solució Teemos que a = es covergete o divergete Como l() es ua fució creciete y positiva para todo 2, etoces l() l(+) < para todo 2, esto es l() l() es decreciete y postivo para todo 2 Luego 0 < 0 < a + < a Por otro lado lim a = lim l() = 0 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 9

10 Por el criterio de Leibiz, la serie =2 ( ) l() es covergete Ejemplo 24 Determiar si la serie alterada ( ) es covergete o divergete 2 Solució Teemos que a = 2 Como 0 < 2 < 2 + para todo N, etoces 0 < 2 + < para todo N, 2 es decir 0 < a + < a Ahora lim a = lim 2 = 0 Luego, por el criterio de Leibiz, la serie ( ) es covergete 2 Ejemplo 25 Determiar si la serie alterada ( )+ 3 Solució Teemos que a = es covergete o divergete 3+ Ahora para todo N se verifica que 0 < 2 < 2, sumado 32 obteemos 3+2 < 3, es decir a + < a, < , de esto (+)(3 ) < (3+2), luego + para todo N Ademas lim a = lim 3 = 3 0 Luego, segu el criterio de Leibiz, la serie ( )+ 3 diverge Sea ( ) a ua serie alterada, diremos que esta es absolutamete covergete si la serie a es covergete E geeral teemos que si ua serie alterada es absolutamete covergete, etoces es covergete Esto es, si a es covergete, etoces ( ) a es covergete Si ua serie alterada es covergete, pero o absolutamete covergete, etoces diremos que la serie es codicioalmete covergete Ejemplo 26 La serie alterada ( ) es covergete, si embargo la serie = divergete Luego la serie ( ) es codicioalmete covergete Ejemplo 27 La serie alterada 3 ( ) 2 es absolutamete covergete, pues la serie 3 2 = 3 2 es ua serie geométrica co r = 2 < Por lo tato la serie 3 ( ) es covergete 2 es Material word creado por el área de Matemática PAIEP 0

11 Ejercicios Propuestos I- Determiar si las siguietes series so covergetes o divegetes, e caso de coverger hallar su suma: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) (2 )(2+) (4 3)(4+) ( ) (+) p l ( ) + l()l(+) =2 =0 2 (+2)(2+2) 2+ 2 (+) (+)(+2) (+)(+2)(+3) xii) xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) xx) =0 =3 =3 (2+)(2+3)(2+5) ( ) (2 +3 ) 2 3 e xi) (7+3) (+)(+3) xxi) (si si + ) II- Determie la covergecia o divergecia de las siguietes series: i) ii) iii) cos() 2 + vii) viii) ix) l() 3 iv) x) + (+2)2 v) vi) si()+ 3 + e xi) xii) + ++ l(+2) Material word creado por el área de Matemática PAIEP

12 xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) (+2)(+) sec() si 2 (3) l() xx) xxi) xxii) xxiii) xxiv) xxv)! (2)! 2 + e III- Determiar si las siguietes series so absolutamete covergetes, codicioalmete covergetes o divergetes: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) xi) xii) ( )! ( ) + ( ) + 2 ( ) +2! ( ) + (2 )! ( ) (+2) ( ) (l()) 2 ( ) +cos() ( ) +! ( ) 2 0 ( ) + ( ) ( si ( ) ) xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) xx) xxi) xxii) xxiii) ( ) ( cos( ( ) )) +cos(π)! ( ) 2 + ( ) + ( ) +( 3)! ( ) (2 )! ( ) (+) 3 ( ) + ( ) 2 + ( ) ( (2 ) si ( ) l() ) Material word creado por el área de Matemática PAIEP 2

(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2,

(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2, FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 4. Probar que si la serie es covergete,

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