Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series
|
|
- Juan Manuel Prado González
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a a + se le deomia serie ifiita de úmeros reales; a ua serie ifiita la represetamos como: a = a +a 2 ++a + Dode a,a 2, se deomia térmios de la serie y a es llamado -ésimo térmio o térmio geeral de la serie Ejemplo La serie ifiita la represetamos como: = Ejemplo 2 La serie ifiita es represetada por 7 2 = Ejemplo 3 La serie ifiita tiee como termio geeral (-ésimo termio) 20 a = Luego la serie se represeta por (+) (+) = Dada ua serie ifiita de úmeros reales a, podemos defiir la sucesió {s } N como s = a s 2 = a +a 2 s 3 = a +a 2 +a 3 s = a +a 2 ++a = i= a i Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP
2 A la sucesió {s } N la deomiamos sucesió de sumas parciales de la serie a, siedo s la -ésima suma parcial de la serie Sea a ua serie ifiita y {s } N su sucesió de sumas parciales Si lim s existe, etoces diremos que la serie a es covergete y coverge a lim s Si la serie coverge, podemos escribir a = lim s Al límite lim s lo llamamos la suma de la serie Si la sucesió de sumas parciales o coverge, diremos que la serie diverge Ejemplo 4 Hallar la suma de la serie e caso de que esta sea covergete (+), Solució El térmio geeral de la serie es a = Luego Notemos que (+) a = (+) = + a = 2 a 2 = 2 3 a 3 = 3 4 a = a = + Así s = a +a 2 ++a = Calculado su límite, obteemos que + lim s = lim + = Etoces, la serie es covergete y su suma es igual a, es decir (+) = Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 2
3 Propiedades de las series ) Si la serie a es covergete, etoces lim a = 0 2) Si lim a 0, etoces la serie a es divergete Observació: Esta propiedad es muy importate, pues permite, e alguos casos determiar de forma imediata si ua serie es divergete 3) Si a y b so series covergetes co sumas s y s 2 respectivamete y c R ua costate Etoces: i) c a coverge a c s, es decir c a = c a ii) (a ±b ) coverge a s ±s 2, es decir (a ±b ) = a ± b 4) Si a es divergete y c R es ua costate, etoces ca es divergete 5) Si a es covergete y b es divergete, etoces (a +b ) es divergete 6) La serie p tiee la forma p = p + 2 p + 3 p + co p u valor costate Cuado p > la serie es covergete Si p es divergete Alguas series especiales ) La serie armóica es de la forma: Esta serie es divergete = ) La serie geométrica es de la forma: ar = a+ar+ar 2 +ar 3 + Esta serie es covergete cuado r <, e este caso la suma de la serie es Esta serie es divergete si r ar = a, si r < r a Esto es r Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 3
4 Ejemplo 5 La serie es divergete pues Ejemplo 6 La serie como , 2 + lim 2 + = 0 es ua serie geométrica, de hecho, el térmio geeral lo podemos escribir = 4 3 ( ) 3 Luego r = 3 <, así la serie es covergete y = 3 3 = 2 Ejemplo 7 La serie = , se puede escribir como = = =0 ( ) Dode 2 ) =0( 5 es ua serie geométrica covergete, ya que r = 2 Por otro lado =0 s = 3 5 Por lo tato, = 5 2 =0 ( ) <, y su suma es 2 5 ( ) 3 es ua serie geométrica covergete, ya que r = <, y su suma es = = =0 ( ) Es decir, la serie es covergete y su suma es 25 6 =0 ( ) 3 = = 25 6 Ejemplo 8 La serie =0 4 3 es divergete, de hecho, es ua serie geométrica co r = 4 3 > Ejemplo 9 Determiar la covergecia o divergecia de la serie ( )! (!) Teemos que ( )! (!) = Luego es ua serie p, co p = 2, así la serie es covergete ( )! ( )! = 2 = 5 3 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 4
5 Ejemplo 0 Determie la covergecia o divergecia de la serie Teemos que ( )!! ( )! = (!) ( )! ( )! Luego es ua serie p, co p = 5 <, así la serie es divergete Criterios para la covergecia o divergecia de ua serie Criterio de comparació directa Cosideremos la serie a, co a 0 para N, etoces: i) Si la serie b, co b 0 para todo N, es covergete y a b, para todo N, etoces la serie a es covergete ii) Si la serie b, co b 0 para todo N, es divergete y b a, para todo N, etoces la serie a es divergete Ejemplo Determiar la covergecia o divergecia de la serie Solució Como, teemos que = (+) De estos último cocluimos que + + 2, para todo N Como serie diverge Ejemplo 2 Determiar la covergecia o divergecia de la serie 2 Solució Para todo N teemos que 2 2, etoces 2 ua geométrica covergete (r = 2 < ), cocluímos que la serie diverge, cocluimos que la 2, para todo N, como la serie es covergete 2 2 es Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 5
6 Ejemplo 3 Determiar la covergecia o divergecia de la serie 2+si 3 (+) Solució Para todo N se cumple que si 3 (+), sumado 2 e estas desigualdades, obteemos 2+si 3 (+) 3, esto es 0 2+si 3 (+) 3, diviedo por , os queda Ahora como 0 2+si3 (+) , obteemos fialmete que para todo N Como la serie la serie 2+si 3 (+) es covergete 0 2+si3 (+) , 3 2 es ua serie geométrica covergete (r = 2 < ) cocluímos que Criterio de comparació al límite Sea las series a y b, co a 0 y b 0 para todo N, etoces: i) Si lim a b > 0, etoces ambas series coverge o diverge ii) Si lim a b = 0 y b coverge, etoces a coverge iii) Si lim a b = y b diverge, etoces a diverge Ejemplo 4 Determiar si la serie es covergete o divergete Solució Sea a = y b = 2 La serie b = Ahora a lim = lim b 2 es ua serie geométrica covergete (r = 2 < ) ( ) 2 = 0 2 = lim Así por la parte (ii) del criterio de comparació al límite teemos que la serie es covergete Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 6
7 Ejemplo 5 Determiar si la serie Solució Sea a = es covergete o divergete y b = La serie es divergete Por otro lado a lim = lim b = lim = 4 > 0 Luego, por la parte (i) de criterio de comparació al límite teemos que la serie es divergete + Ejemplo 6 Determiar si la serie si( ) es covergete o divergete Solució Cosideremos a = si ( ) y b = La serie es divergete Por otro lado a si( lim = lim ) b = > 0 Luego por la parte (i) del criterios de comparació al límite teemos que la serie si( ) diverge Criterio de la razó o Criterio de D alambert Sea la serie a a, co a 0 para todo N, tal que lim + a = k, etoces: i) Si k <, la serie a es covergete ii) Si k >, la serie a es divergete iii) Si k =, el criterio o determia ada Ejemplo 7 Determiar si la serie 2 es covergete o divergete Solució Teemos que a = 2, etoces a + = (+)2 (+), calculado el límite obteemos a + (+)2 (+) + lim = lim a 2 = lim 2 = 2 Por la parte (i) del criterio de la razó cocluímos que la serie 2 es covergete Ejemplo 8 Determiar si la serie 3 + e es covergete o divergete Solució Teemos que a = 3 + (+)3 + e, etoces a + = e +, calculado el límite a + lim = lim a (+) 3 + e + (+)3 + = lim 3 + e 3 = + e 3 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 7
8 Por la parte (i) del criterio de la razó cocluímos que la serie 3 + e, es covergete Criterio de la itegral Si f es ua fució positiva, cotiua y decreciete para todo x, y a = f() para todo N, etoces a coverge si y sólo si f(x)dx coverge Aálogamete a diverge si y sólo si f(x)dx diverge Ejemplo 9 Determiar si la serie e es covergete o divergete Solució Como a = e = f(), etoces f(x) = xe x Debemos verificar que f es positivo y decreciete para todo x Si x, etoces x 0 y e x > 0 para todo x R, luego f(x) > 0 para todo x Para ver si es decreciete ocuparemos el criterio de la primera derivada f (x) = e x ( x 2 ) Así f (x) < 0 para todo x > y f (x) = 0 si x =, luego f(x) es decreciete si x Ahora xe x dx = lim b b [ xe x dx = lim b b] xe x +e x = lim b be b +e b = 0 Por lo tato como xe x dx es covergete, etoces la serie e es covergete Ejemplo 20 Determiar si la serie =2 l() es covergete o divergete Solució Como a = l() = f(), etoces f(x) = Para x 2 teemos que l(x) > 0, luego xl(x) > 0, xl(x) así f(x) > 0 Para ver si es decreciete calculamos la primera derivada de la fució f (x) = +l(x) (xlx) 2 Para x 2 f (x) < 0, luego la fució es decreciete e [2, [ Ahora, Etoces se tiee que 2 2 b [ b] dx = lim dx = lim l(l(x)) xlx b 2 xlx b 2 = lim b l ( ) lb = l2 l() diverge xlx dx es divergete, por lo tato la serie Criterio de la raíz o Criterio de Cauchy Sea la serie a, co a 0 para todo N, tal que lim a = k, etoces: i) Si k <, la serie a es covergete ii) Si k >, la serie a es divergete iii) Si k =, o se puede determiar ada Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 8
9 Ejemplo 2 Determiar si la serie ( ) + es covergete o divergete 2 Solució Teemos que a = ( ) + Luego, 2 lim a = lim ( + 2 ) = lim + 2 = 2 < Por la parte (i) del criterio de la raíz, teemos que la serie ( ) + es covergete 2 Ejemplo 22 Determie si la serie 3 ( 2+2) 3 es covergete o divergete Solució Ocupamos el criterio de la raíz Teemos a = 3 ( 2+2) 3 y lim a = lim 3 ( 2+2) 3 = lim = > 3 3 Luego, por la parte (ii) del criterio de la raíz, teemos que la serie 3 ( 2+2) 3 es divergete Series alteradas Ua serie de la forma ( ) a = a +a 2 a 3 ++( ) a + dode a 0 para todo N, se deomia serie alterada Criterio de Leibiz La serie alterada ( ) a es covergete si cumple que: i) 0 < a + < a, para todo N ii) lim a = 0 Ejemplo 23 Determiar si la serie alterada =2 ( ) l() Solució Teemos que a = es covergete o divergete Como l() es ua fució creciete y positiva para todo 2, etoces l() l(+) < para todo 2, esto es l() l() es decreciete y postivo para todo 2 Luego 0 < 0 < a + < a Por otro lado lim a = lim l() = 0 Material wordcreado por el área de Matemática PAIEP 9
10 Por el criterio de Leibiz, la serie =2 ( ) l() es covergete Ejemplo 24 Determiar si la serie alterada ( ) es covergete o divergete 2 Solució Teemos que a = 2 Como 0 < 2 < 2 + para todo N, etoces 0 < 2 + < para todo N, 2 es decir 0 < a + < a Ahora lim a = lim 2 = 0 Luego, por el criterio de Leibiz, la serie ( ) es covergete 2 Ejemplo 25 Determiar si la serie alterada ( )+ 3 Solució Teemos que a = es covergete o divergete 3+ Ahora para todo N se verifica que 0 < 2 < 2, sumado 32 obteemos 3+2 < 3, es decir a + < a, < , de esto (+)(3 ) < (3+2), luego + para todo N Ademas lim a = lim 3 = 3 0 Luego, segu el criterio de Leibiz, la serie ( )+ 3 diverge Sea ( ) a ua serie alterada, diremos que esta es absolutamete covergete si la serie a es covergete E geeral teemos que si ua serie alterada es absolutamete covergete, etoces es covergete Esto es, si a es covergete, etoces ( ) a es covergete Si ua serie alterada es covergete, pero o absolutamete covergete, etoces diremos que la serie es codicioalmete covergete Ejemplo 26 La serie alterada ( ) es covergete, si embargo la serie = divergete Luego la serie ( ) es codicioalmete covergete Ejemplo 27 La serie alterada 3 ( ) 2 es absolutamete covergete, pues la serie 3 2 = 3 2 es ua serie geométrica co r = 2 < Por lo tato la serie 3 ( ) es covergete 2 es Material word creado por el área de Matemática PAIEP 0
11 Ejercicios Propuestos I- Determiar si las siguietes series so covergetes o divegetes, e caso de coverger hallar su suma: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) (2 )(2+) (4 3)(4+) ( ) (+) p l ( ) + l()l(+) =2 =0 2 (+2)(2+2) 2+ 2 (+) (+)(+2) (+)(+2)(+3) xii) xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) xx) =0 =3 =3 (2+)(2+3)(2+5) ( ) (2 +3 ) 2 3 e xi) (7+3) (+)(+3) xxi) (si si + ) II- Determie la covergecia o divergecia de las siguietes series: i) ii) iii) cos() 2 + vii) viii) ix) l() 3 iv) x) + (+2)2 v) vi) si()+ 3 + e xi) xii) + ++ l(+2) Material word creado por el área de Matemática PAIEP
12 xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) (+2)(+) sec() si 2 (3) l() xx) xxi) xxii) xxiii) xxiv) xxv)! (2)! 2 + e III- Determiar si las siguietes series so absolutamete covergetes, codicioalmete covergetes o divergetes: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) xi) xii) ( )! ( ) + ( ) + 2 ( ) +2! ( ) + (2 )! ( ) (+2) ( ) (l()) 2 ( ) +cos() ( ) +! ( ) 2 0 ( ) + ( ) ( si ( ) ) xiii) xiv) xv) xvi) xvii) xviii) xix) xx) xxi) xxii) xxiii) ( ) ( cos( ( ) )) +cos(π)! ( ) 2 + ( ) + ( ) +( 3)! ( ) (2 )! ( ) (+) 3 ( ) + ( ) 2 + ( ) ( (2 ) si ( ) l() ) Material word creado por el área de Matemática PAIEP 2
(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2,
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 4. Probar que si la serie es covergete,
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge
Más detallesTEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
TEORÍA DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez TEMA 3. Sucesioes y series 3. Sucesioes
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar
Más detallesCAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS
CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesCriterios de convergencia para series.
Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesAN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.
AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es.
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detallesHoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)
Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesSeries de números reales
Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos
Más detallesSucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7
Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos
Más detalles8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS
ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 6 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE........................ 6 8.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS......................... 63 8.4.
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43
TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 8 + ( ); Y fialmete: a 7 8 + (7 ) 86 0 7 + 0. S 0 Págia 7 [ ( 7 + 9 5) ] 95. a) 6 : pero 0 : 6,6 o es PG b) 6 : ( ) : 6 :
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detallesSucesiones. Límite de una
Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua
Más detallesSeries infinitas de números reales. Series convergentes
Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas
Más detallesUn numero en una sucesión: a n. Ejemplo: Qué termino de la sucesión. a n. Gráficamente:
CONCEPTOS PREVIOS: Es u cojuto de úmeros que obedece a ua ley de formació. E geeral es ua fució del tipo : f:n R + 4 0 Ejemplo : a 64 3... 3 SUCESION CRECIENTE: a ; a > a SUCESION DECRECIENTE: + ; a+ a
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x
Más detallesMatemáticas Especiales. Sucesiones y Series. R. Rossignoli Universidad Nacional de La Plata
Matemáticas Especiales (Física Médica) Sucesioes y Series R. Rossigoli Uiversidad Nacioal de La Plata 5. Sucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros reales a, a,..., a,... () dode a está defiido para todo
Más detallesAnálisis Matemático IV
Aálisis Matemático IV Relació 4. Ejercicios resueltos Ejercicio : Estudiar la covergecia putual y uiforme de las siguietes series fucioales e los cojutos que se idica (i) Σ x =! e x e [0, ] Primero, estudiamos
Más detalles1) Considera el sistema de ecuaciones:
SESIÓN 4: Álgebra lieal umérica ) Cosidera el sistema de ecuacioes: x + aa aa y a) Calcula las matrices iterativas de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. b) Para qué valores de a coverge el método de
Más detalles1. SUCESIONES Y SERIES
1. SUCESIONES Y SERIES Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió?
Más detallesTEMA IV. 1. Series Numéricas
TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios
Más detallesSet de Ejercicios N 4. Ayudantías MAT-022.
Set de Ejercicios N 4. Ayudatías MAT-. Departameto de Matemáticas, UTFSM *. Semestre 6. Ates de comezar, u breve relato extraído del libro El curioso mudo de las matemáticas de David Wells (p. 4): Hay
Más detalles( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1
.8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es
Más detallesSeries de términos no negativos
Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA. Práctica nº 3: Sucesiones y series numéricas.
INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL - ESP. ELECTRÓNICA INDUSTRIAL CURSO 2003-2004 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Práctica º 3: Sucesioes y series uméricas. Abordamos e esta práctica el tratamieto co
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detallesPráctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detallesTEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar
Más detallesSumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio
Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega
Más detallesy = c n x n : Sustituyendo en la ecuación de partida obtenemos n=0 Si escribimos todas las potencias con el mismo exponente se obtiene:
Ejercicio. Obteer los cuatro primeros térmios o ulos de la solució e forma de serie de potecias de x del problema de valores iiciales < (x + )y y = y() = : y () = Solució Como os pide que resolvamos u
Más detallesIntroducción básica a series
Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesTecnológico de Monterrey Campus Estado de México. Guía Final de Matemáticas II Para Ingeniería Nombre: Matrícula. 3x 1. arcsen x. C) sec( x 5 x.
Tecológico de Moterrey Campus Estado de Méico Guía Fial de Matemáticas II Para Igeiería Nombre: Matrícula Idicacioes: E las pregutas ecierra ua úica respuesta, debes realizar el procedimieto de cada ua
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesApuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos
Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática www.cieciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio
Más detalles3.8. Ejercicios resueltos
3.8 Ejercicios resueltos 101 3.8. Ejercicios resueltos 3.8.1 Ua sucesió a ) se dice que es cotractiva si existe 0
Más detallesSeries Infinitas. Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con
ISFD Nº 3 "Dr. Julio C. Avaza" Profesor. Norerto Molia Alumas. Gutiérrez Graciela - Gutiérrez Jimea Series Ifiitas Ua serie es la suma de los térmios de ua sucesió. Se represeta ua serie co térmios a como
Más detallesMás sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas.
Más sobre límites de sucesioes Sucesioes parciales. Sucesioes moótoas. E u artículo aterior habíamos hablado de las sucesioes de úmeros reales y del cocepto de límite de ua sucesió. Tambié, e otro artículo,
Más detallesα β la cual puede presentar
5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS CÁLCULO INFINITESIMAL CURSO 00- Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3, 3 4, 3 4 5, c),,
Más detallesProblemas de Sucesiones
Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]
Más detallesConvergencia absoluta y series alternadas
Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales
Más detalles2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x
ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES.. problemas de ites y series. Pruebe, usado la defiició, que: x 3/ x 8 x = 4. Solució. Dado ɛ > 0 queremos que x 8 ( 4 x, sea meor que ɛ cuado x esté
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesConstrucción de los números reales.
B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
Más detallesTeoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...
covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto
Más detallesFunciones Exponencial y Logaritmo
. 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesTema 5 Series numéricas
Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesEjemplos de análisis de varios tipos de convergencia
Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia Objetivos Apreder a aalizar varios tipos de covergecia Requisitos Varios tipos de la covergecia, descripció e térmios de los cojutos auxiliares Se propoe
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesTema 2: Series numéricas
Igeiería Iformática. Escuela Técica Superior de Igeiería Iformática Tema 2: Series uméricas 3 de octubre de 2002 E el tema aterior dejamos abierta la cuestió de cuáles so los úmeros reales. Todos los cojutos
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detallesL lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2
Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los
Más detallesPreguntas de examen. Apéndice A. A.1 Abril de 2008 (Examen parcial) Preguntas de test (30%) Teoría (10 %)
Apédice A Pregutas de exame A. Abril de 2008 (Exame parcial) Pregutas de test (30%) A. Se cosidera las sucesioes ( ) a b. Etoces: (a) Si b coverge, etoces a tambié coverge y sus límites coicide. (b) Si
Más detallesConjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n.
Sucesioes Tema 8.- Sucesioes y Límites Cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro: a, a, a 3,..., a Operacioes a =a, a, a 3,..., a b =b, b, b 3,..., b Suma Diferecia (a )+(b )=(a +b )= a +b, a
Más detalles4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:
Más detallesEl método de Monte Carlo
El método de Mote Carlo El método de Mote Carlo es u procedimieto geeral para seleccioar muestras aleatorias de ua població utilizado úmeros aleatorios. La deomiació Mote Carlo fue popularizado por los
Más detalles{ 3 SERIE DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA 1. Para las siguientes relaciones trazar su gráfica: 10) ( ) 2) ( ) 3) ( ) 4) ( )
SERIE DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA Para las siguietes relacioes trazar su gráfica: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) {,, } {,, } {,, } {,, 9 } R y > R y y R y y + R y + y {,, } 5) R
Más detalles(2n + 1) = (n + 1) 2.
Cálculo I Grado e Igeiería Iformática) Problemas resueltos, 05-6 primera parte) Preparado etre 03 y 05 por los coordiadores de la asigatura: Pablo Ferádez, Luis Guijarro y Draga Vukotić, co la ayuda de
Más detallesTALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES
TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto
Más detallesApellidos y Nombre: Aproximación lineal. dy f x dx
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 Aproximació lieal Defiició (Diferecial).- Sea y = f ( x) ua fució derivable e u itervalo abierto que cotiee al úmero x, - La diferecial de x es igual al icremeto de
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detallesSUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en:
UCEIÓN CPR. JORGE JUAN Xuvia-Naró Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es ua fució que hace correspoder a cada úmero atural, excluido el cero, u úmero real, la cual viee defiida segú: f: N* R a a i a Número
Más detallesMATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.
MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre
Más detallesMATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero
ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los
Más detalles1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos
Más detallesMATE1214 -Calculo Integral Parcial -3
MATE114 -Calculo Itegral Parcial -3 Duració: 60 miutos 1. Cosidere la curva paramétrica descrita por = te t, y = 1 + t. Halle la pediete de la recta tagete a esta curva cuado t = 0.. Calcular la logitud
Más detallesTrabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER
F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales
Más detallesCap ³tulo 6. Series Num ericas. Problemas resueltos. 6.1 Series num ericas. De niciones. Salvador Vera Ballesteros
Cap ³tulo 6 Series Num ericas. Problemas resueltos Salvador Vera Ballesteros www.satd.uma.es/matap/svera 6. Series um ericas. De icioes De ici o 6. (Serie) Dada ua sucesi o um erica i ita: fa g fa ;a ;a
Más detallesMETODO DE ITERACION DE NEWTON
METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura
Más detallessi G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E.
LA INTGRAL D LBSGU PARA FUNCIONS D UNA SOLA VARIABL RSULTADOS TÓRICOS LA MDIDA D LBSGU CONJUNTOS MDIBLS Dado u couto abierto o vació G de la recta real, existe ua amilia iita o umerable {V: œl}, ormada
Más detalles