Comenzamos recordando algunos conceptos de la topología de l - R 2. Dado a lc y ɛ > 0 se llama bola abierta de centro a y radio ɛ al conjunto
|
|
- Eduardo Silva Iglesias
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Capítulo 2 Funciones analíticas. Funciones armónicas. En este capítulo iniciamos el estudio de las funciones de variable compleja. Comenzamos con los conceptos de límite y continuidad en lc, conceptos que ya son conocidos del cálculo en varias variables pues la topología de lc coincide con la de l - R 2. Después se estudia la derivación de funciones complejas que, formalmente, es similar a la derivación de funciones reales de una variable. Para continuar el estudio de la derivación se observa que una función de variable compleja puede considerarse también como una función de dos variables con llegada en l - R 2. Comprobaremos que existe una relación entre la derivación compleja de una función f y su diferencial, considerada f como función en l - R 2. Esto conduce a las ecuaciones de Cauchy- Riemann. Para finalizar se estudian las funciones armónicas. Este tipo de funciones surgen en diversos campos de la Física y la Ingeniería Límites y continuidad Comenzamos recordando algunos conceptos de la topología de l - R 2. Dado a lc y ɛ > 0 se llama bola abierta de centro a y radio ɛ al conjunto B(a, ɛ) = {z lc : z a < ɛ}. Cuando estamos en lc suele denominarse disco abierto y se denota por D(a, ɛ). Dado subconjunto A de lc se dice que un punto a lc es interior a A si existe un ɛ > 0 tal que D(a, ɛ) A. El conjunto de los puntos interiores se denota o A. Un subconjunto A de lc se dice que es abierto si todos sus puntos son interiores, esto es, si para cada z A existe un ɛ > 0 tal que D(a, ɛ) A. Un subconjunto A se dice que es cerrado si su complementario lc \ A = {z lc : z / lc} es abierto. Ejemplo 2.1 El conjunto D(0, 1) es abierto. Cualquier bola abierta es un conjunto abierto. 10
2 11 Ejemplo 2.2 Los conjuntos de la forma D(a, ɛ) = {z lc : z a ɛ} son cerrados ( D(a, ɛ) se denomina disco cerrado o bola cerrada de centro a y radio ɛ ). Ejemplo 2.3 Los conjuntos lc y son simultáneamente abiertos y cerrados. Ejemplo 2.4 Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados como, por ejemplo, A = {z = x + yi lc : x 0, y > 0}. Se dice que un punto a lc es punto de acumulación de subconjunto A lc si para cada ɛ > 0 se verifica que D(a, ɛ) A contiene puntos distintos de a. No es difícil probar que si a es punto de acumulación de A la intersección D(a, ɛ) A contiene infinitos puntos. Ejemplo 2.5 El punto a = 0 es el único punto de acumulación del conjunto A = {1/n, n ln}. Obsérvese que 0 / A. Ejemplo 2.6 El conjunto de todos los puntos de acumulación del disco abierto D(0, 1) es el disco cerrado D(0, 1). Ejercicio 2.1 Sea A = z 1,..., z n un conjunto con un número finito de puntos. Demuestre que A no tiene puntos de acumulación. Ejercicio 2.2 Sea a lc un punto de acumulación de A lc. Demuestre que para cualquier ɛ > 0, D(a, ɛ) A contiene infinitos puntos. (Sugerencia: razone por reducción al absurdo suponiendo que existe un ɛ 0 > 0 tal que D(a, ɛ 0 ) A tiene un número finito de puntos). Definición 2.1 Sea A lc, a un punto de acumulación de A y f : A lc una función de variable compleja. Se dice que lím f(z) = l si ɛ > 0 δ > 0 tal que si 0 < z a < δ y z A entonces f(z) l < ɛ. Observemos que por ser a punto de acumulación la definición tiene sentido pues A D(a, δ) siempre es no vacío. El número δ depende, en general, de ɛ. Ejemplo 2.7 Demuestre que lím z 1 (z + i) = 1 + i. 1 Ejemplo 2.8 Demuestre que lím z 1 (z 1) no existe. Ejemplo 2.9 Demuestre que lím z 1 arg 0(z) no existe.
3 12 Un límite de una función de variable compleja puede considerarse como el límite de dos funciones reales. Dada una función f : A lc, puesto que lc coincide con l - R 2, podemos considerar sus funciones componentes, que son la parte real e imaginaria de f(z). Las denotamos por Re(f(z)) e Im(f(z)) y son funciones definidas sobre A y con llegada en l - R. Recordando del cálculo en varias variables que el límite de una función puede obtenerse como el límite de las funciones componentes, si z = x + iy se tiene que lím f(z) = l lím Re(f(x, y)) = Re(l) y lím (x,y) (Re(a),Im(a)) Im(f(x, y)) = Im(l). (x,y) (Re(a),Im(a))) En la proposición siguiente se enuncian las propiedades elementales de los límites de funciones de variable compleja, que son análogas a las de las funciones reales. Proposición 2.1 Sea A lc, f : A lc, g : A lc y a un punto de acumulación de A. Supongamos que lím f(z) = l y lím g(z) = h. Entonces 1. lím (f + g)(z) = l + h, 2. lím (f g)(z) = l h, 3. lím (c f)(z) = c l c lc, 4. lím (f/g)(z) = l/h, si h 0. Definición 2.2 Sea A lc, a un punto de acumulación de A que además pertenece a A y f : A lc. Se dice que f es continua en a si o, equivalentemente, si lím f(z) = f(a) ɛ > 0 δ > 0 tal que si z a < δ y z A f(z) f(a) < ɛ. La función f se dice que es continua en A si lo es en todos los puntos de A. De la proposición anterior se deduce que si f y g son continuas en un punto a entonces f + g, f g y f/g, si g(a) 0, son continuas en el punto a. Es sencillo comprobar que las funciones constantes son continuas y también f(z) = z, z lc. Deducimos entonces que los polinomios en lc son funciones continuas. Ejemplo 2.10 Demuestre que f(z) = Re(z) es continua en todo lc.
4 13 Proposición 2.2 Sean A subconjunto de lc, f : A lc, f(a) B y g : B lc. Sea a A punto de acumulación de A y b = f(a) B punto de acumulación de B. Si f es continua en a y g lo es en b, se verifica entonces que la función compuesta g f es continua en a. Ejemplo 2.11 Demuestre que h(z) = Re(z 2 ) es continua en lc. Ejercicio 2.3 Sea f(z) = z2 1 para z 1. Estudie si puede definirse f en el punto 1 de z 1 forma que la función resultante sea continua. Ejercicio 2.4 Estudie si puede extenderse arg 0 a los puntos del semieje real negativo de forma que la función resultante sea continua. Ejercicio 2.5 Demuestre, a partir de la definición, que f(z) = z, g(z) = Im(z) y h(z) = z son funciones continuas en todo lc. Ejercicio 2.6 Sea f : A lc una función continua en A. Pruebe que Re(f), Im(f), f y g(z) = f(z) también lo son Derivación En esta sección se estudia la derivación de funciones complejas. La definición es análoga a la de las funciones reales de variable real y, como veremos, el desarrollo de la teoría, formalmente, coincide con el caso real. Definición 2.3 Sea A lc, a un punto interior de A y f : A lc. Se dice que f es derivable f(z) f(a) en el punto a si existe lím. El valor del límite se denomina derivada de f en el z a punto a y suelen emplearse las notaciones f (a), df(a) ( ) df o dz dz. a Nótese que la función f puede no estar definida para algún valor de z y entonces f(z) carecería de sentido. Pero por ser a un punto interior de A siempre se puede encontrar un disco D(a, ɛ) contenido en A. Si z está suficientemente próximo al punto a, z D(a, ɛ) A y, entonces, f(z) sí está definido. Ejemplo 2.12 Si f(z) = k, con k lc, f es derivable en todos los puntos de lc y su derivada es la función nula.
5 14 Ejemplo 2.13 Sea f(z) = z, z lc. Pruebe que f (a) = 1 a lc. Proposición 2.3 Sea A lc, a un punto interior de A y f : A lc. Si f es derivable en a entonces f es continua en a. Proposición 2.4 Sea A lc, a un punto interior de A y f y g dos funciones complejas definidas en A. Si f y g son derivables en a se tiene que la suma f + g y el producto f g son derivables en a y se verifica (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a). Si además g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y (f/g) (a) = f (a) g(a) f(a) g (a) g(a) 2. De esta proposición se deduce que los polinomios de variable compleja son funciones derivables y su derivada se calcula como en el caso real. Proposición 2.5 (Regla de la cadena). Sean A y B subconjuntos abiertos de lc, f : A lc, f(a) B y g : B lc. Si f es derivable en a A y g lo es en f(a) B se tiene que la función compuesta g f es derivable en a y se verifica que (g f) (a) = g (f(a)) f (a). Ejemplo 2.14 Aplicando la regla de la cadena, obtenga la derivada de h(z) = (z 3 + z + 1) 24. Proposición 2.6 (Derivada de la función inversa). Sean A y B subconjuntos abiertos de lc, f : A B biyectiva y g : B A su función inversa. Sea a A y b = f(a) B y Supongamos que f es derivable en a con f (a) 0 y que g es continua en b. Se tiene entonces que g es derivable en b y se verifica que g (b) = 1 f (a). Ejemplo 2.15 Sea B = {r ϕ lc : r (0, + ), ϕ ( π, π)} y, para w B, sea g(w) = w arg0 (w)/2. Pruebe que g es derivable en todos los puntos de B y halle su derivada. Ejercicio 2.7 Sea B = {r ϕ lc : r (0, + ), ϕ (0, 2π)} y, para w B, sea g(w) = w argπ (w)/2. Pruebe que g es derivable en todos los puntos de B y halle su derivada. (Sugerencia: considere f(z) = z 2 definida sobre A = {r ϕ lc : r (0, + ), ϕ (0, π)} y aplique el teorema de la función inversa).
6 Condiciones de Cauchy-Riemann En la sección anterior hemos definido la derivada de una función f de variable compleja. Si tenemos presente que el conjunto de los números complejos es l - R 2, podemos considerar f como una función de dos variables con llegada en l - R 2 : f : A l - R 2 z = (x, y) f(z) = (u(x, y), v(x, y)) Podemos entonces considerar las derivadas parciales de u y v y estudiar la diferenciabilidad de f. En este apartado veremos que la derivación compleja y la diferenciación de f no son independientes. Para las derivadas parciales se utilizarán indistíntamente las notaciones siguientes: u x = u x = u 1 y u y = u y = u 2 Teorema 2.1 Sea f : A lc y sean u = Re(f) y v = Im(f). La función f es derivable en a + ib A o si, y solamente si, u y v son diferenciables en (a, b) y verifican las ecuaciones u x (a, b) = v y (a, b) (2.1) u y (a, b) = v x (a, b) (2.2) Se verifica además que f (a + ib) = u x (a, b) + iv x (a, b) = v y (a, b) iu y (a, b) Las ecuaciones anteriores se conocen como condiciones de Cauchy-Riemann. Recordemos de cálculo en varias variables que una condición suficiente para que una función sea diferenciable es que la función tenga derivadas parciales continuas. Se deduce entonces el corolario siguiente: Corolario 2.1 Si las funciones u y v tienen derivadas parciales en una bola centrada en (a, b), son continuas en (a, b) y verifican las condiciones de Cauchy-Riemann entonces f es derivable en a + bi. El resultado recíproco no es cierto. Ejemplo 2.16 Estudie en qué puntos son derivables las funciones siguientes y halle la derivada:
7 16 (a) f(x + iy) = x 2 y 2 + 2xyi. (b) g(x + iy) = e x (cos(y) + i sen(y)). (c) h(x + iy) = 2xy + i(x 2 + y 2 ). Ejercicio 2.8 Estudie dónde son derivables las funciones siguientes y calcule la derivada: (a) f(z) = z, (b) h(z) = z. Definición 2.4 Sea A un subconjunto abierto de lc y a lc. Se dice que una función f : A lc es analítica en a si f es derivable en un entorno de a. También se utiliza el término holomorfa. Se dice que f es analítica en A si lo es en todos los puntos de A. Una función que es analítica en todo lc se dice que es entera. Las funciones analíticas son de gran importancia en el estudio de las funciones de variable compleja. Como veremos más adelante, toda función analítica pueden expresarse como suma de una serie de potencias. Proposición 2.7 Sea A un subconjunto abierto y conexo de lc y sea f : A lc analítica en A y tal que f (z) = 0 z A. Entonces f es constante en A. Ejercicio 2.9 Estudie dónde son analíticas las funciones siguientes y calcule la derivada: (a) f(x + yi) = x 3 3xy 2 + i(3x 2 y y 3 ), (b) h(x + yi) = xy + i(y 2 x 2 /2). Ejercicio 2.10 Sea A un subconjunto abierto y conexo de lc y f : A lc analítica en A. Pruebe que si Re(f) = 0 entonces f ha de ser constante. Ejercicio 2.11 Pruebe que, en coordenadas polares, las condiciones de Cauchy-Riemann se expresan como u ρ (ρ, θ) = 1 ρ v θ 1 ρ u θ(ρ, θ) = v ρ. Ejercicio 2.12 Estudie dónde son analíticas las funciones, expresadas en polares, f(ρ, θ) = ρ cos(θ) + iρ sen(θ) y g(ρ, θ) = ρ 4 sen(4θ)) iρ 4 cos(4θ).
8 Funciones armónicas En esta sección estudiamos las funciones armónicas, que son aquellas que verifican la ecuación de Laplace, ecuación que surge en diversos campos de la Física. La relación con la variable compleja proviene de que, como veremos, las funciones armónicas pueden considerarse, bajo ciertas condiciones, como la parte real o la parte imaginaria de funciones analíticas. Definición 2.5 Sea A un abierto de l - R 2 y u C 2 (A) 1. Se dice que u es armónica si verifica la ecuación diferencial u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0, (x, y) A (2.3) Esta ecuación se conoce como ecuación de Laplace. Utilizando el operador de Laplace, también llamado Laplaciano, u(x, y) = u xx (x, y) + u yy (x, y), la ecuación se escribe (u) = 0, (x, y) A Ejemplo 2.17 Compruebe que u(x, y) = x 2 y 2 y v(x, y) = 2xy son armónicas. Proposición 2.8 Sea A un subconjunto abierto de lc y f : A lc. Sean u = Re(f) y v = Im(f) y supongamos que son C 2 en A. Si f es analítica en A entonces u y v son armónicas. En realidad, exigir que u y v sean C 2 en A es una hipótesis innecesaria pues, como veremos posteriormente, si f es analítica entonces admite derivadas de cualquier orden y, por tanto, u y v también. Ahora veremos un resultado recíproco. Recordamos que, de un modo gráfico, podemos decir que un subconjunto A de l - R 2 es simplemente conexo si la región encerrada por cualquier curva simple cerrada de A también está contenida en A. Todo l - R 2 y los discos (abiertos o cerrados) son ejemplos de conjuntos simplemente conexos. Una corona circular, por ejemplo B = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}, no es simplemente conexo. Proposición 2.9 Sea A un subconjunto abierto simplemente conexo de lc y u : A l - R, u C 2 (A). Si u es armónica en A entonces existe v : A l - R tal que f = u + iv es analítica en A. La función v se dice que es una armónica conjugada de u. Ejemplo 2.18 Pruebe que u(x, y) = y 3 3x 2 y es armónica y halle una armónica conjugada. (Solución: x 3 3y 2 x + C con C l - R). 1 u C 2 (A) significa que u tiene parciales continuas hasta el orden dos en todos los puntos de A.
9 18 Ejercicio 2.13 Estudie si u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (x, y) (0, 0), es armónica. Ejercicio 2.14 Halle, si existe, una función v(x, y) tal que f(x+yi) = 2xy+v(x, y)i sea entera y f(0, 0) = i.
Tema 2: Funciones anaĺıticas. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Ejemplos. Marisa Serrano. 6 de octubre de 2009
Índice Universidad de Oviedo 6 de octubre de 2009 1 2 3 4 email: mlserrano@uniovi.es Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados B(a, ɛ) = {z C : z a < ɛ} = D(a, ɛ). Dado A C se dice que un punto a C es interior
Más detallesFUNCIONES HOLOMORFAS. LAS ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN Y ALGUNAS DE SUS CONSECUENCIAS
FUNCIONES HOLOMORFAS. LAS ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN Y ALGUNAS DE SUS CONSECUENCIAS En este capítulo definiremos las funciones olomorfas como las funciones complejas que son diferenciables en sentido
Más detallesVARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL
VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL (Curso 00-00) HOJA Ejercicio. Determina en qué recintos es holomorfa la siguiente función: f(x + iy) x + ay + i(bx + cy) En este caso consideramos: u(x, y) x + ay
Más detallesRegiones en el plano complejo
Regiones en el plano complejo Disco abierto, vecindad o entorno: El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad donde es número real positivo [ : entorno] ====================================== Recordemos
Más detallesVariable Compleja I Tema 3: Funciones holomorfas
Variable Compleja I Tema 3: Funciones holomorfas 1 Derivada 2 Ecuaciones de C-R 3 Reglas de derivación 4 Funciones holomorfas 5 Primeras propiedades Derivada Definición de derivada /0 A C, f F (A), a A
Más detalles2. Derivación y funciones holomorfas.
18 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 24 Abril 2006. 2. Derivación y funciones holomorfas. 2.1. Derivación de funciones complejas y funciones holomorfas. Sea Ω abierto contenido en C,
Más detallesClase 3: Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Clase 3: Ecuaciones de Cauchy-Riemann 16 de agosto de 2016 1. Introducción Consideramos una función f : U C (donde U es un abierto de C) que queremos estudiar cerca de un punto z 0 U. Para esto podemos
Más detalles2. El Teorema del Valor Medio
2.24 45 2. El Teorema del Valor Medio Comenzaremos esta sección recordando dos versiones del teorema del valor medido para funciones de 1-variable y por tanto ya conocidas: 2.22 Sea f : [a, b] R R una
Más detallesx (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
Más detalles(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0),
NÚMEROS COMPLEJOS 1. Preliminares Definición. Se llama número complejo a todo par ordenado de números reales. Si z = (a, b) es un número complejo, se dice que a es la parte real de z y b es la parte imaginaria
Más detalles6. Teoría de Cauchy local.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 24 Abril 2006. 59 6. Teoría de Cauchy local. Dado un abierto Ω C, se denota con R Ω a un rectángulo contenido en Ω. R indica el conjunto de puntos que
Más detallesFunciones de Variable Compleja
U Contenido Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Funciones de Variable Compleja (Continuidad,
Más detallesFunciones Reales de Varias Variables
Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 54 CONTENIDO Funciones
Más detalles(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g
Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como
Más detalles7. Teoría de Cauchy global.
68 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 25 Abril 26. 7. Teoría de Cauchy global. 7.. Teorema de Cauchy global. Sea un abierto no vacío Ω C. Teorema 7... Teorema de Cauchy global. Sea f
Más detallesDERIVACIÓN COMPLEJA. Sea f definida en todos los puntos z de algún entorno z 0
1. DERIVACIÓN COMPLEJA Límites Sea f definida en todos los puntos z de algún entorno z 0 f(z) ω 0 es decir, el punto ω f(z) puede quedar próximo a ω 0 si elegimos z suficientemente próximo a z 0, pero
Más detallesEl cuerpo de los números complejos
Capítulo 1 El cuerpo de los números complejos En este primer capítulo se revisan los conceptos elementales relativos a los números complejos. El capítulo comienza con una breve nota histórica y después
Más detallesDiferenciales de Orden Superior
Capítulo 10 Diferenciales de Orden Superior En este capítulo extenderemos a las funciones definidas sobre espacios normados el concepto de función r-veces diferenciable y de clase C r y obtendremos las
Más detallesFUNCIONES MEROMORFAS. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS Y ALGUNAS DE SUS CONSECUENCIAS
FUNCIONES MEROMORFAS. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS Y ALGUNAS DE SUS CONSECUENCIAS. FUNCIONES MEROMORFAS Definición.. Se dice que una función es meromorfa en un abierto Ω de C si f es holomorfa en Ω excepto
Más detallesFunciones Inversas. Derivada de funciones inversas
Capítulo 15 Funciones Inversas En este capítulo estudiaremos condiciones para la derivación de la inversa de una función de varias variables y, en particular, extenderemos a estas funciones la fórmula
Más detallesMATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 7 CLASE 1. Transformaciones conformes
MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 7 CLASE 1 Transformaciones conformes 1 Determinar donde son conformes las siguientes transformaciones: (a) w() = 2 + 2 (b) w() = 1 + i (c) w() = + 1 (d) w() = En cada
Más detallesDefinición 3.1 Dado z = x + iy lc se define la función exponencial compleja como. exp(z) = e x (cos(y) + i sen(y))
Capítulo 3 Funciones elementales En este capítulo se introducen la funciones elementales variable compleja: la exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Como veremos, muchas
Más detallesDerivadas Parciales de Orden Superior
Capítulo 9 Derivadas Parciales de Orden Superior La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas
Más detallesCapítulo 3 Integración en el Campo Complejo.
Capítulo 3 Integración en el Campo Complejo. La teoría de la integración en el campo complejo es una de las más bellas y profundas de la matemática pura. Pero sus aplicaciones también son importantes e
Más detallesLa derivada compleja
La derivada compleja f(x) f(a) Recordar que una función f : R R es derivable en un punto a R si lim x a x a El límite es la derivada de f en a y es denotado por f (a). existe. Para definir la derivada
Más detallesLa Diferencial de Fréchet
Capítulo 6 La Diferencial de Fréchet Es bien conocido que una función de una variable f es derivable en un punto a si y sólo si su gráfica admite una recta tangente (no vertical) en el punto (a, f(a)).
Más detallesSe suponen conocidos los siguientes conceptos previos desarrollados en las secciones 1, 2, 3.1 y 3.2:
112 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 15 Mayo 2006. TERCERA PARTE. SINGULARIDADES Y TEORÍA DE LOS RESIDUOS. Resumen Se estudian las singularidades aisladas: evitables, polos y esenciales
Más detallesTopología en R n. Continuidad de funciones de varias variables
. Continuidad de funciones de varias variables María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I (1 o Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática) M. Muñoz (U.P.C.T.) Continuidad
Más detallesFunciones reales de varias variables.
Tema 4 Funciones reales de varias variables. 4.1. El espacio euclídeo R n. Definición 4.1.1. Se define el producto escalar entre vectores de R n como la aplicación: ( ) : R n R n R : x y = (x 1, x 2,...,
Más detallesCÁLCULO II Funciones de varias variables
CÁLCULO II Funciones de varias variables Facultad de Informática (UPM) Facultad de Informática (UPM) () CÁLCULO II Funciones de varias variables 1 / 36 Funciones de varias variables Función vectorial de
Más detalles= f (a) R. f(x) f(a) x a. recta por (a, f(a)) de pendiente f(a+h2) f(a) recta tangente por (a, f(a)) de pendiente f (a)
1 1. DERIVACIÓN 1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRINCIPALES Definición 1.1. Derivada. Sea f una función definida en un intervalo abierto I con a I. Decimos que f es derivable en a si existe y es real el
Más detallesFunciones en R n Conceptos métricos y topológicos Límites y continuidad en R 2. Funciones en R n : nociones topológicas
Funciones en R n : nociones topológicas 1 Funciones en R n 2 Conceptos métricos y topológicos 3 Límites y continuidad en R 2 Definición Definición Llamaremos función escalar real de n variables reales,
Más detallesLas Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim
Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.
Más detalles2.11. Diferencial de funciones vectoriales.
2 Diferencial de funciones vectoriales Definición 2 Una función vectorial es una aplicación f : D R n R m tal que a cada vector x = (x, x 2,, x n D R n le hace corresponder un vector y = (y, y 2,, y m
Más detalles1. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES
1 1. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. LÍMITES Definición 1.1. Sea A R n. Una función real de varias variables es una aplicación f : A R n R m con f(x 1,..., x n ) = (y 1,...,
Más detallesPráctica 1. Continuidad Ejercicios resueltos
Práctica 1. Continuidad Ejercicios resueltos 1. Estudiar la continuidad de los campos escalares definidos por f(x, y) = x y x 2 + y 2 g(x, y) = x2 y x 2 + y 4 h(x, y) = x y2 x 2 + y 4 para todo (x, y)
Más detallesContinuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas.
Continuidad y Continuidad Uniforme. Aplicaciones lineales continuas. Beatriz Porras 1 Límites Las definiciones de ĺımite de funciones de varias variables son similares a las de los ĺımites de funciones
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesNormas Equivalentes. Espacios Normados de Dimensión Finita
Capítulo 2 Normas Equivalentes. Espacios Normados de Dimensión Finita Dos son los resultados más importantes que, sobre la equivalencia de normas, veremos en este capítulo. El primero de ellos establece
Más detallesVariable Compleja I. Maite Fernández Unzieta Universidad de Guanajuato Enero Junio Eugenio Daniel Flores Alatorre
Variable Compleja I Maite Fernández Unzieta Universidad de Guanajuato Enero Junio 2012 Eugenio Daniel Flores Alatorre Bibliografía Complex Analysis 3rd ed. Ahlfors Basic Complex Analysis Functions of one
Más detallesFunciones Reales de Varias Variables
Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 162 CONTENIDO Funciones
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesFunciones de varias variables. Continuidad
Capítulo 1 Funciones de varias variables. Continuidad 1. Topología en R n Definición (Norma, espacio vectorial normado). Una norma sobre R n es una aplicación: : R n [0,+ [ x x, que satisface las siguientes
Más detallesRaíz cuadrada. Superficies de Riemann
Raíz cuadrada Superficies de Riemann Aplicación: Circuito RLC (a) (b) Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (a): De la ley de Ohm con Aplicación: Circuito RLC Es más conveniente utilizar un voltaje
Más detalles15. Teoría de los residuos.
162 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 12 Julio 2006. 15. Teoría de los residuos. 15.1. Residuos. Definición 15.1.1. Residuo de una función en una singularidad aislada. Dada una función
Más detallesMAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas. g(z) e u(z) 1. u(z) a log z + b
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas 1. Sea u : C R una función armónica positiva. Pruebe que u es constante. Solución:
Más detalles3. Funciones de varias variables
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 17 3. Funciones de varias variables Función real de varias variables reales Sea f una función cuyo dominio es un subconjunto D de R n
Más detalles8. Consecuencias de la Teoría de Cauchy.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 8 Mayo 2006. 77 8. Consecuencias de la Teoría de Cauchy. 8.1. Principio del módulo máximo. Definición 8.1.1. Sea f una función continua en Ω. Se dice
Más detalles2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Mayo, 2009
Cálculo 2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables Mayo, 2009 Definición IR 2 = {(x 1,x 2 )/x 1 IR,x 2 IR} Sean dos puntos a y b, de coordenadas respectivas (a 1,a 2 ) y (b 1,b 2 ). Definición
Más detallesFunciones armónicas La parte real de una función holomorfa. Lección 10
Lección 10 Funciones armónicas En una segunda serie de aplicaciones de la teoría local de Cauchy, empezamos por analizar las propiedades de la parte real e imaginaria de una función holomorfa, funciones
Más detallesParte II. Cálculo Diferencial para Funciones de Varias Variables Reales
Parte II Cálculo Diferencial para Funciones de Varias Variables Reales Capítulo 5 Derivadas Direccionales y Derivadas Parciales Iniciamos, con este capítulo, el cálculo diferencial para funciones de varias
Más detallesFUNCIONES HOLOMORFAS
Capítulo 2 FUNCIONES HOLOMORFAS Problema 2.. Estudia en qué puntos son derivables en sentido complejo las siguientes funciones (z = x + iy): (a) f(z) = z α, con α > 0, (b) f(z) = xy, (c) f(z) = h(x), con
Más detallesGuía Semana 7 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
. RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08- Guía Semana 7 Teorema de la función inversa. Sea f : Ω Ê N Ê N, Ω abierto, una función de clase
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallessi existe un entorno V de a contenido en A, tal que la diferencia f(x) f(a) no cambia de signo cuando x V :
Capítulo 7 Extremos Relativos Una aplicación clásica del Teorema Local de Taylor es el estudio de los extremos relativos de una función escalar. Aunque la analogía con el caso de una variable es total,
Más detallesContinuidad. 5.1 Continuidad en un punto
Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos
Más detallesTema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones.
Tema 3.- Funciones y morfismos racionales sobre variedades. Explosiones. En lo que sigue k denotará un cuerpo algebraicamente cerrado. 3.1.- Funciones regulares sobre variedades afines. Sea Z un conjunto
Más detallesContenido. Números Complejos 3
Números Complejos Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Marzo,
Más detallesFunciones de Una Variable Real I. Derivadas
Contents : Derivadas Universidad de Murcia Curso 2010-2011 Contents 1 Funciones derivables Contents 1 Funciones derivables 2 Contents 1 Funciones derivables 2 3 Objetivos Funciones derivables Definir,
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesRecordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.
Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre
Más detallesReconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topología métrica.
3 Funciones continuas De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios métrico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no sólo en topología,
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesDerivada y diferencial
Derivada y diferencial Una cuestión, que aparece en cualquier disciplina científica, es la necesidad de obtener información sobre el cambio o la variación de determinadas cantidades con respecto al tiempo
Más detallesFunciones reales. Números complejos
Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica
Más detallesExamenes de Ecuaciones en Derivadas Parciales
Examenes de Ecuaciones en Derivadas Parciales Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Antonio Cañada Villar Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada Ingeniería de Caminos, Canales y
Más detallesEcuaciones de Cauchy-Riemann
Ecuaciones de Cauchy-Riemann Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de la vecindad (entorno), entonces f(z) es
Más detallesDerivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de
Más detallesTEMA 3: Funciones de varias variables: ĺımites y continuidad
TEMA 3: Funciones de varias variables: ĺımites y continuidad Cálculo Ingeniero de Telecomunicación Cálculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicación 1 / 69 1 Funciones Elementales 2 El conjunto R n Estructuras
Más detallesAnálisis Matemático I
Análisis Matemático I Los Teoremas de Valor Medio. Aplicaciones de clase C r Francisco Montalvo Departamento de Matemáticas. UEX Curso 2011/12 Contenido 1 Los teoremas de valor medio Los teoremas en una
Más detallesContenidos. Importancia del tema. Conocimientos previos para este tema?
Transformación conforme Contenidos Unidad I: Funciones de variable compleja. Operaciones. Analiticidad, integrales, singularidades, residuos. Funciones de variable real a valores complejos. Funciones de
Más detalles1. Funciones diferenciables
1. diferenciables Volvamos sobre el significado de la derivada de una función real de una variable real, Como vimos en el capítulo anterior, f : (a, b) R derivable en x 0, equivale a que f(x) f(x 0 ) =
Más detallesProblemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 2
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 2 Ejercicio 1 Demostrar que la función u(x, y cosh y sen x es armónica en el plano y construir otra función armónica v(x, y tal que u(x, y + iv(x,
Más detallesÍndice. Tema 7: Residuos y Polos. Singularidades aisladas. Singularidades evitables. Marisa Serrano, José Ángel Huidobro
Índice Marisa Serrano, José Ángel Huidobro 1 Universidad de Oviedo 2 email: mlserrano@uniovi.es email: jahuidobro@uniovi.es Singularidades evitables Definición 7.1 Una función f se dice que tiene en z
Más detallesCálculo I. Índice Derivada. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción La derivada Derivadas de orden superior
3.1. Derivada Julio C. Carrillo E. * Índice 1. Introducción 1 2. La derivada 3 3. Derivadas de orden superior 18 4. Conclusiones 19 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS. 1. Introducción El término derivabilidad
Más detalles1. Sucesiones. Sucesiones. Compacidad. {( 1) n, n N} = { 1, 1, 1, 1, 1, 1,... } es una sucesión de elementos del conjunto { 1, 1}, y la familia
1.. De una manera informal, una sucesión es una familia de elementos de un conjunto, ordenada según el índice de los números naturales. Los elementos pueden estar repetidos o no. Por ejemplo la familia
Más detallesa de un conjunto S de R n si
1 235 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura Definición.- Se dice que una función real f( x) tiene un máximo absoluto en un punto a de un conjunto S de R n si f( x) f( a) (2) para todo x S. El número
Más detallesEspacios conexos. 6.1 Conexos
Capítulo 6 Espacios conexos 6.1 Conexos Definición 6.1.1 (Conjuntos separados). Dado un espacio topológico (X, τ) y dos subconjuntos A, B X, diremos que A y B están separados si A B = A B = Es evidente
Más detallesProblemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4 Ejercicio Determinar las funciones enteras f para las que Solución f( + w) = f()f(w), w C. En primer lugar, f(0) = f(0 + 0) = f(0)f(0) = f(0) 2,
Más detallesEspacios métricos completos
5 Espacios métricos completos Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio métrico completo.
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación.
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES ) 3-1. Calcular, para las siguientes funciones. a) fx, y) x cos x sen y b) fx, y) e xy c) fx, y) x + y ) lnx + y )
Más detallesa) Analice la continuidad en (1,0). E1) Dada F : IR 2 π g : D IR 2 I R 2 2 2
Ejemplos de parcial de Análisis Matemático II Los ítems E1, E, E3 E4 corresponden a la parte práctica Los ítems T1 T son teóricos (sólo para promoción) T1) Sea F : IR IR diferenciable tal que F(,) 00 =
Más detallesTema 1: Conjuntos. Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla. Septiembre de 2017
Tema 1: Conjuntos Miguel Ángel Olalla Acosta miguelolalla@us.es Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Septiembre de 2017 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2017 1
Más detallesPROBLEMA 1 *( ) + SOLUCIÓN: Sea la superficie de la parte esférica superior, parametrizada con coordenadas cilíndricas de la siguiente manera:
PROBLEMA 1 A una esfera maciza de radio unidad se le hace una perforación cilíndrica siguiendo un eje diametral de la esfera. Suponiendo que el cilindro es circular de radio, con y que el eje que se usa
Más detallesTema 5. Series de Potencias
Tema 5. Series de Potencias Prof. William La Cruz Bastidas 21 de noviembre de 2002 Tema 5 Series de Potencias Definición 5.1 La sucesión de números complejos {z n } tiene un límite o converge a un número
Más detallesFUNCIONES DE DOS VARIABLES
FUNCIONES DE DOS VARIABLES - Funciones de dos variables reales - Límites 3- Continuidad de funciones de dos variables 4- Derivabilidad de funciones de dos variables 5- Diferenciabilidad de funciones de
Más detallesContinuidad Funciones reales de variable real. Tema 12
Tema 12 Continuidad El Análisis Real es la parte del Análisis Matemático que se ocupa de las funciones de una o varias variables reales. Iniciamos aquí el estudio del caso más sencillo: funciones reales
Más detallesCapítulo 4 Desarrollos en Serie de Taylor y de Laurent.
Capítulo 4 Desarrollos en Serie de Taylor y de Laurent. El desarrollo en serie de potencias, que comúnmente se restringe a potencias positivas en el campo real toma forma definitiva en el campo complejo
Más detallesCAMPOS ESCALARES TEMA 11 Y VECTORIALES
MATEMÁTICAS I (Ing. Téc. Sistemas de Telecomunicación) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Ing. Téc. Telemática) CAMPOS ESCALARES TEMA 11 Y VECTORIALES En términos abstractos un campo vectorial definido en
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesLección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos
Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto
Más detallesReglas Formales de Derivación
Capítulo 8 Reglas Formales de Derivación En este capítulo extenderemos a las funciones de varias variables las reglas del cálculo de derivadas para las funciones de una variable: regla de la cadena, fórmula
Más detalles13. Series de Laurent.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 3 Mayo 2006. 33 3. Series de Laurent. 3.. Definición de serie de Laurent y corona de convergencia. Definición 3... Serie de Laurent. Se llama serie
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS (DIFERENCIABILIDAD) f(x, y) = x 2 y 2 ln(x 2 + y 2 ) y determine si satisface o no la ecuación en derivadas parciales:
GUÍA DE EJERCICIOS (DIFERENCIABILIDAD) CÁLCULO III (OTOÑO 207) - Calcule las derivadas parciales f x y f y i) ln(y + x 2 + y 2 ) xy ii) +x 2 +y 2 iii) arcsin(x/y) iv) (x 2 + y 2 )e xy v) x2 y 2 x 2 +y
Más detallesPor ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}
Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.
Más detallesDefinición 11.1 Sea f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A. o
Capítulo 11 Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de aproximación de Taylor.
Más detallesELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL
ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Guillermo Ames Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba 2011 TEMA 1: NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIOS MÉTRICOS Espacios métricos: definición y ejemplos Definición
Más detallesNúmeros Complejos. Contenido. Definición
U Contenido Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica, Computación y Control Variable Compleja y Cálculo Operacional Números Complejos William La Cruz Números Complejos...3
Más detallesEl teorema de los residuos
Tema 2 El teorema de los residuos 2. Singularidades aisladas de una función Definición 2. Sea f: A C. Se dice que f tiene una singularidad aislada en el punto α A, si existe un E(α, r tal que la función
Más detalles1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:
Más detalles