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1 Capítulo 2 Funciones analíticas. Funciones armónicas. En este capítulo iniciamos el estudio de las funciones de variable compleja. Comenzamos con los conceptos de límite y continuidad en lc, conceptos que ya son conocidos del cálculo en varias variables pues la topología de lc coincide con la de l - R 2. Después se estudia la derivación de funciones complejas que, formalmente, es similar a la derivación de funciones reales de una variable. Para continuar el estudio de la derivación se observa que una función de variable compleja puede considerarse también como una función de dos variables con llegada en l - R 2. Comprobaremos que existe una relación entre la derivación compleja de una función f y su diferencial, considerada f como función en l - R 2. Esto conduce a las ecuaciones de Cauchy- Riemann. Para finalizar se estudian las funciones armónicas. Este tipo de funciones surgen en diversos campos de la Física y la Ingeniería Límites y continuidad Comenzamos recordando algunos conceptos de la topología de l - R 2. Dado a lc y ɛ > 0 se llama bola abierta de centro a y radio ɛ al conjunto B(a, ɛ) = {z lc : z a < ɛ}. Cuando estamos en lc suele denominarse disco abierto y se denota por D(a, ɛ). Dado subconjunto A de lc se dice que un punto a lc es interior a A si existe un ɛ > 0 tal que D(a, ɛ) A. El conjunto de los puntos interiores se denota o A. Un subconjunto A de lc se dice que es abierto si todos sus puntos son interiores, esto es, si para cada z A existe un ɛ > 0 tal que D(a, ɛ) A. Un subconjunto A se dice que es cerrado si su complementario lc \ A = {z lc : z / lc} es abierto. Ejemplo 2.1 El conjunto D(0, 1) es abierto. Cualquier bola abierta es un conjunto abierto. 10

2 11 Ejemplo 2.2 Los conjuntos de la forma D(a, ɛ) = {z lc : z a ɛ} son cerrados ( D(a, ɛ) se denomina disco cerrado o bola cerrada de centro a y radio ɛ ). Ejemplo 2.3 Los conjuntos lc y son simultáneamente abiertos y cerrados. Ejemplo 2.4 Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados como, por ejemplo, A = {z = x + yi lc : x 0, y > 0}. Se dice que un punto a lc es punto de acumulación de subconjunto A lc si para cada ɛ > 0 se verifica que D(a, ɛ) A contiene puntos distintos de a. No es difícil probar que si a es punto de acumulación de A la intersección D(a, ɛ) A contiene infinitos puntos. Ejemplo 2.5 El punto a = 0 es el único punto de acumulación del conjunto A = {1/n, n ln}. Obsérvese que 0 / A. Ejemplo 2.6 El conjunto de todos los puntos de acumulación del disco abierto D(0, 1) es el disco cerrado D(0, 1). Ejercicio 2.1 Sea A = z 1,..., z n un conjunto con un número finito de puntos. Demuestre que A no tiene puntos de acumulación. Ejercicio 2.2 Sea a lc un punto de acumulación de A lc. Demuestre que para cualquier ɛ > 0, D(a, ɛ) A contiene infinitos puntos. (Sugerencia: razone por reducción al absurdo suponiendo que existe un ɛ 0 > 0 tal que D(a, ɛ 0 ) A tiene un número finito de puntos). Definición 2.1 Sea A lc, a un punto de acumulación de A y f : A lc una función de variable compleja. Se dice que lím f(z) = l si ɛ > 0 δ > 0 tal que si 0 < z a < δ y z A entonces f(z) l < ɛ. Observemos que por ser a punto de acumulación la definición tiene sentido pues A D(a, δ) siempre es no vacío. El número δ depende, en general, de ɛ. Ejemplo 2.7 Demuestre que lím z 1 (z + i) = 1 + i. 1 Ejemplo 2.8 Demuestre que lím z 1 (z 1) no existe. Ejemplo 2.9 Demuestre que lím z 1 arg 0(z) no existe.

3 12 Un límite de una función de variable compleja puede considerarse como el límite de dos funciones reales. Dada una función f : A lc, puesto que lc coincide con l - R 2, podemos considerar sus funciones componentes, que son la parte real e imaginaria de f(z). Las denotamos por Re(f(z)) e Im(f(z)) y son funciones definidas sobre A y con llegada en l - R. Recordando del cálculo en varias variables que el límite de una función puede obtenerse como el límite de las funciones componentes, si z = x + iy se tiene que lím f(z) = l lím Re(f(x, y)) = Re(l) y lím (x,y) (Re(a),Im(a)) Im(f(x, y)) = Im(l). (x,y) (Re(a),Im(a))) En la proposición siguiente se enuncian las propiedades elementales de los límites de funciones de variable compleja, que son análogas a las de las funciones reales. Proposición 2.1 Sea A lc, f : A lc, g : A lc y a un punto de acumulación de A. Supongamos que lím f(z) = l y lím g(z) = h. Entonces 1. lím (f + g)(z) = l + h, 2. lím (f g)(z) = l h, 3. lím (c f)(z) = c l c lc, 4. lím (f/g)(z) = l/h, si h 0. Definición 2.2 Sea A lc, a un punto de acumulación de A que además pertenece a A y f : A lc. Se dice que f es continua en a si o, equivalentemente, si lím f(z) = f(a) ɛ > 0 δ > 0 tal que si z a < δ y z A f(z) f(a) < ɛ. La función f se dice que es continua en A si lo es en todos los puntos de A. De la proposición anterior se deduce que si f y g son continuas en un punto a entonces f + g, f g y f/g, si g(a) 0, son continuas en el punto a. Es sencillo comprobar que las funciones constantes son continuas y también f(z) = z, z lc. Deducimos entonces que los polinomios en lc son funciones continuas. Ejemplo 2.10 Demuestre que f(z) = Re(z) es continua en todo lc.

4 13 Proposición 2.2 Sean A subconjunto de lc, f : A lc, f(a) B y g : B lc. Sea a A punto de acumulación de A y b = f(a) B punto de acumulación de B. Si f es continua en a y g lo es en b, se verifica entonces que la función compuesta g f es continua en a. Ejemplo 2.11 Demuestre que h(z) = Re(z 2 ) es continua en lc. Ejercicio 2.3 Sea f(z) = z2 1 para z 1. Estudie si puede definirse f en el punto 1 de z 1 forma que la función resultante sea continua. Ejercicio 2.4 Estudie si puede extenderse arg 0 a los puntos del semieje real negativo de forma que la función resultante sea continua. Ejercicio 2.5 Demuestre, a partir de la definición, que f(z) = z, g(z) = Im(z) y h(z) = z son funciones continuas en todo lc. Ejercicio 2.6 Sea f : A lc una función continua en A. Pruebe que Re(f), Im(f), f y g(z) = f(z) también lo son Derivación En esta sección se estudia la derivación de funciones complejas. La definición es análoga a la de las funciones reales de variable real y, como veremos, el desarrollo de la teoría, formalmente, coincide con el caso real. Definición 2.3 Sea A lc, a un punto interior de A y f : A lc. Se dice que f es derivable f(z) f(a) en el punto a si existe lím. El valor del límite se denomina derivada de f en el z a punto a y suelen emplearse las notaciones f (a), df(a) ( ) df o dz dz. a Nótese que la función f puede no estar definida para algún valor de z y entonces f(z) carecería de sentido. Pero por ser a un punto interior de A siempre se puede encontrar un disco D(a, ɛ) contenido en A. Si z está suficientemente próximo al punto a, z D(a, ɛ) A y, entonces, f(z) sí está definido. Ejemplo 2.12 Si f(z) = k, con k lc, f es derivable en todos los puntos de lc y su derivada es la función nula.

5 14 Ejemplo 2.13 Sea f(z) = z, z lc. Pruebe que f (a) = 1 a lc. Proposición 2.3 Sea A lc, a un punto interior de A y f : A lc. Si f es derivable en a entonces f es continua en a. Proposición 2.4 Sea A lc, a un punto interior de A y f y g dos funciones complejas definidas en A. Si f y g son derivables en a se tiene que la suma f + g y el producto f g son derivables en a y se verifica (f + g) (a) = f (a) + g (a), (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a). Si además g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y (f/g) (a) = f (a) g(a) f(a) g (a) g(a) 2. De esta proposición se deduce que los polinomios de variable compleja son funciones derivables y su derivada se calcula como en el caso real. Proposición 2.5 (Regla de la cadena). Sean A y B subconjuntos abiertos de lc, f : A lc, f(a) B y g : B lc. Si f es derivable en a A y g lo es en f(a) B se tiene que la función compuesta g f es derivable en a y se verifica que (g f) (a) = g (f(a)) f (a). Ejemplo 2.14 Aplicando la regla de la cadena, obtenga la derivada de h(z) = (z 3 + z + 1) 24. Proposición 2.6 (Derivada de la función inversa). Sean A y B subconjuntos abiertos de lc, f : A B biyectiva y g : B A su función inversa. Sea a A y b = f(a) B y Supongamos que f es derivable en a con f (a) 0 y que g es continua en b. Se tiene entonces que g es derivable en b y se verifica que g (b) = 1 f (a). Ejemplo 2.15 Sea B = {r ϕ lc : r (0, + ), ϕ ( π, π)} y, para w B, sea g(w) = w arg0 (w)/2. Pruebe que g es derivable en todos los puntos de B y halle su derivada. Ejercicio 2.7 Sea B = {r ϕ lc : r (0, + ), ϕ (0, 2π)} y, para w B, sea g(w) = w argπ (w)/2. Pruebe que g es derivable en todos los puntos de B y halle su derivada. (Sugerencia: considere f(z) = z 2 definida sobre A = {r ϕ lc : r (0, + ), ϕ (0, π)} y aplique el teorema de la función inversa).

6 Condiciones de Cauchy-Riemann En la sección anterior hemos definido la derivada de una función f de variable compleja. Si tenemos presente que el conjunto de los números complejos es l - R 2, podemos considerar f como una función de dos variables con llegada en l - R 2 : f : A l - R 2 z = (x, y) f(z) = (u(x, y), v(x, y)) Podemos entonces considerar las derivadas parciales de u y v y estudiar la diferenciabilidad de f. En este apartado veremos que la derivación compleja y la diferenciación de f no son independientes. Para las derivadas parciales se utilizarán indistíntamente las notaciones siguientes: u x = u x = u 1 y u y = u y = u 2 Teorema 2.1 Sea f : A lc y sean u = Re(f) y v = Im(f). La función f es derivable en a + ib A o si, y solamente si, u y v son diferenciables en (a, b) y verifican las ecuaciones u x (a, b) = v y (a, b) (2.1) u y (a, b) = v x (a, b) (2.2) Se verifica además que f (a + ib) = u x (a, b) + iv x (a, b) = v y (a, b) iu y (a, b) Las ecuaciones anteriores se conocen como condiciones de Cauchy-Riemann. Recordemos de cálculo en varias variables que una condición suficiente para que una función sea diferenciable es que la función tenga derivadas parciales continuas. Se deduce entonces el corolario siguiente: Corolario 2.1 Si las funciones u y v tienen derivadas parciales en una bola centrada en (a, b), son continuas en (a, b) y verifican las condiciones de Cauchy-Riemann entonces f es derivable en a + bi. El resultado recíproco no es cierto. Ejemplo 2.16 Estudie en qué puntos son derivables las funciones siguientes y halle la derivada:

7 16 (a) f(x + iy) = x 2 y 2 + 2xyi. (b) g(x + iy) = e x (cos(y) + i sen(y)). (c) h(x + iy) = 2xy + i(x 2 + y 2 ). Ejercicio 2.8 Estudie dónde son derivables las funciones siguientes y calcule la derivada: (a) f(z) = z, (b) h(z) = z. Definición 2.4 Sea A un subconjunto abierto de lc y a lc. Se dice que una función f : A lc es analítica en a si f es derivable en un entorno de a. También se utiliza el término holomorfa. Se dice que f es analítica en A si lo es en todos los puntos de A. Una función que es analítica en todo lc se dice que es entera. Las funciones analíticas son de gran importancia en el estudio de las funciones de variable compleja. Como veremos más adelante, toda función analítica pueden expresarse como suma de una serie de potencias. Proposición 2.7 Sea A un subconjunto abierto y conexo de lc y sea f : A lc analítica en A y tal que f (z) = 0 z A. Entonces f es constante en A. Ejercicio 2.9 Estudie dónde son analíticas las funciones siguientes y calcule la derivada: (a) f(x + yi) = x 3 3xy 2 + i(3x 2 y y 3 ), (b) h(x + yi) = xy + i(y 2 x 2 /2). Ejercicio 2.10 Sea A un subconjunto abierto y conexo de lc y f : A lc analítica en A. Pruebe que si Re(f) = 0 entonces f ha de ser constante. Ejercicio 2.11 Pruebe que, en coordenadas polares, las condiciones de Cauchy-Riemann se expresan como u ρ (ρ, θ) = 1 ρ v θ 1 ρ u θ(ρ, θ) = v ρ. Ejercicio 2.12 Estudie dónde son analíticas las funciones, expresadas en polares, f(ρ, θ) = ρ cos(θ) + iρ sen(θ) y g(ρ, θ) = ρ 4 sen(4θ)) iρ 4 cos(4θ).

8 Funciones armónicas En esta sección estudiamos las funciones armónicas, que son aquellas que verifican la ecuación de Laplace, ecuación que surge en diversos campos de la Física. La relación con la variable compleja proviene de que, como veremos, las funciones armónicas pueden considerarse, bajo ciertas condiciones, como la parte real o la parte imaginaria de funciones analíticas. Definición 2.5 Sea A un abierto de l - R 2 y u C 2 (A) 1. Se dice que u es armónica si verifica la ecuación diferencial u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0, (x, y) A (2.3) Esta ecuación se conoce como ecuación de Laplace. Utilizando el operador de Laplace, también llamado Laplaciano, u(x, y) = u xx (x, y) + u yy (x, y), la ecuación se escribe (u) = 0, (x, y) A Ejemplo 2.17 Compruebe que u(x, y) = x 2 y 2 y v(x, y) = 2xy son armónicas. Proposición 2.8 Sea A un subconjunto abierto de lc y f : A lc. Sean u = Re(f) y v = Im(f) y supongamos que son C 2 en A. Si f es analítica en A entonces u y v son armónicas. En realidad, exigir que u y v sean C 2 en A es una hipótesis innecesaria pues, como veremos posteriormente, si f es analítica entonces admite derivadas de cualquier orden y, por tanto, u y v también. Ahora veremos un resultado recíproco. Recordamos que, de un modo gráfico, podemos decir que un subconjunto A de l - R 2 es simplemente conexo si la región encerrada por cualquier curva simple cerrada de A también está contenida en A. Todo l - R 2 y los discos (abiertos o cerrados) son ejemplos de conjuntos simplemente conexos. Una corona circular, por ejemplo B = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}, no es simplemente conexo. Proposición 2.9 Sea A un subconjunto abierto simplemente conexo de lc y u : A l - R, u C 2 (A). Si u es armónica en A entonces existe v : A l - R tal que f = u + iv es analítica en A. La función v se dice que es una armónica conjugada de u. Ejemplo 2.18 Pruebe que u(x, y) = y 3 3x 2 y es armónica y halle una armónica conjugada. (Solución: x 3 3y 2 x + C con C l - R). 1 u C 2 (A) significa que u tiene parciales continuas hasta el orden dos en todos los puntos de A.

9 18 Ejercicio 2.13 Estudie si u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (x, y) (0, 0), es armónica. Ejercicio 2.14 Halle, si existe, una función v(x, y) tal que f(x+yi) = 2xy+v(x, y)i sea entera y f(0, 0) = i.

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