Estamos acostumbrados a medir los ángulos en grados pero existen otras formas de hacerlo, entre ellas están los radianes.

Transcripción

1 Trigonometría

2 Radián Estamos acostumbrados a medir los ángulos en grados pero existen otras formas de hacerlo, entre ellas están los radianes. El radián es la medida del ángulo central de una cirunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. Dicho con otras palabras: gracias al radián podemos saber cuanto mide un arco conociendo el ángulo y el radio. Como tenemos el ángulo en grados (º) no podemos saber cuanto mide el arco que va del punto 1 al punto 2. Como tenemos el ángulo en radianes (rad) podemos saber cuanto mide el arco que va del punto 1 al punto 2 multiplicando el radio por el ángulo: Arco del punto 1 2=radio ángulo (rad)=4 0,25 π=1 π=3,1415

3 Grados y radianes Aunque matemáticamente los radianes son muy utiles ( muchísimo más que los grados) en el día a día no se utilizan porque decir 45º grados es fácil y todo el mundo lo entiende sin embargo si dics 0,25 pi radianes nadie lo hará. Por eso es útil saber pasar de una unidad a otra. 90 º π 2 rad Vamos a ver como pasar de grados a radianes y al revés. Cuántos radianes son 20 grados? 180º π rad 0 rad 0 º 360º 2 π rad Hacemos una regla de es a 180 lo que x es a Pi = x π x= π rad Cuántos grados son 1 radián? 270º 3 π 2 rad Nota: Normalmente dejamos Pi indicado en los radianes y lo utilizamos como decimal (3,1415 ) x 180 = 1 π en los grados. x=57,11 º

4 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo cateto opuesto seno = hipotenusa cateto contiguo coseno = hipotenusa cateto opuesto tangente = cateto contiguo sen(b) = b a sen(c) = c a cos(b) = c a cos(c) = b a tan(b) = b c tan(c) = c b Nota: El seno y el coseno se mueven entre los valores -1 y 1. La tangente, por otra parte, no tiene límite.

5 Cálculo de razones trigonométricas Para calcular el seno, el coseno o la tangente de un ángulo primero hemos de tener la calculadora en el modo correcto. Para ello pulsamos la tecla MODE y luego en el valor de Deg( Grados). Si queremos trabajar con radianes debemos pulsar Rad. Nunca pulsar Grad, esa tecla sirve para trabajar con gonios. Para calcular las razones trignonometricas de un ángulo cualquiera basta con pulsar la tecla sin, cos o tan, dependiendo de lo que queremos pulsar y a continuación poner el ángulo. Por ejemplo, para obtener el seno de 50º primero pulsaríamos sin, luego escribimos 50 y finalmente pulsamos igual. sen(50º)=0, cos(50º)=0, tan(50º)=1, Nota: Es conveniente utilizar al menos 3 decimales ya que si no, como veremos en los ejercicios, los resultados pueden variar un poco.

6 Cálculo de razones trigonométricas inversas En muchas ocasiones nos vamos a encontrar con que lo que sabemos es el valor del seno, el coseno o la tangente. En estos casos recurrimos a las funciones arco: arcoseno, arcocoseno y arcotange; las funciones inversas del seno, coseno y tangente. Para calcular un ángulo conociendo sus razones trigonométricas con la calculadora tan solo debemos pulsar primero la tecla shift. Por ejemplo, para conocer el ángulo cuyo seno vale 0,5 hacemos lo siguiente: 1-.Shift 2-.sin 3-.0,5 4-.Igual Arcosen(0,5)=30º Arcocos(0,5)=60º Arcotan(0,5)=26,5650,,,º

7 Relaciones fundamentales Primera relación fundamental Vamos a elevar al cuadrado el seno y el coseno a ver que pasa... sen(b) = b a cos(b) = c a Aquí aplicamos Pitágoras sen 2 (B)+cos 2 (B)=( b a ) 2 +( c a ) 2 = b2 a 2 + c2 sen 2 (B)+cos 2 (B)=1 a 2= b2 +c 2 a 2 = a2 a 2 =1 Segunda relación fundamental Vamos a dividir el seno entre el coseno a ver que pasa... b sen( B) cos(b) = a = b c c =tan(b) a sen( B) =tan( B) cos(b)

8 Circunferencia goniométrica La circunferencia centra en el origen de coordenadas y de radio 1 recibe el nombre de circunferencia goniométrica. Los ejes dividen a la circunferencia en 4 cuadrantes. 90 º 2º Cuadrante 1º Cuadrante Los ángulos positivos se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj. 180º 0 º 360º 90 º 3º Cuadrante 270º 4º Cuadrante Los ángulos negativos se representan en el sentido de las agujas del reloj. 180º 270º 0 º 360º

9 Ángulos mayores de 360 grados Como representamos un ángulo superior a 360º en la circunferencia goniométrica? Es fácil La representación de ese ángulo será igual que el resto de dividir ese ángulo entre 360. Por ejemplo, vamos a representar Puesto que el resto es 90, 1170º equivaldría a 90º. Es decir hemos dado 3 vueltas completas y 90 grados más.

10 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 1º Cuadrante 2º Cuadrante Para recordar esto basta con pensar en el eje x como el coseno y el eje y como el seno. 3º Cuadrante 4º Cuadrante

11 Ángulos opuestos

12 Ángulos relacionados con 180º Cuando tenemos ángulos que son 180+α o 180-α el valor numérico del seno, coseno y tangente se mantiene y solo cambia los signos según el cuadrante en el que se encuentre. sen(50º)=0, º+50º=230º sen(230º)= - 0, º-50º=130º sen(130º)=0,766 cos(50º)=0,642 cos(230º)= - 0,642 cos(130º)= - 0,642 tan(50º)=1,191 tan(230º)=1,191 tan(130º)= - 1, º y 50º son ángulos suplementarios ya que =180

13 Ángulos relacionados con 90º Cuando tenemos ángulos que son 90+α o 90-α el valor numérico del seno, coseno se intercambian y el de la tangente se cambia por su inverso. También cambian los signos según el cuadrante. sen(50º)=0,766 90º+50º=140º sen(140º)= 0,642 90º-50º=40º sen(40º)=0,642 cos(50º)=0,642 cos(140º)= - 0,766 cos(40º)= 0,766 tan(50º)=1,191 tan(140º)=-1/1,191= -0,839 tan(130º)= 0,839 40º y 50º son ángulos complementarios ya que 50+40=90

14 Valores usuales