Medidas de Tendencia Central

Transcripción

1 Medidas de Tendencia Central En un análisis estadístico, el promedio o centro físico de una distribución de datos de una variable en estudio es de interés fundamental. Aquellas medidas que se acerquen al promedio o centro de físico de un conjunto de datos, aportarán un indicativo primordial de las observaciones que serán descritas, ya que el comportamiento de todas las poblaciones estadísticas, han de describir una tendencia importante a través de estas medidas. Para ilustrar lo anterior, supóngase que se quiere emprender un negocio de venta de empanadas. Un aspecto importante a conocer es la cuantificación del grado de aceptación promedio de las empanadas que se han de vender. Es decir, es importante determinar si a la mayoría de los consumidores, en promedio, les gustará el sabor de las empanadas que se prepararán. Para ello se puede tomar una muestra de

2 unos 25 consumidores de empanadas y se les da a probar la misma pidiendo que le asignen una calificación del 1 al 10 a la calidad del sabor de la empanada. A partir de la calificación aportada por los consumidores, la cual fue cuantificada a través de los números del uno al diez, se puede calcular un promedio para tener una medida que indique el grado de aceptación del producto. La determinación de un promedio marcará la tendencia del número mayoritario de consumidores que aceptan o rechazan el producto. Esto será clave para el futuro éxito del negocio. Otra ilustración es la cuantificación del rendimiento obtenido por una sección de estadística en una prueba parcial. Unos buenos indicativos del rendimiento general son la determinación de la calificación promedio y la calificación central obtenida por la sección de estudiantes de la asignatura evaluada, si éstas previamente, se organizan en orden de magnitud. También sería de gran importancia saber cual calificación o calificaciones fueron las más obtenidas por los estudiantes. La obtención de estas tres medidas, aportaría un indicativo relevante acerca del grado de dificultad u otro aspecto que determinó el rendimiento de la prueba. A las medidas que proporcionan un indicativo del centro de una distribución, se les da la denominación de medidas de tendencia central. A estos valores se les llama parámetros cuando se calculan a partir de la población total y estadísticas o estimadores cuando se calculan a partir de los datos de una muestra. Las medidas de tendencia central que se estudiarán son: La media, la mediana y la moda. 4.1 La Media Aritmética Es aquella medida que representa un promedio o centro físico de los datos. Esta se puede calcular cuando la variable en estudio es cuantificable numéricamente. La media es uno de los valores más representativos de una distribución de datos, cuando la distribución es aproximadamente simétrica.

3 1.) Cálculo de la Media en datos no agrupados: X n i 1 n x i 2.) Cálculo de la Media en datos agrupados en clases o categorías: X k fi. X i 1 n i x i : representa el i-ésimo dato de la colección. n : representa el número de datos. fi : f 1, f 2, f 3,..., f k son las frecuencias de las k clases. X i : X 1, X 2, X 3,, X k : son las marcas de las k clases. La media no es un buen representante del conjunto de observaciones en estudio, cuando aparecen valores extremos, es decir, es afectada cuando hay valores muy altos o muy bajos con respecto a los demás valores correspondientes a las observaciones en estudio Lo anterior se puede ilustrar planteando lo siguiente: supóngase que se quiere calcular el promedio de estatura de 15 empleados del departamento de publicaciones de una empresa. Supóngase que en este departamento hay tres jugadores de básquet muy altos. Las estaturas extremas de estos tres empleados, afectarán el promedio real de estatura de los empleados de este departamento. Es decir, el promedio calculado, no representará un buen indicativo del conjunto de estaturas de los empleados del departamento de publicaciones. La media se denota a través de X cuando se calcula a partir de los datos de una muestra y se llama en forma general, estadística o estimador poblacional; pero cuando se calcula a partir de la población total,

4 se denota a través de y se le llama en forma general, parámetro poblacional La media de la población es un valor fijo. En cambio, la media muestral X, el cual es un estimador de la media poblacional, es una variable ya que su valor depende en cada caso, de la muestra tomada al azar considerada La media o promedio de las medias de todas las posibles medias muestrales (medias calculadas a muchas muestras aleatorias de tamaño n ), coincide con la verdadera media de la población 4.2 La Mediana Es el valor de posición central, de un conjunto de observaciones que están ordenadas en forma creciente o decreciente. X(1), X(2), X(3),..., X(n) (Sucesión de observaciones ordenadas en orden creciente de magnitud). La mediana divide, el conjunto de observaciones en dos partes iguales, dos partes de 50% cada una. 1.) 2.) Lri: Límite real inferior de la clase medianal. n : Número de datos. F(m 1): Frecuencia acumulada que antecede a la frecuencia acumulada de la clase medianal. fm : Frecuencia de la clase medianal. li.c.: Longitud del intervalo de clase de la clase medianal.

5 Cómo encontrar la clase que contiene la mediana (Clase Medianal)? Se efectúa el cociente 2 n, el resultado se busca en la celda de la frecuencia acumulada que tenga la menor valor que contenga a 2 n. La mediana es usada como indicador central cuando la media no resulta ser un buen indicativo del centro físico de los datos, por haber sido afectada por algunas observaciones o datos extremadamente altos o bajos fuera del contexto numérico regular que presenta la distribución La mediana, no es afectada por observaciones extremas, pero no se presta a manipulaciones algebraicas como la media 4.3 La Moda Esta medida está muy relacionada con su nombre Moda (la tendencia más usada), ya que la misma está definida como la observación que más se repite o que se da con mayor frecuencia. La moda es un valor descriptivo fácil de ver y entender. 1.) Cálculo de la Moda en datos no agrupados: Se ordenan los datos en forma creciente X(1), X(2), X(3),..., X(n), luego se ubica la moda por simple observación. 2.) Cálculo de la Moda en datos Xˆ = agrupados en clases o categorías: d1 Lri d d 1 2. li.c. Lri : Límite real inferior de la clase modal. d 1 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia que antecede a la de la clase modal. d 2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia que precede a la de la clase modal. li.c.: Longitud del intervalo de clase de la clase modal.

6 Cómo encontrar la clase que contiene la moda (Clase Modal)? La clase modal es la clase con mayor frecuencia (f i). La moda tiene la desventaja de que su importancia disminuye, a medida que el número de observaciones aumenta y cuando se presentan muchas modas Ejemplo 34 : Considérese la colección de observaciones adjuntas que corresponde a las calificaciones obtenidas por un grupo de 11 (n = 11) estudiantes en Estadística I. Calificaciones (n = 11) x 1 x 2 x 3 X 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 Calcule la media ( X ), la mediana ( X ~ ) y moda ( Xˆ ) de las observaciones dadas. Desarrollo Nótese que los datos dados corresponden a datos no agrupados; es decir, son pocos (n < 15) y no están organizados en una tabla de de frecuencias. Cálculo de la Media Calificaciones (n = 11) x 1 x 2 x 3 X 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x xi 1 X i = = 49 Cálculo de la Mediana Calificaciones (Orden Creciente) x (1) x (2) x (3) X (4) x (5) x (6) x (7) x (8) x (9) x (10) x (11)

7 Como n = 11 es impar se procede como sigue: Cálculo de la Moda X ~ = x = x(6) = Calificaciones (Orden Creciente) x (1) x (2) x (3) X (4) x (5) X (6) x (7) x (8) x (9) x (10) x (11) Nótese que al ordenar los datos en forma creciente se puede observar que la moda es X ˆ 36, ya que es el dato que más se repite. En una colección de observaciones puede haber dos o tres modas; en este caso se está en presencia de distribuciones bi-modales o tri-modales respectivamente Ejemplo 35 : Utilice los datos tabulados de la distribución de frecuencias de la Tabla A del Ejemplo 26 para calcular la media ( X ), la mediana ( X ~ ) y moda ( Xˆ ). Desarrollo Nótese que los datos de la Tabla A del Ejemplo 26 corresponden a datos agrupados (n 30) y están organizados en una tabla de distribución de frecuencias. Cálculo de la Media Clases Intervalos Limites Reales f i X i f i X i Clase Clase Clase Clase Clase Clase Clase

8 7 f i. X i 1 X i = = Se concluye que el promedio de las estaturas de los 50 alumnos del curso de Estadística de la UNET es de pulgadas aproximadamente. Cálculo de la Mediana Clase Medianal Clases Intervalos Limites Reales f i F i Clase Clase Clase Clase Clase Clase Clase F (m 1) f m Se calcula la clase medianal: n 50 = = 25; se busca en la casilla de Fi de menor valor que la contenga. 2 2 En éste caso F 4 = 31 la contiene 2 n = 25 F4 = 31; por lo tanto la Clase 4 es la clase medianal. Luego se sustituye los valores de la formula usando los datos de la clase medianal = X ~ = Se concluye que el 50% de los estudiantes el curso de Estadística de la UNET tiene su estatura por debajo o por encima de 63.3 pulgadas aproximadamente. Forma Matemática de Calcular la Mediana Existe una forma matemática de calcular la mediana en datos agrupados en clases y categorías. Esta forma de calcular la mediana basa en propiedades de proporcionalidad. El mecanismo se realiza de la

9 n 50 siguiente manera: La posición = = 25; se busca en la casilla de Fi de 2 2 menor valor que la contenga. En éste caso F4 = 31 la contiene 2 n = 25 F4 = 31; se construye la razón de proporcionalidad con la clase medianal Clase 4 y la anterior Clase 3, es decir: L.r.s. Clase X ~ 25 L.r.s. Clase Luego, la relación de proporcionalidad que contiene a la mediana queda: ~ X = ~ X = 9 15 ~ X Cálculo de la Moda Clase Modal Clases Intervalos Limites Reales Clase Clase Clase Clase Clase Clase Clase f i Frecuencia que antecede a la clase modal Frecuencia que precede a la clase modal

10 Se ubica la clase modal: La casilla que posee la mayor frecuencia es f 4 = 15. Por lo tanto la clase modal es la Clase 4. d 1 = 15 9 = 6 d 2 = = 3 Xˆ Se concluye que la mayoría de los estudiantes del curso de Estadística de la UNET, tienen una estatura aproximada a 63.5 pulgadas. Otra Forma de Calcular la Moda Una manera práctica de calcular la moda en datos agrupados en clases y categorías, es aproximarla a la marca de clase (Xi) del intervalo moda. Para el caso de este ejemplo, se tiene que aproximadamente la moda es: Xˆ = Xi = 63 Cuando se tiene un conjunto de observaciones agrupados en clases o categorías, todas las medidas descriptivas que se calculan, son medidas descriptivas aproximadas de este conjunto 4.4 Representación Gráfica de la Mediana La mediana se representa gráficamente a través de la ojiva. Para ello se ubica la posición de la mediana en el eje vertical (F i); luego desde la posición de la mediana y perpendicular a ésta y al eje vertical, se traza una línea que corte la gráfica, luego desde ese punto de corte se traza una línea que corte en forma perpendicular el eje horizontal que es donde se encuentra la mediana ( X ~ ). Ejemplo 36 : Represente gráficamente la mediana ( X ~ ) calculada en el Ejemplo 35. Desarrollo

11 4.5 Representación Gráfica de la Moda La moda se representa gráficamente a través del histograma. Para ello se hacen dos líneas rectas transversales que unen los vértices opuestos de las barras que están a cada lado de la barra más alta con los vértices de la misma. Desde éste punto de corte se traza una línea recta que corte el eje horizontal que es donde está la moda. Ejemplo 37 : Represente gráficamente la moda ( Xˆ ) calculada en el Ejemplo 35.

12 Entre la Media, la Moda y la Mediana existe una relación aritmética que es válida para datos que provienen de poblaciones estadísticas que son moderadamente sesgadas; esta relación es: X Xˆ ~ 3 X X Cuando se habla de representaciones poblacionales a través de curvas de frecuencias se puede decir: 1.) Cuando la curva es significativamente sesgada a la derecha, la mediana y la moda representan un mejor indicativo del centro de la distribución. Moda Mediana Media Sesgada a la Derecha 2.) De igual manera, cuando la curva es significativamente sesgada a la izquierda, la mediana y la moda también representan un mejor indicativo del centro de la distribución de los datos. Media Mediana Moda Sesgada a la Izquierda

13 3.) Cuando la curva es moderadamente simétrica, la media representa un mejor indicativo del centro de la distribución de los datos. Media Moda Mediana Simétrica 4.6 Media Ponderada Es aquella en la que cada elemento está afectado por un factor de importancia o peso. Considérese la sucesión de datos x1, x2, x3,..., xn y la sucesión de factores de peso w1, w2, w3,..., wn. Entonces la media aritmética ponderada esta dada por: Xp w x 1 1 w w 1 2 x 2 w 2 w 3 w 3 x 3... w... w n n x n Ejemplo 38 : Considérese el cuadro adjunto que contiene las calificaciones de un estudiante de la Universidad Nacional Experimental del Táchira de un semestre culminado: Asignatura Calificación Factor de Peso Cálculo 5 5 Física 6 4 Idiomas 8 3 Estudios Generales 9 3 Laboratorio de Física 7 2 Calcule el promedio ponderado de éstas calificaciones.

14 Desarrollo Se tiene que: x1 = 5 ; x2 = 6 ; x3 = 8 ; x4 = 9 ; x5 = 7 w1 = 5 ; w2 = 4 ; w3 = 3 ; w4 = 3 ; w5 = 2 Luego: (5)(5) (6)(4) (8)(3) (9)(3) (7)(2) p X X p 6.7 Se concluye que el promedio ponderado de las calificaciones del estudiante es de 6.7 puntos. 4.7 Media Geométrica Es aquella cuya utilidad es prestada en el promediar proporciones de variación. Considérese la sucesión de datos x1, x2, x3,..., xn. La media geométrica se define como la raíz n-ésima del producto de los datos que conforman la muestra: G n x1. x2. x3.,...,. x n Ejemplo 39 : Supóngase que las ventas de una empresa de telecomunicaciones se ilustran en el cuadro adjunto,

15 Año Ventas 2000 El doble (2) de las ventas de Tres medios (3/2) de las ventas del Cinco cuartos (5/4) de las ventas del 2001 Calcule la media geométrica de estos datos. Desarrollo x1 = 2 ; x2 = 3/2 ; x3 = 5/4 Luego: G = G = 1.55 Se concluye que la proporción promedio de crecimiento de la empresa en sus ventas es de un 155% por año en el período de los años citados. 4.8 Media Armónica Es aquella que se utiliza si las observaciones se expresan inversamente a como se expresa el promedio buscado. Considérese la sucesión de datos x1, x2, x3,..., xn. La media armónica es: H 1 x 1 1 x 2 n 1 x x n Ejemplo 40 : Supóngase que un mayorista ha gastado Bs en carteras para damas en cada una de tres tiendas diferentes, tal y como se ilustra en la tabla adjunta,

16 Tienda Precio por unidad Tienda 1 Bs Tienda 2 Bs Tienda 3 Bs Cuál es el precio promedio que el mayorista ha pagado por estas carteras para dama? Desarrollo Nótese que los datos se expresan como tantos artículos por peso y lo que se quiere saber es la cuantía pagada por artículo. En este caso se aplica la media armónica y el precio promedio pagado por artículo es: H H = ,73 Se concluye que el precio promedio que el mayorista ha pagado por cartera para damas es de aproximadamente Bs

17 Ejercicios del Capítulo IV 1.) Las puntuaciones obtenidas por 15 alumnos de educación media en una prueba de matemática fueron las siguientes: Organice éstos datos en un Rol de Frecuencias. Luego calcule la media, la mediana y la moda. 2.) La altura de 24 árboles de cierta edad en Lobatera Estado Táchira, se ilustran en la tabla adjunta: Población Física: Árboles Población Estadística: Altura Muestra: 24 Pinos de Lobatera Organice éstos datos en un Rol de Frecuencias. Luego calcule la media, la mediana y la moda.

18 3.) Supóngase que se juegan dos dados regularmente 70 veces y se registra la suma de puntos obtenidos en cada jugada. Lo anterior se resume en la tabla adjunta: Suma de Puntos de Ambos lados Total Frecuencia (f i ) Calcule la media de estos valores. 4.) Se prueba el tiempo de duración de un tipo de bombillo para determinar su vida útil. Los resultados fueron los siguientes: Duración en # de días Número de Bombillos Total 40 Calcule el promedio de duración de estos bombillos. 5.) Suponga que se les realiza un test de Geometría a 50 aspirantes a estudiar Arquitectura en la Universidad Nacional Experimental del Táchira.

19 Los resultados fueron los siguientes: Calcule la media, la mediana y la moda. Luego, realice una representación gráfica de la mediana y la moda. 6.) Los siguientes datos corresponden al tiempo en minutos que han necesitado 30 estudiantes de Ingeniería Industrial de la UNET para llevar a cabo del pago del arancel de inscripción en el banco: ,1 6.3 Calcule la media, la mediana y la moda. Luego, realice una representación gráfica de la mediana y la moda. 7.) Los colores de los automóviles de 36 profesores del departamento de Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental del Táchira: Verde Azul Rojo Verde Crema Amarillo Plateado Dorado Blanco Azul Marrón Negro Rojo Verde Amarillo Marrón Negro Azul Azul Rojo Plateado Crema Blanco Verde

20 Rojo Blanco Plateado Verde Azul Crema Marrón Rojo Verde Amarillo Negro Amarillo Determine la moda de estos datos. 8.) Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg. de un grupo de 45 empleados de una empresa de telecomunicaciones: Calcule la media, la mediana y la moda. Luego, realice una representación gráfica de la mediana y la moda. 9.) En un examen de estadística de la Universidad Nacional Experimental del Táchira de una muestra de 50 estudiantes de estudiar Ingeniería Mecánica, se obtuvieron los siguientes resultados: Realice un proceso análogo al del ejercicio anterior, pero utilice como longitud del intervalo l = 5.

21 10.) Considérese los datos adjuntos en la tabla dada a continuación: Complete la tabla dada a continuación. Luego calcule la media, la mediana y la moda realizando una representación gráfica de éstas medidas. Clases I.C. f i F i X i f i /n F i /n Total 11.) Calcule costo promedio de los productos alimenticios dados en la tabla adjunta:

22 Alimento Costo por Unidad Cantidad Arroz Bs Mantequilla Bs Azúcar Bs Pasta Bs Queso Bs Aceite Bs Calcule la media aritmética ponderada para obtener el costo promedio de los productos. 12.) Considérese la tabla adjunta que ilustra el rendimiento de un estudiante sometido a un tipo de entrenamiento especial: Niveles de Entrenamiento Nivel I Nivel II Nivel III Nivel IV Calificación El triple de cuando empezó El doble de cuando curso el nivel I Tres medios de cuando curso el nivel II Seis quintos de cuando curso el nivel III Calcule la media geométrica de la tabla anterior. 13.) Calcule la media respectiva a la preferencia de un producto calculada en 4 distintos supermercados en los cinco días hábiles de la semana. Supermercado A Supermercado B Supermercado C Supermercado D

23 ) Calcule la media en una distribución de datos moderadamente sesgada donde la moda es 3.5 y la mediana es ) El número de personas que hacen cola en la taquilla de un cajero automático de un banco, se distribuye como sigue: Longitud de la Cola Probabilidad Supóngase que al usar números aleatorios, se han obtenido los valores: Obtenga una muestra aleatoria de tamaño n = 15 siguiendo los pasos que se indican a continuación: 1. Se utilizan los dos últimos dígitos de los números de la tabla anterior:

24 2. Si se tiene un número aleatorio entre 00 y 24, anote una longitud de 0; si es entre 25 y 60, anote una longitud de 1; si es entre 61 y 80, anote una longitud de 2; si es entre 81 y 91, anote una longitud de 3; si es entre 92 y 97, anote una longitud de 4, y si es entre 98 y 99, anote una longitud de 5. A) Ilustre la muestra aleatoria a través de una tabla de frecuencias. B) Calcule la media, la medina y la moda. 16.) Calcule la media geométrica de los siguientes datos: 1, 3, 5, 7 y ) Utilice la media armónica para calcular el tiempo promedio requerido por unidad de producción en una empresa si se trabajan 8 horas diarias. Use los datos de la tabla adjunta: Trabajador Producción por hora A 45 unidades B 40 unidades C 55 unidades 18.) Considérese la tabla de datos del Ejemplo 25. Compruebe si se cumple aproximadamente la relación empírica entre la media, la moda y la mediana ~ X Xˆ 3 X X.