MATEMÁTICAS: 4ºA ESO Capítulo 1: Números reales LibrosMareaVerde.tk

Transcripción

1 MATEMÁTICAS: ºA ESO Cpítulo : Números reles

2 6. DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS Índice.. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS, FRACCIONES Y DECIMALES.. NÚMEROS RACIONALES. FRACCIONES Y EXPRESIONES DECIMALES.. NÚMEROS IRRACIONALES. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.. DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS. POTENCIAS.. REPASO DE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL.. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.. OPERACIONES CON RADICALES.. NOTACIÓN CIENTÍFICA. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS REALES:.. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES.. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS REALES:. INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS:.. INTERVALOS. TIPOS Y SIGNIFICADO.. SEMIRRECTAS.. ENTORNOS Resumen Y conoces los números nturles, los números enteros y los números rcionles. En este cpítulo vmos estudir los números reles que están formdos por los números rcionles y los irrcionles. El número de oro en l Giocond Con lgunos números reles irrcionles y te hbís encontrdo, como con, o con π Pero hy muchos, muchos más. Hy muchos más números irrcionles que rcionles. Y te preguntrás, cómo se puede decir eso si son infinitos? Result que hy unos infinitos más grndes que otros. Al infinito de los números nturles se le denomin infinito numerble. El infinito de los números enteros y de los números rcionles tmbién es infinito numerble, pero el de los números reles y no es numerble, es mucho myor, se le denomin l potenci del continuo. Un de ls propieddes más importntes de los números reles es su relción con los puntos de un rect, por lo que prenderemos representrlos en l rect rel en l que no dejn gujeros.

3 7 En este primer cpítulo vmos repsr muchs coss que y conoces, como ls operciones con los números, representr los números en un rect, ls potencis Si todo eso lo domins suficientemente, lo mejor es que pses muy depris por él, y dediques tu tiempo otros cpítulos que te resulten más nuevos. Sin embrgo, seguro que hy pequeños detlles que sí pueden resultrte nuevos, como por ejemplo que los números irrcionles, junto con los números rcionles formn el conjunto de los números reles, y que cd número rel le corresponde un punto de l rect (propiedd que y tenín los números rcionles) y cd punto de l rect le corresponde un número rel. Por eso, l rect numéric l vmos llmr rect rel. Empezmos con un problem pr que mids lo que recuerds sobre operciones con frcciones:. Ls perls del rjá: Un rjá dejó sus hijs cierto número de perls y determinó que se hicier del siguiente modo. L hij myor tomrí un perl y un séptimo de lo que quedr. L segund hij recibirí dos perls y un séptimo de lo restnte. L tercer joven recibirí tres perls y un séptimo de lo que quedr. Y sí sucesivmente. Hech l división cd un de ls hermns recibió el mismo número de perls. Cuánts perls hbí? Cuánts hijs tení el rjá?. DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS.. Operciones con números enteros, frcciones y decimles Operciones con números enteros Recuerd que: Los números nturles son: = {,,.}. Eisten ocsiones de l vid cotidin en ls que es preciso usr números diferentes de los números nturles. Fíjte en estos ejemplos: Ejemplos: Si se tienen 0 y se gstn 0 euros, se tendrá un deud de 0 euros, es decir 0. Cundo hce mucho frío, por ejemplo grdos bjo cero, se indic diciendo que hce ºC. Al bjr en scensor l sótno, hs bjdo l piso. Los números enteros son un mplición de los números nturles ( ). Los números enteros positivos son los números nturles y se escriben precedidos del signo +: +, +, +, +, + Los enteros negtivos vn precedidos del signo :,, El cero es el único número entero que no es ni negtivo ni positivo y no llev signo. El conjunto de los números enteros se represent por : = {,,, 0,,, }. Recuerd que: Pr sumr (o restr) números enteros podemos sumr por un ldo todos los números enteros positivos, y los negtivos por otro, restndo el resultdo. Si, b y c son números enteros entonces:

4 8 8b c b c + b c 6b c = 0b c b c = b c Pr multiplicr o dividir números enteros se tiene en cuent l regl de los signos. (+) (+) = +0 ( ) ( ) = + (+) ( ) = 0 ( 6) (+) = 0. Reliz ls siguientes operciones: ) +8 + ( ) (+6) b) 6 + ( 7) : (+7) c) +8 ( 6) : ( 9 9) d) +b + (+7) (+6b 8b) e) 7 b [+ b ( 6 b) : (+6)] f) +9 + [+ + ( 8) ( )]. Utiliz l jerrquí de operciones pr clculr en tu cuderno:. 6 ( ) ( 7) + 0 b. 8 (+) + ( ) c. ( ) (+9) ( 6) ( 7) + ( ) (+) d. ( ) (+6) ( 9) (+8) (+) ( 7) Operciones con frcciones Recuerd que: m Un frcción es un epresión de l form donde tnto m como n son números enteros. Pr n referirnos ell decimos "m prtido por n"; m recibe el nombre de numerdor y n el de denomindor. Ls frcciones cuyo numerdor es myor que el denomindor reciben el nombre de frcciones impropis. Ls frcciones cuyo numerdor es menor que el denomindor reciben el nombre de frcciones propis. Pr sumr o restr frcciones que tienen el mismo denomindor se reliz l sum, o l rest, de los numerdores y se mntiene el mismo denomindor. Pr sumr o restr frcciones con distinto denomindor, se reducen común denomindor, buscndo el mínimo común múltiplo de los denomindores. Ejemplos: ) b) Los denomindores son diferentes, y. Su mínimo común múltiplo es. Al dividir entre nos d y l hcerlo entre obtenemos.. Efectú ls siguientes operciones con frcciones: 7

5 9 ) 7 b) 7 ( 7) 9 ( c) 9) ( ) 8 d) e) f) g) : h) 6 : i) :. Simplific ls siguientes frcciones: ) 9 b) c) 6 9 : d) Operciones con epresiones decimles Un epresión deciml const de dos prtes: su prte enter, el número que está l izquierd de l com y su prte deciml, lo que se encuentr l derech de l com. Observ que: L com se puede escribir rrib:, o bjo:,, e incluso en Estdos Unidos se utiliz un punto:.. En este cpítulo vmos escribir l com bjo. Pr sumr o restr epresiones decimles, bst conseguir que tengn el mismo número de cifrs decimles. ),7 + 8, 0,0 =,70 + 8, 0,0 = 07, 80 b), ,06 =, 6,00 =, Pr multiplicr dos epresiones decimles, se multiplicn ignorndo l com que posee cd un de ells. Al resultdo de ese producto se le pone un com pr que surj un epresión deciml con un prte deciml de longitud igul l sum de ls cntiddes de cifrs decimles que tienen ls epresiones decimles multiplicds.,7, 7, = 0,6 Pr dividir epresiones decimles igulmos el número de cifrs decimles de mbos números, y luego dividimos. 6. Reliz ls operciones: 9, ' 8 9, 0 ' ),, 97 b), 6, 7 c),, 8 d) 9, 7, e),, 8 8, f) 6, 77, 6, g), 6, h),,, i),,, j) (, 0, ) k), (, ) l), 9 (, 8, 97), 9

6 0.. Números rcionles. Frcciones y epresiones decimles Tod epresión deciml ect, o periódic, se puede poner como frcción. Un epresión deciml ect se convierte en l frcción cuyo numerdor coincide con el número deciml, trs eliminr l com, y el denomindor es el número seguido de tntos ceros como cifrs tení l prte deciml del número en cuestión. 9, Pr escribir en form de frcción un epresión deciml periódic, como por ejemplo N =,7, tenemos que conseguir dos números con l mism prte deciml pr que l restr desprezcn los decimles: N, N 7,... 0N 7,... Si restmos :990N 708 N Pr ello multiplicmos N de form que l com quede después del primer periodo, en este cso después de 7. Tmbién multiplicmos N de mner que l com quede l principio del primer periodo, en este cso detrás de 7. Ahor 000N y 0N tienen l mism prte deciml (infinit) que si restmos desprece, y podemos despejr N. 7. Escribe en form de frcción ls siguientes epresiones decimles y redúcels. Comprueb con l clculdor que está bien: ) 7,98; b) 9,98; c) 0,; d),.. e) 87,6666.; f) 0,9999..; g) 6,777.. Tods ls frcciones tienen epresión deciml ect, o periódic. Recuerd que: Si el denomindor (de l frcción irreducible) sólo tiene como fctores primos potencis de o su epresión deciml es ect , 0; y que, y esto es generl y que siempre hbrá un potenci de 0 que se múltiplo del denomindor si éste sólo contiene doses o cincos. Fíjte que el número de decimles es el myor de los eponentes de y. Si el denomindor (de l frcción irreducible) tiene lgún fctor primo que no se ni l frcción tendrá un epresión deciml periódic.

7 Si dividimos entre obtenemos un primer resto que es 0, luego otro que es 8 y seguimos, pero, se repetirá lgun vez el resto y por lo tnto ls cifrs del cociente? L respuest es que sí, seguro que sí, los restos son siempre menores que el divisor, en este cso del l, si yo obtengo restos distintos (como es el cso) l scr uno más tiene que repetirse!, es el llmdo Principio del Plomr. Y prtir de hí los vlores del cociente se repiten. Por lo tnto l epresión deciml es periódic y el número de cifrs del periodo es como máimo un unidd inferior l denomindor (no siempre ocurre esto pero / tiene un periodo de cifrs, /97 lo tiene de 96 cifrs, sin embrgo /7 tiene un periodo de sólo cifrs. Se llmn números rcionles quellos cuy epresión deciml es finit o periódic, y se les represent por. Acbmos de ver que se pueden escribir en form de frcción por lo que se puede definir el conjunto de los números rcionles como: { ; Z, b Z, b b Por qué imponemos que el denomindor se distinto de cero? Observ que no tiene sentido un frcción de denomindor Mentlmente decide cuáles de ls siguientes frcciones tiene un epresión deciml ect y cuáles l tienen periódic. 0}. ) / b) 7/ c) /0 d) / e) 9/8 f) 7/ 9. Clcul l epresión deciml de ls frcciones del ejercicio nterior y comprueb si tu deducción er correct... Números irrcionles. Epresión deciml de los números irrcionles Eisten otros números cuy epresión deciml es infinit no periódic. Y conoces lgunos: π, Cundo los griegos demostrron que eistín números como, o como el número de oro, que no se podín poner en form de frcción y que tenín, por tnto, infinits cifrs decimles no periódics, les preció lgo insólito. Por eso estos números recibieron ese etrño nombre de irrcionles. No lo podín entender dentro de su filosofí. Lo interesnte es que eiste un longitud que mide ectmente, que es l digonl de cudrdo de ldo, o l hipotenus del triángulo rectángulo isósceles de ctetos. El método pr demostrr que no se puede escribir en form de frcción se denomin reducción l bsurdo y consiste en suponer que sí se puede, y llegr un contrdicción. Este procedimiento sirve igul pr tods ls ríces no ects, como con, Pero no vle pr todos los irrcionles. Pr demostrr que es un número irrcionl hy que estudir mucho. Está relciondo con el interesnte problem de l cudrtur del círculo. Fue demostrdo finles del siglo XVIII por Lmbert. Hst ese momento todví se seguín clculndo decimles pr encontrr un periodo que no tiene. Estos números cuy epresión deciml es infinit y no periódic se denominn números irrcionles. Se llmn números reles l conjunto formdo por los números rcionles y los números irrcionles.

8 Con estos números tenemos resuelto el problem de poder medir culquier longitud. Est propiedd de los números reles se conoce con el nombre de completitud. A cd número rel le corresponde un punto de l rect y cd punto de l rect le corresponde un número rel. Observ que tmbién cd número rcionl le corresponde un punto de l rect, pero no l contrrio, pues es un punto de l rect que no es rcionl. 0. Dibuj un segmento de longitud. El Teorem de Pitágors puede yudrte, es l hipotenus de un triángulo rectángulo isósceles de ctetos. Mídelo con un regl. Su longitud no es,, pues (,) es distinto de ; no, pues (,) es distinto de ; ni,, pues (,) es distinto de ; y sin embrgo ( ) =.. Hll l epresión deciml proimd de. Hemos visto que no es un número rcionl, por lo que no puede tener un epresión deciml finit, o periódic, de modo que su epresión deciml tiene infinits cifrs que no se repiten periódicmente. Y sin embrgo hs podido dibujrlo ectmente (bien como l digonl del cudrdo de ldo, o como l hipotenus del triángulo rectángulo isósceles de ctetos )... Distintos tipos de números Y conoces distintos tipos de números: Nturles = {,,, } Son los números que se usn pr contr y ordenr. El 0 no suele considerrse un número nturl. Enteros = {,,,, 0,,,, } Son los números nturles, sus opuestos y el cero. No tienen prte deciml, de hí su nombre. Incluyen los Nturles. A los números que se pueden epresr en form de cociente de dos números enteros se les denomin números rcionles y se les represent por l letr. Por tnto Rcionles { ; Z, b Z, b 0} b Los números rcionles incluyen los Enteros. Tmbién contienen los números que tienen epresión deciml ect (0,) y los que tienen epresión deciml periódic (7,0 ) pues pueden escribirse en form de frcción. Los números como,,... π son los números irrcionles, y tienen un epresión deciml infinit no periódic. Junto con los números rcionles formn el conjunto de los números reles. Por tnto Irrcionles = Notción: signific pertenece signific unión signific incluido en signific intersección Son números irrcionles quellos números que no pueden ponerse como frcción de números enteros. Hy más de lo que podrí precer (de hecho hy más que rcionles!), son todos quellos que tienen un epresión deciml que no es ect ni periódic, es decir, infinits cifrs decimles y sin

9 periodo. Ejemplos: 7, que me lo cbo de inventr o 0,67890 que se lo inventó Crmichel. Invéntte uno, busc en Internet y si no lo encuentrs, pues es tuyo (por hor ) Reles =. Es l unión de los números rcionles y de los irrcionles. Tenemos por tnto que:. Son estos todos los números? No, los reles formn prte de un conjunto más mplio que es el de los Números Complejos (en º de bchillerto se estudin en l opción de Ciencis).. Copi en tu cuderno l tbl djunt y señl con un X qué conjuntos pertenecen los siguientes números: Número 7,6 8 0, π /, Copi en tu cuderno el esquem siguiente y coloc los números del ejercicio nterior en su lugr:. Puedes demostrr que,99999 =?, cuánto vle,999? Escríbelos en form de frcción.. Cuánts cifrs puede tener como máimo el periodo de?

10 . POTENCIAS.. Repso de ls potencis de eponente nturl Recuerd que: Pr clculr l potenci de eponente un número nturl y de bse un número culquier se multiplic l bse por sí mism tnts veces como indique el eponente. Ejemplos: ) (+) = (+) (+) (+) (+) = +6 b) ( ) = ( ) ( ) ( ) = 7 c) (/) = (/) (/) (/) = /8 d) ( ) = = = Conviene tener en cuent lguns prticulriddes que nos yudn brevir el cálculo: Ls potencis de bse negtiv y eponente pr son números positivos. Ls potencis de bse negtiv y eponente impr son números negtivos Ejemplos: 6. Clcul: ( ) = + ( ) = ) ) 7 b) ( ) 7 c) ( ) d) ( ) e) (/) f) ( ) 6.. Potencis de eponente frccionrio Si el eponente es, por ejemplo,, no sbemos multiplicr lgo menos dos veces. Tmpoco sbemos multiplicr lgo por si mismo cero veces. Ahor l definición nterior no nos sirve. Ls definiciones que se vn dr vn mntener ls propieddes que conocemos de ls operciones con potencis de eponente nturl, que vn seguir siendo válids. Se define: n n y se define 0 = 0 En efecto, y. Pr que continúen verificándose ls propieddes de ls operciones con potencis se define 0 =. Tmbién, y operciones con potencis se define n. Pr que continúen verificándose ls propieddes de ls n. Recuerd Siempre se verific que: b m b n = b m+n c m : c n = c m-n ((d) m ) n = d m n

11 7. Epres como únic potenci: ) ( /) ( /) ( /) 8 b) (/9) (/9) (/9) c) (/) 8 ( /) 8 ( /) 8 d) ( /) ( 8/) ( /) 8. Clcul: ) ( /) b) ( /7) 7 ( ) c) (9 7 ) d) 9 ( ) 9 6 e) Operciones con rdicles L ríz enésim de un número es un número que l elevrlo n, d como resultdo. n n =. L ríz cudrd de un número rel no negtivo es un único número no negtivo que elevdo l cudrdo nos d :, 0, 0. Observ que no eiste en el cmpo rel. Ningún número rel l elevrlo l cudrdo d un número negtivo. Sólo podemos clculr ríces de eponente pr de números positivos. Sin embrgo = sí eiste, pues ( ) ( ) ( ) =. Observ que: n n n n, por lo que se define: n = n / = Podemos operr con rdicles utilizndo ls misms propieddes de ls potencis de eponente frccionrio = = = = / y / = y y Recuerd Hy operciones con rdicles que NO están permitids. 0 = 00 = 6 6 que es distinto de: = =.

12 6 7 7 En ocsiones es posible etrer fctores de un rdicl. = = = = 9. Simplific los rdicles 0, 9 usndo potencis de eponente frccionrio. 0. Clcul 8 y 8000 fctorizndo previmente los rdicndos. Clcul y simplific: ( ). Clcul 0, ; 6 y 6 7. Epres en form de rdicl: ) ( ) / b) 7 / c) 7 /.. Notción científic Un número epresdo en notción científic está formdo por un número deciml cuy prte enter está entre y 9, multiplicdo por 0 n, siendo n un número entero positivo o negtivo. 0 n siendo 9 Si el eponente n es positivo se utiliz pr epresr números grndes y si el eponente n es negtivo pr epresr números pequeños = 7,8 0 0, =, = 0 0,0000 = 0 Hy glis que están km de nosotros, y lo escribimos 0 L ms de un electrón es proimdmente de 0, grmos, que se escribe como 9, 0 8 Actividdes resuelts En l leyend del jedrez utilizmos números muy grndes. Si no nos interes tnt proimción sino hcernos un ide únicmente de lo grnde que es, podemos usr l notción científic. Un proimción pr el número de grnos de trigo de l csill

13 7 6 es 9 0 8, con lo que nos hcemos un ide mejor de lo enorme que es que con el número: que d un poco de mreo. Escribe en notción científic: 6, y 6 6 = 66 6, 0 = , = , Escribe en notción científic: ) b) c) d) 0, e) 0, Operciones con notción científic Pr relizr sums y rests, con epresiones en notción científic, se trnsform cd epresión deciml de mner que se igulen los eponentes de 0 en cd uno de los términos Pr clculr 0 8 +, 0 6 6, 0 epresmos todos los sumndos con l mism potenci de 0, eligiendo l menor, en este cso 0 : , 0. Scmos fctor común: 0 ( ,) = 06, 0 =, El producto (o el cociente) de dos epresiones en notción científic es el resultdo de multiplicr (o de dividir) los números decimles y sumr (o restr) los eponentes de bse 0., 0,6 0 6 = (,,6) 0 +6 =, 0, 0 9 : 0 7 = (, : ) =, 0 Pr hcer el cociente pr clculr 6 dividiendo 6 entre en notción científic: 6 = 6 / =,8 0 9 / = 0,9 0 9 = Us l clculdor Ls clculdors utilizn l notción científic. Muchs clculdors pr escribir escriben 9e+8.. Utiliz tu clculdor pr obtener 6, y 6 y observ cómo d el resultdo. 6. Utiliz l clculdor pr obtener tu edd en segundos en notción científic. 7. Efectú ls operciones en notción científic: ) 0,0008 +, 0 b) , , 0 c) (,9 0 ) (,7 0 ) d) (,8 0 8 ) (, 0 6 ) (8, 0 ) e) (,8 0 8 ) : (, 0 ) f) (6,8 0 ) (,9 0 ) : (, )

14 8. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS REALES.. Representción de números enteros y rcionles Recuerd que: Pr representr un número entero en l rect numéric se trz un rect horizontl en l que se mrc el cero, que se denomin origen, y se mrc el. Se divide l rect en segmentos igules, de longitud. Se representn los números positivos prtir del cero l derech y los números negtivos prtir del cero l izquierd. 0 De est form quedn ordendos los números enteros. Cunto más l derech esté un número situdo en l rect numéric es myor, y cunto más l izquierd esté situdo es menor. Ejemplo 6: Represent en un rect numéric y orden los números enteros siguientes:, 0,,, 8, 7, y Orden de menor myor: 7 < < < < 0 < < < 8. Orden de myor menor: 8 > > > 0 > > > > Represent en un rect numéric en tu cuderno los siguientes números y ordénlos de menor myor: 9, 7, 6,, 9,,, y Represent en un rect numéric en tu cuderno los siguientes números y ordénlos de myor menor: +,, 8, +9, +, 6, 7 0. Pitágors vivió entre el 69. C. y el 7 ños. C. y Guss entre el 777 y el 8, qué diferenci de siglos hy entre mbs fechs?. Represent gráficmente y orden en sentido creciente, clcul los opuestos y los vlores bsolutos de los siguientes números enteros: 0,, 7,, 8, 7, 6, 0, 8. Pr representr un frcción en l rect numéric: Distinguimos entre frcciones propis e impropis. En culquier cso debemos recordr cómo se divide un segmento en prtes igules. Actividdes resuelts Si l frcción es propi (numerdor menor que el denomindor, vlor menor que ), por ejemplo bstrá con dividir l primer unidd en 6 prtes igules y tomr. En cso de ser 6 negtiv contremos hci l izquierd. (Ver figur)

15 9 Dividir un segmento en prte igules Pr dividir el segmento AB en por ejemplo 6 prtes igules, trzmos por A un líne uilir oblicu culquier, brimos el compás un bertur culquier y mrcmos 6 puntos en l rect nterior distnci igul. Unimos el último punto con B y trzmos prlels que psen por los puntos intermedios de l rect oblicu. Por el Teorem de Tles, el segmento AB h queddo dividido en 6 prtes igules. Pr representr /6, tommos de ess prtes. Normlmente no te eigirán que lo hgs tn ecto, lo hrás de form proimd, pero ten cuiddo en que ls prtes prezcn igules. Si l frcción es impropi (numerdor myor que denomindor y por tnto vlor myor que ) hremos l división enter (sin decimles) quedándonos con el cociente y el resto. Esto nos permite ponerl en form mit (sum de un entero y un frcción propi). Así por ejemplo: 0 6 y que l dividir 0 entre obtenemos de cociente y 6 de resto. El cociente es l prte enter y el resto el numerdor de l frcción propi. Pr representrl sólo nos tenemos que ir donde dice l prte enter () y l unidd siguiente (l que v del l ) l dividimos en prtes igules y tommos 6. Otro ejemplo: 7 7 7, pues l división d de cociente y de resto. Nos vmos l, dividimos l unidd siguiente (del l ) en 7 prtes igules y tommos. En cso de ser negtiv:, se hrá igul pero contndo hci l izquierd. Nos vmos l, l unidd que v del l se divide en prtes y tommos (pero contndo del l clro!).

16 0. Represent en l rect numéric los siguientes números: 7 7 ; ;,7;,6 6. Represent en l rect numéric 6,; 6,;,76; 8,; 8,8; 8, y 8,8.. Orden los siguientes números de myor menor: +,7;,;,8; +,; +,09;,,,08... Representción en l rect rel de los números reles: Elegido el origen de coordends y el tmño de l unidd (o lo que es igul, si colocmos el 0 y el ) todo número rel ocup un posición en l rect numéric y l revés, todo punto de l rect se puede hcer corresponder con un número rel. Est segund prte, es l propiedd más importnte de los números reles y l que los distingue de los números rcionles. Vemos como representr de form ect lgunos números reles: Representción en l rect de ls ríces cudrds: Pr representr ríces cudrds usmos el Teorem de Pitágors. Si en un triángulo rectángulo l hipotenus es h y los ctetos son, b tenemos que h b h b. Actividdes resuelts Represent en l rect Si = b = tenemos que h. Sólo tenemos que construir un triángulo rectángulo de ctetos y, su hipotenus mide, (l digonl del cudrdo de ldo mide ). Ahor utilizndo el compás, llevmos es distnci l eje X (ver figur). Como mide. Represent en l rect sólo hy que construir un triángulo rectángulo de ctetos y, y su hipotenus Hs pilldo el truco?, el rdicndo hy que epresrlo como sum de cudrdos. El triángulo rectángulo tendrá como ctetos esos dos números. Así, pr representr, epresmos como sum de cudrdos: 9 luego en un triángulo rectángulo de ldos y l hipotenus será.

17 Pero, y si el número no puede ponerse como sum de cudrdos?, por ejemplo el ( siempre complicndo ls coss! ). Hbrá que hcerlo en psos. = + 9, hy lgún número cuyo cudrdo se?, por supuesto que sí,. Por tnto, tenemos que hcer un triángulo rectángulo de ctetos y. Pr ello primero se construye como ntes y se trz un perpendiculr de longitud (ver figur). Pueden dibujrse y sí tods ls ríces?, no. Hy lguns pr ls que hy que hcer más psos ( 7 por ejemplo requiere ), pero mejor lo dejmos quí, no? Actividdes resuelts Represent en l rect numéric de form ect el número de oro Hs oído hblr del número de oro? El Número de Oro (o Rzón Áure o Proporción Armónic o Divin Proporción) es igul Cómo lo representmos en l rect? Sólo hy que construir como rrib, sumr (trsldmos unidd con el compás) y dividir entre hllndo el punto medio (con l meditriz), hecho. Otr form distint: Construimos un cudrdo de ldo ( un qué?, un lo que quiers!). Hllmos el punto medio del ldo inferior (M) y llevmos l distnci MA con el compás l eje horizontl, OF es el número de oro. Vemos: MA OF MA

18 . Busc rectángulo áureo y espirl áure en Internet. 6. Y de pso busc l relción entre el Número de Oro y l Sucesión de Fiboncci. 7. Busc en youtube lgo ps con phi y me cuents. 8. Represent en l rect numéric de form ect: 0; 8; ; Densidd de los números reles Los números reles son densos: entre cd dos números reles hy infinitos números reles en medio. b Eso es fácil de deducir, si, b son dos números con < b sbemos que b, es decir, l medi está entre los dos números. Como esto podemos hcerlo ls veces que quermos, pues de hí el resultdo. Curiosmente los rcionles son tmbién densos en los números reles, sí como los irrcionles. 9. Clcul números reles que estén entre y. 0. Hll números rcionles que estén entre y,. Hll números irrcionles que estén entre, y

19 . INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS: Como y sbemos entre dos números reles hy infinitos números. Hy un notción especil pr referirse esos infinitos números que deberás dominr pr éste y futuros cursos... Intervlos. Tipos y significdo (Del lt. intervllum):. m. Conjunto de los vlores que tom un mgnitud entre dos límites ddos. RAE. Definición: Un subconjunto de es un intervlo si pr culquier pr de elementos, y b, de ese subconjunto se verific que si < < b entonces debe pertenecer dicho subconjunto. Vmos estudir en este prtdo intervlos cotdos de distintos tipos: los intervlos biertos, los intervlos cerrdos y los intervlos semibiertos (o semicerrdos) Intervlos biertos: Si nos queremos referir l conjunto de los números que hy entre dos vlores pero sin contr los etremos, usmos un intervlo bierto Los números superiores pero menores que 7 se representn por (, 7) y se lee intervlo bierto de etremos y 7. A él pertenecen infinitos números como,00;,; ; 6,999; pero no son de este conjunto ni el ni el 7. Eso representn los préntesis, que entrn todos los números de en medio pero no los etremos. Los números positivos menores que 0, se representn por (0, 0), el intervlo bierto de etremos 0 y 0. Fíjte que 0 no es positivo, por lo que no entr y el 0 no es menor que 0, por lo que tmpoco entr. Not: No se dmite poner (7, ), el menor siempre l izquierd! Tmbién hy que dominr l epresión de estos conjuntos usndo desigulddes, prepárte: (, 7) = { / < < 7}. Trducimos: Ls llves se utilizn pr dr los elementos de un conjunto, dentro de ells se enumern los elementos o se d l propiedd que cumplen todos ellos. Se utiliz l pr denotr un número rel, l / signific tl que (en ocsiones se utiliz un punto y com ; o un ry verticl ) y por último se dice l propiedd que cumplen medinte un doble desiguldd. Así que no te sustes, lo de rrib se lee: los números reles tl que son myores que y menores que 7. Usremos indistintmente vris de ests nomenclturs pr que tods te resulten fmilires. Es necesrio dominr este lenguje mtemático puesto que l frse en cstellno puede no entenderse en otros píses pero te segurmos que eso de ls llves y l lo entienden todos los estudintes de mtemátics del mundo (bueno, csi todos). El otro ejemplo: (0, 0) = { / 0 < < 0}.

20 Por último l representción gráfic: Se ponen puntos sin rellenr en los etremos y se reslt l zon intermedi. En ocsiones tmbién se pueden poner en el y en el 7 préntesis: ( ), o corchetes l revés: ] [. Pregunt: Cuál es número que está más cerc de 7, sin ser 7? Piens que 6,999 =7 y que entre 6,999 y 7 hy muchos, muchísimos números. Not: En lgunos tetos los intervlos biertos se representn sí: ], 7[ lo cul tienen lguns ventjs como que los estudintes no confundn el intervlo (, ) con el punto del plno (, ), que segurmos que h ocurrido (pero tú no serás uno de ellos no?), o l fstidios necesidd de poner (, ;,) porque (,,,) no lo entenderí ni Guss. Intervlos cerrdos: Igul que los biertos pero hor sí pertenecen los etremos. El intervlo de los números myores o igules que pero menores o igules que. Ahor el y el sí entrn. Se hce igul pero poniendo corchetes: [, ]. En form de conjunto se escribe: Fíjte que hor ponemos [, ] = { ; }. que signific menor o igul. El intervlo de los números cuyo cudrdo no es superior. Si lo pienss un poco verás que son los números entre el y el, mbos incluidos (no superior menor o igul). Por tnto: [, ] = { ; }. L representción gráfic es igul pero poniendo puntos rellenos. En ocsiones tmbién se puede representr gráficmente con corchetes: [ ]. Intervlos semibiertos (o semicerrdos, elegir) Por supuesto que un intervlo puede tener un etremo bierto y otro cerrdo. L notción será l mism. Tempertur negtiv pero no por debjo de 8 ºC: [ 8, 0) = { ; 8 < 0}. Es el intervlo cerrdo l izquierd de etremos 8 y 0.

21 Números superiores 600 pero que no ecedn de 000. (600, 000] = { ; 600 < 000}. Es el intervlo cerrdo l derech de etremos 600 y Semirrects Muchs veces el conjunto de interés no está limitdo por uno de sus etremos. Los números reles positivos: No hy ningún número positivo que se el myor. Se recurre entonces l símbolo y se escribe: (0, + ) = { > 0}. Nótese que es equivlente poner > 0 que poner 0 <, se puede poner de mbs forms. Números no myores que : (, ] = { }. Aquí el sí entr y por eso lo ponemos cerrdo ( no myor equivle menor o igul ) Solución de > 7: (7, + ) = { > 7}. Not: El etremo no cotdo siempre se pone bierto. No queremos ver esto: (7, + ] Ls semirrects tmbién son intervlos. Son intervlos no cotdos. Incluso l rect rel es un intervlo: (, + ) = { < < + } =. Es el único intervlo no cotdo ni superiormente ni inferiormente. Observ que con est nomencltur estmos diciendo que y que + no son números reles... Entornos Es un form especil de representr los intervlos biertos. Se define el entorno de centro y rdio r y se denot E(, r) (otr form usul es Er ( )) como el conjunto de números que están un distnci de menor que r. E(, r) = ( r, + r) Observ que un entorno es siempre un intervlo bierto y cotdo.

22 6 Con un ejemplo lo entiendes mejor: El entorno de centro y rdio son los números que están de un distnci menor que. Si lo pensmos un poco, serán los números entre y +, es decir, el intervlo (, 7). Es como coger el compás y con centro en mrcr con bertur. Fíjte que el está en el centro y l distnci del l 7 y l es. E(, ) = (, + ) = (, 6) Es muy fácil psr de un entorno un intervlo. Vmos hcerlo l revés. Si tengo el intervlo bierto (, 0), cómo se pone en form de entorno? Hllmos el punto medio 0 (0 ) : =, es el rdio (l mitd del ncho). Por tnto (, 0) = E(6, ;,) En generl: El intervlo ( 8, ) = = 6, que será el centro del entorno. Nos flt hllr el rdio: b c c b El intervlo (b, c) es el entorno E,. 8 ( 8) E(, ) E (,;,).. Epres como intervlo o semirrect, en form de conjunto (usndo desigulddes) y represent gráficmente: ) Porcentje superior l %. b) Edd inferior o igul ños. c) Números cuyo cubo se superior 7. d) Números positivos cuy prte enter tiene cifrs. e) Tempertur inferior ºC. f) Números que estén de un distnci inferior. g) Números pr los que eiste su ríz cudrd (es un número rel).. Epres en form de intervlo los siguientes entornos: ) E(, 7) b) E(, 8 ) c) E( ; 0,00). Epres en form de entorno los siguientes intervlos: ) (, 7) b) (, ) c) (, ). Los sueldos superiores 00 pero inferiores 000 se pueden poner como intervlo de números reles? *Pist: 600, puede ser un sueldo?

23 7 CURIOSIDADES. REVISTA Folios y Y sbemos que un cudrdo de ldo L tiene un digonl que vle L, vemos lgo más: L imgen represent un folio con l norm DIN 76 que es l más utilizd nivel mundil. Est norm especific que un folio DIN A0 tiene un superficie de m y que l prtirlo por l mitd obtendremos un DIN A que debe ser un rectángulo semejnte l nterior. Prtiendo el A en Un tbl igules obtenemos el DIN A, después el DIN A y el DIN A que es el más usdo. Todos son semejntes los nteriores. Qué signific ser semejnte? Lrgo (cm) Ancho (cm) Áre (cm ) Pues que AD AB A0 8,9 8, , pero AM = AD/ luego A 8,09 9,6 000 AB AM A 9,6,0 00 AD AB AD AB AD AB A,0 9,8 0 A 9,7,0 6 Por lo tnto en los folios DIN 76: A,0,87, l rzón entre el lrgo y ncho es. No qued quí l cos, fíjte que l prtir el folio en prtes igules el nuevo folio tiene el ldo myor que coincide con el ldo menor del originl: AB es hor el ldo myor y ntes er el menor, como AB = AD/ result que l rzón de semejnz es. Es decir, pr psr de un folio A0 otro A dividimos sus ldos entre. Lo mismo pr los siguientes. Clculemos ls dimensiones: Pr el A0 tenemos que el áre es AD AB = m AD AD AD AD,89 m; AB = 0,8 m. Pr obtener ls medids del A dividimos veces entre : Lrgo = 0,97 m =9,7 cm Ancho= Lrgo/ 0,0 m =,0 cm Cuestiones: ) Comprueb los vlores de l tbl nterior (hy l menos tres vlores equivocdos ) ) Cuántos folios A cben en un folio A0? ) Cuáles son ls dimensiones del A6?, y del A7?

24 8 El número de oro Dividimos un segmento en dos prtes de form que si dividimos l longitud del segmento totl entre l prte myor debe de dr lo mismo que l dividir l prte myor entre l prte menor. Tenemos que (+b)/ = /b. El número de Oro (o Rzón Aúre) llmdo proporción, sí: Y tenemos dos curiosiddes:... n F n F n (fi) es precismente el vlor de es b b b ; 0 Donde F n es el n-ésimo Número de Fiboncci. Estos números son,,,,, 8,,, donde cd término prtir del tercero se obtiene sumndo los dos nteriores. Más relciones entre el Número de Oro y l Sucesión de Fiboncci: ) Si vmos dividiendo un número de l sucesión entre su nterior obtenemos: / =; / =; / =,; / =,666 ; 8/ =,6; /8 =,6, 680 Como puede verse, nos cercmos rápidmente l vlor del número de Oro, primero por debjo, después por rrib, por debjo, lterntivmente. b) Formul de Binet: Pr clculr un número de Fiboncci, por ejemplo el que ocup el lugr 0 hy que clculr los 9 nteriores. Esto no tiene que ser necesrimente sí, pues Binet dedujo est fórmul, que pr los utores es un de ls más bonits de ls mtemátics. Si por ejemplo sustituimos n por 0 obtenemos F 0 = 676. Relmente podemos prescindir del º término del numerdor, pr n > se hce mucho más pequeño que el primero. Por ejemplo, pr n = 6, si hcemos 6 obtenemos 8,09 que redondedo es 8, el vlor correcto. F n n n Actividdes: ) Clcul F y F 0 con l fórmul de Binet. b) Hz el cociente y mir si es un buen proimción del Número de Oro.

25 9 El pentágono regulr y el Número de Oro. En un pentágono regulr l rzón entre un digonl y el ldo es. Como sbemos construir, l construcción de un pentágono regulr es muy sencill: Si AB v ser un ldo de nuestro pentágono, construimos el punto F linedo con A y B que cumpl AF/AB igul Fi (se indic cómo hcerlo en el teto). Entonces, AB será el ldo y AF l medid de l digonl. Trzmos l meditriz de AB y un circunferenci de centro A y rdio AF. Se cortn en D que es un vértice del pentágono. Trzmos hor un circunferenci con centro B y rdio AB, se cort con l nterior en C que es otro vértice del pentágono. Sólo qued hllr E que es muy fácil. El pentágono regulr con sus digonles se conoce como Pentgrm Místico y prece ser que volví loquitos los pitgóricos, en él el número de Oro prece de form desmesurd. Del Pentgrm hemos scdo este triángulo, llmdo Triángulo Áureo que permite obtener más triángulos áureos hciendo l bisectriz en uno de los ángulos igules y formr est espirl. Est espirl es precid l Espirl Áure, l de Fiboncci y l espirl logrítmic que es l que prece en: glis, hurcnes, conchs, girsoles

26 0 El jedrez Cuent l leyend que cundo el inventor del jedrez le mostró este juego l rey Shirhm de l Indi, éste se entusismó tnto que le ofreció reglrle todo lo que quisier. El inventor pidió un grno de trigo pr l primer csill del juego, dos pr l segund, pr l tercer, y sí duplicndo l cntidd en cd csill. Al rey le preció un petición modest, pero como se puede comprobr ese número de grnos dn poco más de billones de tonelds métrics lo que corresponde l producción mundil de trigo de.68 ños. Imposible que el rey tuvier tnto trigo! Te gust hcer mgi! Puedes hcer este juego con tus migos. Pr hcerlo necesits ppel y lápiz, o mejor, un clculdor, o todví mejor, un hoj de cálculo. Escribe en un column los números del l 0. Al ldo del escribe el número que te dig tu migo o mig, de un, dos o tres cifrs (76). Al ldo del escribe tmbién otro número inventdo de, o cifrs (7). Al ldo del, l sum de los dos números nteriores (088). Al ldo del, lo mismo, l sum de los dos números nteriores (hor los de l ldo del y del ), y sí hst llegr l csill 0. Ahor divide el número de l ldo del 0 (986) entre el número de l ldo del 9 (080), y mgi!, puedes divinr el resultdo. Se proim l número de oro!,68 Por qué? Sbes lgo de l sucesión de Fiboncci? Búsclo en Internet. Hz un hoj de cálculo como l del mrgen.

27 Conjuntos de números Frcciones y epresión deciml Números rcionles Representción en l rect rel RESUMEN Ejemplos Nturles = {,,, }; Enteros = {,,,, 0,,,, } Rcionles { ; Z, b Z, b 0} Irrcionles = ; = b Tods ls frcciones tienen epresión deciml ect o periódic. Tod epresión deciml ect o periódic se puede poner como frcción. Su epresión deciml es ect o periódic. Fijdo un origen y un unidd, eiste un biyección entre los números reles y los puntos de l rect. A cd punto de l rect le corresponde un número rel y vicevers , =,7 = 8/9 /;,; 0,. N. Reles Tod epresión deciml finit o infinit es un número rel y recíprocmente. Intervlo bierto Intervlo bierto en el que los etremos no pertenecen l intervlo 0,; π; (, 7) = { / < < 7}. Intervlo cerrdo Los etremos SI pertenecen l intervlo [, ] = { ; } Intervlos Semibiertos ( o semicerrdos) Intervlo con un etremo bierto y otro cerrdo [ 8,0) / 8 0 Entornos Form especil de epresr un intervlo bierto: E(, r) = ( r, + r)

28 Números EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Efectú ls siguientes operciones con frcciones: ) 7 b) ( 7) 9 ( c) ) ( ) 8 d) 9 e) 7. Simplific ls siguientes frcciones lgebrics: ) 6. Reliz ls operciones: f) b) 9 9 c) g) 6 : 9 9 : 9 h) d) 7 : 9 ) (,67 + 6,9), b) (,9 + 98,) c),(,009 +,9),8. Hll el vlor ecto de 0, 0, sin clculdor.. Di cuáles de ests frcciones tienen epresión deciml ect y cuáles periódic: 6. Hll frcciones, b, c tl que b c 9 7. Cuántos decimles tiene ; ; ; 0 0?, te treves eplicr el motivo? 8. Hz l división :7 y después hz :7. Será csulidd? 9. Ahor divide 999 entre 7 y después hz :7, es csulidd? i) 0. Hz en tu cuderno un tbl y di qué conjuntos pertenecen los siguientes números:,7 ; ; ; 0 00 ;. Contest verddero o flso, justificndo l respuest. ) ( - ) = {0} b) c) L ríz cudrd de un número nturl es irrcionl. d) 7 e) /7 tiene epresión deciml periódic. 0 : ;, ; 0,

29 . Pon ejemplos que justifiquen: ) L sum y l rest de números irrcionles puede ser rcionl. b) El producto o división de números irrcionles puede ser rcionl.. Qué será l sum de número rcionl con otro irrcionl? (Piens en su epresión deciml). L sum de números con epresión deciml periódic puede ser un entero?. Hll el áre y el perímetro de un rectángulo de ldos y 8 m. 6. Hll el áre y el perímetro de un cudrdo cuy digonl mide m. 7. Hll el áre y el perímetro de un heágono regulr de ldo m. 8. Hll el áre y el perímetro de un círculo de rdio 0 m. 9. Hll el áre totl y el volumen de un cubo de ldo 7 m. 0. Por qué número hemos de multiplicr los ldos de un rectángulo pr que su áre se hg el triple?. Cuánto debe vler el rdio de un círculo pr que su áre se m?. Tenemos un circunferenci y un heágono regulr inscrito en ell. Cuál es l rzón entre sus perímetros? (Rzón es división o cociente) Potencis. Clcul: ) (+) 7 b) ( ) 9 c) ( ) d) ( ) e) (/) f) ( ) 8. Epres como únic potenci:. Clcul: ) ( /) ( /) ( /) 8 b) (/9) : (/9) (/9) c) (/) 8 ( /) 8 : ( /) 8 d) ( /) ( 8/) : ( /) ) ( /) b) ( /) c) ( ( ) ) d) 9 ( ) 6 e) Etre los fctores posibles en cd rdicl: ) 7 b 6 b) 6 c) 7. Epres en form de únic ríz: ) 0 b) Epres en form de potenci: ) b)

30 9. Simplific l epresión: ) b) 0. Se estim que el volumen del gu de los océnos es de km y el volumen de gu dulce es de km. Escribe ess cntiddes en notción científic y clcul l proporción de gu dulce.. Se sbe que en un átomo de hidrógeno el núcleo constituye el 99 % de l ms, y que l ms de un electrón es proimdmente de 9, kg. Qué ms tiene el núcleo de un átomo de hidrógeno? (Recuerd: Un átomo de hidrógeno está formdo por el núcleo, con un protón, y por un único electrón). A Jun le hn hecho un nálisis de sngre y tiene millones de glóbulos rojos en cd mm. Escribe en notción científic el número proimdo de glóbulos rojos que tiene Jun estimndo que tiene litros de sngre. Representción en l rect rel. Pitágors vivió entre el 69 y el 7 ños. C. y Guss entre el 777 y el 8, qué diferenci de ños hy entre mbs fechs?. Represent de form ect en l rect numéric:,;,666. Sitú en l rect rel los números 0,; 0,8; 0, y 0,0. 6. Orden los siguientes números de myor menor:,;,6;,6;,;,09;, Represent en l rect numéric de form ect los siguientes números: ; ; ;, 6 ;,ˆ 8. L imgen es l representción de un número irrcionl, cuál? 9. Represent de form ect en l rect numéric: 0. Hll números rcionles que estén entre, y π. 8; ; 0 Intervlos. Epres con plbrs los siguientes intervlos o semirrects:. (, ] b. { < 7}. c. { > 7} d. (, + ). Hll:. (, ] U (, ] b. (, ] (, ] c. (,] (, )

31 . Puede epresrse como entorno un semirrect? Rzon l respuest.. Epres como entornos biertos, si es posible, los siguientes intervlos:. (0, 8) b. ( 6, ) c. (, ). Epres como intervlos biertos los siguientes entornos:. E / () b. E / ( 7) c. E(, ) d. E(0, ) 6. Qué números l cudrdo dn 7? 7. Qué números reles l cudrdo dn menos de 7? 8. Qué números reles l cudrdo dn más de 7? Vrios 9. Un numero irrcionl tn importnte como Pi es el número e. e, que prece periódico, pero no, no lo es. Es un número irrcionl. Se define como el número l que se cerc n cundo n se hce muy, pero que muy grnde. Coge l clculdor y dle n vlores cd n vez myores, por ejemplo: 0, 00, 000, Apunt los resultdos en un tbl. 0. Otr form de definir e es e...!!!! Que dirás tú qué son esos números tn dmirdos!, se llm fctoril y es muy sencillo:! = =, se multiplic desde el número hst llegr. Por ejemplo: 6! = 6 = 70. No te preocupes, que l tecl! está en l clculdor. Puedes clculr e con 6 cifrs decimles corrects? *Not: Fíjte que hor l convergenci es mucho más rápid, sólo hs tenido que llegr hst n =?. Orden de menor myor ls siguientes mss: Ms de un electrón Ms de l Tierr Ms del Sol Ms de l Lun 9, 0 kilogrmos,98 0 kilogrmos, kilogrmos 7, 0 kilogrmos. Tomndo,67 0 grmos como ms de un protón y, 0 metros como rdio, y suponiéndolo esférico, clcul: ) su volumen en cm (Recuerd el volumen de un esfer es (/)πr. b) Encuentr el peso de un centímetro cúbico de un mteril formdo eclusivmente por protones. c) Compr el resultdo con el peso de un centímetro cúbico de gu (un grmo) y de un centímetro cúbico de plomo (, grmos).

32 6 AUTOEVALUACIÓN. Indic qué firmción es fls. El número 0, es un número. Operndo y simplificndo l frcción ) rel b) rcionl c) irrcionl d) negtivo : se obtiene: ) + b) /( + ) c) d) /( ). L epresión deciml 0,6666. Se escribe en form de frcción como ) 6/70 b) 7/ c) /7 d) 70/. Al simplificr (7 + ) obtienes: ) 6 b) ( ) c) d) 8. Contest sin hcer operciones. Ls frcciones /7; 9/0, 7/0 tienen un epresión deciml: ) periódic, periódic, ect b) periódic, ect, periódic c) periódic, ect, ect 6. El conjunto de los números reles menores o igules se escribe: ) (, ) b) (, ] c) (, + ) d) (, [ 7. El entorno de centro y rdio 0,7 es el intervlo: ) (,7,,7) b) (,7,,) c) (,,,7) d) (,7,,] 8. El intervlo (, ) es el entorno: ) E( ; /) b) E( ; 0,) c) (, /) d) ( ; 0,) 9. Al efectur l operción 7 6 se obtiene: ) 7 b) / c) 6 d) 0. Al efectur l operción 0, , 0 se obtiene: ),6 0 0 b), c) 0, 0 d) 8,7 0