Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS

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1 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos. Formas de epresarlos.- Halla las raíces de los sguentes números: 00 Solucón: ± ± 0 ± ±.- Representa en los ejes coordenados los sguentes números complejos en forma polar: a) Módulo 7, argumento 0º Módulo, argumento 0º c) Módulo, argumento 0º d) Módulo, argumento º Solucón:.-Representa en los ejes coordenados los sguentes números complejos en forma bnómca: a) - c) d) - Solucón:.- Representa en los ejes coordenados los sguentes números complejos en forma trgonométrca: a) (cos0º sen0º ) Solucón: π π cos sen c) senº ) (cosº d) ( cosπ senπ) IES nº de Ordes Pla

2 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS.- Epresa en forma bnómca los sguentes números complejos: 00 7 Solucón: Pasa a forma bnómca los sguentes números complejos: a) ) 7 π π (cos sen Módulo:, Argumento: -º Solucón: a) 7.- Pasa a forma polar los sguentes números complejos: a) - sen0º ) Solucón: (cos0º c) - d) (cos0º sen0º ) a) Módulo, argumento 70º Módulo, argumento 0º c) Módulo 0, Argumento -º''' d) Módulo, Argumento 0º.- Pasa a forma trgonométrca los sguentes números complejos: a) ( ) Módulo:, Argumento: º c) d) Módulo: 7, Argumento: 0º e) f) Módulo:, Argumento: 0º g) ( ) h) Módulo:, Argumento: 0º π ) j) Módulo:, Argumento: º k) l) Módulo:9, Argumento: Solucón: cosº senº c) (cos º sen º ) a) (cosº senº) ( ) d) 7 (cos0º sen0º ) e) (cos sen) f) (cos0º sen0º) g) 9( cos( º''' ) sen( º''' )) h) ( cos 0º sen 0º ) ) ( cos( 7º''') sen( 7º''') ) j) (cosºsenº) π l) 9 cos sen π k) ( cos º''' sen º''' ) 9.- Pasa a forma bnómca los sguentes números complejos: a) (cosº senº ) Módulo:, Argumento: c) sen ) e) (cos0º sen0º ) f) Módulo:, Argumento: 0º π π π (cos d) Módulo:, Argumento: º g) cos0º sen0º h) Módulo:, Argumento: 0º IES nº de Ordes Pla

3 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Solucón: a) - c) - e) f) - h) d) g) 0.- Pasa a forma polar los sguentes números complejos: a) sen ) π π (cos c) d) (cos sen ) e) - f) Solucón: a) Módulo, argumento º''' Módulo, argumento π c) Módulo, argumento 0º d) Módulo, argumento e) Módulo, Argumento º f) Módulo, Argumento Operacones con números complejos en forma bnómca 7π 7π cos sen 7π.- Calcula las potencas de: a) c) 7 d) 77 Solucón: a) c) d) 77.- Calcula: a ) c) d) e)... Solucón: IES nº de Ordes ( ) a) ( ) d) e ) c ),. Calcula las sguentes sumas: a) () () () (-) c) (() () d) (-) Solucón: a) () () 9 () (-) c) () () d) (-) -.- Escrbe los opuestos de los sguentes número complejos: a) - c) - d) -- Solucón: a) Op de () - Op de (- ) - c) Op de (-) d) Op de (--) Pla

4 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS.-Determna para que el producto: ( - )( ) sea: a) Un número real. Un número magnaro puro. Solucón: Hagamos el producto ( - )( ) ( - ) a) Para que el producto sea un número real, la parte magnara debe ser nula, por tanto: Para que el producto sea un número magnaro puro, la parte real debe ser nula, por tanto: Calcula las sguentes dferencas: a) () - () () - (-) c) () - () d) - (-) Solucón: a) () - () - () - (-) c) () - () d) - (-) - 7.-Calcula las sguentes dvsones: a) c) d) Solucón: a) ( )( ) 0 7 ( )( ) 9 ( )( ) ()( ) c) ( )() ( )() d) ( )( ) ( ).- Calcula los sguentes productos: a) ()() ()(--) c) ()() d) (-) Solucón: a) ()() -0 - ()(--) c) ()() - - d) (-) 9.-Calcula los nversos de los sguentes complejos: a) c) - d) - Solucón: ( )() a) ( )() 9 ()( ) c) ( )( ) d) IES nº de Ordes Pla

5 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS 0.-Halla el valor del parámetro real en cada uno de los sguentes casos: a) Para que ( )(a ) sea un número real. Para que el módulo del cocente (a ) : ( - ) sea. Solucón: a) ( )(a ) a - (a ), el resultado es real s su parte magnara es nula, por tanto:a 0 a - Como el módulo de un cocente es el cocente de los módulos, se tene: a a a a a ± ( ).-Dados los números complejos - m y - n, halla los valores que deben tomar m y n para que su producto sea el complejo. Solucón: Efectuamos el producto ( - m)( - n) - mn - (n m), por tanto: n m n mn m m m 0 n m m m n m Se tenen dos solucones: ª solucón m - y n ª solucón m / y n -.- Calcula los sguentes productos: a) ()(-) ()(-) c) ()(-) d) (--)(-) Solucón: a) ( )( ) 9 ( )( ) c) ( )( ) 9 0 d) ( )( ) ( ) 9.-Representa los sguentes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: a) c) d) Solucón: Las gráfcas de los cuatro complejos, sus opuestos y conjugados, son las de la fgura adjunta:.- Calcula las sguentes potencas: a) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) Solucón: a) ( ) IES nº de Ordes Pla

6 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS ( ) c) ( ) 9 9 d) ( ) ( ( ) ( ) Halla, con la condcón de que ( - ) sea magnaro puro. Pon un ejemplo para comprobar el resultado. Solucón: ( ) Para que el resultado sea un número magnaro puro, su parte real debe ser nula, por tanto: 0 ± Los dos úncos ejemplos para comprobar se obtenen dando a esos dos valores, a saber: ( ) ( ) que es magnaro puro tal que su cuadrado es ( ) ( ) que es magnaro pur o tal que su cuadrado es.- Calcula las sguentes operacones con complejos: a) ( ) Solucón: ( ) c) ( ) ( ) ( )( ) 7 7 a) ( ) ( ) ( ) ()( ) ( ) c) ( ) ( ) 7.-Sea a y b -, sabendo que el producto de dchos números complejos es -. calcular los valores enteros de a y b Solucón: - Cálculo de y : ab (a )(b ) ab ( a a b Operando se ve que la únca solucón entera del sstema es: a y b.- Resuelve la sguente ecuacón: (a )(b - ) 7 -. Solucón: (a )(b - ) 7 - ab (b - a) 7 - Igualando las partes reales e magnaras de ambos membros, se tene el sstema: a b ab 7 b a a a 0 b a a(a ) 7 a b Se tenen dos solucones: ª solucón a y b ª solucón a -/ y b - IES nº de Ordes Pla

7 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Operacones con números complejos en forma polar y trgonométrca.- Dado el complejo: Halla: a) Su cuarta potenca. Sus raíces cuartas. Solucón: Módulo ρ Argumento α 0º º Pasamos el complejo a forma polar: tene 0 º por tanto: 0º 0º 0º a) ( ) 0º ( ) 0º ( ) 0º ( ) 0º ( ) 0º ( ) ( ) ( 0º 0º 0º 00º.- Dado el complejo halla y. Solucón: - Módulo ρ tene Argumento α 0º Pasamos el complejo a forma polar: 0º 0º ( ) º ( º 7º ( ) ( ) º 7º ( ) ( º 7º ( ( ) ( ) º 7º º º º 0º ( ) ( cos0º sen0º ) 7 7 0º 0º 0º.- Un complejo que tene de argumento 0º y módulo es el producto de dos complejos; uno de ellos tene de módulo y argumento 0º, halla en forma bnómca el otro complejo y su qunta potenca. Solucón: 0º - Sea el otro complejo, tal que se verfca: 0º 0º 0º 0º 0º 0º Que epresamos en forma bnómca: 0º ( cos 0º sen 0º ) 0º 0º Qunta potenca de : ( ) 0 0( cos0º sen0º ).-Calcula las sguentes raíces: a) 7 79 c) ( cos0º sen0º ) Solucón: a) 7 7 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 00º IES nº de Ordes 7 Pla

8 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS c) ( cos0º sen0º ) 7º 0º 9º 0º º ; 0º º º ; ; º º 0º º 0º º 0º º º º º 7º 9º º º º.- Calcula las potencas de eponente, y de los sguentes complejos: a) c) Solucón: Módulo ρ Argumento α º a) ( ) ( cosº senº ) c) Módulo ρ Argumento α 0º Módulo ρ Argumento α 00º º 0º 00º 0º º 0º 00º 900º 00º ( cos 0º sen 0º ) ( cos sen ) ( cos0º sen0º ) 0º 0º 0º ( cos 0º sen 0º ) ( cos0º sen0º ) ( cos0º sen0º ).- Se consderan los complejos: A 0 0 y B 0 0 Calcula: Solucón: Pasamos los complejos A y B a forma polar: A 0 0 Módulo ρ 0 tene ; Argumento α 00º B 0 - ( ) ( ) A cos 0º sen 0º º 0º 0 A A ; B y. B Módulo ρ 0 tene Argumento α 0º - B ( 0 ) 0 0 ( cos0º sen0º ) 0 0 ( 0 0 ) A B 0 0º 0 0º 000 ( 0 0 ) ( 0 0 ) 000( 0 0 ) ( 0 0 )( 0 0 ) Halla las sguentes raíces cúbcas, epresando los resultados en forma bnómca: a) c) ( ) Solucón: IES nº de Ordes Pla

9 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS a) º c) 70º 000 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º º 0º 0º 0º 0 0º 0º 0º 0º ( cos0º sen 0º ) 0 0 ( cos sen ) 0º 0º 0ºº 00º 0 0 ( cos 0º sen 0º ) ( cos0º sen 0º ) ( cos00º sen00º ).- Calcula las sguentes potencas: a) ( ) ( ) c) ( ) 0 Solucón: Módulo ρ Argumento α º º a) tene ( ) ( ) ( cos º sen º ) Módulo ρ Argumento α 0º 0º tene ( ) ( cos0º sen0º ) Módulo ρ Argumento α º 0 900º 0º c) tene ( ) 0 0 0( cos0º sen0º ) Calcula la sguente raíz: Solucón: 70º 7º0' 7º0' 7º0' 7º0' 7º0' 7º0' 7º0' 0.- Calcula las sguentes potencas: a) ( ) Solucón: Módulo ρ 7 7 c) c) tene ( ) ( 09) ( 09) 09( cos 0º sen 0º ) 09 Argumento α 0º 70º 0º IES nº de Ordes 9 Pla

10 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS 7 7 d) Módulo ρ Argumento α 0º c) tene ( 7) 7( cos sen ) 7.- Calcula las sguentes raíces: a) Solucón: a) 0º 70º 7º0' ( ) 7º0' 7º0' 7º0' 7º0' Como una de las raíces de: ( ) ( ) º ( ) º 7º0' 7º0' las otras dos raíces tendrán el msmo módulo, y solo se dferencan en los argumentos, que como sabemos están en progresón artmétca, se tene: ( ) ( ) º ( º 0º ( ) ( ) 9º 0º ( 9º 7º.- Se consderan los complejos: A y B Calcula: Solucón: Pasamos los complejos A y B a forma polar: A 0 Módulo ρ tene ; Argumento α º 0 B - A ( ) ( cos sen ) 7 00º - B ( ) ( cos0º sen0º ) 0 - A B º 0 0º A 0 ; B 0 Módulo ρ tene Argumento α º 0 y A B 0 0 Aplcacones de los números complejos. Raíces de una ecuacón algebraca.- Halla todas las solucones reales e magnaras de las sguentes ecuacones: z z 0 a) z 0 Solucón: IES nº de Ordes 0 Pla

11 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS a) z 0 z ( ) º z z z z 7º' º' º' º' ± z z 0 z 9 z z Formula, en cada uno de los sguentes casos, la ecuacón de segundo grado cuyas raíces son: a) y - y - Solucón: a) La ecuacón de segundo grado cuyas raíces son y - es: ( )( ) La ecuacón de segundo grado cuyas raíces son y - es: ( )( ) 0 () Formula, en cada uno de los sguentes casos, la ecuacón de segundo grado cuyas raíces son: a) y ( ) º y ( ) º Solucón: a) La ecuacón de segundo grado cuyas raíces son y es: ( )( ) 0 ( ) ( ) º ( cos º sen º ) La ecuacón de segundo grado cuyas raíces son: ( ) ( cos º sen º ) es: ( )( ) 0 () º.- Comprueba que los números complejos y - verfcan la ecuacón: 0 Solucón: Sean: z y z Calculemos su suma y su producto: z z z z ( )( ) 9 9 Luego, los números complejos z y z verfcan la ecuacón propuesta, basta recordar las propedades de las raíces y de la ecuacón de segundo grado b a a b c 0 : c a.- Escrbe una ecuacón de segundo grado cuyas raíces sean los números complejos: a) y y - Comprueba, en cada caso los resultados obtendos. IES nº de Ordes Pla

12 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Solucón: a) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces: la ecuacón es: ( ) 0 Comprobamos la ª raíz: ( ) ( ) ( )( ) () ( 7) 0 Análogamente se comprueba la ª raíz. Calculamos la suma y el producto de las dos raíces: la ecuacón es : ( ) 0 Comprobamos la ª raíz: ( ) ( ) 0 0 Análogamente se comprueba la ª raíz..- Halla todas las solucones reales e magnaras de la sguente ecuacón z z 0 : Solucón: a) ± z z z 0 z z 7.-Halla todas las solucones reales o complejas de las sguentes ecuacones: a) 0 0 Solucón: a) 0 0º 70º 0 0º 0º 0º 00º.-Halla todas las solucones reales e magnaras de las sguentes ecuacones: a) 0 0 Solucón: a) 0 ( 0 0 ) 0 0 aplcando la regla de Ruffn, se tene: 0 ( )( ) 0 por tanto 0 0 ± IES nº de Ordes Pla

13 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS 9.- Calcula la suma de las cnco raíces quntas de la undad, y a contnuacón calcula la suma de las ses raíces setas de la undad. Qué se puede decr de la suma de las n raíces enésmas de la undad? Solucón: 0º 7º - 0º º _ º ya que º º 0º _ º ya que º 7º 0º 0º 0º 0º 0º 0º _ 0º ya que 0º 0º 0º _ 00º ya que 00º 0º 0 Se observa que la suma de las n raíces enésmas de la undad es cero (para n > ) Dada la ecuacón: 0 : a) Halla sus solucones y epresarlas en forma polar. Halla las potencas octavas de esas solucones. Solucón: ± 0 a) Que epresamos en forma polar: Módulo ρ tene Argumentoα Módulo ρ tene Argumentoα ( 0º ) 0º ( 0º ) 0º 0º ± 0º 0º 0º 0º 0º ( cos 0º sen 0º ).- Halla todas las solucones reales o complejas de las sguentes ecuacones: a) 0 0 Solucón: IES nº de Ordes Pla

14 Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS IES nº de Ordes Pla ± w w w 0 w w w hacendo 0 w w 0 Aplcando la regla de Ruffn, se tene: 0 ) )( ( 0 por tanto: Epresa en forma polar los módulos y argumentos de las solucones de la ecuacón: ) ( Solucón: La ecuacón es: ) ( Elmnando los denomnadores y operando se tene: ( ) ( ) Agrupando térmnos y smplfcando, resulta una ecuacón de segundo grado: ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± 0

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