DESARROLLO de Unidad VIII: Movimiento Potencial Bidimensional

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1 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 DESARROLLO de Unidad VIII: Movimiento Potencial Bidimensional Poblema 6 : Una fuente bidimensional de intensidad q está ubicada en una esquina ectangula fomada po dos paedes semi-infinitas. La fuente se encuente equidistante de ambas paedes una distancia h. Empleando el concepto del método de imágenes encuente la distibución de velocidad de pesión sobe la paed infeio como función de q Sol. : q h + h u v π ( h) + h ( + h) + h + DESARROLLO Obseve que el flujo posee simetía especto una línea a 45 o de manea que lo que es velocidad u en la mitad infeio seá idéntico a la componente v en la mitad supeio, vicevesa. Además, en el flujo mostado, las paedes son planos en los cuáles el flujo es tangencial, de manea que pueden se eemplazadas po planos de simetía con la siguiente configuación de 4 fuentes: q q q q Po lo tanto, el potencial del flujo es la suma de 4 fuentes en la disposición mostada. El potencial de una fuente ubicada en un punto - está dado po: φ ln dónde es la distancia desde la fuente al punto genéico - Pag.1

2 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Paa una fuente: (( ) ( ) ) φ ln 4π 4π + φ u + ln ( ) ( ) φ v + ( ) ( ) Paa las 4 fuentes mostadas, la componente u seá entonces: h h + h + h u h + h h + + h + h + h + h + h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La velocidad u sobe el plano seá: h h + h + h u ( h) + h ( h) + h ( + h) + h ( + h) + h h + h + ( h) + h ( + h) + h u h + h u + π ( h) + h ( + h) + h Obseve que eistiá u en (la esquina de la configuación) cuando. Además u seá máimo en un punto intemedio. Obviamente la componente v en todo el plano hoizontal. u máimo 1.85 h El campo de movimiento seá: Pag.

3 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Poblema 63 : Un vótice espial se foma combinando una fuente de intensidad un vótice iotacional de ciculación Γ. Es el modelo elemental del movimiento en el plano de situaciones físicas concetas como las siguientes: el desagote de líquido de un ecipiente a tavés de un oificio en el fondo (empleando un sumideo ubicado en el oificio). el movimiento de la masa de aie alededo del núcleo de un tonado (empleando un sumideo en el cento del núcleo). el flujo de salida del oto de una bomba centífuga (empleando una fuente en el eje de otación). Obtenga el campo de velocidades mueste que las líneas de coiente del vótice espial son espiales logaítmicas dadas po : DESARROLLO k e Γ dónde k es la constante que identifica una línea de coiente dada. Asumo como ejemplo un vótice en sentido anti-hoaio un sumideo: Γ φ ln Γ ψ ln u u φ 1 ψ 1 1 φ ψ Γ 1 Obseve que el sumideo apota la velocidad adial (negativa) que el vótice anti-hoaio apota la velocidad tansvesal (positiva). La ecuación de las líneas de flujo es: d V En coodenadas polaes: eˆ ˆ ˆ e e d d o u d u d u u Γ 1 1 d + d Sepaando vaiables: Integando: ln + cte Γ Finalmente: ( ) k e Γ k es una constante positiva puesto que es k e cte d d Γ e e Pag.3

4 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Poblema 64 : Considee el flujo alededo de un cilindo cicula de adio R que esulta de combina un doblete con un flujo unifome. Sea el caso del flujo de una coiente unifome de velocidad U en la diección, a lo lago de un piso hoizontal con una constucción semi-cilíndica de adio R sobesaliendo del nivel de suelo. a) Obtenga la distibución de velocidades de pesiones sobe el cilindo b) Patiendo del esultado teóico de la distibución de pesiones sobe el cilindo, obtenga la fueza de sustentación sobe el semi-cilindo con el modelo de flujo ideal. 5 Sol. : u U cos ; u ; F ρ U R 3 DESARROLLO La combinación está dada po la suma, a sea de las funciones potenciales o las funciones de coiente: cos cos φ U σ U cos σ + + sin cos ψ U σ U sin σ Las componentes de velocidad adial tansvesal son: φ σ cos σ u U cos U cos 1 φ 1 σ sin σ u U sin U + sin Sobe el cilindo, la velocidad adial es nula paa cualquie, de manea que: U σ R Lo cuál detemina la intensidad del doblete según el adio del cilindo: σ R U La única velocidad sobe el cilindo, en R, está dada po la componente tansvesal: σ R U u U + sin U sin + R R u U sin La pesión local se plantea con la ecuación de Benoullí, ente la coiente libe un punto cualquiea: 1 1 p + ρu p+ ρ u + u ( ) Sobe el cilindo, la pesión manomética es entonces: Pag.4

5 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 1 u 1 p p ρu 1 ρu ( 1 4sin ) U El coeficiente de pesiones es: C p p p 1 4sin 1 ρu Paa el cálculo de fuezas sobe un cuepo, el elemento de fueza de pesión sobe la supeficie del cuepo está dado en un caso geneal po: df p p da n p ( ) ˆ La fueza vetical sobe el cuepo se obtiene integando dicha fueza poectada en el eje : ( ) ˆ ˆ F p p dan j En nuesto caso el cuepo es un semi-cilindo de adio R ancho b. Sobe la mitad supeio del cilindo se tiene que: da R b d nˆ ˆj sin Reemplazando e integando: 1 ρ ( 1 4sin ) sin 1 π ρurb ( 1 4sin ) sin d 5 ρ U Rb 3 F U Rbd Veso n R Pag.5

6 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Poblema 65 : La combinación de una fuente de intensidad una coiente unifome de velocidad U puede emplease paa epesenta el flujo alededo de un cuepo semi-infinito, denominado poa de Fuhman, alineado con una coiente etena. Obtenga el valo de la función de coiente de la línea del punto de impacto (o punto de estancamiento). Obtenga la foma del cuepo en función de U así como la distibución de pesiones. DESARROLLO Combinamos un flujo unifome U alineado con el eje más una fuente en el oigen, sumando los potenciales las funciones de coiente: La función potencial: φ U+ ln U+ ln + U+ ln ( + ) 4π La función de coiente: ψ U U actan + + Conviene tabaja en coodenadas polaes en luga de coodenadas catesianas: φ Ucos + ln ψ Usin + cos sin Las componentes de velocidad se obtienen deivando φ o ψ : 1 ψ u U cos + ψ u U sin El punto de impacto seá el punto dónde se igualan a ceo ambas componentes de velocidad: Seá u en U cos Seá u en π Pag.6

7 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Po lo tanto el punto de impacto está ubicado en: π U El valo de la función de coiente en el punto de impacto queda dado po: ψ PI La línea de flujo que pasa po el punto de impacto coesponde al valo: ψ (, ) ψ PI. Po lo que la foma del cuepo está dada po: U sin U π sin Resulta un cuepo semi infinito de ancho finito pues paa el adio peo tiende a una dimensión finita en : Asíntota paa Escibiendo la foma del cuepo como sin 1 U π paa Asíntota paa se obseva que posee asíntotas La velocidad sobe el cuepo está dada po eemplaza la foma del cuepo en las fómulas de las componentes de velocidad: u U sin sin u Ucos + U cos 1 + π 1 U π sin El coeficiente de pesiones está dado po: C p u 1 + u U sin 1 sin cos + π sin sin + cos π π Pag.7

8 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Resulta una distibución de la siguiente foma: Pico de succión: C p mínimo < Asíntota: C p Punto de impacto: C p +1 Si con el flujo unifome se combinaa un sumideo en luga de una fuente, en luga de un cuepo delanteo, o poa, se obtendía sino un cuepo posteio, "cola" o "popa", semi infinito como se muesta: Pag.8

9 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Poblema 66 : Una planta de potencia costea toma un caudal de 11 m 3 /seg de agua de ma mediante un tubo colecto vetical pefoado de manea unifome e inmeso en 8 m de agua. Si la velocidad de la coiente de agua es de 5 cm/seg, estime a que distancia aguas abajo, aguas aiba latealmente se hacen peceptibles los efectos de la toma de caudal. Emplee un modelo de flujo potencial bidimensional. Asuma un citeio de petubación meno a un %. Tubo vetical pefoado de manea unifome V.5 m/s b 8 m 11 m 3 /s DESARROLLO Si se despecian los efectos tidimensionales en el flujo, éste poblema se esuelve combinando una coiente unifome de.5 m/s con un sumideo bidimensional de intensidad σ En flujo bidimensional la intensidad de fuente o de sumideo es un caudal po unidad de longitud, po lo tanto la constante σ del sumideo seá: 3 11 m / s σ b 8 m m / s El flujo combinación de ambos flujos elementales está dado po: σ φ Ucos ln σ ψ Usin El campo de velocidades esta dado po: σ u U cos u U sin La magnitud de la velocidad local esta dada po: U U cos + ( U sin ) σ Paa estudia la petubación aguas aiba de la toma de caudal eemplazamos π : σ σ U U U π U U Aplicando el citeio del % de petubación especto la coiente se plantea: Pag.9

10 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 σ U U U σ U U U Reemplazamos los valoes numéicos despejamos: m Es deci que po delante de la toma de caudal, el % de petubación ecién se nota a una distancia de 438 m po delante del tubo colecto. Paa estudia la petubación latealmente a la toma de caudal eemplazamos π /: U σ + U Aplicando el citeio del % de petubación especto la coiente se plantea: 1. U 1.44 U σ + U σ + U Reemplazamos los valoes numéicos despejamos: m Es deci que latealmente a la toma de caudal, el % de petubación ecién se nota a una distancia de 9 m a ambos costados del tubo colecto. Pag.1

11 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 Poblema 67 : La combinación de un flujo unifome de velocidad U con una fuente un sumideo de iguales intensidades sepaados una distancia como se muesta, puede epesenta el flujo ideal alededo de un cuepo de foma oval denominado óvalo de Rankine alineado con una coiente etena. Obtenga el valo de la función de coiente de la línea del punto de impacto. Obtenga la semi-longitud a en función de, U. Discuta el método de obtene la foma del cuepo la distibución de pesiones., a DESARROLLO Sumando las tes soluciones elementales: un flujo unifome U alineado con el eje, una fuente en un sumideo en esultan: La función potencial: φ U+ ln 1 ln U+ ln ( + ) + ln ( ) + U+ ln ( + ) + ln ( ) π ( ) ( ) La función de coiente: ψ U + 1 U + actan actan + π Los dos puntos de impacto se buscan igualando a ceo ambas componentes de velocidad: φ ( + ) ( ) u U + 4 π ( + ) + 4 ( ) + + U + π ( + ) + ( ) + π Pag.11

12 Depatamento de Aeonáutica : Mecánica de los Fluidos IA 7 φ v 4 π ( + ) + 4 π ( ) π ( + ) + ( ) + Se obseva que en se tendá v siempe. Buscamos entonces los ceos de u + u U + π ( + ) + ( ) U + + U + U + U π Se despeja la posición en de los puntos de impacto: La semi-longitud del cuepo seá: a + + πu PI ± + πu Reemplazando los valoes de e de los puntos de impacto en la función de coiente se veifica que coesponde ψ PI La foma del cuepo está dada entonces po: ψ (, ) ψ PI U + actan actan + Se tata de una elación implícita que equiee del cálculo numéico paa obtene la foma del cuepo. Dicha foma no esta dada po una ecuación algebaica diecta. Pag.1