ROBOTICA II. UNIDAD 2
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- Ricardo Navarro Villalobos
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1 ROBOTICA II. UNIDAD 2 MODELO DINÁMICO. En robótica, la cinemática y la dinámica se combinan para lograr el posicionamiento de una serie de eslabones articulados o brazo de robot. Las consideraciones cinemáticas solo consideran las posiciones estáticas y de movimiento sin considerar las fuerzas que provocan lo que se denomina dinámica y requiere de la aplicación de Momentos de torsión en las articulaciones de los eslabones. Los movimientos se deben a Fuerzas Externas aplicadas por los actuadores en las articulaciones. Existen dos problemas relacionados con la dinámica a resolver. Conocido un punto de trayectoria (posición, velocidad y aceleración) se necesita encontrar el momento de torsión de articulación a aplicar. Se necesita calcular como se moverá el mecanismo al aplicar el Momento de Torsión. Es decir, dado el Momento calcular el movimiento resultante del robot (posición, velocidad y aceleración) DISTRIBUCIÓN DE MASA Generalmente se habla de la masa de un cuerpo rígido en sistemas de un solo grado de libertad, caso del movimiento rotacional sobre un solo eje llamado Momento de Inercia. Para un cuerpo rígido que puede moverse en 3 dimensiones hay infinitos ejes de rotación. Tensor de Inercia: Es el Momento escalar de Inercia de un objeto. Describe la distribución de la masa. Si se considera un elemento diferencial de volumen dv. El vector Ap posiciona el elemento diferencial dv. La masa es m= p. dv P= densidad del material Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 1 -
2 El Tensor de Inercia respecto a la terna de referencia es En esta matriz de 3x3 los componentes escalares son Los elementos I xx I yy I zz son Momentos de Inercia de masa que si los ejes coinciden con los ejes de referencia serán Momentos Principales de Inercia Los otros elementos se denominan Productos de Inercia de masa. Cuando se eligen los ejes principales de referencia es posible anular estos momentos. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 2 -
3 MODELO DINAMICO El modelo dinámico se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada ley de Euler: Formulación de la Segunda ley de Newton para el movimiento de cuerpos El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. F= m dv/dt (formulación para una masa) La segunda ley se aplica también a sistemas de masa variable. Hay que usar entonces la forma Newton habla solo de cuerpos, sin aclarar mucho, lo que corresponde a la partícula material. Para poder tratar sólidos o medios continuos hay que hacer hipótesis adicionales, como las de Euler. La segunda ley de Newton para movimientos de rotación la reformula Euler. Ecuaciones de Newton-Euler Para poder tratar sólidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta proponer hipótesis adicionales: Un método es suponer que las fuerzas internas entre las partículas de un sólido siguen la tercera ley de Newton en su formulación fuerte. Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuación del momento cinético como principio independiente. Euler formula dos principios básicos para la dinámica de cualquier sistema: 1. Cantidad de movimiento: 2. Momento de la cantidad de movimiento: Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 3 -
4 Cuando se considera la interacción entre N partículas, el Momento Cinético (M G ) es: Para la partícula i Para N partículas Para sistemas sólidos Los dos modelos son equivalentes para Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 4 -
5 MODELO DINÁMICO DE UN ROBOT Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en función de las fuerzas y pares que intervienen. Modelo dinámico inverso: expresa las fuerzas y pares que intervienen en función de la evolución de las coordenadas articulares y sus derivadas. (Esquema Modelado Integral de la Cinemática-Dinámica de un Robot) El modelo dinámico, relaciona matemáticamente: La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración. Las fuerzas pares aplicadas en las articulaciones (o en el extremo del robot). Los parámetros dimensionales del robot, como longitud, masa e inercias de sus elementos. La obtención de este modelo para mecanismos de uno o dos grados de libertad no es compleja, pero a medida que el número de grados de libertad aumenta, el planteamiento y obtención del modelo se complica enormemente. Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada. El modelo dinámico debe ser resuelto entonces de manera iterativa mediante la utilización de un procedimiento numérico. Sin embargo, el modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines: Simulación del movimiento del robot. Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot. Dimensionamiento de los actuadores. Diseño y evaluación del control dinámico del robot. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 5 -
6 Modelo Dinámico Completo El modelo dinámico completo de un robot debe incluir no solo la dinámica de sus elementos (barras o eslabones), sino la dinámica de sus sistemas de transmisión, de los actuadores y sus equipos electrónicos de mando. Estos elementos incorporan al modelo dinámico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrónicos, etc. aumentando aun más su complejidad. MODELO DINAMICO DE UN SISTEMA SOLIDO (NEWTON-EULER) La obtención del modelo dinámico se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada ley de Euler: En Robótica se hacen simplificaciones o restricciones necesarias para encontrar ecuaciones analíticas. Caso 1. Eslabón simple (Newton-Euler) Para el Caso de un sistema simple (Robot Monoarticular) el equilibrio de fuerzas da como resultado: Figura 2. Eslabón rígido y masa M concentrada (Mono-articulación) Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 6 -
7 Para un número mayor de grados de libertad en un robot, deben considerarse otros aspectos de valoración, fuerzas de inercia y gravedad, fuerzas de Coriolis debido a la interacción, movimiento relativo existente entre los elementos, además de las fuerzas centrípetas que dependen de la posición del robot. Este planteo requiere de mayor formulación y variables que hacen muy compleja la solución por este método. Solo es útil para uno o dos grados de libertad de un robot. ECUACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS O VARIABLES DE ESTADO En principio, las ecuaciones de Newton-Euler establecen una ecuación dinámica que puede escribirse como: Donde, M es la matriz de masas de nxn, V es el vector matriz nx1 de las fuerzas de coriolis y centrífugas, y G es el vector matriz nx1 de fuerzas de gravedad. M y V dependen de la posición y velocidad. G depende solo de la posición. Todos estos componentes (M, V,G) tienen elementos complejos que dependen de la posición y velocidad articular. Se utiliza el nombre Ecuación en el Espacio de Estados o Variables de Estado porque las ecuaciones dependen de las posiciones y velocidades articulares. FORMULACIÓN DINAMICA LAGRANGIANA La formulación Lagrangiana es un método de balance de energías entre la cinética y la potencial sobre los elementos del robot. Es comparable al análisis dinámico de Newton-Euler, donde se podría decir que es un balance de fuerzas dinámicas. Es importante remarcar que ambos métodos llevan o proporcionan iguales resultados de ecuaciones de movimiento. Se debe considerar la energía cinética y la energía potencial de cada eslabón o vínculo ENERGIA CINÉTICA: Presenta 2 términos (uno debido a la velocidad lineal y otra a la rotación) En la ecuación cinética, el primer término es la energía cinética debida a la velocidad lineal del centro de masas del vínculo, el segundo término es la energía cinética debido a la velocidad angular del vínculo. Según Graig(2006) La energía Cinética Total es función de la posición y velocidad articular: Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 7 -
8 ENERGÍA POTENCIAL Es la energía almacenada en el robot y se determina en función del aporte de cada vínculo del robot. La energía potencial del i-ésimo vínculo se expresa como Energía Potencial del enlace o vínculo i Donde m es la masa del eslabón, g la aceleración de la gravedad y P o altura potencial es el vector que ubica el centro de masas del i-ésimo vínculo (es la altura potencial de un eslabón rígido). Uref es un valor constante que se puede elegir de modo tal que el valor mínimo de Ui sea cero. Uref se corresponde con una energía potencia relativa definida a una determinada altura de referencia arbitaria con valor final Cero. Debido a que el método lagrangiano utiliza derivadas de la energía potencial, es que este término Ui desaparece por ser una constante. Se verá luego en un ejemplo aplicado Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 8 -
9 La energía potencial total (u) almacenada en el robot es la sumatoria de todas las Ui. FORMULACION LAGRANGIANA Una forma de representación (según Graig) considera que la energía cinética es función de la posición y velocidad articular, y la energía potencial es función de la posición solamente. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 9 -
10 DESARROLLO DE LAGRANGE para el caso del eslabón rígido con masa concentrada M de la Figura 2, es decir, el robot Monoarticular Energía Cinética (K) Desaparece la componente de movimiento lineal Para el análisis Potencial ( U ) Desarrollando K U Finalmente Conclusión: Ecuación resultante igual a la de Newton-Euler. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 10 -
11 Caso2. Eslabón doble con movimientos lineales y angulares. DESARROLLO DE LAGRANGE para un caso más amplio. Sean 2 eslabones unidos por un vínculo. El eslabón 1 con movimiento de Rotación y el eslabón 2 con movimiento de traslación. Según la figura se determina la ecuación de movimiento en función de las energías cinética y potencial. y x Figura 3. Eslabones unidos por una articulación de traslación Energía Cinética del Vínculo 1. Se tomará a K 1 como la suma del aporte de movimiento debido a la velocidad lineal y el aporte de la velocidad de rotación. Eslabón 1, energía cinética (nomenclatura del libro Graig, 2006) Para el primer término se considera la relación entre la velocidad lineal (vc) y la velocidad angular w=v c /l 1, es decir, v c 2 = w 2 l 1 2 Para el segundo término (componente rotacional) la velocidad es la derivada primera de la posición articular. El eje de referencia es zz por lo que muestra la figura 3. Para el eslabón 2, la energía cinética es k 2 La energía cinética total es K= k1 + k2 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 11 -
12 Para determinar la energía potencial, se considera el aporte de los 2 eslabones u 1 y u 2 Eslabón1, energía potencial donde: m 1 l 1 g es el potencial de referencia que hace que el equilibrio. Esto sucede si consideramos la ecuación completa, es decir, el aporte de la u1 de referencia que es de signo contrario ( ). En el equilibrio el eslabón 1 y 2 estarán en dirección perpendicular hacia abajo, es decir, el ángulo es -90, por lo que el valor queda negativo Esto hace que u1 = 0 en el equilibrio, Pero debido a que se estudia la energía en su totalidad, las derivadas harán que este término se anule. Eslabón 2, energía potencial De igual forma La energía potencial total, que depende solo de la posición es: Se deben considerar las derivadas parciales según el método de lagrange Finalmente, considerando que: Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 12 -
13 Para los eslabones 1 y 2 se tienen las expresiones Se observa que para la matriz M se deben considerar las inercias debido a la aceleración articular de rotación (1er.columna) y la aceleración articular de traslación o lineal (2da. columna) PRACTICA. Caso2. Eslabón doble con movimientos lineales y angulares. Utilice el método de Newton-Euler para determinar los esfuerzos en los eslabones 1 y 2. Verifique las expresiones con lo calculado con el método de Lagrange. COMPARACIONES Formulaciones del modelo dinámico de un Robot Formulación de Lagrange-Euler Poca eficiencia computacional: O(n 4 ) (n=nº GDL) Ecuaciones finales bien estructuradas Formulación de Newton-Euler Procedimiento recursivo Basado en operaciones vectoriales Ecuaciones poco estructuradas Mayor eficiencia computacional: O(n) IMPORTANTE El torque o par considerado en las ecuaciones presupone valores efectivos. Cuando existen Perturbaciones, Rozamientos (Viscoso y Seco) éstos deberán ser considerados. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 13 -
14 MODELO DINAMICO COMPLETO La forma que presenta el modelo dinámico tiene en cuenta T= D(q) q + H + C + F + R q=vector de coordenadas articulares q =velocidad articular q = aceleración articular T=Torque que se aplica a cada articulación D(q)=Matriz de inercias de nxn cuyos elementos son función de q H(q,q )= Matriz nx1 Fuerzas de Coriolis son función de q y q C(q)= Matriz nx1 fuerzas de gravedad son funión de q n=grados de libertad del robot Los elementos de H, C, F, R son difíciles de obtener. Varios estudios e investigaciones toman valores o métodos de solución que expresan relaciones complejas Para H se tomara una expresión derivada de la Matriz D según el autor (SPONG-06) Expresado en el libro de Barrientos MODELO DINÁMICO FORMULACION LAGRANGE - EULER Uicker en 1965, utilizo la representación de D-H basada en las matrices de transformación homogénea para formular el modelo dinámico de un robot mediante la ecuación de Lagrange. Característica Este planteamiento utiliza matrices i-1 A i que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional. El algoritmo es de orden de complejidad computacional O(n 4 ). Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento. (Orden de operaciones o iteraciones) Cuando se hace uso de operaciones o algoritmos computaciones basados en métodos numéricos se debe tener presente que el número de iteraciones está en función de: METODO NUMERICO N ITERACIONES (1)Cholesky n 3 /6 (2)Factorización LU n 3 /3 (3)Factorización QR 4 n 3 /3 (4)Jacoby 6 n 3 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 14 -
15 (1)(2) Se utilizan cdo se trabaja con Matrices simétricas que pueden ser descompuestas como el producto de 2 matrices, una matriz triangular inferior(l) y la matriz transpuesta de la inferior. También son útiles para resolver ecuaciones SEL. Si el número de grados de una ecuación tiende a infinito, los métodos numéricos que mejor se adaptan para trabajar son del orden de n 2 y n 3 iteraciones. ALGORITMO COMPUTACIONAL MODELO DINÁMICO LANGRANGE-EULER Se presenta a continuación al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinámico del robot por el procedimiento de Lagrange-Euler (L-E). Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 15 -
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17 NOTAS Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 17 -
18 EJEMPLO. APLICACIÓN DEL ALGORITMO COMPUTACIONAL DE LAGRANGE-EULER Robot 2 grados de libertad (rotación en 1, traslación en 2) con base fija. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 18 -
19 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 19 -
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26 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 26 -
27 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 27 -
28 Figura del robot pero con la base tumbada. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 28 -
29 MODELO DINÁMICO PRO FORMULACIÓN RECURSIVA DE NEWTON-EULER Donde, Fi= fuerzas ejercidas sobre el eslabón i Ti= pares de fuerzas ejercidos sobre el eslabón i en torno a su centro de masas. mi= es la masa del eslabón i Ii= tensor de inercia del eslabón i respecto de su centro de masas Vi y vi= velocidad y aceleración lineal del centro de masas de la articulación i. Wi y wi= velocidad y aceleración angular de la articulación i. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 29 -
30 ALGORITMO COMPUTACIONAL MODELO DINÁMICO NEWTON-EULER Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 30 -
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33 EJEMPLO. APLICACIÓN DEL ALGORITMO COMPUTACIONAL DE NEWTON-EULER Robot 2 grados de libertad (rotación en 1, traslación en 2) con base fija. Para el mismo robot desarrollado con el método de lagrange-euler, se presenta el modelo dinámico utilizando la formulación Newton-Euler. Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 33 -
34 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 34 -
35 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 35 -
36 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 36 -
37 Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 37 -
38 Estas ecuaciones coinciden con las obtenidas para el método de Lagrange-Euler Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 38 -
39 MODELO DINAMICO EN EL ESPACIO DE LA TAREA Relaciona las coordenadas articulares con los pares de fuerzas desarrolladas en las articulaciones del robot. Cuando se relacionan la trayectoria del extremo del robot y las fuerzas que se aplican, referidas a un sistema de coordenas cartesianas fijo en el entorno de trabajo (espacio de trabajo), que generalmente es la base del robo, entonces se trabaja en el Espacio de la Tarea. Para obtener la expresión del modelo dinámico se requieren las ecuaciones El jacobiano (o matriz jacobiana) relaciona las velocidades articulares y la velocidad lineal (v) y angular (w) del extremo del robot expresadas en el sistema de referencia de la base del robot (So) Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 39 -
40 Sustituyendo en la expresiones Se obtiene Expresiones que definen el modelo dinámico en coordenadas cartesianas o de la tarea de un robot a partir del modelo dinámico en el espacio articular o de la configuración de su matriz Jacobiana. DINAMICA DE LOS EFECTOS DE FRICCIÓN EN LOS ROBOTS En la práctica, sobre los mecanismos reales es muy común la interacción de elementos móviles con una fuerte presencia de fuerzas de fricción que es considerable, por ejemplo, en los engranajes. Los mismos pueden, además, presentar excentricidades que aumentan las fuerzas de fricción, que en muchos casos la influencia es equivalente al 25% del momento de torsión requerido para mover el robot en situaciones comunes. Para que las ecuaciones dinámicas reflejen los efectos reales del mecanismo físico es necesario modelar con cierta aproximación tomando modelos simples, uno de ellos es Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 40 -
41 Considerar la Fricción Viscosa, donde el momento de torsión es proporcional a la velocidad del movimiento de la articulación: Fricción Viscosa Donde v es la constante de fricción viscosa. Otro modelo simple es la Fricción de Coulomb, que es constante solo que se debe considerar el signo en la velocidad de la articulación Fricción de Coulomb Donde, c es la constante de fricción de Coulomb que toma 2 valores, uno es cuando el ángulo de la articulación vale 0 (coeficiente estático) y otra menor cuando el ángulo de la articulación es diferente de cero (coeficiente dinámico) Un modelo razonable es tomar la influencia de los dos Un modelo más realista es considerar la influencia de la posición de las articulaciones, esto es porque muchas veces los engranajes, por ejemplo, la fricción cambia con la posición que adoptan porque al haber excentricidades, las posiciones temporales quedan con mayor o menor engrane y esto modifica el valor de la fricción. BIBLIOGRAFIA DE REFERENCIA CONSULTADA R.L. Norton, Diseño de Maquinaria, 2ª edición., Ed. McGraw Hill, Mexico, David G. Alciatore, M. Histand, Introducción a la Mecatrónica y los sistemas de medición. 3er. edición, Ed. McGraw Hill, México, Barrientos et all. Fundamentos de Robótica, 2 edición., Ed. McGraw Hill, Madrid. España Craig John J. Robótica, 3 edición, Ed. Prentice Hall, México Ollero Baturone Aníbal Robótica. Manipuladores y Robots Móviles,Ed. Marcombo, México Robótica II. Roberto HAARTH. Facultad de Ingeniería. UNCuyo PAG. 41 -
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