TEMA 4. TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

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1 TEMA 4. TRANSFORMACIONES EN EL PLANO HERRAMIENTAS PARA TRANSFORMACIONES En este bloque encontramos las siguientes herramientas: Simetría axial La herramienta Refleja objeto en recta dibuja la figura simétrica de un objeto con respecto a un eje que puede ser una recta, una semirrecta, un segmento, un vector, un eje o el lado de un polígono. El proceso se iniciará al marcar el objeto del cual deseamos obtener su simétrico, a continuación, señalaremos el eje con respecto al que se realizará la simetría. El objeto obtenido como simétrico es un objeto dependiente del objeto inicial, por lo que para cambiar su aspecto tendremos que modificar el aspecto del original. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 60

2 También cambiará, aunque en este caso, sólo de posición, al variar el eje de simetría. Simetría central Con la herramienta Refleja objeto por punto se realiza una simetría central, por lo que aplica un giro de 180º con respecto a un punto. La forma de utilizar esta herramienta es análoga a la anterior; para realizar la simetría se podrá utilizar uno de los vértices del objeto inicial o cualquier otro punto del plano. Evidentemente, los objetos obtenidos dependen del objeto inicial y del punto con respecto al cual se ha realizado la simetría. Inversión La herramienta Refleja punto por circunferencia dibuja un punto A' inverso de un punto A con respecto a una circunferencia. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 61

3 Los puntos A y A' verifican la relación: OA OA' = r 2 siendo O el centro de la circunferencia y r su radio. Podemos comprobar la relación entre las distancias que relacionan al punto A con su inverso A' con respecto a la circunferencia de centro r. Utilizando Distancia o longitud medimos las distancias OA, OA' y el radio de la circunferencia. A continuación, calculamos el valor de las expresiones OA OA' y 2 r llevando las medidas anteriores al Campo de entrada. Para ello, pulsamos el botón derecho del ratón sobre cada una de las medidas. Aparecerá el siguiente menú desplegable: Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 62

4 Traslación Con la herramienta Traslada objeto por vector obtendremos la imagen de un objeto al que se le aplica una traslación determinada por un vector creado previamente. Rotación Utilizaremos la herramienta Rota objeto en torno a punto el ángulo indicado, para dibujar la imagen de un objeto al que se le aplica un giro cuyo ángulo está determinado por un valor numérico. Una vez seleccionado el polígono y el punto, alrededor del cual se desea girar, aparecerá un cuadro de diálogo para introducir el ángulo de giro. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 63

5 El ángulo de giro también puede ser el valor de la medida de un ángulo previamente calculado. Homotecia La herramienta Homotecia desde un punto por un factor de escala crea la imagen de un objeto que se reduce o amplía, según un valor numérico que determina el factor de homotecia. El factor de homotecia se introduce a través del cuadro de diálogo que aparecerá después de seleccionar el polígono al que se desea aplicar la homotecia y el punto origen. Una vez introducido el factor de homotecia, aparecerá la figura original y su transformada. Ejemplo 1 Sea A y B dos puntos que están en el mismo lado de una recta r. Encontrar el camino mínimo desde el punto A hasta B, pasando por un punto de la recta. Dibujamos una recta r y los dos puntos A y B. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 64

6 El problema quedará resuelto cuando esté determinado el punto C en la recta que hace que AC + CB sea mínimo. Utilizando la herramienta Reflexión de un objeto dada la recta de simetría axial (Simetría axial) obtenemos el punto B' simétrico de B con respecto a la recta r. El camino más corto es AC + CB siendo C el punto de intersección del segmento AB con la recta r. Por tanto si AC + CB es el camino más corto, como BC = B'C, tenemos el camino más corto para ir desde A hasta B pasando por un punto de la recta r. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 65

7 Este enunciado corresponde a problemas como el siguiente: Un pájaro está sobre la rama de un árbol (A), situado al borde de un río y desea pasar a otro árbol, situado en la orilla izquierda (B), aprovechando para beber agua sin parar su vuelo. Hacia qué punto del río debe dirigirse para hacer el recorrido más corto? Ejemplo 2 Construir un cuadrado a partir del segmento correspondiente al lado. Es posible determinar los vértices utilizando sólo la herramienta Rotación? Generalizar el método anterior para dibujar otros polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Para dibujar un cuadrado a partir del segmento AB correspondiente al lado, bastará con trazar perpendiculares al lado por lo puntos A y B. A continuación, utilizando la herramienta Compás dibujamos las circunferencias de radio AB con centro en A y B, respectivamente. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 66

8 Los puntos de corte con las rectas anteriores serán los dos vértices que faltan para completar el cuadrado que a continuación, dibujaremos utilizando la herramienta Polígono. Para realizar la construcción de un cuadrado utilizando la herramienta Rota objeto en torno a punto, bastará con girar un ángulo de 90 en sentido antihorario, el punto B con respecto al punto A y girar 90 en sentido horario; el punto A con respecto al extremo B, en sentido contrario. Los dos puntos que obtenemos son vértices del cuadrado, que dibujaremos de nuevo utilizando la herramienta Polígono. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 67

9 Ejemplo 3 Construir un triángulo, a partir de dos de sus lados y del ángulo comprendido. Una vez dibujados los segmentos a y b correspondientes a los lados y al ángulo, trazamos una semirrecta sobre la que trasladaremos las distintas medidas. Con la herramienta Circunferencia dados su centro y radio, dibujamos sendas circunferencias de radios a y b, tomando como centro el origen de la semirrecta, que corresponderá al vértice A del triángulo buscado. Estas circunferencias determinan dos puntos de intersección con la semirrecta, que corresponden al vértice B del triángulo y a un punto C que da la distancia del segundo lado. Utilizamos la herramienta Rotación para girar el punto C alrededor del punto A con ángulo de rotación igual al ángulo medido en A; obtendremos el punto C' que corresponde al tercer vértice del triángulo. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 68

10 Ejemplo 4 Comprobar que la composición de dos homotecias de centros diferentes, es una homotecia cuyo centro está alineado con los anteriores y su razón de homotecia es el producto de las razones. Dibujamos un triángulo ABC, dos puntos O y O' que utilizaremos como centros de las sucesivas homotecias, cuyas razones sean 2 y 1'5, respectivamente. Realizamos la primera homotecia del triángulo con centro en O y razón 2 y, al triángulo obtenido le aplicamos una nueva homotecia de razón 1'5 y centro O'. Para determinar el centro de la composición de las dos homotecias, trazamos dos rectas que unan puntos homotéticos del primer y del tercer triángulo; el punto de intersección O'' corresponde al centro de la homotecia composición. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 69

11 Para hallar la razón k de la homotecia composición, bastará con aplicar la O'' A'' definición de homotecia en la que se cumple la relación: = k. O'' A MOSAICOS Un mosaico se construye repitiendo, de forma ordenada, una o varias figuras geométricas para rellenar el plano o el espacio, sin dejar huecos ni producir solapamientos. Ejemplo 6 Construir un mosaico utilizando un triángulo cualquiera. Dibujamos un triángulo ABC que rellenamos de color y en él marcamos los vectores AB y AC. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 70

12 Utilizando la herramienta Traslada objeto por vector realizamos dos traslaciones del triángulo ABC, tomando como vectores AB y AC, respectivamente. Repitiendo el proceso de traslación sobre los nuevos triángulos, utilizando los mismos vectores, obtendremos el mosaico formado con el triángulo ABC. Podemos deformar el triángulo ABC, arrastrado cualquiera de los vértices del triángulo inicial. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 71

13 Ejemplo 7 Construcción de un mosaico a partir de una figura geométrica irregular. En un triángulo equilátero ABC, dibujado a través de la herramienta Polígono regular, construimos una figura geométrica con la cual realizaremos un mosaico a través de traslaciones. A partir del punto A, con final en el punto B, dibujamos tres segmentos que no tienen por qué ser iguales, aunque recomendamos definir un polígono, al que después realizaremos un giro de 60 con centro en el punto A. Definimos el punto F como punto medio del lado BC del triángulo y un punto G interior al triángulo, sobre el que realizamos una simetría con respecto al punto F para obtener el punto G'. Con la herramienta Polígono, definimos la figura geométrica que vamos a utilizar para realizar el mosaico que rellenamos para mejorar el efecto. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 72

14 Definimos los vectores AB y CB. A continuación, realizando traslaciones, utilizando los dos vectores anteriores y ocultando previamente todos los vértices, obtendremos el correspondiente mosaico. ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Sea ABC un triángulo acutángulo y P un punto sobre el lado AB. Obtener los puntos Q y R en los lados AC y BC respectivamente, tales que el perímetro del triángulo PQR sea mínimo. 2. Las rectas r y s son mediatrices de un triángulo ABC. Conocido el vértice A, obtener los dos vértices restantes. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 73

15 3. Las semirrectas Ax y By son dos bisectrices del triángulo ABC. Construir el triángulo. 4. Dibujar un triángulo a partir del segmento correspondiente a un lado y de los dos ángulos adyacentes. 5. Comprobar que la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos, coincide con una traslación. Determinar el vector de la traslación. 6. Dibujar un triángulo ABC y construir su triángulo homotético de razón k. Qué relación existe entre el área y el perímetro de los dos triángulos homotéticos? 7. Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Comprobar que los puntos simétricos del punto P, con respecto a cada uno de los lados del triángulo, están alineados. Esta recta, denominada recta de Steiner, es paralela a la recta de Simson y pasa por el ortocentro del triángulo. 8. Sean A y B dos puntos cualesquiera del interior de dos semirrectas, con origen común en el punto O. Determinar los puntos M y N en cada una de las semirrectas, de manera que el camino AM, MN y NB sea de longitud mínima. 9. Sea A uno de los puntos comunes en los que se cortan dos circunferencias. Dibujar una recta que, pasando por A, determine cuerdas de longitud igual en ambas circunferencias. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 74

16 10. Realizar el siguiente mosaico utilizando un cuadrilátero. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 75

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