Circuitos y Sistemas Dinámicos Ejercicios tema 4 Respuesta en frecuencia y circuitos resonantes

Transcripción

1 rcutos y Sstemas Dnámcos Ejerccos tema 4 espuesta en frecuenca y crcutos resonantes 4. Dada la sguente funcón de transferenca: G(j ω ) 5jω (jω.5) (j ω ) 4jω Escrbrla en forma estándar. b) Trazar el dagrama asntótco de Bode de módulo y fase señalando todas sus pendentes y puntos crítcos. c) orregr este dagrama con algunos puntos característcos. 4. Dbujar el dagrama asntótco de Bode de módulo y fase para el crcuto de la fgura tanto para la funcón de transferenca U a /U e como para U b /U e. alcular el valor exacto para las frecuencas f, f, f /, f, f y f / sendo f /(π ) y f /(π ) omparar los resultados en los casos sguentes: 5,9 Ω; µf; y,8 kω; nf b) kω;, µf; y 8 kω; 5,6 nf Ue Ua Ub 4.3 En el crcuto sere de la fgura: alcular la funcón de transferenca que relacona la tensón en la resstenca con la tensón en la fuente. b) Partcularzar para 5 H, 3 Ω y 5 nf. c) Dbujar el dagrama de Bode de módulo y fase. d) epetr el problema para la funcón de transferenca entre la tensón de la autonduccón y la tensón de la fuente y comparar los resultados. V - Vo 4.4 En el crcuto de la fgura: Escrbr la funcón de transferenca en forma estándar que relacona la tensón de salda con la tensón de entrada. kω, r 5 Ω, µf,,3 H. b) Dbujar el dagrama de Bode. c) Interpretar la posble utlzacón práctca del crcuto. V - r Vo

2 4.5 (Examen Febrero 99) Para el crcuto de la fgura, construdo con un amplfcador operaconal deal, se pde: Demostrar que la relacón entre la tensón de salda V o y la tensón de entrada V g en régmen permanente es: V, 5( j ω) 3 Vg,( j ω ), 5( j ω ) jω 4 b) Dbujar los dagramas asntótcos de Bode de ampltud y fase en el papel que se ha sumnstrado al efecto. Indcar las pendentes de cada recta y las frecuencas de esquna (tambén llamadas de codo ). c) Indcar los puntos característcos sguentes (ndcando gananca en db, fase y frecuenc: ampltud máxma, ampltud 5 db y fase nula. d) Dbujar el dagrama de Bode de forma aproxmada. 4.6 En el crcuto sere de la fgura: alcular la funcón de transferenca que relacona la tensón en el condensador con la tensón en la fuente. b) Partcularzar para 5 H, 3 Ω y 5 nf. c) Dbujar el dagrama de Bode de módulo y fase. d) Determnar la frecuenca para la que se alcanza el valor máxmo de tensón en el condensador. ompararla con la frecuenca de resonanca. v - v o 4.7 Dbujar el dagrama de Bode correspondente a la expresón de la mpedanca del sguente crcuto: Sn realzar nnguna aproxmacón. b) Susttuyéndolo por su crcuto paralelo equvalente. c) omparar lo resultados y decdr para qué frecuencas es sufcente la aproxmacón.,5 H 7,5 Ω,5 µf Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

3 4.8 (Examen Septembre 99) Se consdera el sguente dagrama de Bode de ampltud: 3 Ampltud (db) - 3 Pulsacón (rad/s) Determnar una funcón de transferenca que tenga dcha funcón de ampltud sabendo que se trata de un cocente de polnomos. Es necesaro determnar los coefcentes de los térmnos de los polnomos del numerador y denomnador. b) Una vez obtenda la expresón de la funcón de transferenca, dbujar el dagrama de fase. 4.9 El crcuto de la fgura representa una bobna real en paralelo con un condensador. (, H; 3,5 Ω;,5 µf) Se pde estudar la varacón del módulo de la mpedanca de este dpolo al varar la frecuenca, representando el dagrama asntótco de Bode de ampltud correspondente. b) Medante este dagrama estmar el valor máxmo que alcanza la mpedanca. 4. Aplcando la defncón de factor de caldad, deducr su expresón para un crcuto en sere a la frecuenca de resonanca. 4. Sabendo que se cumple ω, calcular la tensón en la mpedanca Z de la fgura. Exprésese j en forma exponencal. I e A; f 5 Hz ; 38, mh _ I _ Z _ Uz 4. Un oscloscopo se utlza para medr la tensón en una bobna real con una nductanca de mh y una resstenca de kω. El oscloscopo tene una mpedanca de entrada de, MΩ en paralelo con una capacdad de pf. a bobna está almentada medante un generador de tensón snusodal con una pulsacón de 7 Mrad/s, que tene una resstenca nterna de kω. a ampltud de pco de la fuente cuando está en vacío es de 5 V. Dbujar el crcuto correspondente. b) Determnar el error porcentual cometdo en la medda. Gen. Bobna OS Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

4 4.3 El crcuto representa un sntonzador elemental para Hz. Sendo la tensón de entrada de V calcular: Tensón de salda para f Hz. b) Tensón de salda para f 5 Hz. c) Tensón de salda para f Hz. d) Determnar s exste resonanca en el crcuto y a qué frecuenca en caso afrmatvo. e) Igualmente en caso afrmatvo, determnar las frecuencas de corte. Ue - Ω.5mH.Ω.µF Us 4.4 En el crcuto de la fgura, calcular los valores de y para que la carga se vea con una mpedanca gual a la de la fuente (puramente g resstva, g) s esta es snusodal y su pulsacón es ωg. onsderar que g >>. (ωg) Para el crcuto de la fgura: alcular su frecuenca de resonanca. b) Demostrar que s se cumple / presenta resonanca para todas las frecuencas. 4.6 En el crcuto sere de la fgura determnar: Frecuenca de resonanca. b) Factor de caldad. c) Ancho de banda. d) Intensdad en resonanca para una tensón de almentacón de 5 V. e) Tensón en el condensador en la resonanca. Partcularzar para los sguentes valores: (H) (Ω) (nf) 5 3 5,7 6 5, Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

5 4.7 El crcuto de la fgura representa una bobna real en paralelo con un condensador almentados con una fuente de ntensdad. Determnar: Frecuenca de resonanca. b) Factor de caldad de la bobna. c) Ancho de banda. d) Impedanca a la frecuenca de resonanca. e) Intensdad en la bobna en la resonanca. (Suponer que en la fuente I A) Partcularzar para los sguentes valores: (H) (Ω) (µf), 6,5,3,5 7,5,5, 3,5,5 4.8 Una red monofásca, representada medante su dpolo equvalente (fuente de tensón u en sere con autonduccón r ) está almentando una carga que además tene un condensador en paralelo con el objeto de mejorar su factor de potenca en régmen alterno senodal. a carga es pasva y equvale a una resstenca 7 Ω en sere con una autonduccón de valor,4 H. Se consdera ncalmente que la tensón u es senodal y que tene una expresón nstantánea u(t) u (t) 363 sen( π t) V. En esta stuacón, calcular la ntensdad efcaz en el condensador. b) En la msma stuacón que en el apartado anteror, calcular el factor de potenca del conjunto carga-condensador. c) Determnar la frecuenca de resonanca paralelo del conjunto carga-condensador. En los sguentes apartados se consdera que la tensón u(t), además de la onda fundamental, contene un armónco de orden 5 que no se tuvo en cuenta para el dseño del condensador de compensacón de reactva. Su nueva expresón es: u(t) u (t) u (t) 363 sen( π t) sen(5πt) V 5 En estas condcones, calcular: [ ] d) a ntensdad efcaz en el condensador. e) El factor de potenca en el conjunto carga-condensador, defndo como FP P/S. f) Determnar la frecuenca de resonanca sere del conjunto red-carga-condensador. Interpretar los resultados desde el punto de vsta de la resonanca. o r.3 H u(t) o.6µf arga Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

6 4.9 a tensón a la entrada del crcuto de la fgura tene la expresón: v (t) [ cos(πt) cos(4πt) ] os condensadores y se escogerán de forma que el crcuto transmta a la salda de forma efcaz la señal de khz y bloquee al máxmo la señal de khz. Establecer el valor de ambos condensadores b) Determnar la expresón de la tensón a la salda. kω 6mH v kω v o 4. El crcuto de la fgura es resonante a dos frecuencas dstntas. A una de ellas (ω ) presenta baja mpedanca, mentras que a la otra frecuenca (ω ) presenta mpedanca nfnto. Se pde: Deducr el valor de las frecuencas ω y ω. b) Deducr el valor del factor de caldad y del ancho de banda asocado a cada resonanca. S P 4. (Examen Febrero ) Para el crcuto de la fgura, en el que el amplfcador de gananca K es deal, se pde: U e K 3 U s Determnar la funcón de transferenca entre la tensón de salda y la tensón de entrada. b) Dbujar el dagrama de Bode asntótco en ampltud y fase, especfcando claramente las pendentes de los dferentes tramos y las pulsacones a las que se producen los cambos, para el caso: Ω, kω, µf, 49 µf, 3 µf, H, K. c) Estmar la gananca máxma y los valores de pulsacón y fase para los cuales la gananca es de db. on ello, dbujar aproxmadamente el dagrama de Bode. d) alcular, s exste, el valor de para el cual el sstema resulta de segundo orden. Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

7 4. (Examen Septembre ) Se pretende estudar la respuesta en frecuenca del crcuto de la fgura. 4 kω. µf. µf V. H V o Se pde: Obtener la funcón de transferenca V o /V en forma factorzada. b) Atendendo al polnomo del denomnador, ndcar el tpo de respuesta (sobreamortguada, crítcamente amortguada o subamortguad. c) Determnar las frecuencas a las que se producen los cambos de tendenca en el dagrama de Bode en ampltud (no es precso dbujar dcho dagram. d) uánto vale V o /V a frecuenca cero y a frecuenca nfnta? e) uánto vale V o /V a frecuenca angular 5 krad/s? 4.3 Para el crcuto de la fgura hallar una relacón entre y para una dada, tal que el crcuto presente una carga puramente resstva y de valor, vsto desde la fuente, a todas las frecuencas. u (Examen Febrero ) Dada la funcón de transferenca sguente: Se pde: H ( s) s 3 s 4 s 5 ( ) s ( ) s Dbujar el dagrama asntótco de Bode de ampltud. b) Dbujar aproxmadamente la curva real de este msmo dagrama. Indcar los puntos calculados para trazar dcha curva. c) Indcar aproxmadamente la pulsacón para la que la ampltud sea de 6 db. d) Indcar esta msma pulsacón utlzando la curva real. e) Dbujar el dagrama asntótco de Bode de fase. f) Dbujar la fase real de forma aproxmada. g) Indcar qué térmno del tpo (s es necesaro nclur en el numerador de la funcón de transferenca orgnal para que la ampltud a frecuencas bajas menores que la menor frecuenca de esquna de H(s) sea db. Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

8 4.5 (Examen Febrero ) Dado el crcuto de la fgura, determnar la pulsacón para la cual el crcuto es resonante para la fuente de ntensdad. E I 4.6 (Examen Septembre ) En el crcuto de la fgura, 5 Ω, mh, 4 Ω, 3.8 µf. * Se aproxma la pulsacón de resonanca que ve la fuente E medante la expresón ω r. Se pde: Expresón exacta de la pulsacón de resonanca ω r que ve la fuente E. Error absoluto cometdo al usar la aproxmacón para el crcuto representado con los valores dados. b) Valor aproxmado del ancho de banda. Explcar las aproxmacones que se realcen. c) Valor que debe tener para que la respuesta natural del crcuto sea crítcamente amortguada. E Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

9 4.7 (Examen Septembre ) Dado el crcuto de la fgura, se pde: V V Obtener la funcón de transferenca entre la tensón de salda y la tensón de entrada en la forma estándar ndcada a contnuacón: N N n V a jω a jω a jω a jω G(j ω ) G V b jω b jω b jω b jω b) Indcar las dmensones de cada elemento a n, valor de G? N N n M M m M M m b m y del térmno G. Qué sgnfca el Sabendo que los elementos del crcuto tenen los sguentes valores: Ω, mh, µf, kω,, µf Se pde: c) alcular el valor de G, así como todas las pulsacones (en rad/s) representatvas del dagrama de Bode asntótco en ampltud. d) Trazar el dagrama de Bode asntótco de ampltud señalando todas sus pendentes y puntos representatvos. e) Indcar sobre el dagrama del apartado d) algunos puntos característcos (pulsacones del apartado c). f) alcular la expresón de la tensón v (t) en régmen permanente para una tensón de entrada v (t) sen(t) V. Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

10 4.8 (Examen Febrero ) onsderando el crcuto de la fgura se pde: I ( s) Obtener la funcón de transferenca V s. b) uál es el orden del crcuto? c) Pulsacón de resonanca vsta desde el generador v. d) Factor de caldad y ancho de banda correspondentes. Vo s e) Obtener la funcón de transferenca V s Vo s f) Obtener la funcón de transferenca V s.. v o (t) v (t) (t) v o (t) onocdos los valores de los componentes del crcuto: Ω, H, µf; Se pde: g) Trazar el dagrama de Bode de ampltud y fase de las funcones de transferenca V o ( s) V s V o ( s) V s. Se deben dbujar claramente las asíntotas señalando sus pendentes y las pulsacones de esquna. Además, se deben estmar los valores máxmos o mínmos de módulo y su poscón en el dagrama de Bode de ampltud. y 4.9 (Examen Septembre ) Para el amplfcador que se representa en la fgura se pde lo sguente: I(s) V g - gv g V - Hallar la funcón de transferenca V o (s)/i(s) en forma normalzada, en funcón de los parámetros que constan en la fgura. (Nota: g es la gananca en A/V de la fuente dependente) b) omprobar que la funcón de transferenca hallada es dmensonalmente correcta. c) Partcularzando la funcón de transferenca hallada anterormente para los valores: 8 kω, pf, g, ma/v y 3,3 kω, dbujar los dagramas asntótcos de ampltud y fase. Indcar los puntos característcos. Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

11 4.3 (Examen Febrero 3) onsderando el crcuto de la fgura, en el que el amplfcador operaconal se puede consderar a todos los efectos como un amplfcador deal, se pde: Obtener la funcón de transferenca entre la tensón de salda y la tensón de entrada en el formato normalzado ndcado a contnuacón: G( jω ) N N n ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) M M m ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) V a j a j a j a j G V b j b j b j b j N N n M M m b) Indcar las undades de cada elemento a, y G, comprobando que son coherentes con las undades de la funcón de transferenca. c) Se podría haber calculado el valor de G de forma más drecta sn haber tendo que obtener la funcón de transferenca completa? En caso afrmatvo explcar muy brevemente cómo se calcularía dcho valor. b V V Sabendo que los valores de los elementos del crcuto son: Ω, 9 Ω, H y µf, se pde: d) alcular todas las pulsacones (en rad/s) necesaras para trazar el dagrama de Bode asntótco de ampltud. e) Dbujar el dagrama de Bode asntótco de ampltud. f) Indcar sobre el dagrama del apartado anteror el valor de la gananca en db de los puntos más sgnfcatvos, es decr, para la pulsacón tendendo a cero y las pulsacones ctadas en d). S la tensón de entrada es una onda no senodal de pulsacón v () t ( ωt) ( ωt) ( ωt) cos cos 5 cos 9 5 V 5 9 ω rad/s con sere de Fourer: g) Para obtener la expresón de la tensón de salda v (t) en régmen permanente es razonable gnorar los térmnos de orden superor al cnco? 4.3 (Examen Febrero 3) Para el crcuto de la fgura, obtener la funcón de transferenca U(s)/I(s). A u M b) omprobar que la expresón hallada es dmensonalmente correcta. B c) S M, determnar la pulsacón de resonanca del dpolo vsto entre A y B. Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

12 SOUIONES Bode. G(jω) jω jω / jω, jω 4.3 b) c) s H(s) s s H(s) H(jω) s 634, ,67,5 5 s s 66666,67 jω jω jω 634, , jω / H(j ω ) r jω jω / r b) jω 34,9 H( j ω ), 9538 jω,3 jω 34,9 5 c) Un posble uso sería como fltro para bloquear señales de frecuenca 34,9 rad/s (5Hz). 4.5 Bode. 4.6 H(s) s s b) H(s) 8,5 s 5 c) 6 s K H(jω) jω jω jω ς 5 ωn ωn 634,5 ω 63,393 rad / s ω 634,55 rad / s d) max 6 jω 4.7 c) Para los valores elegdos, en el dagrama de ampltud la aproxmacón es válda para ω > 7 rad/s, en cambo en el de fase sólo es aceptable para ω > 4 rad/s. 4.8 jω H(jω) ω ω j j 4 4 Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

13 4.9Bode. b) 55,7 db. 4. Factor de caldad del crcuto sere: Q β 4. π j U Z 4e V 4. b) 67% 4.3 U s,833 V. b) U s,48 V. c) U s,48 V. d) f,6hz e) ω 996,3Hz ω 4,98Hz 4.4 ω g 4.5 ω 4.6 b) c) d) e) ω Q S β I V ω ω β 5 ω Q j 5 S ω 4.7 ω Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

14 b) c) d) e) ω Q β Z I B ω ω jω 4.8 I,53 A b) cosϕ,99 c) ω 444 rad / s d) I 83,73A e) P FP, 96 S f) ω 66,79 rad / s 4.9,9 nf 394,8 pf b) v (t) 36, 63 cos( π t), 46 cos(4 π t) V 4. b) ω ( ) S P ω ( ) ω Q β Q β s p s s s p P 4. U (s ) s K S Ue s 3s s b) Bode. c) Bode. d) 344, 975Ω V s V s s b) Sobreamortguada. c) 679,5 rad/s; 77 rad/s; 373,5 rad/s d),5 V/V; V/V e) V/V Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

15 d) e) Bode. f) Bode. 4.4 Bode. b) Bode. c) ω rad / s g) (s4). 4.5 ω 4.6 ωr b) β,876hz c) 368, 5Ω α,83 rad / s 4.7 V G(jω) V s s s b) G : Gananca del sstema a frecuenca. Es la gananca estátca. c) G. Pulsacones: krad/s, krad/s y krad/s. d) Bode. e) Bode. f) v (t) sen( t 3, 37) V 4.8 I(s) s V (s) s s b) El crcuto es de º orden c) ω res d) e) f) Q ; β V o(s) s s V (s) s s V o(s) V(s) 4.9 ( g s) V(s) o I(s) s g s b) [ ] Ω Ω Ω s s s s s Ω s Ω s [] Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos

16 4.3 ( jω) ( jω) V V ( jω) ( jω) b) a n y b n tenen undades de tempo n y G es admensonal c) Sí, resolvendo el crcuto en corrente contnua: abrendo los condensadores y cortocrcutando las bobnas. d) jω jω 7 V ( jω) ( jω) ω ω 6 6 V ( jω) 9 ( jω) jω jω z ωn ωn ω 99.9 rad / s ω. krad / s donde ω n rad / s z.45 e) 5 (.K,6.86) (.K,6.977) 5 8,.43) (.4,3.98) (.4K,3.89) VDB(V) f) d g) No, porque para la pulsacón 8 rad/s (armónco 9) la gananca en ampltud es ncluso mayor que para frecuencas bajas M ( M ) s s s U(s) I(s) s s V [ ΩΩΩ ] [ ] [ ] [ Ω] A [ ] b) [ ] c) ω [] [] [] Escuela Técnca Superor de Ingenería (IAI) rcutos y Sstemas Dnámcos