Axioma 1 (Principio de inducción matemática) Sea S N con la propiedad que: a) 1 S. b) k R, k S k + 1 S. Entonces S = N.

Transcripción

1 Iducció matemática A meudo deseamos probar proposicioes de la forma N, p. Por ejemplo: 1 N, N, N, par implica par. Proposicioes y 3 se puede probar usado la técica de variable fija pero arbitraria que vimos ateriormete ejercicio para el lector, pero esto o fucioa para la proposició 1. Ua razó para esta dificultad es que el lado izquierdo de la igualdad o está e forma cerrada y, por lo tato, o se puede maipular algebraicamete. E efecto, aú para eteder que sigifica la expresió del lado izquierdo teemos que recurrir a ua propiedad de los úmeros aturales: Dado u úmero atural existe u siguiete úmero atural, que se llama + 1. Así, podríamos esperar que ua demostració de 1 ivolucre esta pro - piedad siguiete de los úmeros aturales. E efecto, la propiedad de N a que os referimos es uo de los cico postulados de Peao para los úmeros aturales. El lector iteresado e los fudametos axiomáticos de N puede cosultar la bibliografía: E. Ladau, Foudatios of Aalysis, Chelsea, New Yor, Axioma 1 Pricipio de iducció matemática Sea S N co la propiedad que: a 1 S. b R, S + 1 S. Etoces S N. podemos usar el pricipio de iducció matemática para probar ua proposi- 1

2 ció de la forma N, p haciedo S { N : p es verdadera }. Así, cosideramos que p1 es verdadero 1 S y p p + 1 S + 1 S etoces S N ó N, p. E cosecuecia, demostracioes usado el pricipio de iducció matemática toma la siguiete forma: a Mostrar que p1 es verdadero. b Mostrar que p p + 1. Ejemplo: Demostrar que N, Aquí p es Así p1 es que es claramete verdadero Para completar la iducció se debe demostrar que ua cierta implicació, p p + 1 es verdadera. Usaremos uestro método directo de demostració para esta proposició: Elegimos u úmero atural fijo pero arbitrario, asumimos que la hipótesis p es verdadera y deducimos la validez de la coclusióp + 1. Para comezar, sea N. Supogamos que p es verdadero, esto es, Etoces,

3 Así, p + 1 es verdadero, lo que completa la demostració. Ejemplos a Si x 0 etoces N, 1 + x 1 + x. Demostració por iducció: Cuado 1 se tiee 1 + x 1 + x lo cual es verdadero. Supogamos que x 0, N y 1 + x 1 + x. Etoces 1 + x x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x +1 + x + x 1 + x +1, lo que completa la demostració. b N,. Cuado 1 se tiee 1 1 lo cual es verdadero. Supogamos que N y. Etoces implica ó lo cual implica , que es uestra hipótesis origial, supuesta verdadera. Esto completa la demostració. 3

4 Observe lo sorpredete que resulta la proposició aterior. Ciertamete el resultado aterior es falso, de maera que debe existir algú error e la demostració. El ejemplo b muestra u error comú que se comete al empezar a maejar el método de iducció. U aálisis muestra que e la prueba aterior se asume la coclusió y etoces se obtuvo la hipótesis, ua forma de demostració que uca es válida. Si todas las las implicacioes pudiese ser revertidas, se podría costruir ua demostració válida ivirtiedo el orde de los pasos, pero e este caso el último paso o puede ser ivertido o implica +. El puto es: Mietras se puede itetar trabajado a la iversa desde la coclusió a la hipótesis, buscado u método de demostració; para teer ua demostració válida debemos ser capaces de revertir todas las implicacioes. Veamos ahora otro ejemplo esta vez correcto. c N, D x x x 1 aquí D x represeta la derivada co respecto a x. Cuado 1 se tiee D x x 1 1 x lo cual es verdadero. Supogamos que N y D x x x 1. Etoces D x x +1 D x x x 1 x + x x 1 x + x + 1x lo que completa la demostració. d Para cada úmero atural, 3 es divisible por 3. E simbolos: N, 3 3. Recordemos que a b sy y sólo si c Z b ac. Cuado 1 se tiee ó 3 0 lo cual es verdadero ya que

5 Supogamos ahora que N y 3 3. Esto sigifica que existe u etero, digamos m, tal que 3 3m. Luego, m m + + así es divisible por 3, completado la prueba. El pricipio de iducció matemática puede ser geeralizado de la si - guiete forma: Si S Z tiee las propiedades: a 0 S b Z, 0, S +1 S, etoces { Z : 0 } S. Si además, 0 es el meor elemeto de S, etoces { Z : 0 } S. Observe que el pricipio de iducció matemática es u caso especial co 0 1. Como u ejemplo de aplicació, cosideremos el siguiete: e N, 13, < 3. Aquí uestro paso base es 13. Observemos que < 194 < por lo tato uestro paso base es verdadero. 5

6 ahora, supogamos que > 13 y < 3. Etoces + 1 < < 3 < Esto completa la prueba. 0.1 Formas equivaletes de iducció E esta secció discutiremos dos proposicioes equivaletes al pricipio de iducció matemática. E alguas situacioes ua de estas formas puede ser más fácil de usar que otras. La primera es coocida como el pricipio del bue orde: Sea S u subcojuto o vacío de N. Etoces S tiee u meor elemeto; esto es, existe y S tal que para cada x S, y x. El segudo es coocido como el pricipio de iducció completa: Si S es u subcojuto de N tal que : a 1 S, b N, {1,, 3,..., } S + 1 S, etoces S N. Observe que el pricipio de iducció completa parece estar cercaamete relacioado co el pricipio de iducció matemática. Por otra parte, la coexió etre los dos ateriores y el pricipio del bue orde o parece ser ta clara. 6

7 E lo que sigue demostraremos que los tres pricipios euciados so, realmete, equivaletes. Así, podríamos elegir cualquiera de ellos como axioma y probar el resto como teorema. Teorema Supoga que el pricipio de iducció matemática es verdadero y sea S u subcojuto o vacío de N. Etoces S tiee u meor elemeto. Demostració. Haremos ua prueba idirecta. Supogamos que S es u subcojuto o vacío de N que o tiee u meor elemeto. Sea S c el complemeto de S; esto es, S c N S. Se defie T {x N : para cada y x, y S c }. Etoces ya que 1 S c pues si 1 S, etoces 1 debe ser el meor elemeto de S ya que x N, 1 x, 1 T. Supogamos ahora que T. Debido a la forma e que T está defiido, esto sigifica que 1,,, debe ser todos elemetos de S c. Qué podemos decir de + 1? Si + 1 S, etoces debe ser el meor elemeto de S pues 1,,, está e S c lo que o es posible ya que S o tiee u elemeto meor. Por lo tato, + 1 S c. Esto implica que + 1 T. Luego por el pricipio de iducció matemática, T N. Esto sigifica que S c N por la defiició de T. Pero, como S c N S, etoces S lo que es ua cotradicció. Por lo tato, S debe teer u meor elemeto. Teorema 3 Supoga que el pricipio del bue orde es verdadero y sea S u subcojuto de N tal que a 1 S, b N, {1,, 3,..., } S + 1 S. Etoces S N. 7

8 Demostració. Supoga que S es como ates y cosideremos S c. Si S c, etoces S N. Supogamos, por lo tato, que S c. Por el pricipio del bue orde, S c tiee u meor elemeto, digamos y. Observemos que y 1 ya que 1 S por hipótesis a. Qué podemos decir sobre 1,,..., y 1? Nótese que todos ellos debe ser elemetos de S, pues de otra maera uo de ellos debería ser el meor elemeto de S c e vez de y. Así, por hipótesis b, y S. Pero esto es ua cotradicció pues y S c. Luego, S c lo que sigifica que S N. Teorema 4 Supoga que el pricipio de iducció completa es verdadero y sea S u subcojuto de N tal que a 1 S b N, S + 1 S. Etoces S N. Demostració. Supoga que S tiee las propiedades a y b ateriores. Usaremos el pricipio de iducció completa para probar que S N. Ya que N, {1,, 3,..., } S S es ua proposició obviamete verdadera, se tiee por b N, {1,, 3,..., } S S S + 1 S lo que implica N, {1,, 3,..., } S + 1 S. Luego, S satisface las hipótesis del pricipio de iducció completa y, e cosecuecia, S N. Veamos ahora como podemos utilizar estas formulacioes alterativas del pricipio de iducció matemática para probar proposicioes. Teorema 5 es irracioal. 8

9 Demostració. Procederemos idirectamete. Supogamos que es racioal; esto es, supogamos que existe úmeros aturales r, s tales que r s. Etoces S { N : para algú N} es u cojuto o vacío de úmeros aturales e particular, s r, luego r S. Sea y N tal que x y. Ahora y 1 x y es u úmero atural meor que y puesto que 0 < 1 < 1 0 < y 1 < y 0 < x y < y. Luego, z : y 1 es meor que x ya que y 1 x y < y x. Pero z y y y x. Luego, z N y z S ya que x y < y x < y y z y 1 co y 1 x y u úmero atural meor que y segú vimos. Así, se tiee ua cotradicció pues z S y es meor que x. Luego, S debe ser vacío. Por lo tato es irracioal. Como otro ejemplo del uso del pricipio del bue orde, probaremos el siguiete resultado. Teorema 6 Algoritmo de divisió Sea a, b N. eteros q, r tales que Etoces existe a bq + r co 0 r < b. Demostració. Sea a, b N y sea S {a b : Z, a b 0}. Observamos que S pues a a b 0 S. 9

10 Por el pricipio del bue orde, S tiee u meor elemeto, digamos r a bq. Claramete, r es u etero y a bq + r. Por lo tato, sólo debemos probar que 0 r < b. Por la defiició de S, r 0. Si r b, etoces a bq + 1 r b 0, por lo que r b debe ser u elemeto de S. Pero r > r b lo que es ua cotradicció pues r es meor elemeto de S. Así, r < b. Como u ejemplo de u resultado usado pricipio de iducció completa, cosideremos el siguiete. Teorema 7 Sea N. Etoces 1, es u úmero primo o es u producto de úmeros primos recuerde que u úmero primo es u úmero atural cuyos úicos factores so 1 y el mismo úmero. Demostració. Si se defie p como la proposició 1 ó es u primo ó es u producto de primos etoces deseamos probar que N, p. Sea S { N : p es verdadero }. Claramete 1 S. Ahora supogamos que 1,,..., so todos elemetos de S y cosideremos + 1. Si + 1 es u primo, la prueba está cocluida. Supogamos que + 1 o es primo. Ya que + 1 o es u primo este debe teer factores meores que él mismo y mayores que 1, digamos r y s; esto es, + 1 r s. 10

11 Ahora, r y s so ambos elemetos de S pues so meores que + 1 y así so primos o bie productos de primos. Pero etoces se ha escrito + 1 como u producto de primos, y luego + 1 S. Por el pricipio de iducció completa, se tiee S N. 0. El biomio de Newto Como ua aplicació adicioal del pricipio de iducció matemática, vamos a probar e esta secció el coocido Teorema del biomio de Newto. A fi de euciar el resultado, requerimos defiir el siguiete objeto matemático: Dados, N tales que deotamos!!! dode p! 1 p p N correspode al llamado factorial de u úmero atural p. Así, por ejemplo, El simbolo otras. 1! 1! 1 3! se lee sobre y posee las siguietes propiedades, etre

12 La demostració de las idetidades ateriores o so difíciles y se deja como ejercicio para el lector. Recordemos que el simbolo 1 a dode a R para cada N, deota la suma: a 1 + a + a a. Co las otacioes precedetes, podemos euciar y probar el siguiete. Teorema 8 Dados a, b R y N se tiee a + b 0 a b. 1 1 Demostració. Cuado 1, se tiee a + b 1 a 1 b lo cual 0 es claramete verdadero ya que la suma del lado derecho es igual a: a 1 0 b a 1 1 b 1. Supogamos ahora que el teorema es verdadero para. Debemos probar que a + b +1 0 a +1 b. 1

13 Para este fi, escribimos: a + b +1 a + b a + b a + b a + a + b b a b a + a b b 0 0 a +1 b + a b a +1 b 0 + a +1 b + a b Desarrollamos el tercer sumado, haciedo t + 1. Luego 0 1 t a b +1 a +1 t b t. t 1 Como t es ua variable fija pero arbitraria podemos escribir +1 a b +1 a +1 b Luego, queda: a + b a +1 b 0 + a +1 b 0 + a 0 b +1 a +1 b a +1 b + a +1 b a +1 b + a +1 b [ ] + a +1 b + a 0 b

14 Usado la propiedad vista previamete, obteemos que lo aterior es igual a + 1 a +1 b 0 + a +1 b + a 0 b Ahora, o es difícil ver, por defiició, que y Luego, la expresió es lo mismo que a +1 b a +1 b, 0 que es lo que queríamos probar. + 1 a +1 b a 0 b +1 14

15 0.3 Ejercicios 1. Pruebe usado iducció: a N, b N, c N, d N, e N, f N, g N, h N, i [ ] + 1 i 3. i1 i1 i1 1 i + 1i i i1 i1 i1 3 i ii i i i1 3i i i N, j N, N, l N, m N,

16 N, o N, p N, x y es divisible por x y. q N, x 1 + y 1 es divisible por x + y. r N, 3 + es divisible por 3. s N, es divisible por 3. t N, es divisible por 9. u N, es divisible por 13. v N, es divisible por 64. w N, x N, 1/ 1 + 1/ + + 1/ 1. y N, z N, 1 + x 1 + x, si x 1.. Ecuetre el meor etero positivo j para el que el euciado es verdadero; co el pricipio extedido de iducció matemática pruebe que la fórmula es verdadera para todo etero mayor que j. a + 1. b c 5 + log. d. e +. f log

17 3. Exprese la suma e térmios de. a b c d Evalúe la expresió. a!6! b 7!0! c d e f 8! 5! Reescriba las siguietes expresioes si factoriales. a b +!! 3 + 1! 3 1! 6. Utilice el teorema del biomio para expadir y simplificar. 17

18 a 4x y 3 b a + b 6 c a b 6 d 3x 5y 4 e 1 3 x + y 5 f 1 x + 3x 6 g x 1 x 5 7. Si expadir por completo, ecuetre los térmios idicados e la expasió de la expresió. a 3c /5 + c 4/5 5 ; primeros tres térmios. b 4b 1 3b 15 ; últimos tres térmios. 7 3 c c + c ; sexto térmio. 4 d 1 u + 4v 8 3 ; séptimo térmio. e x 1/ + y 1/ 8 ; térmio del medio. f y + x 8 ; térmio que cotiee x 10. g 3b 3 a 4 ; térmio que cotiee b 9. h 3x 1 4x 6; térmio que o cotiee x. 8. Demuestre que: a ; para b ; para