IV. POSICIONES GEODESICAS
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- María del Carmen Roldán Ojeda
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1 IV. OICIOE GEODEIC Un d ls finlidds principls d l godsi s l cálculo d ls coordnds godésics d puntos sobr l lipsoid. Ests coordnds s dnoinn Ltitud y Longitud y stán sipr rfrids un sist godésico pr-dtrindo. i prtios d un punto qu tin coordnds godésics y lo dnoinos coo punto d prtid, y dsos drl coordnds un nuvo punto sobr l lipsoid, coo tbién clculr l ziut dsd l nuvo punto l punto inicil, ncsitros disponr d los siguints dtos; un distnci y l ziut godésico corrspondint. Esto s dnoin El robl Dircto. Cundo s dispon d ls coordnds godésics d dos puntos, rfridos un iso sist godésico, podos dtrinr dint un procso d cálculo l siguint inforción; l distnci godésic qu xist ntr bos puntos, sí coo l ziut d l lín. Esto n godsi s El probl Invrso. OLUCIÓ L ROLE DIRECTO Ls cucions utilizrs corrspondn ls fóruls d uissnt, ls culs h quddo dostrdo son útils pr líns godésics d hst K. dspués d sts distncis coinzn prdr vlidz rápidnt. CLCULO DE LTITUD suindo qu l Ltitud y Longitud d un stción son conocids coo tbién l distnci y ciut hci un stción, rsolvros st probl n bs l cálculo d difrnci d Ltitud ntr los dos puntos (figur 7): f,,, ; f,,, ; f _,,,
2 FIGUR 7. CLCULO DE LTITUD Ecudor ) Fóruls d uissnt, con un prcisión d n distncis d k. 6 Coo l coinzo dl cálculo no conocos, lugo no podos clculr ( dio), s tndrá qu clculr con l ltitud d y dtrinr un prir con sto s clculrá un provisorio. Con st prliinr podros obtnr un, l qu nos pritirá podr volvr rclculr. Est procdiinto s vulv ritrr hst xist un convrgnci n l vlor d clculdo, qudndo st coo vlor finl d l ltitud dl punto
3 CÁLCULO DE LOGITUD Clculd l Ltitud dl nuvo punto, s db hor clculr su longitud, pr l procso d cálculo srá ncsrio utilizr l ltitud dl punto nuvo ( ), pr obtnr l vlor dl Rdio d Curvtur rincipl o Grn orl ( ) y pr tnr l vlor dl coo d l nuv ltitud. Con st vlor y dtrindo d l ltitud ( ) dl punto, s db clculr l difrnci d longitud ( ) ntr bos puntos.
4 b) olución d Clrk (dirct), pr distncis ntr kilótros, prcisión (/5) 800 kilótros, distncis d 600 kilótros unt l prcisión (/80). r = ε φ α r = ε ( r ) φ φ α θ = L r ( + r ) [ L V 6 r ] r ( + r ) 4 [ L 4 ] V V r = r θ r 6 θ ψ = φ θ + φ α θ Longitud = λ = α θ scψ Ltitud = tngφ = ( + ε) [ ( V r ) φ ψ ] tngψ EJERCICIO Elipsoid d rfrnci: Intrncionl 94 = L= tros V== tros φ = 0 0" λ = 7 0 0" α = " ϵ= ε = ( )
5 V r =, L V = 0, r = 0, r = +0, θ = ",05 = 5 ", 05 θ = 0, θ = 0, ψ = 0, ψ = 59", 86 λ = 0, λ = 0, = " tngφ = 0, φ = 00", 66 λ = 7 5 9" COVERGECI DE ERIDIO Dbido l convrgnci d los ridinos n l olo, l ciut dircto invrso d un lín no difir xctnt n 8, sino qu dás n un difrnci ngulr qu s dnoin convrgnci ( ), l cul qud n vidnci n l figur 8. FIGUR 8. COVERGECI DE ERIDIO
6 olo ort Ecudor olo ur ridino prllo l ridino d * " ROLE IVERO FIGUR 9. ROLE IVERO
7 (, ) (, ) Ecudor Conocids ls posicions godésics d dos puntos y (figur 9), s pud clculr l ciut invrso d l lín y l distnci godésic, pr st solución tndros: y ; son rdios d curvtur rfridos l ltitud di d l lín.
8 liin los térinos trcros d los préntsis, por no tnr incidnci yor n líns nors d 0 K. r l cálculo d l distnci godésic, s tin : 4 4 i s cupl lo siguint:, ntoncs s h clculdo l distnci godésic.
9 EJERCICIO () 9 08,54 68º 9 4,00 () UR 68º 06,90 44,0 φ= (-) λ= (-) Clculr l distnci Godésic y clculr l ciut invrso d - Elipsoid d rfrnci: Intrncionl 94 = ; = 0,006767; f = /97. olución: 6,90 9 8,54 58,6 68º º 9 4, ,0 78,6-90,0 89,8 6,90 9 8,54 45,0 0 7, , ,7 647, , ,858
10 5485, , ,6 647,64 5, 647,64 78,6 4 ; i 84, ,5 4 7, ,858 90, ,6 5 56º,56856, , ,765 50,4 0 50,4 0 40,8 9,8 7,7 0 90,0 50, 5 56º 50,4 0 40,6 5 º 56 ; or lo tnto 50, 5 56º
11 5485, , , º 5 40,66 84,765 84, , 56º 5 40, , 000 ; or lo tnto l distnci godésic s: 004, 69
12 ROLE DE ITERECCIÓ IVER Est probl tbién dnoindo coo othnot o probl d l crt, tin coo finlidd podr dr posición un punto n trrno dint l obsrvción ngulr (st posición db considrrs solnt prliinr, y qu st s un probl d cráctr xpditivo, qu tin coo finlidd strgr un solución l probl d orintción y posición d cráctr uxilir) dsd st punto n dircción vértics con coordnds y stblcids, s ncsrio obsrvr trs vértics o puntos trigonoétri coo ínio, s consjbl cundo s v ocupr st solución pr dtrinr posición un punto, obsrvr s d trs vértics, con l finlidd d podr fctur un control l trbjo rlizdo. FIGUR 0. OTHEOT b x y
13 En l figur 0, podos vr qu los vértics, y son puntos trigonoétri con coordnds stblcids, lugo l distnci, b y l ángulo s pudn dducir. Los ángulos y son didos n trrno. dbrá clculr l distnci y los ángulos x y, con lo cul s tndrá rsulto l probl y postriornt s trsldr ls posicions l punto dsd, y. dbrá clculr l distnci y los ángulos x y, con lo cul s tndrá rsulto l probl y postriornt s trsldr ls posicions l punto dsd, y. olución: ) x y 6 ) x y 6 ) x x 4) y b y b 5) Igulndo ) y 4) s obtin: x y b x y b 6) i x x y y 7) x x y y x x y y x y y 8) Dividindo por y l xprsión ntrior: x y y y y y x y x y x y x y c y x y x y 9) x y c y x y qu:, pro x y b por lo tnto s tin
14 b x y x y c y, dividindo por x y, tndros: b x y c x y c y 0) x º 8 x 80 y 8 8 y b b b b EJERCICIO Dtrinr ls coordnds gográfics dl punto. Vértic Ltitud Longitud Estción unto ngulo horizontl º º º C º Elipsoid d rfrnci Intrncionl 94, ; f 97 olución:
15 X Y b b Clculo d ziut invrso y distnci godésic 5, ,0 4, º : 6,9 :, º : 6,90 : 9,85 60,0 6,95 5,05 5 7,95 6,9 6,90 6 4, , f f 68007,66 7, ,56 7, ,
16 857, ,85 7, ,66 9, , , ,0 647,56 6,95 647,56 60, tin : s ; i 7,0 5 4º 0, , , , ,4 0 5,4 0,685 0, ,05 5 7,95 9,85 58,7 5 4º 5,4 0 7,0 5 º 4
17 or lo tnto 8 04º 5 58,7 857, , , 4º 5 7, , , , 9 4º 5 7,0 ; or lo tnto l distnci godésic s: b 060, 9 Clculo d ziut invrso y distnci godésic : 0 4,0 : 6,9 5,6 : 68º 6,08 : 68º 49 4,87,79 695,6 80, , , ,0 6,9 6 9,5 4, f f , , ,5 6408, , ,746
18 4, ,79 9, ,746 80,79 4 9, , ,6 6408,866 40, , , s tin : ; i,48 47º, , ,884 4,69 0,0 40,0 80,06 80, ,85 5 9,5 6 80,79 4, º 0,0,48 º 47 or lo tnto 4,49 4 7º º ,,48 47º 4,69 4,69
19 9,884 9, , 8 47º,48 ; or lo tnto l distnci godésic s: 588, 8 04º 5 58,7 7º 4 4,49 º 58 4, or lo tnto: 588,8 b 060, ,7 º 00, º 58 4, x y 6 x y 6 x y ,7 º 00, º 58 4, x y 6 45º 4,9 x y 4º 5 46,08 c b y x x y y 060, ,7 588,8 º 00, 4º 5 46,08 588,8 º 00, 4º 5 46,08 c y, y 0, , y 0, y º y 47º 80,08 x y x 66º ,9; y 8 º 49,9 4º 5 46,08 x 4º 5 46,08 y 4º 5 46,08 47º 80,08 x b y 588,8 66º , ,7 060,9 47º 80,08 957,65 º 00, or lo tnto 957, 65
20 9,8 0, º0 80,08 47º y y, 7 º 0, º x x b b b 0047,9 00, º 9,8 060,9 698,64 0,7 5 0, 7 º 588,8 Clculo d posición d por l probl dircto dsd l punto Clculo d ltitud I I 6 Itrción 957,65 8,9 57 4º 9,8 58,7 5 04º 6,9 6808,484 6, ,66 6, , , , ,66 8,9 57 4º 957,65 I
21 0, , , ,484 6,9 8,9 57 4º 957,65 0, , , , ,9 g 8,9 57 4º 8,9 57 4º 957,65 6 I t I 8,5 788,49 0,00 0, I 8,58 9 8,5 6,9 º 0 Itrción 4,76 5 8,58 9 6,9 6808, ,45 4, , , , ,45 8,9 57 4º 957,65 I 0, , , ,484 4,76 5 8,9 57 4º 957,6
22 0, , , , ,76 5 g 8,9 57 4º 8,9 57 4º 957,6 6 I t I 8,6 788,58 0,00 0,7 788,086 I I 8,57 9 8,6 6,9 º 0 Itrción 4,75 5 8,57 9 6,9 6808, ,45 4, , , , ,45 8,9 57 4º 957,65 I 0, , , ,484 4,75 5 8,9 57 4º 957,6
23 I 6 957,6 4º 57 8,9 4º 57 8,9 5 4, , ,45 4, I 0,0086 I I 788,086 0,7 0,00 788,58 8,6 6,9 8,6 9 8,57 6,9 9 8, ,75 ; or lo tnto s cupl l convrgnci. 4 Clculo d longitud , ,8 957,65 4º 57 8, ,8 9 8,57 4, , ,0 or lo tnto l longitud s: 9 44, 68º 49 4, , 68º 9 40,76 Clculo d posición d por l probl dircto dsd Clculo d ziut invrso
24 ,79-5,6 -, º : 4,0 0 : 4, º : 6,9 : 80,79 695,6 40, ,85 5 9,5 6 6,9 4,0 0 40,0 4 80,06 80, ,85 5 9,5 6 80,79 0,46 47º 40, ,49 4 7º º 80 7,46 4º º 0,46 º 47 x Clculo d ltitud I I 6 Itrción x 698,64 7,46 4º º 0,46 47º 4,0 0, , ,49 4, ,
25 9, , ,49 7,46 4º7 698,64 I 0, , , ,0 4,0 0 7,46 4º7 698,64 0, , , ,0 6 4,0 0 7,46 4º7 7,46 4º7 698,64 6 I I,7 9,7 0,000 0,08 9,69 I 8,57 9,7 4,0 0 º 0 Itrción 54,94 9 8,57 9 4,0 0, ,97 54, , , , ,97 7,46 4º7 698,64 I
26 698,64 4º7 7, , ,0 648,97 4, , I 6 698,64 4º7 7,46 4º7 7, , ,0 648,97 4, I 0, I I 9,69 0,08 0,000 9,7,7 0 4,0,7 9 8,57 0 4,0 9 8, ,94 ; or lo tnto s cupl l convrgnci. Clculo d longitud , ,8 698,64 4º7 7, ,8 9 8,57 4, , ,68 or lo tnto l longitud s: 7,68 68º 6,08 7,68 68º 9 40,76 Clculo d posición d por l probl dircto dsd
27 Clculo d ziut invrso 5, ,0, º : 6,90 : 4, º : 6,9 : 9,85 60,0 6,95 5,05 5 7,95 6,9 6,90 4,69 0,685 0, ,05 5 7,95 9,85 45,68 4º 4, ,7 5 04º º 80 5, º 80,08 47º 6 45,68 4º º 60 y Clculo d ltitud I b b I b 6 Itrción b 0047,9 5, º 6, ,9 6, ,678 6, ,
28 78,65 0 4, ,678 5, º 0047,9 I b 0, , , ,9 6,90 5, º 0047,9 b 0, , , ,9 6 6,90 g 5, º 5, º 0047,9 6 I t I b 58, 78,8 0,000 0,067 78,6 I 8, , 6,90 º 0 Itrción 7,74 0 8,57 9 6, ,9 647,68 7, , , , ,68 5, º 0047,9 I b
29 b 0047,9 6º 56 5,60 0 7, ,9 647,68 4, , I b ,9 6º 56 5,60 6º 56 5,60 0 7, ,9 647,68 4, I 0, I 78,6 0,067 0,000 78,9 58, 6,90 58, 9 8,57 6,90 9 8,57 ; or lo tnto s cupl l convrgnci. 0 7,74 Clculo d longitud ,57 b 0047,9 6º 56 5, ,8 9 8,57 4, ,8 90,597 90,6 or lo tnto l longitud s: 4 50,6 68º 44,0 4 50,6 68º 9 40,76 or lo tnto ls coordnds gográfics d son:
30
Función exponencial y logarítmica:
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3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2
MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) - 7 + 8 ln - cos sn - - - + (+) ln ln 7 8 cos ln + + - +- - - + -+ ++ Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl
26 EJERCICIOS de LOGARITMOS
6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
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34 EJERCICIOS de LOGARITMOS
EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
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EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
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