DETERMINANTES. Cálculo. Menor de una matriz.

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1 DETERMINNTES Tods ls mtrices cudrds tienen erminnte. El erminnte de un mtriz ermin si los elementos de está tienen o no solución únic. Un erminnte de un mtriz de orden n se obtiene medinte el sumtorio de n! productos formdos cd uno de ellos por ls permutciones n elementos, uno por fil y column, pero sin que en l mism permutción hll dos elementos que pertenezcn l vez l mism líne (fil o column). álculo. Determinnte de orden dos Determinnte de orden tres. Regl de SRRUS ( ) que corresponde l producto de ls (! ) permutciones posibles tres positiv y tres negtivs, viniendo el signo de cd permutción ermindo por el número de inversiones de l permutción respecto del orden nturl. Existen diversos métodos pr recordr el cálculo de erminntes de orden tres, uno de los más sencillos se bs en repetir ls dos primers fils del erminnte debjo de él, generándose digonles, tres descendentes (positivs) y tres scendente (negtivs). Menor de un mtriz. Si en un mtriz seleccionmos r fils y r columns, los elementos en los que se cruzn formn un submtriz cudrd de orden r. l erminnte de es submtriz cudrd se llm menor de orden r de l mtriz inicil seleccionndo,,,,, :..., menor de orden En un mtriz existirán menores desde orden, cd uno de los elementos de l mtriz es un menor de orden, hst menores de orden l menor de ls dimensiones de l mtriz. mtriz Menor orldo de orden n es un menor de orden n+ que contiene l menor de orden n. En l los menores orldos del menor, son los menores......

2 y......, y que son los únicos menores de orden tres que contienen l menor de orden. L importnci de los menores orldos rdic en que los no orldos, son combinción linel de los orldos, por tnto, si los menores orldos un menor de orden n son cero, se puede segurr que en l mtriz no existen menores de orden n+ distintos de cero. Est propiedd yud en el cálculo del rngo de un mtriz. Menor complementrio. Se denomin menor complementrio de un mtriz cudrd n n, l vlor del erminnte de orden n que se obtiene cundo se elimin l fil i y l column j, designándose por α i.j. djunto. Se llm djunto del elemento i.j l número i.j () i+j α i.j l mtriz formd por todos los djuntos de un mtriz n n se l denomin mtriz djunt y se l design como dj. Propieddes. i. El erminnte de un mtriz es igul l de su trspuest: t ii. Si un mtriz cudrd tiene un líne (fil o column) de ceros, su erminnte es cero. iii. Si permutmos dos línes prlels de un mtriz cudrd, su erminnte cmbi de signo { }... { } iv. Si un mtriz cudrd tiene dos línes prlels igules, su erminnte es cero. v. Si multiplicmos por el mismo número todos los elementos de un líne de un mtriz cudrd, su erminnte qued multiplicdo por ese número k. k. k. k vi. Si un mtriz cudrd tiene dos línes prlels proporcionles, su erminnte es cero... + b b.. vii... + b b... Está descomposición es.. + b b.. válid culquier que se l fil o l column en l que se hllen los sumndos. viii. Si un líne de un mtriz le summos o restmos un líne prlel multiplicd por culquier número, su erminnte no vri. ix. Si un mtriz tiene un líne que es combinción linel de ls demás prlels, entonces su erminnte es cero, y que se podrí descomponer en sum de vrios erminntes, cd uno de los cules tendrín dos línes proporcionles. x. B B. plicciones de est propiedd: n n n k n k n

3 xi. xii. Si los elementos de un líne (fil ó column) de un mtriz cudrd se multiplicn por sus respectivos djuntos y se sumn los resultdos se obtiene el erminnte de l mtriz inicil. está técnic se l denomin desrrollo del erminnte por los elementos de un líne (fil o column) Si los elementos de un líne (fil ó column) de un mtriz cudrd se multiplicn por los respectivos djuntos de un prlel, el resultdo de l sum es cero Determinntes de orden superior. Se desrrolln plicndo l propiedd xi, de tl form que un erminnte de orden n se trnsform en n erminntes de orden n. Pr simplificr el cálculo conviene hcer ceros todos los términos de l líne (fil o column) excepto uno, plicndo l propiedd vii., de está form el erminnte de orden n se trnsform en un único erminnte de orden n PROP. VII ( )

4 Método de hio. Existen dos versiones pr el método de hio. ª. Pr un erminnte de orden n: p n P Donde p es el término de l mtriz que se us como pivote, n es el orden l mtriz y p es l mtriz formd por todos los djuntos de orden de l mtriz donde interviene el pivote. Si se tom el término. como pivote: Ejemplo: lculr medinte el método de hio el erminnte de l mtriz Tomndo como pivote el elemento. (): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Ejemplo. lculr el siguiente erminnte por el método de hio. Tomo como pivote el elemento. que es : Tomo como pivote el elemento. que es : ( ) ( )

5 ª. onsiste en fijr en un fil o column un elemento pivote (que por comodidd suele ser un elemento que vlg ó ), y hcer ceros utilizndo ls propieddes de los erminntes, todos los elementos de dich fil o column slvo el pivote. Posteriormente se desrroll dicho erminnte por los elementos de es fil o column. on l este método el clculo de un erminnte de orden n se reduce l clculo de un erminnte de orden n. Por lo generl, si uno quiere hcer ceros en un fil, oper con columns ó vicevers. Ejemplo: lculr medinte el método de hio el erminnte de l mtriz Tomndo como pivote el elemento. (), y hciendo ceros los elemento de su column (): { } ( ) ( ) 7 + Ejemplo. lculr el siguiente erminnte por el método de hio. Tomndo como pivote el elemento. () y hciendo ceros los elementos de l ª fil: ( ) Tomndo como pivote el elemento. () y hciendo ceros los elementos de l ª column: [ ] ( ) + ( ) Si observs el segundo ejemplo, los dos métodos llevn los mismos erminntes si utilizs los mismos pivotes, en definitiv son cminos diferentes pr llegr l mismo erminnte. NOT: En los psos intermedios de este método se pueden plicr otrs propieddes de los erminntes pr ir simplificndo (principlmente scr fctor común).

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