Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Funciones reales extendidas al Plano Complejo, problemas resueltos

Transcripción

1 . Considr los siguints númros compljos: ) z = 3 i 2) z 2 = 2 3 i 3) z 3 = + 3 i ) z = i π Matmáticas Avanzadas para Ingniría Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos Dtrmin la part ral d la función xponncial aplicada cada uno d llos. Rcordmos la fórmula d la función xponncial: x+y i = x cosy) + x sny) i Por consiguint, para valuar la función xponncial n un numéro compljo, rqurimos qu sté n la forma d binomio o bin rctangular: ) z = 3 i = i, por tanto la part ral s R z ) ) z 2 = 2 3 i, por tanto la part ral s R z2 ) i = 0 cos 3) + 0 sn 3) i = cos 3) + sn 3) i i 2 3 i = 2 cos 3) + 2 sn 3) i i 3) z 3 = + 3 i, por tanto +3 i = cos 3) + sn 3) i i la part ral s R z3 ) ) z = π i, por tanto π i = cos π ) + sn π ) i i la part ral s R z ) Considr los siguints númros compljos: ) z = 3 i 2) z 2 = 2 3 i

2 Ma3002, Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos 2 3) z 3 = + 3 i ) z = i π Dtrmin la part ral d la función logaritmo principal aplicada a z,...,z. Rcordmos la fórmula d la función logaritmo sobr un númro compljo z: lnz) = ln z ) + arg z) i = ln r) + θ + 2 π n) i para n = 0, ±, ±2, ±3,... y dl logaritmo principal Lnz) = ln z ) + Arg z) i = ln r) + θ i Por consiguint, para valuar la función logaritmo principal dbmos dtrminar su módulo y su argumnto. ) Para z = 3 i: r = z = = 3 y θ = 2 π, por tanto así R Lnz )).0986 Lnz ) = ln3) + π i i 2 2) z 2 = 2 3 i, z 2 = y θ , por tanto así R Lnz 2 )).2827 Lnz 2 ) ln ) i i 3) z 3 = + 3 i: z 2 = 0 y θ = tan 3) +.290, ) Lnz 3 ) = ln 0 + tan 3) i i así R Lnz 3 )).529 ) z = π i: z.2755 y θ = tan π) , así R Lnz )) Lnz ) ln.2755) i i La siguint figura mustra qu la función logaritmo usanda n la TI s la función logaritmo principal d númros compljos. Ustd db tnr configurada su calculadora n modo compljo Ral or Complx: Rctangular). Obsrv las siguints figuras. En los modlos prvios d TI, l mnú s obtin n la tcla MODE.

3 Ma3002, Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos 3 3. Considr los siguints númros compljos: ) z = 3 i 2) z 2 = i 3) z 3 = + 2 i ) z = 3 i π Dtrmin: a) R i z ) b) R i z2 ) c) R snz )) d) Imcosz 2 )) ) tanz 3 ) Rcordmos qu la potncia principal d un compljo s calcula por la fórmula: z z 2 = z2 Lnz) para z 0 y qu por otro lado: sn z) = 2 i i z i z), cos z) = 2 i z + i z), tan z) = sn z) cos z) ) Para calcular la potncia princial d i z, dbmos calcular l logaritmo principal d la bas d nustra potncia qu s i. Y para llo dbmos llvar i a la forma polar: por lo tanto así R i z ).38 i z i = 2 π i Ln i) = ln) + 2 π i = π i = z Lni) = 3 i) 2 π i) = 3 2 π i 2) Para calcular i z2 procdmos igual y aprovchamos qu tnmos Ln i): i z2 = z2 Lni) = 3+3 i) 2 π i) = 3 2 π 3 2 π i como 3 2 π 3 2 π i = 3 2 π cos 32 ) π π sn 32 ) π i i así R i z2 ) = 0

4 Ma3002, Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos 3) Para obtnr sn z ) dbmos calcular i z i z y i z = i 3 i) = 3+0 i = 3 cos 0) + 3 sn 0) i = i z = i 3 i) = 3+0 i = 3 cos 0) + 3 sn 0) i = por tanto sn z ) = i z i z) ) i 2 i 2 i así R sn z )) = 0 ) Para obtnr cos z 2 ) dbmos calcular i z2 i z2 y i z2 = i 3+3 i) = 3 3 i = 3 cos 3) + 3 sn 3) i i por tanto i z2 = i 3+3 i) = 3+3 i = 3 cos 3) + 3 sn 3) i i cos z 2 ) = 2 i z 2 + i z2) i así Im cos z 2 )) = ) Para calcular tan z 3 ) dbmos calcular sn z 3 ) y cos z 3 ). Si sguimos procsos similars a los incisos antriors obtnmos: sn + 2 i) i por lo tanto cos + 2 i) i tan z 2 ) i La siguint figura mustra qu la funcions xtndidas sobr los compljos stán implmntadas n la TI.. Considr los siguints númros compljos: ) z = i 2) z 2 = i dtrmin: ) La part ral d la primra raíz cúbica d z 2 2) La part ral d z 3) El argumnto dl valor principal d lnz 2 ) ) La part ral dl valor principal d lnz ) z 5) El módulo d z 2

5 Ma3002, Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos 5 Utilizarmos dirctamnt las funcions xtndidas d la TI pusto qu aplican para los valors principals. Esto s ilustra n la siguint figura. Obsrv qu usamos punto dcimal ya sa n la part ral y/o n la imaginaria para obligar a qu los cálculos san aproximados. 5. Dtrmin l argumnto d dos raícs d la cuación: z Us l valor principal para l cálculo dl logaritmo natural y obtnga las distintas raícs pdidas d la fórmula d D Moivr. Al tomar logaritmo logaritmo principal) n ambos lados obtnmos: Ln z) = z = Ln i) = π i = z o Ahora para obtnr las raícs cuartas d z o lo llvarmos a su forma polar: ) 2 z o = π = 2 π, θ = Argz o) = tan 2 π ) = 0 2 π Por tanto = i z o = 2 π 2 π i y la fórmula d D Moivr aplicada para raícs cuartas nos qudará: zo = 2 π cis 2 π + 2 π k ) para k = 0,, 2, 3 = Para k = 0 obtnmos l valor principal n l formato cis: l argumnto principal d r s Argr ) = 8 π Para k = obtnmos la sgunda raíz: l argumnto principal d r 2 s Argr 2 ) = 5 8 π r = 2 π cis r 2 = 2 π cis 5 Obsrv qu si acaso s hubira pdido una raíz adicional, para k = 2 obtndríamos: r 3 = 2 π cis 9 y un argumnto d r 3 s 9 8 π, pro n vista qu st valor s más grand qu π, dbmos corrgir l valor rstando 2 π. El argumnto principal d r 3 s: Argr 3 ) = 9 8 π 2 π = 7 8 π