Licenciatura en Economía Macroeconomía II. 1 Modelo DSGE con Shock a las Preferencias y Esfuerzo Variable

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1 Licenciatura en Economía Macroeconomía II Danilo Trupkin Trabajo Práctico 4 - Soluciones 30/05/ Modelo DSGE con Shock a las Preferencias y Esfuerzo Variable Considere una economía con población constante de agentes idénticos que planifican con horizonte infinito, y maximizan la siguiente utilidad esperada: E t=0 βt [ ln c t + η1 e t l t ψ 2 e t 1 2, con 0 < β < 1, c t, l t, y e t las asignaciones de consumo, trabajo, y esfuerzo, respectivamente, η y ψ constantes positivas, y una variable que refleja el estado de las preferencias con respecto al consumo algo así como un shock de demanda. Esta última, sigue un proceso estocástico dado por ln = θ z ln 1 + ɛ zt, donde 0 < θ z < 1 y ɛ zt N0, σ 2 z. En primer lugar, notemos que, a mayor esfuerzo en el trabajo e t, menor nivel de utilidad recibe el agente debido a un costo medido en ocio el segundo término de la función de utilidad. En segundo lugar, cambios en el esfuerzo del agente en cualquier dirección implican un costo adicional en términos de utilidad, el cual puede interpretarse como un costo de ajuste sobre la utilización del trabajo durante el proceso de producción el tercer término de la función de utilidad. La función de producción, por su parte, tiene la forma y t = A t k t e t l t 1. Es decir, depende de las horas de trabajo efectivas, e t l t, de los servicios provenientes del stock de capital, k t, y del estado de la tecnología, A t. El nivel tecnológico, tal como lo definimos en clase, sigue un proceso dado por ln A t = θ A ln A t 1 + ɛ At, donde 0 < θ A < 1 y ɛ At N0, σ 2 A. Finalmente, suponga que existen costos de ajuste sobre la inversión, tal que por cada unidad invertida el agente debe renunciar a 1 + φi t unidades de producto en cada periodo, donde φ es una constante positiva. Es decir, en cada momento del tiempo, el costo total de inversión equivale a i t 1 + φi t. Con respecto al timing de las elecciones, se asume lo siguiente. El nivel de trabajo medido por l t es elegido con información en t 1 llamemos I t 1 a este conjunto de información, mientras que las variables restantes c t, e t, i t, son elegidas con información en t llamemos I t a este conjunto de información. Para simplificar, asuma que no hay firmas en esta economía. Es decir, aquí las familias consumen, invierten, y producen. 1 1 Note que, si las firmas son competitivas, la ausencia de éstas no cambia las asignaciones óptimas. 1

2 Resumiendo, el problema a resolver es el siguiente: max E {c t,l t,e t,,i t} t=0 t=0 β t [ ln c t + η1 e t l t ψ 2 e t 1 2 sujeto a c t + i t 1 + φi t = A t kt e t l t 1 = 1 δk t + i t ; k 0 > 0; z 0 y A 0 dados. ln = θ z ln 1 + ɛ zt ; ɛ zt N0, σ 2 z; ln A t = θ A ln A t 1 + ɛ At ; ɛ At N0, σ 2 A; 1. Escriba el lagrangiano del problema, y encuentre las condiciones de optimalidad. Respuesta: El Lagrangiano del problema puede escribirse de la siguiente manera: L = E t=0 β t { zt ln c t + η1 e t l t ψ 2 e t λ t [A t k t e t l t 1 c t i t 1 + φi t +µ t [i t + 1 δk t } Luego, las condiciones de optimalidad con respecto a: 1 el consumo, 2 el trabajo, 3 el esfuerzo, 4 la inversión, y 5 el stock de capital en t + 1, son las siguientes: λ t c t = 0 1 E{ ηe t + λ t 1 y t I t 1 } l t = 0 2 ηl t ψe t 1 + λ t 1 y t = 0 3 e t λ t 1 + 2φi t + µ t = 0 4 [ µ t + βe λ t+1 + µ t+1 1 δ I t = Interprete las dos condiciones de optimalidad con respecto al esfuerzo y el nivel de trabajo. Qué ocurre cuando ψ es cero? Respuesta: Desarrollemos estas dos condiciones de equilibrio, tomando como válido que λ t = /c t. Por un lado, tenemos la condición de equilibrio del nivel de trabajo ex-ante ecuación 2 que, en realidad, si no estuviera el término de la esperanza, nos daría la condición estándar de que la tasa marginal de sustitución consumo-ocio se iguala al producto marginal del trabajo normalizado por el nivel de esfuerzo; es decir: ηc t = 1 y t e t l t. 6 2

3 Por otro lado, si ordenamos un poquito la condición de óptimo con respecto al esfuerzo ecuación 3, y nuevamente tomando λ t = /c t, tenemos lo siguiente: ηc t = 1 y t e t l t c tψ l t e t 1. 7 Notemos que, en definitiva, si ψ fuera cero, entonces 7 se vuelve 6 ex-post. Es que, justamente, el ψ es un parámetro que indica el costo de ajuste de la utilización del trabajo durante el proceso de producción. Si este costo de ajuste se vuelve cero, entonces ajustar el esfuerzo luego de un shock cuesta lo mismo que si hubiéramos ajustado antes la cantidad de trabajo o trabajadores, si se quiere. En pocas palabras, el modelo estudiado aquí se reduce al modelo tradicional sin esfuerzo variable. 3. Halle e interprete la ecuación de Euler. Es el precio del bien de capital diferente al precio del bien de consumo en esta economía? Cuál es la tasa de retorno en t + 1 de una unidad de bien invertida en t? Respuesta: La ecuación de Euler puede construirse de la siguiente manera. De la condición 4 tenemos que Por otro lado, de la condición 5 encontramos que [ µ t = βe λ t+1 µ t = λ t 1 + 2φi t. 8 + µ t+1 1 δ. 9 Sustituyendo µ en 9 por su expresión hallada en 8, y teniendo en cuenta además que λ t+1 = +1 /c t+1, obtenemos finalmente la ecuación de Euler para esta economía con costos de ajuste sobre la inversión: 1 + 2φi t = βe z [ t δ1 + 2φi t Recordemos que la ecuación de Euler del modelo estándar visto en clase sin costos de ajuste tenía la siguiente forma: 1 = Eβ 1 [ + 1 δ. 11 En la nueva ecuación de Euler tenemos, a diferencia de la ecuación estándar, el shock a las preferencias z y el costo de ajuste sobre la inversión determinado básicamente por φ. Si nos abstraemos por un momento del shock a las preferencias, en particular, notemos que si φ 0, es decir si los costos de ajuste a la inverión se vuelven 3

4 despreciables, la ecuación 10 se reduce a 11. Asimismo, uno podría interpretar la nueva ecuación de Euler, con costos de ajuste, del siguiente modo. Reescribamos la ecuación 8, alternativamente, como µ t λ t = 1 + 2φi t. 12 Notemos que, del lado izquierdo, tenemos el cociente entre el multiplicador de la ecuación de movimiento del capital y el multiplicador de la restricción de recursos. Es decir, un cociente entre: 1 el precio sombra de una unidad de bien de capital y 2 el precio sombra de una unidad de bien de consumo después de todo, λ es igual a la utilidad marginal del consumo en el óptimo. Dicho ratio puede ser interpretado, precisamente, como el precio relativo de una unidad de capital en términos de consumo, o simplemente como el precio relativo del capital, al cual podemos denotar como p k,t µ t /λ t. En resumen, reescribimos ahora la ecuación 12 como p k,t = 1 + 2φi t, y así la ecuación de Euler en 10 queda expresada de la siguiente manera: p k,t = Eβ z [ t δp k,t En otras palabaras, la familia estará indiferente entre consumir e invertir cuando el costo marginal de una unidad que se deja de consumir en el presente lado izquierdo de la ecuación sea igual al retorno esperado y descontado de dicha unidad invertida. Este último término estará compuesto por: 1 el retorno futuro en términos de alquiler de aquella unidad de bien de capital, más 2 su valor de venta luego de restarse la parte depreciada. Noten que, en 13, aparecen los precios relativos del capital tanto en el periodo t del lado izquierdo como en t + 1 del lado derecho. Ello muestra que el bien de capital puede sufrir variaciones de su precio relativo, y por lo tanto afectar su tasa de retorno. Como ejemplo, si aumentrara el precio del capital en t + 1 supongamos, por un aumento de φ en el futuro, ceteris paribus esto incrementa los incentivos relativos a ahorrar en lugar de consumir. Luego, uno esperaría que, además de los ajustes de las otras variables endógenas del modelo, el consumo presente caiga con relación al consumo futuro, de modo que el lado izquierdo de 13 permanezca igual al lado derecho. 4

5 Finalmente, la tasa de retorno en t + 1 de una unidad de bien invertida en t será: [ + 1 δp k,t+1 p k,t 1 4. Resuma el comportamiento de la economía en equilibrio, i.e., escriba el sistema completo de ecuaciones que describen el comportamiento óptimo de las variables en esta economía, y halle expresiones para las variables en un steady state no estocástico. Respuesta: El sistema que describe completamente el comportamiento en el tiempo de esta economía, es el siguiente: { ηct E 1 y } t e t l t = 0 ηc t 1 y t e t l t = c tψ l t e t 1 p k,t = 1 + 2φi t p k,t = Eβ z [ t δp k,t+1 y t = c t + i t 1 + φi t y t = A t k t e t l t 1 = i t + 1 δk t ln = θ z ln 1 + ɛ zt ln A t = θ A ln A t 1 + ɛ At 5

6 Las expresiones del steady-state no estocástico, por su parte, son las siguientes: ē = z = Ā = 1 η c = 1 ȳ l p k = 1 + 2φī 1 ȳ β = + 1 δ k 1 p k ȳ = c + ī1 + φī ȳ = k l 1 ī = δ k. La parte que sigue es opcional, y otorga crédito extra equivalente al 20% del trabajo. Puede entregarla hasta el día jueves 6 de junio Asuma que los parámetros del modelo toman los valores siguientes: β δ η φ ψ θ z σ z θ A σ A Luego, escriba el sistema de equilibrio de esta economía en Matlab aquí puede utilizar Dynare, y en particular adaptar el archivo.mod visto en clase. Halle, como resultado, las funciones de impulso-respuesta y las volatilidades de las variables, ante los dos shocks de esta economía. Finalmente, compare dichos resultados con aquellos vistos en clase para el modelo estándar RBC. Que diferencias encuentra? Nota: La solución a esta parte puede encontrarla en el siguiente link: El archivo zipeado incluye el output en PDF funciones de impulso-respuesta, steady state, y volatilidades y el archivo.mod del modelo. 6