Supremo e ínfimo. Números irracionales

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1 Tema 4 Supremo e ífimo. Números irracioales Completamos e este tema la presetació de los úmeros reales, estudiado las propiedades más importates de R, las que se deduce del axioma del cotiuo. Para aplicar cómodamete dicho axioma usaremos las ocioes de supremo e ífimo, imprescidibles e Aálisis. La existecia de úmeros irracioales, es decir, de úmeros reales que o so racioales, será uestro primer objetivo. Ecotraremos de forma explícita ua amplia gama de úmeros irracioales. Después itetaremos eteder la distribució de los úmeros racioales e irracioales sobre la recta real. Probaremos que todo úmero real se puede aproximar por úmeros racioales. Fialmete haremos u breve estudio de los subcojutos de R que más utilidad tedrá e lo que sigue, los itervalos, y cocluiremos probado que R o es umerable, co lo que quedará claro que los úmeros irracioales abuda mucho más que los racioales Las ocioes de supremo e ífimo El axioma del cotiuo tiee u sigificado ituitivo muy claro, pero casi uca se usa tal como lo hemos euciado. Para aplicarlo co más comodidad sirve las ocioes que ahora vamos a presetar. Dado u cojuto o vacío A R, se dice que A está mayorado cuado existe y R tal que y a para todo a A. E tal caso decimos tambié que y es u mayorate de A, así que A está mayorado cuado admite u mayorate. Aálogamete decimos que A está miorado cuado admite u miorate, esto es, u x R tal que x a para todo a A. Cuado A está mayorado y tambié miorado, decimos que A está acotado. Resaltamos la relació etre las ocioes de mayorate y máximo, o de miorate y míimo. La diferecia esecial estriba e que u mayorate o miorate de u cojuto o tiee por qué perteecer al cojuto. De hecho, si u cojuto A de úmeros reales tiee máximo, etoces máx A es el úico elemeto de A que es mayorate de A. Aálogamete, el míimo de u cojuto, si existe, es el úico miorate de dicho cojuto que perteece al mismo. 25

2 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 26 Veamos alguos ejemplos secillos de las ocioes recié itroducidas. El cojuto R o está mayorado i miorado. El cojuto R está mayorado pero o miorado, el cojuto de sus mayorates es R + 0 y iguo de ellos perteece a R, de ahí que R o tega máximo. El cojuto R + 0 o está mayorado, el cojuto de sus miorates es R 0, 0 = mí R+ 0 y todos los elemetos de R so miorates de R + 0 que o le perteece. Fialmete, el cojuto A = {a R : 0 a < 1} está acotado, R 0 es el cojuto de los miorates de A y 0 = mí A; el cojuto de los mayorates de A es {y R : y 1} y A o tiee máximo. Es obvio que si y es u mayorate de u cojuto A y tomamos z R co z > y, tambié z es mayorate de A, pero al sustituir y por z hemos perdido iformació. Podríamos decir que u mayorate es tato más útil cuato más pequeño sea, lo que os lleva a pregutaros si el cojuto de los mayorates tiee míimo. Aálogamete, para u cojuto miorado, podemos pregutaros si el cojuto de sus miorates tiee máximo. El axioma del cotiuo os permitirá cotestar afirmativamete ambas pregutas: Teorema (Existecia de supremo e ífimo). Si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y mayorado, etoces el cojuto de los mayorates de A tiee míimo, que recibe el ombre de supremo del cojuto A y se represeta por sup A. Aálogamete, si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y miorado, etoces el cojuto de los miorates de A tiee máximo, que recibe el ombre de ífimo del cojuto A y se represeta por íf A. Demostració. E efecto, sea A u cojuto o vacío y mayorado de úmeros reales, y sea B el cojuto de todos los mayorates de A. Por defiició de mayorate teemos a b para cualesquiera a A y b B. El axioma del cotiuo os proporcioa u x R verificado que a x b, tambié para todo a A y todo b B. Pero etoces está claro que x es mayorate de A y es meor o igual que cualquier otro mayorate de A, luego es el míimo del cojuto de los mayorates de A, como queríamos. Para la existecia del ífimo se razoa de maera aáloga, usado u cojuto miorado y el cojuto de sus miorates. Naturalmete, si A es u cojuto de úmeros reales o vacío y acotado, etoces A tiee supremo e ífimo, siedo evidete que: íf A sup A. La siguiete observació ayuda a compreder rápidamete la utilidad de las ocioes de supremo e ífimo. Si /0 A R, está claro que u y R es mayorate de A si, y sólo si, y sup A, luego el cojuto de los mayorates de A es {y R : y sup A}. Por defiició de mayorate, teemos la siguiete equivalecia: a y a A sup A y. Obsérvese que a la izquierda de esta equivalecia teemos tatas desigualdades como elemetos de A, pero mirado a la derecha, la oció de supremo os ha permitido reducir todas esas desigualdades a ua sola. Para el ífimo teemos por supuesto la equivalecia aáloga: dados u cojuto o vacío A R y u x R, se tiee que x a a A x íf A. Aprovechado esta observació, veremos que el teorema aterior es equivalete al axioma del cotiuo, pero permite comprederlo mejor. Sea pues A y B subcojutos o vacíos de R tales que a b para todo a A y todo b B. Claramete, todo elemeto de B es mayorate de A y todo elemeto de A es miorate de B. E particular, A está mayorado y B está miorado, luego el teorema aterior os permite cosiderar el supremo de A y el ífimo deb.

3 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 27 Más aú, dado b B, sabemos que b es mayorate de A, luego sup A b. Pero etoces vemos que sup A es miorate de B, luego sup A íf B. Recíprocamete, si sup A íf B, se tedrá a sup A íf B b para cualesquiera a A y b B. De etrada, el teorema aterior os ha permitido resumir la hipótesis sobre A y B e ua sola desigualdad: supa ífb. La tesis del axioma del cotiuo, que ahora queremos obteer, os diría simplemete que existe x R que es a la vez mayorate de A y miorate de B, pero si daros más iformació, si permitiros decidir por ejemplo si x es úico. Si embargo, que x sea mayorate de A equivale a que se tega sup A x, y que sea miorate de B equivale a x íf B. Así pues la codició que debe cumplir x es, i más i meos, que sup A x íf B. Por supuesto, al ser sup A íf B, podemos asegurar que tal x existe y hemos deducido el axioma del cotiuo del teorema aterior. Pero ahora teemos ua iformació más precisa: si sup A = íf B, está claro que x es úico, pero si sup A < íf B, coocemos todas las posibles eleccioes de x Relació co las ocioes de máximo y míimo Vamos ahora a explicar co detalle la relació etre las ocioes de supremo y máximo, o de ífimo y míimo. Si u cojuto o vacío A R o está mayorado, o podrá teer máximo i supremo, así que supogamos que A está mayorado, co lo que sabemos que tiee supremo y podrá teer máximo o o. Si A tiee máximo, etoces máx A es u mayorate de A, pero como máx A A, todo mayorate de A será mayor o igual que máx A, así que sup A = máx A y e particular, sup A A. Recíprocamete, si sup A A, etoces sup A es u mayorate de A que perteece al cojuto A, luego A tiee máximo, y de uevo máx A = sup A. E resume, para u cojuto A R, o vacío y mayorado, hemos comprobado que A tiee máximo si, y sólo si, sup A A, e cuyo caso máx A = sup A. Aálogamete, u cojuto o vacío y miorado A R tiee míimo si, y sólo si, íf A A, e cuyo caso, mí A = íf A. La relació recié cometada explica que usemos el supremo o el ífimo de u cojuto como sucedáeo de u máximo o míimo que o existe, o al meos o sabemos si existe. A este respecto puede ser útil u paralelismo que vamos a establecer etre la defiició del máximo de u cojuto y ua caracterizació del supremo que se comprueba si dificultad. Si /0 A R y α R, se tiee α = máx A { a α a A α A α = sup A { a α a A ε R + a A : α ε < a Mietras el máximo de u cojuto perteece al cojuto, el supremo sólo ha de teer elemetos del cojuto ta cerca como se quiera. La comparació etre míimo e ífimo es aáloga: { { a α a A a α a A α = mí A α = íf A α A ε R + a A : a < α + ε U ejemplo que ya hemos usado ateriormete sirve para ilustrar las ocioes de supremo e ífimo y su relació co las de máximo y míimo. Para el cojuto A = {a R : 0 a < 1} se tiee que mí A = íf A = 0, sup A = 1 / A y A o tiee máximo.

4 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Raíz -ésima Como primera aplicació de la existecia de supremo, vamos a probar ua importate propiedad de los úmeros reales positivos: Teorema (Existecia de raíz -ésima). Dado N, para cada x R + existe u úico y R + tal que y = x. Se dice que y es la raíz -ésima de x, simbólicamete: y = x. Demostració. Empezamos co dos observacioes secillas. La primera es la siguiete: δ R, 0 δ 1 = (1 + δ) k k 1 δ k N (1) Esta desigualdad se comprueba fácilmete por iducció. Para k = 1 es evidete, de hecho teemos la igualdad. Supoiedo que la desigualdad es cierta para u k N, teemos (1 + δ) k+1 = (1 + δ) k (1 + δ) (1 + 3 k 1 δ)(1 + δ) = k 1 δ + δ + 3 k 1 δ k 1 δ + 3 k 1 δ + 3 k 1 δ = k δ dode hemos usado que 3 k 1 1 y que δ 2 δ, por ser 0 δ 1. Teemos así la desigualdad buscada para el úmero atural k + 1. Fijado ya N, vamos co la seguda observació: ρ R, ρ > 1 = δ R + : (1 + δ) ρ (2) E efecto, si ρ > , basta tomar δ = 1 y aplicar la desigualdad (1). Si ρ tomamos δ = (ρ 1)/3 1, co lo que 0 δ 1 y (1) os dice que (1+δ) δ = ρ. Etramos e la demostració propiamete dicha. Dado x R +, supogamos de mometo que x 1, lo que hace que el cojuto A = {z R + : z x} o sea vacío, pues 1 A. Además, para z R co z > x, se tiee z > x x y z / A, luego x es mayorate de A. Podemos pues defiir y = sup A 1, y veremos que y = x, comprobado que, tato si y < x como si y > x, se llega a cotradicció. Supoiedo y < x podemos aplicar (2) co ρ = x/y > 1, obteiedo u δ R + tal que (1+δ) x/y, es decir, ( (1+δ)y ) x. Pero etoces la defiició del cojuto A os dice que (1+δ)y A, de dode (1+δ)y supa = y, lo cual es ua cotradicció, porque δ R +. Supoiedo y > x aplicamos tambié (2) pero co ρ = y /x > 1, obteiedo u δ R + que ahora verifica (1+δ) y /x. Escribiedo para abreviar w = y/(1+δ), teemos x w. Para z A se tedrá z x w, luego z w. Pero etoces w es u mayorate del cojuto A y por tato w sup A = y, es decir, otra vez y (1 + δ)y, la misma cotradicció. Queda pues comprobado que y = x, como queríamos. Si 0 < x < 1, teemos 1/x > 1 luego, por lo ya demostrado, existe u R + tal que u = 1/x, y basta tomar y = 1/u R + para teer y = x. Fialmete, la uicidad de y está clara: para z R + co z y, o bie z < y, co lo que z < y = x, o bie z > y, co lo que z > y = x; e cualquier caso z x.

5 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 29 Si x R + y = 1, la afirmació del teorema aterior es obvia: 1 x = x. Para = 2 teemos la raíz cuadrada y escribimos x e lugar de 2 x. Para = 3 teemos la raíz cúbica 3 x, para = 4 la raíz cuarta 4 x, etc. Auque el teorema aterior sólo os da estas raíces para x R +, podemos buscar ahora, para cualesquiera x R y N, las solucioes reales de la ecuació y = x. E ciertos casos, esto os permitirá exteder la defiició de raíz -ésima. Para x = 0, dicha ecuació tiee solució úica, y = 0, luego es coherete defiir 0 = 0 para todo N. Para x R hemos de distiguir dos casos: Si es par, teemos ( y) = y 0 para todo y R. Por tato, para x R, la ecuació y = x o tiee solucioes reales, mietras que para x R +, tiee exactamete dos: y = ± x. Si es impar, es claro que y R para todo y R, así como que ( y) = y para todo y R. Por tato, para x R +, la ecuació y = x o tiee solucioes egativas, luego y = x es su úica solució real. Para x R, vemos que la ecuació y = x equivale a ( y) = x, cuya úica solució real es, segú hemos visto, y = x. Por tato, es coherete defiir x = x, de forma que x siga siedo la úica solució real de la ecuació y = x. Resumiedo toda la discusió aterior, para N, la raíz -ésima de u úmero real x, deotada siempre por x, ha quedado defiida e los siguietes casos: Cuado es impar. Etoces, para todo x R, x es el úico y R que verifica y = x. Equivaletemete, para x,y R se tiee que y = x si, y sólo si, y = x. Cuado es par y x R + 0, e cuyo caso x es el úico y R + 0 que verifica y = x, así que la igualdad y = x equivale a dos codicioes: y 0 y x = y Números irracioales Recordemos que los úmeros reales que o so racioales se deomia irracioales, así que el cojuto de los úmeros irracioales es R \ Q. Para teer ejemplos, empezamos viedo que 2 R \ Q. El siguiete razoamieto se atribuye a Hipaso de Metapoto, miembro de la escuela pitagórica (siglo V a.c.). Supogamos que 2 Q para llegar a cotradicció. Podemos etoces escribir 2 = p/q dode p,q N so primos etre sí, de forma que la fracció p/q sea irreducible. Puesto que p 2 = 2q 2, vemos que p 2 es par, luego p tambié es par. Escribiedo etoces p = 2h co h N, tedremos 2q 2 = p 2 = 4h 2 de dode q 2 = 2h 2. Etoces q 2 es par, luego q es par y hemos llegado a ua cotradicció: p y q so pares, luego o so primos etre sí. Usado esecialmete el mismo razoamieto, podemos llegar más lejos: Dados,m N, m es u úmero atural o u úmero irracioal. Bastará probar que si m Q, etoces m N. Siguiedo la pista del razoamieto aterior, es atural expresar m como ua fracció irreducible, lo cual es bastate fácil, basta pesar que ua fracció es irreducible cuado su deomiador es el más pequeño posible.

6 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 30 Por hipótesis, el cojuto {k N : k m N} o es vacío, lo que os permite defiir q = mí{k N : k m N} Tomado etoces p = q m, teemos que p N y obviamete m = p/q. La demostració se cocluirá probado que q = 1, co lo que m = p N. Supogamos por el cotrario que q > 1, e cuyo caso ha de existir u úmero primo s > 1 que divide a q (si el propio q fuese primo tomaríamos s = q). Puesto que p = mq vemos que s divide a p, pero al ser s u úmero primo, esto implica que s divide a p. Escribiedo p = sh y q = sk co h,k N teemos evidetemete m = h/k, luego k m = h N, es decir, k perteece al cojuto cuyo míimo es q, ua cotradicció: k q = sk > k. Podemos ya poer e marcha toda ua fábrica de úmeros irracioales. Fijados,k N, para cualquier m N que verifique k < m < (k + 1) tedremos k < m < k + 1 luego m / N, así que m R \ Q. Por ejemplo, tomado = 2 y k = 1 obteemos que 2 y 3 so úmeros irracioales, co k = 2 obteemos que m R \ Q para m = 5,6,7,8, y así sucesivamete. Pero tambié podemos usar raíces cúbicas: 3 m R \ Q para todo m N que verifique 1 < m < 8, o bie 8 < m < 27, etc. Aú podemos icremetar uestra colecció de úmeros irracioales si pesamos que, tomado α R \ Q y r,s Q co s 0, se tiee que r + sα R \ Q. E efecto, si fuese r + sα = t Q tedríamos α = (t r)/s Q, ua cotradicció. Tomado s = 1 e la afirmació aterior, vemos que la suma de u úmero racioal co u irracioal es irracioal, mietras que tomado r = 0 obteemos que el producto de u úmero irracioal por u racioal o ulo es irracioal. Coviee aclarar que la suma de dos úmeros irracioales puede ser racioal o irracioal. Por ejemplo, y 1 2 so irracioales, pero su suma es 2. Por otra parte, = 2 2 R \ Q. Tambié es claro que el producto de dos úmeros irracioales puede ser racioal o irracioal Propiedad arquimediaa Es atural pregutarse cómo situar los úmeros irracioales e la recta real, algo que ya hicimos co los racioales, mediate ua fácil costrucció geométrica. Obtedremos suficiete iformació como para seguir aceptado la iterpretació geométrica de los úmeros reales como putos de ua recta. Si embargo, coviee cometar que el problema o es ada fácil: para la imesa mayoría de los úmeros irracioales o es posible costruir geométricamete los correspodietes putos de la recta. Por citar u ejemplo famoso, uo de los problemas clásicos de la geometría, que los matemáticos griegos dejaro si resolver, el problema de la duplicació del cubo, cosiste e costruir geométricamete u segmeto de logitud 3 2 y hoy sabemos que eso o es posible. Empezamos probado la propiedad arquimediaa de R: el cojuto N o está mayorado, es decir, para cada x R existe N tal que > x. Su iterpretació geométrica es fácil de admitir: al subdividir u segmeto e partes iguales, coseguimos segmetos ta pequeños como queramos. El sabio griego Arquímedes de Siracusa ( a.c.) obtuvo gra provecho de esta propiedad.

7 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 31 Para r Q es fácil ecotrar u úmero atural mayor que r : o bie r 0 < 1, o bie r = p/q co p,q N, e cuyo caso r < p+1. Para los irracioales esto o parece ta evidete, pero probaremos fácilmete algo más geeral: Teorema. Sea A u cojuto o vacío de úmeros eteros. (i) Si A está mayorado, etoces A tiee máximo. E particular, N o está mayorado. (ii) Si A está miorado, etoces A tiee míimo. (iii) Si A está acotado, etoces A es fiito. Demostració. Para probar (i) usamos la existecia de supremo: sea z = sup A. Como z 1 o es mayorate de A, existe k A tal que z 1 < k. Para a A, se tiee etoces a z < k + 1 de dode, por ser a y k úmeros eteros, deducimos que a k. Hemos visto así que k = máx A. Está claro ahora que N o puede estar mayorado, puesto que o tiee máximo. La demostració de (ii) es aáloga, usado la existecia de ífimo. Alterativamete, basta aplicar (i) al cojuto mayorado B = { a : a A}, y observar que mí A = máx B. Fialmete, si A está acotado, podemos tomar p = mí A y defiir f (a) = a p + 1 para todo a A, obteiedo ua aplicació f : A N que claramete es iyectiva, así que A es equipotete a f (A) y bastará ver que f (A) es fiito. Ahora bie, tomado q = máx A teemos claramete f (a) q p + 1 para todo a A, luego f (A) es fiito por estar coteido e el cojuto fiito { N : q p + 1}. Veamos ua cosecuecia fácil del teorema aterior que será muy útil. Fijado x R, el cojuto {k Z : k x} o es vacío, pues tomado N tal que x <, es claro que perteece a dicho cojuto. Teemos así u cojuto de úmeros eteros o vacío y mayorado, luego tiee máximo, que recibe el ombre de parte etera de x, y se deota por E(x). Así pues: E(x) = máx{k Z : k x} x R Teemos claramete que E(x) Z y E(x) x < E(x) + 1. De hecho, es fácil ver que E(x) se caracteriza por esas dos codicioes: es el úico k Z que verifica k x < k + 1. Para x R\Q, ya sabemos algo sobre la situació de x e la recta real: debe ser u puto del segmeto de extremos E(x) y E(x) + 1. Eseguida afiaremos mucho mejor esta iformació Desidad de Q e R Como pricipal cosecuecia de la propiedad arquimediaa, vamos a probar que etre cada dos úmeros reales distitos, siempre existe u úmero racioal. Es costumbre referirse a esta propiedad diciedo que Q es deso e R. Más cocretamete, dado u cojuto D R, se dice que D es deso e R cuado, para cualesquiera x,y R co x < y, existe d D tal que x < d < y. Pues bie, vamos a probar que Q es deso e R y, co poco esfuerzo adicioal, veremos que tambié R \ Q es deso e R. Teorema (Desidad de Q y de R\Q e R). Para cualesquiera x,y R co x < y, existe r Q y β R \ Q verificado que x < r < β < y.

8 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 32 Demostració. Para ecotrar r, sea = E ( 1/(y x) ) + 1, que claramete verifica N y > 1/(y x), luego 1/ < y x. Tomado ahora p = E(x) + 1 Z, comprobaremos eseguida que x < p/ < y, luego para r = p/ tedremos r Q y x < r < y. E efecto: x = x < p x + 1 = x + 1 < x + (y x) = y Para ecotrar β, aplicamos otra vez lo ya demostrado, para obteer s Q tal que r < s < y. Fijado α R\Q co 0 < α < 1 (por ejemplo α = 2 1), basta tomar β = r +(s r)α, para teer claramete β R \ Q y r < β < s < y. La iterpretació geométrica de la desidad de Q e R es bie clara: e cualquier segmeto cuyos extremos o coicida, podemos ecotrar putos que se correspode co úmeros racioales. La siguiete cosecuecia imediata del teorema aterior es importate, pues poe de maifiesto cómo podemos obteer todos los úmeros reales a partir de los racioales: Para todo x R se tiee: sup{r Q : r < x} = x = íf{s Q : s > x}. Veamos ua igualdad, la otra se prueba de forma aáloga. El cojuto A = {r Q : r < x} o es vacío y x es mayorate de A. Poiedo z = sup A, teemos z x, pero si fuese z < x, la desidad de Q e R os daría u r Q tal que z < r < x, pero etoces r A y z o sería mayorate de A, ua cotradicció. Luego z = x como queríamos. Volvamos a la iterpretació geométrica de los úmeros reales. Situados sobre la recta los úmeros racioales, queremos coveceros de que cada úmero real se correspode co u úico puto de la recta, y viceversa. Para que se etieda la explicació que sigue, coviee recordar que el axioma del cotiuo se iterpreta co ua propiedad muy ituitiva de la recta, que debemos admitir: la recta o tiee huecos. Lógicamete, debemos admitir tambié la iterpretació geométrica de la desidad de Q e R, ya cometada. Pues bie, dado x R, los cojutos A x = {r Q : r < x} y B x = {s Q : s > x} está situados sobre la recta, de forma que A x está eteramete a la izquierda de B x. Como la recta o tiee huecos, etre A x y B x ha de haber u puto P de la recta. Pero si Q fuese otro puto e la misma situació, e el segmeto de extremos P y Q o habríamos situado úmeros racioales, cotra lo que habíamos admitido. Por tato P es úico y es claramete el puto de la recta dode debemos situar el úmero real x. Es ahora fácil covecerse de que, de esta forma teemos ua correspodecia biuívoca etre úmeros reales y putos de la recta. Admitido que todos los putos de ua recta se correspode co úmeros reales, vemos que la logitud de cualquier segmeto puede expresarse como u úmero real (positivo). De maera más geeral, e vez de la logitud, podemos cosiderar otras magitudes físicas: tiempo, masa, eergía, temperatura, carga eléctrica, etc. Los úmeros reales permite medir cualquier catidad de ua magitud física, es decir, cuatificar la relació etre dicha catidad y ua fija que se toma como uidad. Teemos así ua iterpretació física de los úmeros reales. Obsérvese que para magitudes co sigo, como la carga eléctrica, ecesitamos usar tambié los úmeros reales egativos.

9 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Itervalos Vamos a presetar ua colecció de subcojutos de R, que usaremos co frecuecia. Recibe el ombre geérico de itervalos y tiee ua iterpretació geométrica bie clara. Además de R y el cojuto vacío, que ambos so itervalos, teemos: Los segmetos, o itervalos acotados, cuyos extremos puede ser dos putos cualesquiera a,b R, co a b. Puede ser de cuatro tipos: Cerrado: [a,b] = {x R : a x b} Abierto: ]a,b[= {x R : a < x < b} Semiabierto por la izquierda: ]a,b] = {x R : a < x b} Semiabierto por la derecha: [a,b[= {x R : a x < b} Las semirrectas, cuyo orige es u puto cualquiera a R. Tambié hay cuatro tipos: Hacia la derecha, cerrada: [a,+ [= {x R : a x} Hacia la derecha, abierta: ]a,+ [= {x R : a < x} Hacia la izquierda, cerrada: ],a] = {x R : x a} Hacia la izquierda, abierta: ],a[= {x R : x < a} Como es la primera vez que aparece, debe quedar claro que los símbolos, y + so exactamete eso, símbolos, si más sigificado que el que les demos e cada mometo. Obsérvese que, para a R, se tiee [a,a] = {a} mietras que ]a,a[= [a,a[=]a,a] = /0. Se etiede por itervalo o trivial u itervalo que o es vacío i se reduce a u puto. Así pues, los itervalos o triviales so: la recta, todas las semirrectas y todos los segmetos cuyos extremos sea distitos. Vamos a obteer ahora ua útil caracterizació de los itervalos, es decir, u criterio que os permite decidir si u subcojuto de R es o o u itervalo, idepedietemete del tipo de itervalo de que se trate. Dicho de forma ituitiva, u subcojuto de R es u itervalo cuado, siempre que cotega dos putos distitos, ha de coteer todos los itermedios: Dado u cojuto I R, las siguietes afirmacioes so equivaletes: (i) I es u itervalo (ii) Para cualesquiera x,y I co x < y, si z R verifica x < z < y, etoces z I. La afirmació (i) (ii) es casi evidete. Si I = /0 o I = R, es obvio que I verifica (ii). E otro caso I viee defiido por ua o dos desigualdades (segú se trate de ua semirrecta o de u segmeto) que puede ser estrictas o o. Ahora bie, para x, y I co x < y, si z R verifica x < z < y, puesto que tato x como y cumple las desigualdades que defie a I, es claro que tambié z ha de verificarlas, luego z I. Por ejemplo, e el caso I = [a,b[ co a,b R, a < b, tedríamos a x < z < y < b, luego z I. Los demás casos so aálogos.

10 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 34 (ii) (i). Supogamos que I R verifica la codició (ii) para ver que I es u itervalo, cosa que obviamete ocurre cuado I = /0. Para I /0 puede darse cuatro casos, segú I esté o o mayorado y miorado: (a) I o está mayorado i miorado. Dado z R, puesto que z o puede ser miorate i mayorate de I, existirá u x I tal que x < z, así como u y I tal que z < y. Deducimos de (ii) que z I, pero z R era arbitrario, luego I = R es u itervalo. (b) I está miorado pero o mayorado. Tomamos a = íf I siedo claro que I [a,+ [. Por otra parte, para z ]a,+ [ se tiee que z o puede ser miorate de I, luego existe x I tal que x < z. Pero z tampoco puede ser mayorate de I luego existe y I tal que z < y. La codició (ii) os dice que z I, co lo que teemos ]a,+ [ I [a,+ [. Ahora sólo puede darse dos casos: o bie a I, co lo que I = [a,+ [, o bie a / I, e cuyo caso I =]a,+ [. Por tato, I es ua semirrecta hacia la derecha. (c) I está mayorado pero o miorado. U razoamieto aálogo al caso aterior, tomado a = sup I prueba que I es ua semirrecta hacia la izquierda: I =],a[ o I =],a]. (d) I está acotado. Tomamos a = íf I, b = sup I, para probar que I es u itervalo acotado co extremos a y b. Si z ]a,b[, z o podrá ser mayorate i miorate de I, luego existirá x,y I tales que x < z < y; pero etoces z I, luego ]a,b[ I [a,b]. Esto deja sólo cuatro posibilidades: I =]a,b[, I = [a,b[, I =]a,b] o I = [a,b]. Como ejemplo que ilustra bie la utilidad de la caracterizació recié obteida, podemos probar fácilmete lo siguiete: La itersecció de cualquier familia de itervalos es u itervalo. Más cocretamete, si Λ es u cojuto o vacío y, para cada λ Λ teemos u itervalo I λ R, etoces el cojuto I = λ ΛI λ es u itervalo. E efecto, dados x,y I, z R, co x < z < y, debemos ver que z I. Pero esto es evidete: para todo λ Λ, teemos que x,y I λ, luego z I λ por ser I λ u itervalo Itervalos ecajados El isige matemático alemá Georg Cator ( ) descubrió ua útil propiedad de la recta real que eseguida vamos a demostrar, y la usó para probar que R o es umerable. Pricipio de los itervalos ecajados. Supogamos que, para cada N, teemos u itervalo cerrado y acotado J = [a,b ], co a b, y cada uo de estos itervalos cotiee al siguiete: J +1 J para todo N. Etoces la itersecció J o es vacía, es decir, existe x R tal que x J para todo N. Demostració. Empezamos observado mediate ua obvia iducció, que para cualesquiera,k N, se tiee J +k J es decir: N a a +k b +k b,k N

11 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 35 Deducimos claramete que a i b j tambié para cualesquiera i, j N. E efecto, si i < j, tomamos = i y k = j i, obteiedo a i = a b +k = b j. Si fuese i > j tomaríamos = j y k = i j para obteer a i = a +k b = b j. E el caso i = j teemos por hipótesis a i b i. Equivaletemete, si cosideramos los cojutos A = {a : N} y B = {b : N}, teemos que a b para cualesquiera a A y b B. El axioma del cotiuo os asegura que existe u x R verificado que a x b para cualesquiera a A y b B. Para todo N se tiee etoces a x b, es decir, x J. Veamos ahora cómo usó Cator el pricipio aterior para probar que R o es umerable: Teorema. Todo itervalo o trivial es u cojuto o umerable. Demostració. Se basará e costruir por iducció itervalos ecajados, iterado u proceso secillo: dados u itervalo I = [a,b] co a < b y u z R, existe otro itervalo J = [c,d] I co c < d, tal que z / J. Esto es evidete: si z / I se puede tomar J = I, si z = a se toma a < c < b y d = b, mietras que si a < z b basta tomar c = a y a < d < z. E cualquier caso es c < d y tomado J = [c,d], se tiee z / J I. Pues bie, fijados a, b R co a < b, para probar que [a, b] o es umerable, veremos que ua aplicació f : N [a, b] uca puede ser sobreyectiva, es decir, f (N) [a, b]. Empezamos usado el proceso descrito para obteer u itervalo J 1 como sigue: J 1 = [a 1,b 1 ] [a,b], a 1 < b 1, f (1) / J 1 Supoiedo que, para u N, dispoemos ya de u itervalo J = [a,b ], co a < b, tal que f () / J, costruimos el itervalo J +1 de la siguiete forma: J +1 = [a +1,b +1 ] J, a +1 < b +1, f ( + 1) / J +1 Por iducció, hemos defiido ua familia {J : N} de itervalos cerrados y acotados, verificado que J +1 J y que f () / J para todo N. El pricipio de los itervalos ecajados os proporcioa u x R tal que x J para todo N. Etoces x J 1 [a,b] y para todo N se tiee x f (), ya que x J mietras f () / J. Así pues, x [a,b]\ f (N) y f o es sobreyectiva. Fialmete, si H es u itervalo o trivial, existe a,b H tales que a < b. Puesto que [a,b] H y sabemos ya que [a,b] o es umerable, H tampoco puede serlo Números algebraicos y trascedetes Resaltamos que el cojuto R \ Q de los úmeros irracioales o es umerable, pues si lo fuese, tambié lo sería R = Q (R \ Q). De hecho, es fácil ver que R \ Q es equipotete a R. Ituitivamete, podríamos decir que la imesa mayoría de los úmeros reales so irracioales. Coviee resaltar que e realidad, para probar que R \ Q o es umerable, o hemos usado que R \ Q /0. Teemos así ua demostració alterativa, o sólo de la existecia, sio de la abudacia de úmeros irracioales.

12 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 36 Auque parezca sorpredete, a veces podemos probar que u cojuto o es umerable, luego ituitivamete muy grade, si saber a priori que dicho cojuto o es vacío. E lo que sigue, vamos a ilustrar este procedimieto viedo que la imesa mayoría de los úmeros irracioales o se parece e ada a los que ya coocemos. Se dice que u úmero real es algebraico cuado se puede obteer como solució de ua ecuació algebraica co coeficietes eteros. Expliquemos co más detalle lo que esto sigifica: Por poliomio co coeficietes eteros etederemos ua fució P : R R de la forma P(z) = a k z k = a 0 + a 1 z a z z R (3) k=0 dode N y a 0,a 1,...,a Z. Cuado a 0 decimos que el poliomio P tiee grado. Para cada N, deotaremos por P al cojuto de los poliomios co coeficietes eteros de grado y P será el cojuto de todos los poliomios co coeficietes eteros que o sea costates, es decir, P = P. N Pues bie, se dice que x R es u úmero algebraico, cuado existe u poliomio P P tal que P(x) = 0. Deotaremos por A al cojuto de los úmeros algebraicos. Por ejemplo, es evidete que todo úmero racioal es algebraico: Q A. Dados,m N, tambié es claro que x = m es u úmero algebraico, pues se verifica evidetemete que m x = 0. A partir de aquí, o es difícil adiviar que todos los úmeros irracioales que hasta ahora coocemos so algebraicos. Se dice que u úmero real es trascedete cuado o es algebraico. Auque por el mometo o podamos asegurar que exista úmeros trascedetes, vamos a probar que la imesa mayoría de los úmeros reales so trascedetes: El cojuto de los úmeros algebraicos es umerable. Por tato, el cojuto de los úmeros trascedetes o es umerable. Empezamos viedo que, para todo N, el cojuto P es umerable. Para mayor comodidad, coviee cosiderar el cojuto Q de los poliomios de la forma (3), si exigir que sea a 0. Así pues Q está formado por todos los poliomios co coeficietes eteros de grado meor o igual que, icluyedo los poliomios costates. Puesto que evidetemete P Q, bastará ver que Q es umerable para todo N, cosa que haremos por iducció. Para = 1 basta pesar que Z Z es umerable y que, si a cada (a,b) Z Z asociamos el poliomio defiido por P(z) = a + bz para todo z R, obteemos ua aplicació sobreyectiva de Z Z e Q 1. Supoiedo que Q es umerable, se tedrá tambié que Q Z es umerable. Etoces, si a cada (Q,c) Q Z asociamos el poliomio defiido por P(z) = Q(z) + cz +1 para todo z R, obteemos evidetemete ua aplicació sobreyectiva de Q Z e Q +1, luego Q +1 es umerable. Sabiedo que P es umerable para todo N, deducimos que P es umerable, por ser ua uió umerable de cojutos umerables. Fialmete, basta teer e cueta u hecho bie coocido: para cada P P, el cojuto C(P) = {x R : P(x) = 0} es fiito. Por tato, escribiedo A = P PC(P), observamos que A es ua uió umerable de cojutos fiitos, luego es umerable.

13 4. Supremo e ífimo. Números irracioales 37 La seguda parte del resultado aterior está muy clara: si el cojuto R \ A de los úmeros trascedetes fuese umerable, etoces R = A (R \ A) tambié lo sería. Así pues, hemos probado que abuda los úmeros trascedetes, si dar u sólo ejemplo. De hecho, dar u ejemplo cocreto de u úmero trascedete o es del todo fácil Ejercicios 1. Sea A u cojuto o vacío de úmeros reales. E cada uo de los siguietes casos, decidir si el cojuto dado puede coicidir co el cojuto de todos los mayorates de A: a) R b) /0 c) R + d) {x R : 0 x < 1} e) {x R : 2 x} 2. Sea A y B cojutos de úmeros reales tales que A B /0. (i) Mostrar co u ejemplo que A B puede estar acotado, auque A y B o esté mayorados i miorados. (ii) Supoiedo que A y B está mayorados, probar que sup(a B) mí{sup A, sup B} (iii) Probar que, si A y B está miorados, etoces íf(a B) máx{íf A, íf B} (iv) Probar que, estado A y B acotados, las dos desigualdades obteidas e (ii) y (iii) puede ser estrictas. 3. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales y cosideremos el cojuto C = {a b : a A, b B} Probar que C está mayorado si, y sólo si, A está mayorado y B está miorado, e cuyo caso se tiee: sup(c) = sup A íf B. 4. Sea A y B cojutos o vacíos de úmeros reales positivos, y cosideremos el cojuto: C = {ab : a A, b B} (i) Probar que C está mayorado si, y sólo si, A y B está mayorados, e cuyo caso: sup(c) = sup A sup B (ii) Probar tambié que íf(c) = íf A íf B 5. Probar que el cojuto A = {x R : x 2 2x 1 < 2 x 2 } está acotado y calcular su supremo y su ífimo. 6. Probar que: k=1 1 k 2 N

14 4. Supremo e ífimo. Números irracioales Probar por iducció que para y 1,y 2,...,y R + se tiee k=1 y k = 1 = y k k=1 dádose la igualdad si, y sólo si, y 1 = y 2 =... = y = 1. Deducir la llamada desigualdad de las medias : para x 1,x 2,...,x R +, se tiee k k=1x 1 x k k=1 Cuádo se da la igualdad? 8. Probar que, para N co > 1, se tiee: (2k 1) < y ( + 1! < 2 9. Probar que k=1 es u úmero irracioal. 10. Probar que R \ Q es equipotete a R. 11. E cada uo de los siguietes casos, comprobar que el cojuto que se idica está acotado, calcular su supremo e ífimo, y dilucidar si tiee máximo y míimo: A = {x R : x 2 + x < 2}; B = {x Q : x 2 3}; C = {x R + \ Q : x 2 2} 12. Comprobar las siguietes igualdades: sup {1 1 } : N = 1; íf ) { 1 m + 1 } 2 : m, N = Probar que si I,J so itervalos verificado que I J /0, etoces I J es u itervalo. 14. Sea A, B itervalos o vacíos y acotados, tales que A B /0. Probar que íf(a B) = máx{íf A, íf B} y sup(a B) = mí{sup A, sup B} Comparar este resultado co el ejercicio Para cada N se cosidera los itervalos I =]0,1/] y J = [,+ [. Obsérvese que I +1 I y J +1 J para todo N. Probar que, si embargo, I = J = /0 N Qué relació guarda estos ejemplos co el pricipio de los itervalos ecajados? N