Cálculo estocástico. David Nualart Universitat de Barcelona

Transcripción

1 Cálculo esocásico David Nualar Universia de Barcelona 1

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3 Variación cuadráica heorem Para cada > la variación cuadráica del movimieno Browniano en el inervalo [, ] coincide con Corollary Casi seguramene, los caminos del movimieno Browniano son de variación no acoada J. Orihuela El movimieno Browniano

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6 Maringalas Sea F la σ-algebra generada por {W s : s }. Elmovimieno Browniano (W ) verifica: 1 W W s es independiene de F s si s < 2 E(W F s )=W s siempre que s L 2 (Ω, F s, P) L 2 (Ω, F, P) L 2 (Ω, F, P) yendremosoperadoresproyecciónorogonalenreesos espacios de Hilber. E(, F s ) coincide con la proyección orogonal sobre L 2 (Ω, F s, P) Un proceso (S ) adapado a la filración anerior se dice que es una maringala si E(S F s )=S s siempre que s, esoessiempreques S s sea orogonal a L 2 (Ω, F s, P) cuando s < J. Orihuela

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8 Convergencia de maringalas heorem Sea {F n F : n N} una filración creciene de σ-álgebras en F y (X n ) una L 2 -maringala asociada a dicha filración. Si sup{e(x 2 n ):n N} < ; i.e si la maringala (X n ) es acoada en L 2 (Ω, F, P), enonces (X n ) es una sucesión convergene en L 2 (Ω, F, P). Corollary (Kolmogorov) Si (X n ) son v.a. independienes de media cero y varianza σn 2 con n=1 σ2 n <, enonces la serie n=1 X n es convergene en L 2 (Ω, F, P). J. Orihuela Movimieno Browniano y Maringalas

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10 Convergencia de maringalas heorem Sea {F n F : n N} una filración creciene de σ-álgebras en F y (X n ) una maringala asociada a dicha filración. Si la sucesión (X n ) es uniformemene inegrable, i.e. lim c sup n N E( { Xn c} X =, enonces (X n ) es una sucesión casi seguramene convergene con límie X L 1 (Ω, F, P) dándose la convergencia ambién en la norma de L 1 (Ω, F, P). heorem (Kolmogorov) Si (X n ) son v.a. independienes de media cero y varianza σn 2 con n=1 σ2 n <, enonces la serie n=1 X n es casi seguramene y L 1 (Ω, F, P)-convergene. J. Orihuela Movimieno Browniano y Maringalas

11 Convergencia de maringalas Si (X n ) n es una maringala ineresa saber si la «rayecoria» (X n (ω)) n de ω Ω por la maringala se esabiliza, es decir, si lim n X n (ω). eorema 1 Sea (X n ) n una maringala en (Ω, F, P), siendo (X n ) n una sucesión acoada en L 1. Enonces exise X := lim n X n en casi odo puno y X L 1. écnica muy ingeniosa desarrollada por Dobb, esquemaizada en: q p X Sara Y Luis Juego n uk vk ciclo uk+1 A := {ω Ω :(X n(ω)) n converge} A = p,q Q Ap,q, que suponemos no vacío. A p,q = {lim inf X n(ω) < p < q < lim sup X n(ω)} Sólo hay que probar que P(A p,q) =. Sea U n = k número de ciclos compleos que Luis ha realizado hasa juego n. En el juego u k Sara gana gana menos de p yenv k gana al menos q. Luis ha ganado al menos (q p) en cada ciclo compleo. José M. Mira Ros (Univ. Murcia). Arbiraje 9.Maringalas 22 de diciembre de / 22

12 En el juego n, ras k ciclos compleos, caben dos posibilidades: 1 u k n < v k, y enonces se iene que Y n k(q p) X n p (pueso que X n p puede ser negaivo) 2 v k n < u k+1, en cuyo caso Luis ha compleado el ciclo k + 1ysu ganancia acumulada cumple Y n =(k + 1)(q p) k(q p) X n p =(q p)u(n) X n p La úlima desigualdad es ciera en ambos casos. omando esperanzas: =E(Y n ) (q p)e(u n ) E( X n p ) (ganancias en juego juso) E(U n ) E( X n p ) q p M + p q p siendo M = sup{e( X n ); n N} <. Al ser U n (ω) N una sucesión monóona creciene exise U(ω) :=lim n U n (ω) que es medible, pero por el eorema de la convergencia monóona se iene U L 1 (Ω, F, P), lim n U n (ω) es finio N c.s. P(A p,q )=. Y ya es sencillo acabar... José M. Mira Ros (Univ. Murcia). Arbiraje 9.Maringalas 22 de diciembre de / 22

13 En el eorema 1 se obiene la convergencia de la órbia (X n (ω)) n en casi odo puno bajo la hipóesis de que la maringala esé acoada. Bajo hipóesis más exigenes se obiene simuláneamene la convergencia en L 1. eorema 2 Sea (X n ) n una maringala en (Ω, F, P), adapada a la filración (F n ) n y uniformemene inegrable. Enonces: 1 Exise X (ω) :=lim n X n (ω) para casi odo ω yademásx = lim X n en la opología de L 1 (P). 2 La maringala (X n ) n es cerrada, es decir verifica que X n = E(X F n ). Concepo de uniformemene inegrable Una familia (X i ) i I de variables aleaorias en un espacio de probabilidad (Ω, F, P) se dice uniformemene inegrable si para cada > exise m > alque X i dp <, para odo i I. {ω: X i (ω) m} José M. Mira Ros (Univ. Murcia). Arbiraje 9.Maringalas 22 de diciembre de / 22

14 Una familia (X i ) i I uniformemene inegrable es acoada en L 1. En efeco, omando en la definición = 1severificaque X i dp = X i dp + X i dp 1 + m. Ω {ω: X i (ω) m} {ω: X i (ω) <m} Exisen diferenes caracerizaciones de la inegrabilidad uniforme, las más desacadas son: K L 1 es uniformemene inegrable sii es un conjuno relaivamene compaco en la opología débil de L 1 (eorema de Dunford-Peis). K L 1 es uniformemene inegrable sii es acoado y cumple la siguiene condición de coninuidad absolua: para cada > exise δ > al que P(A) δ sup X dp X K A José M. Mira Ros (Univ. Murcia). Arbiraje 9.Maringalas 22 de diciembre de / 22

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16 La inegral de Iô J. Orihuela Deparmeno de Maemáicas Universidad de Murcia Cálculo Esocásico J. Orihuela

17 Inegración esocásica K. Iô y W. Doeblin Inroducción con Mahemaica a la inegral esocásica La fórmula de Iô J. Orihuela

18 Variación cuadráica Sean Π n := { = < 1 < < N < } pariciones finias en [, + ) ales que N + y sup i Π n i+1 i cuando n Para h :[, ) R coninua definimos h := lim n i Π n, i (h( i+1) h( i )) 2 siempre que exisa, h se llama variación cuadráica de h h coninua de variación acoada h = h es monóona creciene y posiiva µ([, ]) := h es una medida posiiva y f (s)hs := f (s)dµ(s) Ejercicio: µ = lim n i Π n (h( i+1 ) h( i )) 2 δ i en senido débil J. Orihuela

19 Variación cuadráica del Browniano heorem (Lévy) Para el movimieno Browniano (B ) enemos que para casi odo ω Ω el camino coninuo B (ω) iene variación cuadráica para odo s Corollary B (ω) s = s Los caminos del Browniano son de variación no acoada en cualquier inervalo casi seguramene J. Orihuela

20 B (ω) s = s para odo s casi seguramene Probaremos la convergencia en L 2 para s racional, como la variación cuadráica es monóona creciene será ciero para cualquier s X n := (B i+1 B i ) 2 = i Π n, i s (Y i ) son v.a.independienes con disribución N(, i+1 ), enonces: E[Yi 2 ]=σ 2 (Y i )= i+1 σ 2 (Yi 2 )=E[Yi 4 ] E[Yi 2 ] 2 = 3σ 4 (Y i ) ( i+1 ) 2 = 2( i+1 ) 2 X n N L 2 = X n E[X n ] L 2 = σ 2 (X n )= i σ2 (Yi 2 )= i 2( i+1 ) 2 i 2(sup i Π n i+1 i ) i+1 )=2Π n s Así lim n X n = lim n N = s en L 2 y habrá una subsucesión convergene en casi odo puno. eoremas cenrales del límie permien lograr la convergencia en casi odo puno de (X n ) ambién. J. Orihuela i Y 2 i

21 Fórmula de Iô en R heorem Sea h :[, + ) R coninua de variación cuadráica h coninua y sea F C 2 (R). Enonces: F(h )=F(h )+ F (h s )dh s + 1 F (h s ))dh s 2 donde F (h s )dh s = lim n i Π n, i s F (h i )(h i+1 h i ) Corollary Si h iene nula variación cuadráica se iene que F(h )=F(h )+ F (h s )dh s J. Orihuela

22 Fórmula de Iô en R heorem Sea h :[, + ) R coninua de variación cuadráica h coninua y sea F C 2 (R). Enonces: F(h )=F(h )+ F (h s )dh s + 1 F (h s ))dh s 2 donde F (h s )dh s = lim n i Π n, i s F (h i )(h i+1 h i ) Corollary Si h iene nula variación cuadráica se iene que F(h )=F(h )+ F (h s )dh s J. Orihuela

23 F (h ) F (h )= F (h s )dh s F (h s )dh s Desarrollando en aylor F en h i F(h i+1 ) F(h i )=F (h i )(h i+1 h i )+ 1 2 F (h i )(h i+1 h i ) 2 con i < i < i+1 por la propiedad del valor inermedio para funciones coninuas. Enonces F(h i+1 ) F(h i )=F (h i )( h i )+ 1 2 F (h i )( h i ) 2 + R n ( i ) donde R n ( i ):= 1 2 (F (h i ) F (h i ))( h i ) 2 Definimos δ n = max i Π n, i h i y endremos R n ( i ) 1 2 max{ F (x) F (y) ( h i ) 2 : x y δ n, x, y h[, ]} Por coninuidad uniforme de F sobre h[, ] y de h en [, ] R n ( i ) n ( h i ) 2 con n cuando n. Enonces, cuando n endremos: i Π n, i R n( i ) n i Π n, i ( h i ) 2 i Π n, i (F(h i+1 ) F(h i )) F(h ) F(h ) i Π n, i 1 2 F (h i )( h i ) F (h s )dh s J. Orihuela

24 Ejemplos J. Orihuela

25 Inegral de Iô (Ω, (F ), P) espacio de probabilidad filrado con un movimieno Browniano (B ). V(S, ) es la clase e funciones f (, ω) :[, + ) Ω R ales que 1 f es B F 2 f (, ) es F medible} 3 E[ S f (, ω)2 d] < Definiremos la inegral de Iô I[f ](ω) = S f (, ω)db (ω) J. Orihuela

26 Inegral de procesos elemenales Para procesos de la forma: φ(, ω) = j e j(ω)x [j, j+1 ) definimos I[φ](ω) := e j (ω)[b j+1 B j ](ω) j Lemma (Isomería de Iô) Si φ es elemenal y acoada se iene: E[I[φ] 2 ]=E[ φ(, ω) 2 d] s J. Orihuela

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28 Inegral de procesos coninuos acoados heorem Sea g V acoada y con caminos g(, ω) coninuos para cada ω Ω. Enonces exisen funciones elemenales φ n V ales que E[ S (g φ n) 2 d] cuando n Corollary I[g] :=lim n I[φ n ] en L 2 J. Orihuela

29 Inegral de procesos acoados heorem Sea h V acoada. Exien enonces procesos acoados g n V con g n (, ω) coninuo para odo ω Ω y cualquier n N ales que E[ S (h g n) 2 d] cuando n Corollary Exise una sucesión (φ n ) de procesos elemenales en V ales que E[ S (h φ n) 2 d] cuando n y podemos definir I[h] :=lim n I[φ n ] en L 2 (Ω, F, P) J. Orihuela

30 Inegral de procesos acoados heorem Sea h V acoada. Exien enonces procesos acoados g n V con g n (, ω) coninuo para odo ω Ω y cualquier n N ales que E[ S (h g n) 2 d] cuando n Corollary Exise una sucesión (φ n ) de procesos elemenales en V ales que E[ S (h φ n) 2 d] cuando n y podemos definir I[h] :=lim n I[φ n ] en L 2 (Ω, F, P) J. Orihuela

31 Inegral de procesos arbirarios heorem Sea f V. Exien enonces procesos acoados h n V para cualquier n N ales que E[ S (f h n) 2 d] cuando n Corollary Exise una sucesión (φ n ) de procesos elemenales en V ales que E[ S (f φ n) 2 d] cuando n y podemos definir I[f ]:=lim n I[φ n ] en L 2 (Ω, F, P) Corollary (Isomería de Iô) E[( S f (, ω)db ) 2 ]=E[ S f 2 (, ω)d] J. Orihuela

32 Inegral de procesos arbirarios heorem Sea f V. Exien enonces procesos acoados h n V para cualquier n N ales que E[ S (f h n) 2 d] cuando n Corollary Exise una sucesión (φ n ) de procesos elemenales en V ales que E[ S (f φ n) 2 d] cuando n y podemos definir I[f ]:=lim n I[φ n ] en L 2 (Ω, F, P) Corollary (Isomería de Iô) E[( S f (, ω)db ) 2 ]=E[ S f 2 (, ω)d] J. Orihuela

33 Inegral de procesos arbirarios respeco a maringalas Corollary Si f V yf n V, n = 1, 2,, con lim n E[ S (f n(, ω) f (, ω)) 2 d =, enonces lim n S f n(, ω)db (ω) = S f (, ω)db (ω) en L 2 (Ω, F, P) La inegral que hemos definido puede exenderse para procesos f (, ω) :[, + ) Ω R ales que 1 f es B F medible 2 Hay una familia creciene se σ-álgebras H, ales que B sea una maringala con respeco a H y f (, ) es H medible 3 E[ S f (, ω)2 d] < J. Orihuela

34 Inegración por caminos heorem Sea f V(, ). Enonces exise una versión -coninua de f (s, ω)db s (ω); Sean φ n (, ω) = j en j (ω)x [j n,j+1 n ) funciones elemenales.q. E[ (f φ n) 2 d] cuando n. Ponemos: I n (, ω) = φ n(s, ω)db s (ω) I(, ω) = f (s, ω)db s(ω); I n (, ω) es maringala coninua con respeco a F. La desigualdad de Doob nos da: P[sup I n (, ω) I : m(, ω) > ] 1 E[ I 2 n (, ω) I m (, ω) 2 ]= 1 E[ 2 (φ n φ m ) 2 ds] cuando m, n. J. Orihuela

35 Inegración por caminos Podemos ahora elegir una subsucesión n k.q. P[sup I nk+1 (, ω) I nk (, ω) > 2 k ] < 2 k El lema de Borel-Canelli nos dice que P[ sup I nk+1 (, ω) I nk (, ω) > 2 k para una infinidad de k] = Así, p.c.. ω exise un k 1 (ω) al que sup I nk+1 (, ω) I nk (, ω) 2 k para odo k k 1 (ω). Enonces I nk (, ω) es uniformemene convergene para [, ] y p.c. ω, su límie J (ω) será -coninuo, como I ( ) =lim k I nk (, ) en L 2 (P) para cualquier, endremos la idenidad I = J p.c., y para odo [, ]. J. Orihuela

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37 2 Inegración esocásica Supongamos que {B, } es un movimieno browniano definido en un espacio de probabilidad (Ω, F,P). Consideremos la familia creciene {F, } de σ-álgebras generadas por ese proceso. Supondremos además que F coniene los conjunos de probabilidad cero. Eso significa que F es la mínima σ-álgebra que coniene los conjunos de la forma {B s A} N donde s [,], A perenece a la σ-álgebra de Borel B,yN es un conjuno de probabilidad cero. Diremos que un proceso esocásico {u,u } es adapado (a la familia de σ-álgebras F ) si para cada la variable aleaoria u es F -medible. La inclusión de los sucesos de probabilidad cero en cada σ-álgebra F iene las siguienes consecuencias ineresanes: a) oda versión de un proceso adapado es ambién adapado. b) La familia de σ-álgebras es coninua por la derecha, es decir, para odo s> F s = F. Demosración de b): Consideremos las σ-álgebras F = σ{b r B,r s}. SiB s> F s,laσ-álgebra generada por B y por F,esindependienede F + 1 n para odo n. Por ano, σ(b,f ) será independiene de F, y endemos E(1 B F )=E(1 B F F )=1 B, de lo que se deduce 1 B F. La σ-álgebra F solo coniene conjunos de probabilidad cero o uno. Eso implica que las variables aleaorias F -medibles serán consanes, casi seguramene. Nuesro objeivo es la definición de inegrales esocásicas de la forma u db. Una posibilidad consise en uilizar la definición de inegral de Riemann Sieljes: 28

38 Consideremos una parición del inervalo [,]: así como una parición inermedia: τ n : = < 1 < < n 1 < n = σ n : i s i leq i+1,i=,...,n 1. Dadas dos funciones f y g en el inervalo [,], la inegral de Riemann Sieljes fdg se define como el límie n f(s i 1 ) g i lim n i=1 cuando sup i ( i i 1 ) n, suponiendo que ese límie exise y es independiene de la sucesión de pariciones τ n y de sus pariciones inermedias σ n, con la noación g i = g( i ) g( i 1 ). Se sabe que la inegral de Riemann Sieljes fdg exise si la función f es coninua y la función g iene variación oal acoada, es decir: sup τ g i <. i Como las rayecorias del movimieno browniano ienen variación oal infinia (véase (6)) no podemos uilizar ese crierio para asegurar que la inegral de Riemann-Sieljes u (ω)db (ω) exise para cada ω, si u es un proceso arbirario con rayecorias coninuas. Obsevemos, si embargo, que si las rayecorias del proceso u son diferenciables con derivadas acoadas, enonces, la inegral de Riemann Sieljes u (ω)db (ω) exise y puede calcularse mediane una inegración por pares: u db = u B u B d. En ese aparado presenaremos una consrucción de la inegral u db mediane un procedimieno global de ipo probabilísico. En primer lugar definiremos la clase de procesos que inegraremos: Designaremos por L 2 a, el conjuno de los procesos esocásicos ales que: u = {u, [,]} 29

39 a) Para cada [,], la aplicación (s, ω) u s (ω) definida en [,] Ω es medible respeco de la σ-álgebra produco B [,] F. b) E u2 d <. Un proceso que verifica la condición a) se dice que es progresivamene medible. En general, que un proceso esocásico u sea medible significa que la función de dos variables (s, ω) u s (ω) es medible en la σ-álgebra produco B [, ] F. La propiedad a) require la medibilidad de la resricción del proceso u a cada conjuno [,] Ω. Esa propiedad implica que el proceso u sea adapado, ya que si una función es medible en un espacio produco, al fijar una coordenada resula medible como función de la segunda coordenada. Por ora pare, la propiedad a) es esencial para garanizar que variables aleaorias del ipo u sds sean F -medibles. La condición b) significa que el momeno de segundo orden es inegrable en [,], ya que, el eorema de Fubini nos permie escribir E u 2 d = E u 2 d. La propiedad b) nos dice que el proceso u como función de las dos variables (, ω) perenece al espacio L 2 ([,] Ω). Definiremos la inegral esocásica u db para procesos u de la clase L 2 a, como el límie en L2 (Ω) de la inegral de procesos elemenales. Por definición un proceso u de L 2 a, es elemenal si se puede expresar de la forma u = n φ j 1 (j 1, j ](), (1) j=1 donde = < 1 < < n = y las φ j son variables aleaorias de cuadrado inegrable F j 1 -medibles. Si u es un proceso elemenal de la forma (1) se define la inegral esocásica de u respeco del movimieno browniano B como u db = n φ j Bj B j 1. (11) j=1 3

40 La inegral esocásica definida en el espacio E de los procesos elemenales iene las siguiene propiedad de isomeria: E 2 u db = E u2 d (12) Demosración de la isomería: Pongamos B j = B j B j 1. Enonces E φ i φ j B i B j = si i = j E φ 2 j (j j 1 ) si i = j ya que si i<jlas variables aleaorias φ i φ j B i y B j son independienes y si i = j las variables aleaorias φ 2 i y ( B i ) 2 son independienes. Por lo ano se obiene 2 n E u db = E n φ i φ j B i B j = E φ 2 i (i i 1 ) L 2 a, i,j=1 = E u 2 d. La exensión de la inegral esocásica a odos los procesos de la clase se basa en el siguiene resulado de aproximación: Lema 4 Si u es un proceso de la clase L 2 a, exise una sucesión de procesos elemenales u (n) ales que lim E u u (n) 2 d =. (13) n Demosración: La demosración de ese resulado la haremos en dos eapas: 1. Supongamos que el proceso u es coninuo en media cuadráica. En al caso, podemos omar la sucesión aproximadora u (n) = i=1 n u j 1 1 (j 1, j ](), j=1 31

41 siendo j = j. La coninuidad en media cuadráica del proceso u nos n garaniza que E u u (n) 2 u d = E u (n) 2 d converge hacia cero cuando n iende a infinio. sup E u u s 2 s /n 2. Supongamos que u es un proceso arbirario de la clase L 2 a,. En al caso, exise una sucesión de procesos v (n), perenecienes a la clase L 2 a,, coninuos en media cuadráica y ales que En efeco, definimos v (n) = n lim E n 1 n u v (n) 2 d =. (14) u s ds = n u s ds u s 1 ds, n con la convención u(s) =si s<. Esos procesos son coninuos en media cuadráica (ambién ienen rayecorias coninuas), y perenecen a la clase L 2 a,, debido a la propiedad a). Además se cumple (14) ya que para cada (, ω) enemos u(, ω) v (n) (, ω) 2 d n (véase Ejercicio 2.1), y podemos aplicar de nuevo el eorema de convergencia dominada en el espacio produco [,] Ω ya que v (n) (, ω) 2 d u(, ω) 2 d. Definición 5 Si u es un proceso de la clase L 2 a,, la inegral esocásica se define como el límie en L 2 (Ω) u db = lim u (n) db, (15) n donde u (n) es una sucesión de procesos elemenales ales que cumplen (13). 32

42 Que el límie (15) exise es debido a que la sucesión de variables aleaorias u(n) db es de Cauchy en el espacio L 2 (Ω), debido a la propiedad de isomería (12): 2 2 E u (n) db u (m) db = E u (n) u (m) d 2 2E u (n) u d 2 d +2E u u (m) n,m. ambién puede demosrarse que el límie (15) no depende de la sucesión u (n) siempre que esa sucesión cumpla (13). La inegral esocásica iene las siguienes propiedades imporanes: 1.- Isomería: 2.- Media cero: 3.- Linealidad: 2 E u db = E E u db =. u 2 d. (au + bv ) db = a u db + b v db. 4.- Localidad: Se cumple u db = casi seguramene, en el conjuno G = u2 d =. La propiedad de localidad es una consecuencia de que en el conjuno G la sucesión aproximadora n (j 1) u (n,m,n) n = m u s ds 1 ( (j 1), j n n ] () se anula. j=1 (j 1) 1 n m 33

43 Ejemplo 12 B db = 1 2 B Como el proceso B es coninuo en media cuadráica podemos omar como sucesión aproximadora donde j = j n, y endremos u (n) = n B j 1 1 (j 1, j ](), j=1 B db = lim n n B j 1 Bj B j 1 j=1 = 1 B 2 lim 2j B 2j 1 n 1 2 lim n n 2 Bj B j 1 = 1 2 B2 1. (16) 2 Si x es una función derivable, las reglas del cálculo diferencial e inegral nos dicen que x dx = x x d = 1 x 2 2 x 2. Observemos que en el caso del movimieno browniano nos aparece un érmino adicional igual a 1 2. j=1 Ejemplo 13 Consideremos una función deerminisa g al que g(s)2 ds <. En ese caso, la inegral esocásica g sdb s es una variable aleaoria con ley normal N(, g(s) 2 ds). 34

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46 2.1 Inegrales esocásicas indefinidas Consideremos un proceso u de la clase L 2 a,. El proceso u1 [,] ambién perenece a L 2 a,, y por lo ano, podemos definir su inegral: u s db s := u s 1 [,] (s)db s. De esa forma hemos consruido un nuevo proceso esocásico u s db s, que es la inegral indefinida del proceso u respeco de B. En ese aparado esudiaremos las propiedades de las inegrales indefinidas. En primer lugar, debido a la linealidad de la inegral esocásica, enemos la propiedad de adiividad siguiene: b a u s db s + c b u s db s = c a u s db s, si a b c. Si a<by A es un suceso de la σ-álgebra F a enonces, b a b 1 A u s db s = 1 A u s db s. En realidad la igualdad es ciera si en lugar de 1 A omamos cualquier variable acoada y F a -medible. Una propiedad imporane de las inegrales indefinidas es la propiedad de maringala. Definición 6 Un proceso esocásico {M, } diremos que es una maringala respeco de una familia creciene de σ-álgebras {M, }, conenidas en F, si se cumplen las propiedades siguienes: (i) M es medible respeco de M, para odo. (ii) E( M ) < para odo. (iii) E(M M s )=M s, si s. a 35

47 La propiedad (iii) puede expresarse de forma equivalene como sigue E(M M s M s )= y ello significa que la esperanza condicionada de los incremenos de una maringala es cero. Las maringalas se inroduden para modelizar las ganancias de un jugador que juega una parida equiaiva en un juego de azar. En hecho de que la ganancia esperada enga valor medio cero represena el carácer equiaivo del juego. De forma análoga se puede inroducir el concepo de maringala para un proceso {M, } respeco de una familia creciene de σ-álgebras {M, }. En al caso, la propiedad de maringala nos dice que M = E(M M ). Fijémonos en que la variable erminal M deermina la maringala ya que las variables M se obinenen omando la esperanza condicionada de M respeco de la familia creciene de σ-álgebras. Como consecuencia de la propiedad de maringala endremos que la esperanza de una maringala es consane: E(M )=E(M ). Ejemplo 14 Si B es un movimieno browniano y F es la filración generada por B, enonces, los procesos: B B 2 exp(ab a2 2 ) son maringalas. En efeco, la propiedad de maringala de B ya ha sido demosrada en (8). Para B 2, la propiedad de maringala se deduce del siguiene cálculo de esperanzas condicionadas, si s< E(B 2 F s ) = E((B B s + B s ) 2 F s ) = E((B B s ) 2 F s )+2E((B B s ) B s F s ) +E(B 2 s F s ) = E (B B s ) 2 +2B s E((B B s ) F s )+B 2 s = s + B 2 s. 36

48 Finalmene, para el proceso exp(ab a2 2 ) endremos E(e ab a2 2 Fs ) = e ab s E(e a(b B s ) a2 2 Fs ) = e ab s E(e a(b B s ) a2 2 ) = e ab s e a2 ( s) 2 a2 2 = e ab s a2 s 2. Las maringalas con rayecorias coninuas cumplen la desigualdad fundamenal siguiene debida a Doob: Desigualdad de Doob: Supongamos que {M, } es una maringala con rayecorias coninuas. Enonces, para odo p 1 y odo λ > se cumple P sup M > λ 1 λ p E( M p ). Obsevamos que se raa de una generalización de la desigualdad de chebychev. Como consecuencia de la desigualdad de Doob puede demosrarse que las inegrales esocásicas indefinidas ienen rayecorias coninuas. Proposición 7 Supongamos que u es un proceso de la clase L 2 a,. Enonces, la inegral esocásica u sdb s iene una versión con rayecorias coninuas. Demosración: Consideremos una sucesión de procesos elemenales u (n) al que lim E u u (n) 2 d =. n Pongamos I() = I n () = u s db s, u (n) s db s. El proceso I n iene rayecorias coninuas y es una maringala respeco de la familia creciene de σ-álgebras F. En efeco, si s < y φ j es el valor del proceso 37

49 esocásico u (n) cada el inevalo ( j 1, j ] endremos E (I n () I n (s) F s ) = E φ j B j F s = = s j 1 j s j 1 j s j 1 j E E φ j B j F j 1 Fs E φ j E B j F j 1 Fs =. Por consiguiene, la diferencia I n I m será una maringala, y la desigualdad de Doob con p =2nos permie escribir P sup I n () I m () > λ 1 λ 2 E I n ( ) I m ( ) 2 = 1 λ 2 E u (n) u (m) 2 d n,m. Podemos elegir una sucesión creciene de números naurales n k,k =1, 2,... al que P sup I nk+1 () I nk () > 2 k 2 k. Los sucesos A k := sup I nk+1 () I nk () > 2 k ienen probabilidades que forman una serie convergence, es decir, P (A k ) <. k=1 El lema de Borel-Canelli nos dice que la probabilidad de que ocurra un número infinio de esos sucesos es cero. Por lo ano, exise un suceso N de probabilidad cero al que para odo ω / N podemos enconrar un índice k 1 (ω) al que si k k 1 (ω) sup I nk+1 (, ω) I nk (, ω) 2 k. Por lo ano, si ω / N, la sucesión I nk (, ω) es uniformemene convergene en [,] hacia una función coninua J (ω). Por ora pare, sabemos que para cada [,], I nk () converge en media cuadráica hacia u sdb s. Por consiguiene, 38

50 J (ω) = u sdb s casi seguramene, para odo [,], y ello nos dice que la inegral indefinida iene una versión con rayecorias coninuas. La inegral indefinida M = u sdb s es una maringala respeco de la familia de σ-álgebras F y se cumple la desigualdad siguiene, para odo λ >, P sup M > λ 1λ 2 E u 2 d. (17) En efeco, la propiedad de maringala de u sdb s de deduce de la propiedad de maringala de las inegrales indefinidas u(n) s db s que hemos obenido en la demosración anerior. La desigualdad (17) se deduce de la desigualdad de Doob y de la propiedad de isomería de la inegral esocásica. La maringala M = u sdb s iene rayecorias coninuas, pero son irregulares como las del movimieno browniano. En paricular, las rayecorias de las inegrales indefinidas ienen variación cuadráica finia como nos dice la propiedad siguiene: Proposición 8 (Variación cuadráica ) Sea u un proceso de la clase L 2 a,. Enonces, n 2 j L u s db 1 (Ω) s u 2 sds j 1 j=1 cuando n iende a infinio, donde j = j n. Demosración: Observemos en primer lugar que si el proceso u es elemenal, el resulado es una consecuencia de la propiedad de variación cuadráica del movimieno browniano. En efeco, en cada inervalo (a, b] donde u oma el valor consane φ aparecerá una conribución del ipo φ 2 ( B j ) 2 n φ 2 (b a). a j 1 j b Supongamos que u es un proceso arbirario de la clase L 2 a,. Exise una sucesión u (k) de procesos elemenales al que lim E u u (k) 2 d =. k 39

51 Uilizando la noación V n (u) = n j j=1 j 1 u s db s 2 endremos E V n (u) u 2 sds E Vn (u) V n (u (k) ) +E V n (u (k) ) u (k) 2 s ds +E u (k) 2 s ds u 2 sds. El primer sumando puede acoarse como sigue, uilizando la desigualdad de Schwarz y la isomería de la inegral esocásica: E Vn (u) V n (u (k) ) n j j = E us + u (k) s dbs us u (k) s dbs j 1 j 1 j=1 E V n (u + u (k) ) E V n (u u (k) ) 1/2 = E us + u (k) 2 1/2 s ds E us u (k) 2 s ds. Observemos que la acoación obenida no depende de n y converge hacia cero cuando k iende a infinio. Por ano, fijado ε > exise un k al que E V n (u) u 2 sds ε + E V n (u (k) ) u (k) 2 s ds para odo k k y para odo n. Finalmene basa omar el límie n. 2.2 iempos de paro Un iempo de paro relaivo a una familia creciene de σ-álgebras {F, } es una variable aleaoria τ : Ω [, ] 4

52 al que para odo, {τ } F. Es decir, podemos decidir si nos paramos o no anes de un insane a parir de la información conenida en F. Ejemplo 15 El iempo de llegada de un proceso coninuo y adapado {X, } a un nivel a definido como τ a := inf{ >:X = a} es un iempo de paro. En efeco, {τ a } = sup X s a s = sup s,s X s a F. Más generalmene, el iempo de llegada de un proceso n-dimensional coninuo y adapado {X, } a un conjuno de Borel U de R n es un iempo de paro siempre que la familia de σ-álgebras {F, } sea coninua por la derecha. Podemos asociar a odo iempo de paro τ la σ-álgebra F τ formada por los conjunos G ales que G {τ } F (18) para odo. Los iempos de paro saisfacen las dos propiedades siguienes: Si {M, [,]} es una maringala coninua y y τ es un iempo de paro acoado por, enonces E(M F τ )=M τ. (19) Si u es un proceso de la clase L 2 a, y τ es un iempo de paro acoado por, el proceso u1 [,τ] ambién perenece a L 2 a, y se verifica la relación siguiene: u 1 [,τ] ()db = 41 τ u db. (2)

53 Demosración de (2): La demosración se hará en dos eapas: 1. Supongamos primero que el proceso u es de la forma u = F 1 (a,b] (), donde a < b y F L 2 (Ω, F a,p). Los iempos de paro τ n = 2 n i=1 i n1 A i n, donde i n = i, A i 2 n n = (i 1) τ < i forman una 2 n 2 n sucesión decreciene que converge hacia τ. Para cada n endremos τ n u db = F (B b τ n B a τ n ) u 1 [,τ n]()db = = 2 n i=1 2 n i=1 1 A i n 1 (a i n,b i n]()fdb 1 A i n F (B b i n B a i n ) = F (B b τ n B a τ n ). omando el límie cuando n iende a infinio se deduce la igualdad en el caso de un proceso elemenal. 2. En el caso general, basa con aproximar el proceso u por procesos elemenales. La convergencia del miembro de la derecha de (2) se deduce de la desigualdad maximal de Doob. La siguiene aplicación de los iempos de parada permie el cálculo de la ley del insane de llegada del movimieno browniano a un ciero nivel. Ejemplo 16 Sea B un movimieno browniano y F la filración generada por B. Consideremos el iempo de paro τ a = inf{ :B = a}, donde a>. Consideremos la maringala M = e λb λ2 2 que cumple E(M )=E(M )=1. La propiedad (19) nos permie obener E(M τ a N) =1, 42

54 para odo N 1. Observemos que M τ a N =exp λb τ a N λ2 (τ a N) e aλ. 2 Por ora pare, lim N M τ a N = M τ a si τ a < lim N M τ a N = si τ a = y el eorema de convergencia dominada implica es decir E Haciendo λ obenemos y, por consiguiene E 1 {τ a < }M τ a =1, 1 {τ a < } exp λ2 τ a = e λa. 2 E Con el cambio de variable λ2 2 P (τ a < )=1, exp λ2 τ a = e λa. 2 = α, endremos E (exp( ατ a )) = e 2αa. (21) A parir de esa expresión puede calcularse la densidad de probabildad de la variable τ a : ae a2 /2s P (τ a )= ds. 2πs 3 Por ora pare, la esperanza de τ a puede obenerse calculando la derivada en α = de la expresión (21): 2αa E ( τ a exp ( ατ a )) = ae, 2α y haciendo α se obiene E(τ a )=+. 43

55 2.3 Exensiones de la inegral esocásica La inegral esocásica de Iô u sdb s puede definirse para clases de procesos mas amplias que L 2 a,. A) En primer lugar, podemos subsiuir la familia creciene de σ-álgebras F por una familia mayor H al que el movimieno browniano B sea una maringala respeco de H. En efeco, en odas las demosraciones aneriores solo se ha uilizado la propiedad E(B B s F s )=. Como ejemplo de esa siuación, consideremos el caso en que es la familia creciene de σ-álgebras generadas por un movimieno browniano n-dimensional B. Cada componene B k () es una maringala respeco de F (n), pero F (n) no es la familia de σ-álgebras generada por B k (). De esa forma, con la exensión indicada anes, se pueden definir inegrales como B 2 (s)db 1 (s), sin(b 2 1(s)+B 2 1(s))dB 2 (s). B) La segunda exensión consise en subsiuir la propiedad E por la hipóesis más débil siguiene: b ) P u2 d < =1. F (n) u2 d < La clase de procesos que cumplen las propiedades a) y b ) la designaremos por L a,. Exenderemos la inegral esocásica a la clase L a, mediane un argumeno de localización. Consideremos un proceso esocásico u de L a,. Para cada n 1 definimos el iempo de paro τ n = inf : u 2 sds = n, (22) donde suponemos que τ n = si u2 sds < n. De esa forma endremos una sucesión creciene de iempos de paro al que τ n. Además, <τ n 44 u 2 sds < n.

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57 Los procesos perenecen a L 2 a, u (n) ya que E conjuno { τ n } se cumple = u 1 [,τ n]() 2 ds n. Para cada n m, en el u (n) s u (n) s db s = u (m) s db s ya que las rayecorias en el inervalo [,] de los procesos u (n) y u (m) coinciden en ese conjuno. Por consiguiene, exisirá un proceso coninuo y adapado que denoaremos por u sdb s al que u (n) s db s = u s db s si τ n. La inegral esocásica de procesos de la clase L a, saisface las propiedades de linealidad y coninuidad de rayecorias de la inegral indefinida. En cambio, la inegral de procesos de la clase L a, puede no ener esperanza ni varianza finias. Proposición 9 Consideremos un proceso u L a,. Para odo K, δ > se cumple la desigualdad siguiene: P u s db s K P u 2 sds δ + δ K. 2 Demosración: Consideremos el iempos de paro definido por τ n = inf : u 2 sds = δ, con la convención τ n = si u2 sds < δ.endemos P u s db s K P u 2 sds δ +P u s db s K, u 2 sds < δ, 45

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59 por ora pare P u s db s K, u 2 sds < δ = P u s db s K, τ = τ = P u s db s K, τ = 1 τ 2 K E u 2 s db s = 1 K 2 E τ u 2 sds δ K. 2 Como consecuencia de la proposición anerior, si u (n) es una sucesión de procesos de la clase L a, que converge hacia un proceso u L a, en probabilidad: u (n) 2 s u s ds P enonces, 2.4 Fórmula de Iô u (n) s db P s u s db s. La fórmula de Iô es la versión esocásica de la clásica regla de la cadena en el cálculo diferencial ordinario. Consideremos el ejemplo que podemos escribir en la forma B s db s = 1 2 B2 1 2, B 2 = 2B s db s +. Podemos comprobar que la igualdad es ciera omando esperanzas y uilizando la propiedad de media nula de la inegral esocásica: E(B 2 )=. En noación diferencial podemos escribir db 2 =2B db + d. 46

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64 Vemos que el proceso esocásico B 2 es la suma de una inegral esocásica y de una función diferenciable. Más generalmene cualquier función f(b ), donde f es dos veces coninuamene diferenciable, puede expresarse como una suma de una inegral esocásica y de un proceso con rayecorias diferenciables. Eso nos lleva a inroducir la noción de proceso de Iô que será una suma de una inegral esocásica más una inegral ordinaria. La clase de los procesos de Iô será invariane por ransformaciones funcionales regulares. Designaremos por L 1 a, la clase de los procesos v que saisfacen las propiedades a) y b ) P v d < =1. Definición 1 Un proceso de Iô X será un proceso esocásico de la forma X = X + u s db s + v s ds, (23) donde u perenece a la clase L a, y v perenece a la clase L 1 a,. En noación diferencial escribiremos dx = u db + v d. eorema 11 (Fórmula de Iô) Supongamos que X es un proceso de Iô de la forma (23). Sea f(, x) una función dos veces derivable respeco de la variable x y una vez respeco de la variable, con odas las derivadas parciales coninuas (diremos que f es de clase C 1,2 ). Enonces el proceso Y = f(, X ) es ambién un proceso de Iô con la represenación Y = f(,x )+ + f (s, X s)ds + f x (s, X s)v s ds f x (s, X s)u s db s 2 f x 2 (s, X s)u 2 sds. 1.- En noación diferencial la fórmula de Iô puede escribirse de la forma df (, X )= f (, X )d + f x (, X )dx f 2 x (s, X s)(dx 2 ) 2, donde (dx ) 2 se calcula mediane la convención db d db d d 47

65 2.- El proceso Y es un proceso de Iô con la represenación donde Y = Y + u s db s + v s ds, Y = f(,x ), u = f x (, X )u, v = f (, X )+ f x (, X )v f x 2 (, X )u En el caso paricular u =1,v =,X =, el proceso X es precisamene el movimieno browniano B, y la fórmula de Iô adopa la expresión más simple siguiene f(, B ) = f(, ) f x (s, B f s)db s + (s, B s)ds 2 f x 2 (s, B s)ds. 4.- En el caso paricular en que la función f no depende del iempo se obiene la fórmula f(x )=f() + f (X s )u s db s + f (X s )v s ds f (X s )u 2 sds. La fórmula de Iô se deduce del desarrollo de aylor hasa el orden dos. Indicaremos seguidamene, de forma heurísica, las ideas principales que conducen a la fórmula de Iô. Supongamos v =. Fijemos un insane de iempo >. Consideremos los insanes j = j. La fórmula de aylor hasa el segundo n orden nos da n f(x ) f() = f(xj ) f(x ) j 1 = j=1 n f (X j 1 ) X j j= 48 n f (X j )( X j ) 2, (24) j=1

66 donde X j = X j X j 1 y X j es un valor comprendido enre X j 1 y X j. El primer sumando de la expresión anerior converge en probabilidad hacia f (X s )u s db s, mienras que el segundo sumando converge en probabilidad hacia 1 f (X 2 s )u 2 sds. Veamos algunos ejemplos de aplicación de la fómula de Iô. Ejemplo 17 Si f(x) =x 2 y X = B, endremos B 2 =2 ya que f (x) =2x y f (x) =2. B s db s +, Ejemplo 18 Si f(x) =x 3 y X = B, endremos B 3 =3 B 2 sdb s +3 B s ds, ya que f (x) =3x 2 y f (x) =6x. Más generalmene, si n 2 es un número naural, B n = n Bs n 1 n(n 1) db s + Bs n 2 ds. 2 Ejemplo 19 Si f(, x) =e ax a2 2, X = B,yY = e ab a2 2, endremos Y =1+a Y s db s ya que f f =. (25) 2 x2 Ese imporane ejemplo nos permie deducir las observaciones siguienes: 1.- Si una función f(, x) saisface la igualdad (25), enonces, el proceso esocásico f(, B ) será una inegral esocásica indefinida (más un 49

67 érmino consane), y por lo ano, será una maringala, suponiendo que f saisface la propiedad: 2 f E x (s, B s) ds < 2.- La solución de la ecuación diferencial esocásica dy = ay db no es Y = e ab, como en el caso del cálculo diferencial ordinario, sino Y = e ab a2 2. Como consecuencia de la fórmula de Iô, podemos deducir la siguiene fórmula de inegración por pares: Supongamos que f() es una función coninuamene diferenciable en [,]. En al caso endremos f s db s = f()b B s f sds. En efeco, aplicando la fórmula de Iô a la función f()x se obiene f()b = f s db s + B s f sds. Veamos seguidamene la versión mulidimensional de la fórmula de Iô. Supongamos que B =(B 1,B 2,...,B m ) es un movimieno browniano m- dimensional, es decir, las componenes son movimienos brownianos independienes. Consideremos un proceso de Iô n-dimensional de la forma X 1 = X 1 + u11 s db 1 s + + u1m s db m s + v1 sds. X n = X n + un1 s dbs unm s dbs m + En noación diferencial y vecorial podemos escribir dx = u db + v d, 5 vn s ds.

68 donde X, v, son procesos n-dimensionales, y u es un proceso con valores en el conjuno de las marices n m. Supondremos que las componenes de u perenecen a L a, y las de v perenecen a L 1 a,. Enonces, si f : [, ) R n R p es una función de clase C 1,2, el proceso Y = f(, X ) es ambién un proceso de Iô con la represenación (en noación diferencial) dy k = f k (, X )d n i,j=1 n i=1 f k x i (, X )dx i 2 f k x i x j (, X )dx i dx j. El produco de los diferenciales dxdx i j se calcula aplicando las reglas siguienes: dbdb i j si i = j = d si i = j De esa forma se obiene dx i dx j = db i d = (d) 2 =. m k=1 u ik u jk d =(u u ) ij d. 2.5 Inegrales esocásicas de Sraonovich En las sumas de Riemann-Sieljes que elegimos para definir la inegral esocásica u sdb s de un proceso coninuo u, se oman siempre los valores del proceso u en el puno j 1 de cada inervalo [ j 1, j ]. De esa forma la inegral esocásica iene media cero y su varianza puede calcularse a parir de la propiedad de isomería. ambién, la inegral indefinida es una maringala. El inconveniene de esa elección consise en que en la regla de la cadena nos aparece un érmino correcivo. La inegral de Sraonovich u s db s se define como el límie en probabilidad de la sucesión n i=1 1 2 (u i 1 + u i ) B i, 51

69 suponiendo i = i. Supongamos que el proceso u es un proceso de Iô de la n forma u = u + Uilizando la descomposición α s db s (u i 1 + u i )(B i B i 1 ) = u i 1 (B i B i 1 ) β s ds. (26) (u i u i 1 )(B i B i 1 ), se obiene la siguiene fórmula que relaciona las inegrales de Iô y de Sraonovich: u s db s = u s db s En efeco, las sumas de Riemann-Sieljes n (u i u i 1 )(B i B i 1 ) i=1 convergen hacia la inegral du s db s = α s (db s ) 2 + β s dsdb s = α s ds. (27) α s ds. Puede comprobarse que la inegral esocásica de Sraonovich sigue las reglas del cálculo diferencial ordinario. Es decir, si u es un proceso de la forma (26) y enonces, X = X + = X + u s db s + u s db s + v s ds v s α s ds, df (X ) = f (X )dx f (X )(dx ) 2 = f (X )u db + f (X ) v α d f (X )u 2 d. (28) 52

70 Por ora pare, f (X )u db = f (X )u db 1 2 d [f (X )u ] db. En el cálculo de d [f (X )u ] db hemos de ener en cuena solo los diferenciales esocásicos de d [f (X )u ] que son Por consiguiene, se obiene f (X )α db + f (X )u 2 db. f (X )u db = f (X )u db 1 2 y subsiuyendo esa expresión en (28) obenemos 2.6 iempo local f (X )α + f (X )u 2 d df (X ) = f (X )u db + f (X )v d = f (X ) dx. Consideremos la función siguiene para cada ε > x si x ε g ε (x) = 1 ε + x2 si x < ε. 2 ε La derivada de esa función vale sign(x) si x ε gε(x) = x si x < ε. ε La segunda derivada exise excepo si x = ε y vale si x ε gε (x) = 1 si x < ε. ε Siempre que una función sea de clase C 2 excepo en un número finio de punos y la segunda derivada esé acoada se verifica odavía la fórmula de Iô. Por ello, endremos g ε (B )= ε 2 + gε(b s )db s + 1 2ε 53 1 ( ε,ε) (B s )ds.

71 Cuando ε iende a cero, g ε (B ) converge en media cuadráica hacia B. Por ora pare, g ε(b s )convergeenl 2 ([,] Ω) hacia sign(b s ). En efeco, = 4 E sign(b s ) gε(b s ) 2 ds 2E (sign(b s )) 2 + B2 s 1 ε 2 ( ε,ε) (B s )ds 4E 1 ( ε,ε) (B s )ds P ( B s < ε)ds ε 4 P ( B s =)ds =. Denoaremos por L () el límie en media cuadráica de 1 2ε 1 ( ε,ε) (B s )ds = 1 2ε {s [,]: B s < ε}. De esa forma obenemos la fórmula de Iô para el valor absoluo del movimieno browniano, conocida como fórmula de anaka: Observaciones: B = sign(b s )db s + L (). Más generalmene, para odo x se iene B x = sign(b s x)db s + L (x). El proceso {L (x),,x R} se denomina el iempo local del movimieno browniano. Para cada, L (x) es la densidad de la medida de ocupación, es decir, b a L (x)dx = 1 [a,b] (B s )ds. Puede demosrarse que exise una versión del iempo local que es coninua en las dos variables (, x). 54

72 En el caso de una función diferenciable b(), se iene d b() = sign(b(s))b (s)ds, y la densidad de la medida de ocupación en [,] vale L (x) = s [,]:b(s)=x 1 b (s). 2.7 Represenación inegral de maringalas Sabemos que la inegral in- Consideremos un proceso u de la clase L 2 a,. definida X = u s db s es una maringala respeco de la filración F. En ese aparado demosraremos que odas las maringalas de cuadrado inegrable respeco de esa filración son de ese ipo. Veamos un resulado preliminar. Lema 12 El conjuno de variables que son combinaciones lineales de exponenciales de la forma exp h s db s 1 h 2 2 sds, (29) donde h es una función deerminisa al que h2 sds <, es denso en L 2 (Ω, F,P). Demosración: Sea Y una variable de L 2 (Ω, F,P) orogonal a odas las exponenciales de la forma (29). Queremos demosrar que Y =. Fijados m insanes 1 < m y m números reales λ 1,...,λ m sabemos que Eso implica que la medida E Ye λ 1B 1 + +λ mb m =. ν(a) =E (Y 1 A (B 1,...,B m )) 55

73 iene una ransformada de Laplace idénicamene nula. Por lo ano, E(Y 1 G )= para odo suceso G de la σ-álgebra generada por las variables B 1,...,B m. Por un argumeno de clases monóonas, eso será ciero para odo G de la σ-álgebra F, y por lo ano, Y =. eorema 13 (eorema de represenación de Iô) Consideremos una variable aleaoria F de L 2 (Ω, F,P). Enonces exise un único proceso esocásico u de la clase L 2 a, al que F = E(F )+ u s db s. Demosración: Supongamos primero que la variable F es de la forma exp h s db s 1 h 2 2 sds, donde h es una función deerminisa al que h2 sds <. Definimos Y =exp h s db s 1 h 2 2 sds. Por la fórmula de Iô aplicada a la función f(x) =e x y al proceso X = h sdb s 1 2 h2 sds, obenemos dy = Y h()db 1 2 h2 ()d Y (h()db ) 2 = Y h()db, es decir, Por lo ano, Y =1+ F = Y =1+ Y s h(s)db s. Y s h(s)db s 56

74 y se cumple la represenación buscada porque E(F )=1, E Ys 2 h 2 (s)ds = E Ys 2 h 2 (s)ds exp h 2 sds h 2 sds < ya que E Y 2 = E exp 2 = exp h 2 sds h s db s. h 2 sds Por linealidad, la represenación se cumplirá en el caso en que F sea una combinación lineal de exponenciales del ipo (29). En el caso general, el Lema 12 nos permie aproximar una variable arbiraria F de L 2 (Ω, F,P) por una sucesión F n de combinaciones lineales de exponenciales de la forma (29). endremos, enonces, F n = E(F n )+ u (n) s db s. Por la propiedad de isomería de la inegral esocásica E (F n F m ) 2 = E E(F n F m )+ = (E(F n F m )) 2 + E E u (n) s u (n) s u (m) 2 s ds. u (n) s La sucesión F n es de Cauchy en L 2 (Ω, F,P). Por lo ano, E (F n F m ) 2 n,m 2 u (m) s dbs 2 u (m) s dbs y, en consecuencia, E u (n) s u (m) 2 n,m s ds. 57

75 Eso nos dice que la sucesión u (n) es de Cauchy en L 2 ([,] Ω). Por lo ano será convergene hacia un proceso u de L 2 ([,] Ω). Por ora pare, puede comprobarse que u perenece a la clase L 2 a,, eniendo en cuena que una sucesión parcial de u (n) (, ω) converge casi por odo (, ω) hacia u(, ω). Aplicando de nuevo la propiedad de isomería, y eniendo en cuena que E(F n ) converge hacia E(F ), se obiene F = lim F n = lim n = E(F )+ n E(F n )+ u s db s. u (n) s db s Finalmene, la unicidad sale ambién de la propiedad de isomería: Supongamos que u (1) y u (2) fuesen dos procesos de L 2 a, ales que Enonces =E F = E(F )+ u (1) s db s = E(F )+ u (2) s db s. 2 u (1) s u (2) s dbs = E u (1) s u (2) 2 s ds y, por lo ano, u (1) s (, ω) =u (2) s (, ω) casi por odo (, ω). eorema 14 (eorema de represenación de maringalas) Supongamos que {M, [,]} es una maringala respeco de la filración F, al que E(M 2) <. Enonces exise un único proceso esocásico u de la clasel2 a, al que para odo [,]. M = E(M )+ u s db s Demosración: Aplicando el eorema de represenación de Iô a obenemos que exise un único proceso u L 2 al que F = M M = E(M )+ u s db s = E(M )+ 58 u s db s.

76 Supongamos que. endremos M = E[M F ]=E(M )+E[ = E(M )+ u s db s. u s db s F ] 2.8 eorema de Girsanov El eorema de Girsanov nos dice que el movimieno browniano con deriva B + λ puede verse como un movimieno browniano sin deriva, cambiando la probabilidad. Analizaremos primero como funcionan los cambios de probabilidad mediane densidades. Si en un espacio de probabilidad (Ω, F,P) consideramos una variable aleaoria L de esperanza uno, enonces, Q(A) =E (1 A L) define una nueva probabilidad. Que la esperanza de L sea igual a 1 nos garaniza que Q(Ω) =E(L) =1. Se dice que L es la densidad de Q respeco de P y se escribe formalmene dq dp = L. La esperanza de una variable aleaoria X en el espacio de probabilidad (Ω, F,Q) se calcula de la forma siguiene E Q (X) =E(XL). La probabilidad Q es absoluamene coninua respeco de P, lo que significa que P (A) == Q(A) =. 59

77 Si la variable L es esricamene posiiva, enonces las probabilidades P y Q son equivalenes (o sea, muuamene absoluamene coninuas), lo que significa P (A) = Q(A) =. Veamos seguidamene un ejemplo simple de cambio de probabilidades que represena una versión sencilla del eorema de Girsanov: Ejemplo 2 Sea X una variable aleaoria con ley normal N(m, σ 2 ). Exise una probabilidad Q respeco de la cual la variable X enga ley N(, σ 2 )? Consideremos la variable L = e m m2 σ2 X+ 2σ 2. Es fácil comprobar que iene esperanza uno E(L) = 1. Por ora pare, en el espacio de probabilidad (Ω, F,Q) la variable X iene por función caracerísica: E Q (e ix ) = E(e ix L)= = 1 2πσ 2 es decir, X iene una ley N(, σ 2 ). 1 2πσ 2 e x2 2σ 2 +ix dx = e σ2 2 2, e (x m)2 2σ 2 mx σ 2 + m2 2σ 2 +ix dx Veremos que en el caso del movimieno browniano se obiene un resulado similar. eniendo en cuena que el movimieno browniano es el límie de paseos aleaorios, analizaremos primero el problema de la eliminación de la deriva en un paseo aleaorio: Consideremos una succesión {X n,n 1} de variables aleaorias independienes ales que +1, con probabilidad 1/2 X n = 1, con probabilidad 1/2. Pongamos S =,ys n = X X n + na, donde a>. La succesión S n represena un paseo aleaorio con deriva igual a a, y no es una maringala ya que E(S n F n 1 )=S n 1 + a, 6

78 donde F n es la σ-álgebra generada por X 1,..., X n si n 1, y F = {, Ω}. Podemos cambiar la asignación de probabilidades de manera que S n sea una maringala. Si suponemos que P (X n = +1) = p, P (X n = 1) = 1 p, necesiaremos que E(a + X n ) =, es decir, p = 1 a 2, suponiendo que a<1. Mulipliquemos los valores de la consane a por y los valores de las variables X n por σ. O sea supondremos que S =, S n = a + σx n, P (X n = ± ) = 1 2. En al caso el valor de la probabilidad p respeco de la cual las S n forman una maringala es Podemos escribir P (X n = ) =p = 1 2 a, 2σ P (X n = ) =1 p = a. 2σ P (X n = ± ) = a σ X n. Si consideramos un camino de longiud N formado por los sucesivos valores que oman las variables X n, la probabilidad P de ese camino seria 2 N, mienras que la probabilidad Q seria 2 N N n=1 1 a X σ n. Es decir, podemos escribir N Q(camino) P (camino) = n= a σ X n.

79 Observamos que la probabilidad Q esá bien definida si σ 2 <, a lo cual es ciero siempre que sea suficienemen pequeño. Supongamos ahora que las variables aleaorias S n se observan en insanes que disan. Si iende a cero y N iende a infinio de manera que N =, enonces, S n converge hacia un movimieno browniano con deriva a + σb. Por ora pare, el cociene enre las probabilidades Q y P converge hacia un érmino exponencial: Q(camino) P (camino) = N n=1 = exp 1 a σ X n N n=1 log 1 a σ X n N exp aσ X n a2 = exp n=1 a σ n=1 2σ 2 X2 n N X n a2 2σ. 2 Es decir, en el límie se obiene Q(camino) P (camino) =exp aσ B a2 2σ. 2 Sea{B, [,]} un movimieno browniano. Fijemos un número real λ. Consideremos la maringala L =exp λb. λ2 (3) 2 Observemos que el proceso esocásico {L, [,]} es una maringala posiiva de esperanza uno que saisface la ecuación diferencial esocásica L =1 62 λl s db s.

80 La variable L es una densidad de probabilidad en el espacio (Ω, F,P) que define una probabilidad Q dada por Q(A) =E (1 A L ), para odo A F. La propiedad de maringala del proceso L implica que en el espacio (Ω, F,P), la probabilidad Q iene densidad igual a L. En efeco, si A perenece a la σ-álgebra F se iene Q(A) = E (1 A L )=E (E (1 A L F )) = E (1 A E (L F )) = E (1 A L ). eorema 15 (eorema de Girsanov) En el espacio de probabilidad (Ω, F,Q) el proceso esocásico W = B + λ, es un movimieno browniano. Anes de demosrar ese eorema probaremos un resulado écnico: Lema 16 Supongamos que X es una variable aleaoria real y G es una σ- álgebra ales que E e iux G = e u2 σ 2 2. Enonces, la variable X es independiene de la σ-álgebra G y iene una ley normal N(, σ 2 ). Demosración: Para odo suceso A G se cumplirá E 1 A e iux = P (A)e u2 σ 2 2. Por lo ano, eligiendo A = Ω obenemos la función caracerísica de X, yen consecuencia, X iene una ley N(, σ 2 ). Por ora pare, fijado un suceso A G, la función caracerísica de la variable X respeco de la probabilidad condicionada por A será ambién E A e iux = e u2 σ

81 Es decir, la ley de X condicionada por A es ambién una ley normal N(, σ 2 ). Por consiguiene, endremos y P A (X x) =Φ(x/σ), P ((X x) A) =P (A)Φ(x/σ) =P (A)P (X x), (31) donde Φ represena la función de disribución de la ley N(, 1). La igualdad (31) nos da la independencia enre la variable X ylaσ-álgebra G. Demosración del eorema de Girsanov: Será suficiene con demosrar que, en el espacio de probabilidad (Ω, F,Q), para odo s< el incremeno W W s es independiene de F s y iene ley normal N(, s). eniendo en cuena el lemma anerior, esas dos propiedades se deducen de la fórmula siguiene, para odo s<, A F s, u R, E Q 1A e iu(w W s ) = Q(A)e u2 2 ( s). (32) Para demosrar la fórmula (32) ponemos E Q 1A e iu(w Ws) = E 1 A e iu(w Ws) L = E 1 A e iu(b B s )+iuλ( s) λ(b B s ) λ2 2 ( s) L s = E(1 A L s )E e (iu λ)(b Bs) λ2 iuλ( s) e 2 ( s) = Q(A)e (iu λ)2 2 ( s)+iuλ( s) λ2 2 ( s) = Q(A)e u2 2 ( s). El eorema de Girsanov admie la siguiene generalización: eorema 17 Sea {θ, [,]} un proceso adapado y al que cumple la denominada condición de Novikov: 1 E exp θ 2 d <. (33) 2 Enonces, el proceso W = B + 64 θ s ds

82 es un movimieno browniano respeco de la probabilidad Q definida por Q(A) =E (1 A L ), donde L =exp θ s db s 1 2 θ 2 sds. Observemos que de nuevo L es saisface la ecuación diferencial esocásica L =1 θ s L s db s. Para que el proceso L sea una maringala y engamos E(L ) = 1, necesiamos que θ s L s perenezca a la clase L 2 a,. La condición (33) sirve para asegurar esa propiedad. Como aplicación del eorema de Girsanov deduciremos la ley del insane de llegada del movimieno browniano con deriva a un nivel a. Sea {B, } un movimieno browniano. Fijado un valor λ, definimos la maringala L como en (3). Sea Q la probabilidad en F al que para odo dq dp F = L. Por el eorema de Girsanov, para odo >, en el espacio de probabilidad (Ω, F,Q) el proceso B + λ := B es un movimieno browniano en el inervalo de iempo [,]. Es decir, en ese espacio B es un movimieno browniano con deriva λ. Sea τ a = inf{,b = a}, donde a =. Para cada el suceso {τ a } perenece a la σ-álgebra F τ a ya que para odo s {τ a } {τ a s} = {τ a } {τ a s} = {τ a s} F s F s. 65

83 Por consiguiene, uilizando la propiedad de maringala respeco de los iempos de paro obenemos Q{τ a } = E 1 {τ a }L = E 1{τ a }E(L F τ a ) = E 1 {τ a }L τ a = E 1{τ a }L τ a = E 1 {τ a }e λa 1 2 λ2 τ a = e λa 1 2 λ2s f(s)ds, donde f es la densidad de la variable τ a. Sabemos que f(s) = a a2 e 2s. 2πs 3 Por lo ano, respeco de Q la variable aleaoria τ a iene una densidad igual a a 2πs 3 (a+λs)2 e 2s,s>. Haciendo, obenemos Q{τ a < } = e λa E e 1 2 λ2 τ a = e λa λa. Si λ = (movimieno browniano sin deriva), la probabilidad de llegar alguna vez a un nivel dado es igual a uno. Si λa > (la deriva λ y el nivel a ienen el mismo signo) esa probabilidad es ambién igual a uno. Si λa < (la deriva λ y el nivel a ienen signo disino) la probabilidad vale e 2λa. Ejercicios 2.1 Consideremos una función f al que f(s) 2 ds <. Definimos la sucesión de funciones coninuas f n () = 66 1 n f(s)ds,

84 con la convención f(s) =sis<. Demosrar que se cumple (f(s) f n (s)) 2 ds n. Indicación: Sabemos que para cada ε > podemos enconrar una función coninua g al que (f(s) g(s)) 2 ds < ε. 2.2 Consideremos un proceso esocásico M = {M, } que es una maringala respeco de una filración {M, }. Demosrar que el proceso M ambién es una maringala respeco de la filración naural F M = σ (M s, s ) M. 2.2 Consideremos una maringala M = {M, } respeco de una filración {M, } al que E(M 2 ) < para odo. Demosrar que si s< E((M M s ) 2 M s )=E(M 2 M 2 s M s ). 2.3 Demosrar que si τ es un iempo de paro, F τ definida en (18) es una σ- álgebra y τ es F τ -medible. Si X = {X, } es un proceso adapado con rayecorias coninuas, y τ es finio, demosrar que la variable X τ es F τ -medible. 2.4 Sea Y una variable aleaoria inegrable y {M, } una familia creciene de σ-álgebras. Demosrar que es una maringala. M = E(Y M ) 2.5 Comprobar si los siguienes procesos esocásicos, definidos a parir de 67

85 un movimieno browniano B, son maringalas: X = B 3 3B X = 2 B 2 X = e /2 cos B X = e /2 sin B s sb s ds X = (B + ) exp( B 1 2 ) X = B 1 ()B 2 (). En el úlimo caso, B 1 y B 2 son dos movimienos brownianos independienes. 2.6 Supongamos que B es un movimieno browniano n-dimensional y sea f : R n R una función de clase C 2. Uilizando la fórmula de Iô demosrar que f(b )=f() + f(b s )ds f(b s )ds. 2.7 Enconrar el proceso u que nos proporciona la represenación inegral en los ejemplos siguienes: F = E(F )+ F = B F = B 2 F = e B F = F = B 3 F = sin B u s db s B d 2.8 Sea p(, x) =1/ 1 exp( x 2 /2(1 )), para <1yx R, y p(1,x) =. Definimos M = p(, B ), donde {B, 1} es un movimieno browniano. 68

86 a) Demosrar que M = M + p x (s, B s)db s. b) Sea H = p (, B x ). Probar que 1 H2 d < casi seguramene, 1 pero E H2 d =. 2.9 Sean Y y X procesos de Iô. Demosrar la siguiene fórmula de inegración por pares: X Y = X Y + X s dy s + Y s dx s + dx s dy s. 3 Ecuaciones diferenciales esocásicas Queremos resolver ecuaciones diferenciales del ipo dx = b(, X )d + σ(, X )db. (34) Los coeficienes b(, x) yσ(, x) se denominan, respecivamene, coeficiene de deriva y coeficiene de difusión. Si el coeficiene de difusión se anula, enonces, endremos una ecuación diferencial ordinaria: dx d = b(, X ), que puede resolverse, si conocemos la condición inicial X. Por ejemplo, en el caso lineal b(, x) =b()x, la solución es X = X + e b(s)ds. Una ecuación diferencial del ipo (34) se denomina una ecuación diferencial esocásica. La solución será un proceso esocásico {X, } con rayecorias coninuas adapado a la filración browniana. Los procesos solución se denominan procesos de difusión. Una inerpreación heurísica de la ecuación diferencial (34) sería la siguiene: El incremeno X = X + X se expresa como una suma de b(, X ) más un érmino que depende del incremeno del movimieno browniano: σ(, X ) B y que se inerprea como una impulso aleaorio. Por 69