Examen de integración Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.) x arcsin x. 1 x. u = arcsin x du = v = 1 x 2

Transcripción

1 Eamen de integración Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.).- ( puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes: ln d arcsin (ii) d (iii) e d ln d ln C arcsin (ii) d u arcsin du dv d v arcsin C e (iii) d e C.- (4 puntos) Sea f : [, ] IR IR definida por: <, f() sin() <, ( ). Hallar la función integral de f(), F () f(t)dt y estudiar su continuidad y derivabilidad. Para hallar la función integral de f() debemos estudiarla en los distintos tramos: [, ], F () f(t)dt t dt t [, ], F () t dt sin(t)dt t4 4 cos(t) 4 cos() 4 cos()

2 [, ], F () ( ) ( )4 4 t dt sin(t)dt (t ) dt t4 4 cos(t) Comprobamos la continuidad de f(). Si pertenece a [, ), (, ) o (, ], f() es continua por ser funciones elementales. Miremos en y en : lím lím sin() lím sin() lím ( ) Luego podemos afirmar por el Teorema fundamental del cálculo, que su función integral F () será continua y diferenciable en todo el intervalo..-( puntos) Sea la función f(), calcular el volumen de revolución alrededor del eje del recinto determinado por f(), el eje y las rectas y 4. Calcular también el volumen de revolución alrededor del eje y del mismo recinto. Para calcular el volumen de revolución generadocuando una cierta funcion f() que gira alrededor del eje basta con calcular la integral f ()d. En este caso particular, el volumen generaado será: 4 ( ) d 4 d 8

3 Eamen de integración Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.).- ( puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes: e cos d (ii) d (iii) sin cos d (ii) e cos d [ u cos du sin d dv e d v e [ u sin du cos d dv e d v e d C ] e cos ] e cos e sin e cos d e (sin cos ) C e sin d e cos d (iii) sin cos d sin C.- ( puntos) Sea f : [, ] IR IR definida por: { e <, f(), Hallar la función integral de f(), F () f(t)dt. Para hallar la función integral de f() debemos estudiarla en los distintos tramos: [, ], F () f(t)dt e t dt e t e e

4 [, ], F () e e t dt (t t )dt e t ( ) t t t.- (4 puntos) Se necesita fabricar una pieza con el área resultante de intersecar la elipse y 9 con la parábola y. (a) Calcular el área de material que será necesario sabiendo que el área de una elipse es ab. (b) Si la piezas se fabrican a partir de la elipse anterior, calcular el área del material que se desecha. y 4 Para resolver estre problema primero debemos encontrar los puntos de corte de las dos curvas. y 9 y y y y 9 4 ± Calcularemos el área de la parte superior de la pieza. Dado que sabemos que el área de la elipse es ab dónde a y b son los semiejes de la elipse, el área de la mitad inferior

5 será. El área de la parte superior A: A d sin t d cos tdt t d cos tdt ( ) d ( cos t ) dt t Luego el área de la pieza es: ( t sin t 4 ) 4 El área del material desechado sera: ( )

6 Eamen de integración Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.).- ( puntos) Calcular las integrales indefinidas siguientes: e d (ii) 9 e d (iii) cos d (ii) e e d ln ( e ) C 9 d (9 ) / C (iii) cos cos d d sin 4 C.- ( puntos) Sea f : [, ] IR IR definida por: ( ) <, f() cos() <, ( ). Hallar la función integral de f(), F () derivabilidad. f(t)dt y estudiar su continuidad y Para hallar la función integral de f() debemos estudiarla en los distintos tramos: [, ], F () f(t)dt (t ) (t ) dt ( ) 8 [, ], F () (t ) (t ) dt cos(t)dt sin 7 sin() [, ], F () (t ) dt (t ) sin ( ) cos(t)dt 8 ( ) dt

7 Comprobamos la continuidad de f(). Si pertenece a [, ), (, ) o (, ], f() es continua por ser funciones elementales. Miremos en y en : lím ( ) lím cos() lím cos() lím ( ) Luego podemos afirmar por el Teorema fundamental del cálculo, que su función integral F () será continua y diferenciable en todo el intérvalo..- (4 puntos) Encontrar el volumen de revolución del sólido obtenido al girar alrededor del eje la región limitada por la semicircunferencia y, la parábola y y el eje, tal y como muestra el dibujo Para calcular el volumen de revolución generado cuando una cierta funcion f() gira alrededor del eje basta con calcular la integral f ()d. En este caso particular, el volumen generado será: ( ) ( V ( ) dt ) dt dónde es el punto de corte positivo de las dos curvas. y y } y y y 5 ± 5 V q 5 4 dt q 5 ( )dt 5 5 q 5 ) ( q 5