Física 2º Bacharelato

Transcripción

1 Física 2º Bacharelato DPARTAMNTO D FÍSICA QUÍMICA lectrostática 11/02/08 Nombre: Problemas 1. n la región comprendida entre dos placas cargadas, x véase la figura, existe un campo eléctrico uniforme de 2, N/C. Un electrón penetra en esa región pasando "muy" cerca de la placa positiva (punto D de la figura) con una velocidad D 37º que forma un ángulo de 37 con ella. La trayectoria que describe es tangencial a la otra placa (se acerca tanto como podamos suponer, pero sin llegar a tocarla). Halla: a) La velocidad de entrada del electrón en dicha región. [2 PUNTOS] b) Cuánto tiempo necesitará el electrón para pasar rozando la placa negativa, y qué distancia horizontal habrá recorrido dentro de esa región? DATOS: m e = 9, kg, q e = -1, C. Tómese sen 37º=0,60; cos 37º = 0, n los vértices de un triángulo equilátero de 5,00 cm de lado hay tres cargas de 2,00 nc cada una. Calcula: a) l campo electrostático en cualquier punto donde se encuentre una carga. b) Qué carga habría que situar en el centro del triángulo para que el conjunto quede en equilibrio? c) Los trabajos necesarios para traer esa carga desde el infinito hasta el centro de un lado y desde ahí hasta el centro del triángulo. Datos: K = 9, N m2 C Cuestiones v 0 1. s posible que en un punto del espacio la intensidad del campo eléctrico sea nula y el potencial eléctrico tenga un valor finito distinto de cero? Y que los dos sean nulos? Razona la respuesta. 2. Dos esferas conductoras huecas concéntricas están cargadas con una carga -Q la de radio R, y +Q la de radio 2R. n que punto el potencial eléctrico es nulo? A) exterior B) entre ambas C) interior. 3. Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano 4. Comenta la afirmación «Las líneas de campo eléctrico no se cortan nunca», razonando si es verdadera o falsa. 5,0 cm

2 Soluciones Problemas 1. n la región comprendida entre dos placas cargadas, véase x la figura, existe un campo eléctrico uniforme de 2, N/C. Un electrón penetra en esa región pasando "muy" cerca de la placa positiva (punto D de la figura) con una velocidad que forma un ángulo de 37 con D 37º ella. La trayectoria que describe es tangencial a la otra placa (se acerca tanto como podamos suponer, pero sin llegar a tocarla). a) Halla la velocidad de entrada del electrón en dicha región. b) Cuánto tiempo necesitará el electrón para pasar rozando la placa negativa, y qué distancia horizontal habrá recorrido dentro de esa región? DATOS: m e = 9, kg, q e = -1, C. Tómese sen 37º=0,60; cos 37º = 0,80. Rta.: a) v 0 = 3, m/s b) t = 5, s; x = 0,13 m La partícula está sometida a un campo eléctrico constante, que ejercerá una fuerza F también constante, que producirá que la partícula se mueva con una aceleración a constante, por lo que su ecuación de movimiento será: r(t) = r 0 + v 0 t + ½ a t 2 en la que r(t) es el vector posición en cualquier instante t, y v 0 es la velocidad inicial de la partícula. ligiendo el sistema de referencia con origen en D, eje X horizontal positivo el de avance del electrón (derecha) y eje Y vertical positivo hacia arriba, queda: r = v 0 (cos 37 i + sen 37 j) t + ½ a t 2 La fuerza F ejercida por un campo eléctrico sobre una carga q es Por la 2ª ley de Newton, v 0 F = q. F RSULTANT = m a a = F / m = q / m = -1, C 2, j N/C / 9, kg = -3, j m/s 2 r = v 0 (cos 37º i + sen 37º j) t 1, j t 2 = 0,80 v 0 t i + (0,60 v 0 t 1, t 2 ) j m Cuando la trayectoria es tangente a la placa superior, v y = 0 (máxima altura, la velocidad es horizontal) e y = 0,050 m (m) v = dr / dt = 0,80 v 0 i + (0,60 v 0 3, t) j m/s 0,60 v 0 3, t = 0 0,60 v 0 t 3, t 2 = 0 0,60 v 0 t 1, t 2 = 0,050 0,60 v 0 t 1, t 2 = 0,050 5,0 cm

3 1, t 2 = 0,050 t = 5, s v 0 = 3, m/s l punto donde el electrón pasa tangencialmente a la placa negativa dista del borde: x = 0,80 v 0 t = 0,80 3, [m/s] 5, [s] = 0,13 m 2. n los vértices de un triángulo equilátero de 5,00 cm de lado hay tres cargas de 2,00 nc cada una. Calcula: a) l campo electrostático en cualquier punto donde se encuentre una carga. b) Qué carga habría que situar en el centro del triángulo para que el conjunto quede en equilibrio? c) Los trabajos necesarios para traer esa carga desde el infinito hasta el centro de un lado y desde ahí hasta el centro del triángulo. Datos: K = 9, N m2 C Rta.: a) C = 1, N C -1 y dirigida hacia el centro del triángulo. b) Q D = 1, C c) W XT ( H) = 2, J; W XT (H D) = J a) La intensidad del campo eléctrico en uno de los vértices (el superior) debido a la acción de las otras dos cargas es, por el principio de superposición: CA C CB C = CA + CB La intensidad del campo eléctrico creado por cada carga Q, en un punto que dista r de ella es: A C B = K Q r 2 u r CA =9, [ N m 2 C 2 ] 2, [C] cos60 i sen 60 j = 3,60 i 6,24 j 10 3 N C 1 0,0500[ m] 2 Por simetría, La intensidad del campo eléctrico en C será: y, en general, será de valor: y dirigida hacia el centro del triángulo. CB = (3,60 i 6,24 j ) 10 3 N C -1 C = -1, j N C -1 C = 1, N C -1 b) La intensidad del campo eléctrico en el centro del triángulo es nula por simetría, así que cualquier carga situada en ese punto estará en equilibrio. Al colocar una cuarta carga en el centro del triángulo, se hallará en equilibrio. Si ahora todas las cargas han de encontrarse en equilibrio, la intensidad del campo eléctrico en cada uno de los vértices ha de ser nula. C = CA + CB + CD = 0 CD = 1, j N C -1 A C D B

4 La distancia entre D y C es: r= L /2 [cm]/ 2 =5,00 =2,89cm=0,0289 m cos30 cos 30 Q D 9, [ N m 2 C 2 ] j=1, j N C 1 0,0289[ m] 2 Q D = 1, C c) l trabajo realizado por la fuerza del campo cuando se traslada una carga q desde un punto M hasta un punto N es, W CAMPO = q (V M V N ) l potencial eléctrico en el punto H medio del lado AB es: V H = V HA + V HB + V HC. l potencial eléctrico en punto M que dista r de una carga puntual Q es V M = K Q r La distancia h entre H y C es, h = L sen 60 = 4,33 cm = 0,0433 m V H =9, [ N m 2 C 2 ] Como el potencial eléctrico en el infinito es nulo, V = 0, 2 2, [ C] 2, [ C] 0,0250[m] 0,0433[ m] = 1, V W CAMPO = Q D (V V H ) = 1, [C] ( 0 (-1, [V]) ) = 2, J W FURZA XTRIOR = W CAMPO = 2, J l potencial eléctrico en el centro D del triángulo es: V D =V DA V DB V DC =3 9, [ N m 2 C 2 ] 2, [ C] 0,0289[ m] = 1, V Al mover la carga desde el centro del lado H hasta el centro del triángulo D W CAMPO = Q D (V H V D ) = 1, C ( -1, [V] (-1, [V]) ) = J W FURZA XTRIOR = W CAMPO = J Análisis: Con las cifras significativas de los datos, el resultado es solo aproximado con un error del 100%.

5 Cuestiones 1. s posible que en un punto del espacio la intensidad del campo eléctrico sea nula y el potencial eléctrico tenga un valor finito distinto de cero? Y que los dos sean nulos? Razona la respuesta. La intensidad de campo eléctrico es nula y el potencial eléctrico no lo es: - n un punto interior a una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q, el potencial eléctrico es constante e igual al que hay en la superficie de la esfera. - n el centro de cualquier distribución simétrica de cargas iguales, por ejemplo en un D cuadrado. l campo es nulo por simetría y el potencial es cuatro veces el creado por una de las cargas. La intensidad de campo eléctrico es nula y el potencial eléctrico también lo es: - n un punto del infinito. - n el centro de cualquier distribución simétrica de cargas alternas, por ejemplo en un cuadrado. l campo es nulo por simetría y el potencial ahora también al haber las A misma cantidad de cargas positivas que negativas a la misma distancia del punto. B A C C D B 2. Dos esferas conductoras huecas concéntricas están cargadas con una carga -Q la de radio R, y +Q la de radio 2R. n que punto el potencial eléctrico es nulo? A) exterior B) entre ambas C) interior. A n un punto A exterior a una distancia d del centro de una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q, el potencial eléctrico viene dado por la ecuación: V =K Q d como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro. n el punto A el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en A por cada esfera. V A =V R A V 2R A =K Q Q K d d =0 (La carga neta, vista desde el exterior de la esfera mayor, es nula, por lo que el potencial en el exterior también lo es). n un punto C interior a una distancia d < R del centro de una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q, el potencial eléctrico es constante y vale lo mismo que en su superficie. Si la esfera es de radio R V =K Q R n el punto B el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en B por cada esfera, teniendo en cuenta que el punto B es exterior a la esfera menor e interior a la esfera mayor que no es nulo porque d 2 R. V B =V R B V 2R B =K Q Q K d 2 R 0

6 n el punto C el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en C por cada esfera, siendo el punto C interior a ambas esferas que no es nulo porque R 2 R. V C =V R C V 2R C =K Q R K Q 2 R 0 3. Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano l teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada por dicha superficie dividido entre ε 0. = d S= Q NCRRADA 0 Se dibuja un fragmento del plano infinito y el punto P donde se va a determinar el vector intensidad de campo eléctrico. 1. A partir de la simetría de la distribución de carga en el plano, se ve que la dirección del campo eléctrico en el punto P es perpendicular al plano. 2. Se toma como superficie cerrada, un cilindro de radio arbitrario con una de sus bases que pase por el punto P y la otra colocada simétricamente con respecto al plano. d S S P 3. Se calcula el flujo a través de la superficie cerrada del cilindro, sumando las contribuciones de cada parte: - Flujo a través de cada una de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie S son paralelos, por lo que: ds = ds = ds l campo eléctrico es constante en todos los puntos de la base: S B = d S= d S= S B para cada una de las bases. - Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo es perpendicular al vector superficie ds superficie lateral, por lo que el producto escalar es nulo: y el flujo a través de la superficie lateral es nulo. - l flujo total es: ds = 0 Φ = 2 S 4. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada es la que hay en una superficie S del plano igual al area de las bases. Si hay una densidad de carga σ = Q / S constante, Q NCRRADA = σ S

7 5. Aplicando el teorema de Gauss Φ = Q NCRRADA / ε 0 igualando al flujo obtenido antes y despejando el módulo del campo eléctrico = σ / (2 ε 0 ) que es independiente de la distancia d del punto al plano. 4. Comenta la afirmación Las líneas de campo eléctrico no se cortan nunca, razonando si es verdadera o falsa. s verdadera. Un campo eléctrico es una magnitud vectorial que depende de las coordenadas y tiene un valor único en cada punto. Las líneas de campo eléctrico se dibujan de forma que son tangentes en cada punto al vector campo. Si dos líneas de campo se cortasen, en el punto de corte habría dos vectores campo, cada uno tangente a su linea. Pero eso no es posible por la definición de campo, que dice que tiene que tener un valor único en cada punto.