{ 3} Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar.

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1 . Esudia el dominio de las siguienes unciones: a ( : Función Racional, el dominio son odos los números reales ecepo los que anulen el denominador. R / 0 : 0 : : ± [ ( ] { } R ± { } b ( : Función Racional, el dominio son odos los números reales ecepo los que anulen el denominador. R / 0 : 0 : [ ( ] { } 0 R {} 0 Noa. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar. c ( Función Racional con numerador irracional, el dominio lo imponen dos condiciones, odos los números reales ecepo los que anulen el denominador que además hagan maor o igual que cero el radicando de la epresión irracional 0 [ ( ] R / > 0 0 : : R [, ] R [, ] [, ] d ( : Función irracional. El dominio lo orman los números reales que hagan el radicando maor o igual que cero. [ (] R / 0 [, 0 [,

2 7 e ( : Función con denominador irracional, el dominio son odos los números reales 7 que hagan el radicando maor que cero, en ese caso el cero no se admie. [ (] { R / 7 > 0} : 7 > 0 : > 7 7 ( 7, 7 ( 5 : Función con denominador irracional, el dominio son odos los números 6 reales que hagan el radicando maor que cero. ( R / 6 > 0 [ ] { } 5,, 6 g ( 7 : Función irracional. El dominio lo orman los números reales que hagan el radicando maor o igual que cero. ( R / 7 0 [ ] { } 7 [, ] h ( 5 : Función irracional. El dominio lo orman los números reales que hagan el radicando maor o igual que cero. ( ,

3 5 i ( : Función irracional. El dominio lo orman los números reales que hagan 5 el radicando maor o igual que cero. 5 [ (] R / : 5 0 : : : ( ( ( ( (, ] [, (, j ( : Función Racional con epresiones irracionales, el dominio lo imponen dos condiciones, odos los números reales ecepo los que anulen el denominador que además hagan maor o igual que cero los radicándoos de las epresiones irracionales. 0 0 : [ 0, [ (] R / : 0 0 : [ 0, (, [ 0, { } k ( Función con denominador irracional, el dominio son odos los números reales que hagan el radicando maor que cero. [ (] { R / > 0}, ( l ( Ln : Función logarímica. El dominio lo orman los números reales que hagan el argumeno maor que cero. [ ] ( ( R / > 0 ( ( ( ( ( 0 > 0 : 0 : 0 : Ln ( (, 0 (,

4 m ( Ln [ (] R / > 0 0 : > 0 : 0 : Ln (, (, n ( e La unción eponencial no impone resricciones al dominio, si el eponene es un número real, eise su eponencial, por lo ano: [ Función eponencial ] [ Eponene] e [ ] R o ( e e { R / 0} R { 0} o ( e e [ ] { R / 0} [ 0, calcular:. Sean las unciones: 6 ( ; g( ; h( ( h( a ( g( h( b g( g( h( c ( g( d ( a ( g( h( b 6 ( ( ( ( ( h( g( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 6 ( ( ( ( ( 5

5 ( ( ( c ( g( 6 ( ( ( d g ( h( ( ( ( ( ( (. Calcular la inversa, [ (] de las siguienes unciones: a ( b ( 6 c ( d ( e ( 5 5 ( g ( e h ( Ln Pasos a seguir para calcular la inversa de una unción:. susiue por e por. Se despeja en unción de. Se susiue por ( a (. Se susiue por e por : 6. Se despeja en unción de : 6. Se susiue por 6 (: ( : 6 6 : 6 b (. Se susiue por e por :. Se despeja en unción de :. Se susiue por (: ( : ( : ( : : : 5

6 c (. Se susiue por e por :. Se despeja en unción de : : :. Se susiue por (: ( : ( : ( d ( 5. Se susiue por e por : 5. Se despeja en unción de :. Se susiue por (: ( e ( 5. Se susiue por e por :. Se despeja en unción de : 5. Se susiue por (: ( 5 : ( 5 : ( 5 5 : : 5 : 5 ( e. Se susiue por e por : e. Se despeja en unción de : e :. Se susiue por (: ( Ln Ln Ln e : Ln Ln : Ln g ( Ln. Se susiue por e por : Ln. Se despeja en unción de : Ln : e e : e e. Se susiue por (: ( e Ln e : e : ( e e e e : : ( e e e 6

7 Calcular: a o g. Sean las unciones: b g o c o ( h o g a ( o g( ( g( ( g ( h( ( g( g ( g b ( ( ( ( ( g o g ( ( c ( o ( h o g ( ( h( g( : Se empieza calculando ( g( h ( g( h( g g( g Calculado h(g(, se calcula (h(g(. Calcular: ( h( g( h ( ( g( h ( g( 5. Sean las unciones: ( sen g( a o g b a ( ( ( ( ( sen o g g sen g( b ( g o ( g( ( g( ( c ( o ( o g ( g( ( g( sen g( ( g( h. ( ( 6 g o c g o ( o g ( g( sen( ( ( ( sen sen g sen o 6. Comprobar que se cumple: ( g g o siendo: ( ; g( Se calcula cada érmino de la igualdad por separado. Primer miembro de la igualdad: o g Calculo de ( ( Calculo de ( o g ( ( o g( ( g( g g ( ( ( ( ( g( ( sen sen ( 6 7 7

8 6. Se susiue por e por : 7. Se despeja en unción de : : ( 7 6 : ( 6 7. Se susiue por ( o g : ( o g ( ( g( º miembro de la igualdad: (. Se susiue por e (( por :. Se despeja en unción de :. Se susiue por (: ( g ( : 7 6 : 7 6 : ( 7 6 : : ( :. Se susiue por e (g( por :. Se despeja en unción de : : :. Se susiue por g (: g ( g o ( g o ( g ( ( ( ( Se demuesra que ( o g g o 7 ( 6 6 8

9 7. Si (, g(, hallar: a o g b g o c - g a a ( o g( ( g( : Se susiue la variable de la unción por la unción g. ( g ( ( ( g g( ( b b ( g ( g( ( o : Se susiue la variable de la unción g por la unción. ( ( ( ( ( g ( ( ( d Si la composición de dos unciones es la unción idenidad (I(, las unciones son inversas enre si, además la composición es conmuaiva ( o ( ( o (. Teniendo en cuena eso: ( g ( 8. adas las unciones : ( g( h( a Calcular sus dominios b Esudiar sus simerías c Calcular las unciones ( g o (, ( h o ( d Calcular las unciones (, h ( a ominios: { R / 0} (, ] [, [ ] R { R / 0} : 0 : : ± Por ser polinómica R ± { }

10 b Simería: e orma rigurosa ha que esudiar como se ransorma la unción cuando se cambia por, pudiendo darse res casos dierenes: ( (. Función par. Simérica respeco de OY ( (. Función impar. Simérica respeco de (0, 0. Ninguno de los aneriores. No iene simería. - ( ( ( - g( ( h( - h( ( ( h( : Simérica PAR g ( : Simería impar No iene simeria Eise ora orma menos rigurosa que es un poco más sencilla. Se seleccionan dos valores ±a perenecienes al dominio de la unción se calcula el valor de la unción en ellos. (a (a. Función par. Simérica respeco de OY (a (a. Función impar. Simérica respeco de (0, 0. Ninguno de los aneriores. No iene simería. - [ ( ] ( ( 5 ± : : ( (. Simérica PAR ( 5 g( - ( ± : : g( - g(. Simería impar g( h( ( ( 0 h( : : h(. No iene simería h( h( - [ g( ] - ± [ h( ] c ( g o ( g( ( ( ( ( 5 ( h o ( h( ( ( ( ( d ( h ( : Se inercambian con se despeja. : : : : No iene inversa. (. adas las unciones ( g( h( Calcular: a Sus dominios b Simerías c Las unciones [ g o ](, [ h o ]( d Sus unciones inversas cuando eisan a - { R / 0} 0

11 [ ], - { } R : 0 : : 0 R / R - [ ] R. Por ser polinómica. b - ( ( (. Par. Simérica respeco OX - ( ( ( ( g g. Par. Simérica respeco OX - ( ( h. Par. Simérica respeco OX c - [ ]( ( ( ( ( ( ( 0 g g o - [ ]( ( ( ( ( ( 5 h h o d - ( : : : : : ( - ( g : : ( : : : ( : : ( g - ( h : : : : ( h 0. Calcular el dominio, las simerías la composición en los dos senidos de las unciones: ( ( g ominio: - { } 0 : : 0 R / ± : { } R ± - { } 0 R /

12 (, ] [ 0, Simería: - ( coordenadas. ( - g( ( ( Composición: - ( o g( ( g( ( ( ( g g.no iene simería. g( ( g( 6. Impar. Simérica respeco del origen de -( g o ( g( ( ( ( ( ( ( 6 ( 6. Sabiendo que el cambio acual del dólar esá a 0,8 que el banco cobra de comisión el 0 5%, escribir las unciones que permian pasar del valor acual de una moneda a ora. Si es el número de dólares que queremos comprar, e es el precio en euros que debemos pagar: 0,5 0,8 00 0,80 pagar: Si ahora es el número de euros que queremos comprar, e es el precio en dólares que debemos 0,5,5 00,565 Observar que en ese caso no son unciones inversas una de la ora debido a la comisión que cobra el banco.

13 . Epresar la unción de cose de una carrera de ai en unción de los kilómeros recorridos, sabiendo que cada rescienos m. cuesa 50 cénimos la bajada de bandera inicial Sea los Km recorridos en una carrera de ai, P( el precio de la carrera. P( es una unción lineal que cosa de un érmino consane (bajada de bandera de un érmino variable en unción de la disancia recorrida. El nivel de conaminación de una ciudad a las 7 00 de la mañana es de ppm crece de orma lineal 5 ppm por cada hora. Sea la conaminación en el insane después de las 7 00 de la mañana. a Hallar la ecuación que relaciona con. b Hallar el nivel de conaminación a las a. Sea C( el nivel de conaminación, sea la hora del día. C 5 7 b. C ( 7 5 ( ppm. P ( 000, 0, P(, ( (. Un comercial quiere comprar un coche; iene mu claro el modelo pero no sabe si comprarlo de gasolina o de gasóleo. El primero vale el segundo 000. El precio de la gasolina es de 0, /Km. Y el de gasóleo, 0,08 /Km. a ar la unción que relaciona el cose (precio del coche más precio del combusible con el número de kilómeros para cada coche. b Represenar esas unciones. Observar el puno de core. Qué signiica? c Si el comercial recorre Km en el primer año, qué coche le produce menos gasos? Y si hace Km? Sea G( el precio del coche de gasolina en unción de los Km recorridos ( el de gasoil. a. G ( , ( 000 0,08 b. El puno de core represenan los kilómeros a los que el precio oal deal auomóvil es el mismo, sea de gasolina o de gasoil. c. Si el comercial Km el primer año, será más barao le coche de gasolina, como puede observarse en la gráica. Si recorre 00000, será más barao el coche de gasoil.

14 5. Un esablecimieno de hoselería abre sus pueras a las nueve de la noche, sin ningún cliene, las cierra cuando se han marchado odos. Se supone que la unción que represena el número de clienes, C, es unción de las horas que lleva abiero, h: C(h 80h 0h. a eerminar el número máimo de clienes que van una deerminada noche. b Si deseamos ir cuando haa menos de 50 personas más de 70, enre que horas debemos hacerlo?. c Si deseamos ir cuando haa menos de 50 personas más de 70 además, queremos que durane nuesra esancia disminua el número de clienes, enre qué horas debemos hacerlo? d A qué hora cierra?. El ejercicio se basa en inerprear una unción polinómica de segundo grado. Lo más sencillo es represenar la unción, eniendo en cuena que la unción C(h 0, a que no puede haber un número negaivo de clienes, h 0 porque ampoco eisen horas negaivas. Observando la gráica se puede responder a odas las cuesiones a. El número máimo de clienes es de 60 personas b. Enre la ª ª hora (,00 0,00 ó enre la 5ª 7ª hora (0,00 05,00 c. Enre la 5ª 7ª hora (0,00 05,00 d. A la 8ª hora (06,00 6. La población de una granja avícola pasa de 000 a 00 individuos en un mes. Suponiendo que sigue una le eponencial, calcular: a. La le que epresa la población en unción del iempo. b. Cuál será la población al cabo de un año? c. Cuándo habrá 66.5 individuos? a. Le eponencial: P( K a, donde P( represena la población en unción del iempo represena el iempo en meses. La unidad de iempo es arbiraria, lo omo en meses porque el enunciado habla de meses, se podría haber hecho en cualquier ora unidad de iempo, días, años, ec. el enunciado del problema se deduce que para 0, la población de aves es de 000 individuos, para, 00. P ( 0 K 0 a 000 P( K a 00 ; K 000 Susiuendo en la ª igualdad el valor de K obenido en la ª, se obiene el valor de a a 00 ; a 000 0

15 La le eponencial es: P( b. Una vez conocida la epresión de la unción, piden calcular el valor que oma la población para meses ( año. 0 ( individuos P c. En el ercer aparado se pide calcular el valor de conocido el número de individuos que orman la población. o o o P( o : : Ln Ln Ln o Ln Ln : o 6 meses Ln 0 7. Un lago esá repoblado con una nueva especie de peces. Acualmene se esima una población de ejemplares, res años anes, peces. Suponiendo un crecimieno eponencial, calcular: a La unción que epresa el número de peces en unción del iempo. b Cuándo habrá de ejemplares? c Cuanos años hace que se inrodujeron los primeros ejemplares? a. Le eponencial: P( K a Para calcular la consane pre-eponencial (K la base de a eponencial (a se dan los siguienes daos: - 0: P(0 - : P( : P( 6000 El primer dao (población inicial, permie calcular la consane pre-eponencial: 0 P 0 K a : K ( Conocido el valor de K, se susiue en los oros dos daos: P( 7000 a P 6000 ( ividiendo ambas epresiones se calcula la base de la eponencial. P( 6000 a ( 7000 P a ( 8 a : a 8 a La población de peces del lago sigue la le eponencial: P( b. Se pide calcular el iempo necesario para que la población de peces del lago llega a un millon de ejemplares. P 6 ( 0 o : o 6 0 o 0 : ( o : Ln Ln 6 6 o Ln 0 Ln o,8 años años0 meses días Ln 6 0 Ln 5

16 c. Para calcular los años que han pasado desde el comienzo de la repoblación, se aplica la le eponencial al dao acual (6000 peces. P( 6000 : 6000 ( : 6000 Ln 6000 Ln : Ln Ln 6000 Ln 6 años Ln 8. A las nueve de la mañana surge un rumor en la ciudad, el número de personas que se han enerado al cabo de un ciero iempo, viene epresado por, R( e.000 donde, represena el número de horas que han pasado desde la aparición del rumor, calcular el número de personas que se han enerado enre las 0 las doce de la mañana. Cuano iempo ardará en enerarse oda la ciudad si su población es de habianes. La primera cuesión propuesa se resuelve resando al número de personas que se han enerado hasa las de la mañana, el número de personas que se habían enerado hasa la 0 de la mañana. Si el rumor empieza a las de la mañana, las 0 de la mañana equivale a, las doce de la mañana corresponde a. Nº de individuas enerados enre las 0 las N(0, R( R( ( e 000 ( e personas n 0, En la segunda cuesión se raa de saber cuano iempo debe pasar para que la unción R( alcance el valor de e R ( 7567 e : e 7557 : Ln 7557 Ln ,7 h. El número de personas aecadas por una enermedad conagiosa viene dado por la ormula.000 C( ' e onde indica el iempo en días. a Cuánas personas esarán conagiadas pasados,, 5, 0, días? b Tiende a esabilizarse el número de personas conagiadas, en caso airmaivo, a que valor iende. a. Se pide calcular el valor que oma la unción para, C( 8, ' e.000 C( 6, 6 ' e.000 C( 5 7, ' 7 e.000 C( 0, ' 0 e.000 C( ' 00 e.000 C( ' 000 e 6

17 b. Ese ipo de unciones se denominan de crecimieno sosenido, endiendo a esabilizarse al valor del numerador, en ese caso a 000 conagiados N ( α K e eise. Si inenamos despejar de ecuación, nos aparece un logarimo de un número negaivo, que no 0. ebido a la presión ambienal, la población de conejos se ajusa a una le del siguiene ipo P( 0' e a Cuános conejos habrá al cabo de 0 años? b Cuáno iempo debe ranscurrir para que su número sea de individuos? c Cuáno iempo debe ranscurrir para que su número sea de individuos? a. P( ' 0 e b. Se raa de una unción de crecimieno sosenido, el máimo valor que llega a omar es 0000, por lo ano nunca llega a alcanzar el valor de Si inenamos despejar, aparece el logarimo de un número negaivo, que no eise ' 0' 0000 : e : e 0' e 0' 0' e : Ln e Ln R 5 5 c. Se pide calcular el valor de para que la unción (P( valga P( ' e ' e 0' 0' : e : e 0000 Ln 0' 0' e : Ln e Ln : 0, Ln :,6 años 0,. Epresar en unción de la longiud de la base el área de un recángulo inscrio en el mismo de radio R. El área de cualquier recángulo es base alura. Aplicado al recángulo de la igura: A Si el recángulo esá inscrio en una circunerencia de radio R, sus dimensiones (, esán relacionados por el eorema de Piágoras. ( R Esa epresión permie epresar una variable en unción de la ora. R Susiuendo en el área del recángulo es obiene una unción que permie calcular el área de cualquier recángulo inscrio en una circunerencia de radio R en unción de la longiud de la base. A R 7

18 . Epresar el volumen de un cubo en unción del perímero del mismo. a Longiud de la arisa. P Perímero V Volumen V a : a P a P : V P. Epresar en unción de la longiud de la base el volumen de una caja con apa de base cuadrada, sabiendo que el área oal vale 00 cm. P Conocida la supericie oal del cubo se esablece una relación enre e que permie epresar en unción de V : : V : V (

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