Métodos de solución de ED de primer orden

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1 CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.3 Ecuaciones diferenciales lineales Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma a 0.x/ dy dx C a.x/y D g.x/; donde a 0.x/ 0 & g.x/ 0: Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es de la forma Notar que en este caso g.x/ D 0. a 0.x/ dy dx C a.x/y D 0; donde a 0.x/ 0 : Ejemplo.3. Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales:. xy 0 y D x.. y x 0 C yx D 3y. 3..y C / dx C.y x y x/ dy D 0. En estos casos se tiene:. a 0.x/ D x, a.x/ D & g.x/ D x. x es la variable independiente y la variable dependiente es y.. a 0.y/ D y, a.y/ D y & g.y/ D 3y. y es la variable independiente y la variable dependiente es x. canek.azc.uam.mx: 4/ / 00

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3. ealizando algunas operaciones:.y C / dx C.y x y x/ dy D 0 ).y C / dx dy C y x y x D 0 ) ).y C / dx dy C y x x D y ) ).y C / dx dy C.y /x D y: Ahora se tiene lo siguiente: a 0.y/ D y C, a.y/ D y & g.y/ D y. y es la variable independiente y la variable dependiente es x. Ejemplo.3. Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas:. xy 0 y D 0.. y x 0 C yx D x C 5/y 0 C.x 5/y D 0. En estos casos se tiene:. a 0.x/ D x, a.x/ D.. a 0.y/ D y, a.y / D y. 3. a 0.x/ D x C 5, a.x/ D x 5. esolución de la ecuación diferencial lineal homogénea Para resolver la ecuación diferencial lineal homógenea de primer orden se presentan a continuación dos procedimientos. Primer procedimiento. La ecuación diferencial a 0.x/ dy dx C a.x/y D 0 es separable. En efecto: a 0.x/ dy dx C a.x/y D 0 ) a 0.x/ dy dx D a.x/y ) ) dy dx D a.x/ a 0.x/ y ) dy y D a.x/ a 0.x/ dx ) ) dy y D I donde p.x/ D a.x/ a 0.x/ donde a 0.x/ 0 : Integrando se obtiene: ) ln y D dy y D C C ) y D e ) ln y C C D C C ) CC ) y D e e C ) ) y D Ce I donde C es arbitrario. Ejemplo.3.3 esolver la ED: x dy dx C x3 y D 0; x 0 :

3 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 3 Separando las variables: x dy dx C x3 y D 0 ) x dy dx D x3 y ) dy y D x dx : Integrando: dy y D x dx ) ln y C C D x3 3 C C ) ) ln y D x3 3 C C ) y D e x3 3 CC ) y D e C e x3 3 ) ) y D Ce x3 3 : Esta es la solución general de la ED. Segundo procedimiento. Lo primero que se hace es normalizar la ecuación diferencial, es decir, dividimos la ecuación diferencial entre a 0.x/ 0 para obtener el coeficiente del término con mayor derivada igual a uno: a 0.x/ dy dx C a.x/y D 0 ) dy dx C a.x/ a 0.x/ y D 0 ) dy dx C p.x/y D 0 ) ) y 0 C py D 0 : Como antes denotamos p.x/ D a.x/ a 0.x/, con la restrición a 0.x/ 0. A continuación se hacen las siguientes consideraciones: a. Se define:.x/ D e : En este caso no usamos la constante de integración de la integral e para obtener una función.x/ lo más sencilla posible. Por el teorema fundamental del cálculo, al derivar obtenemos: d dx D d ( ) e p.x/ dx D e d D e p.x/ D p : dx dx es decir: 0 D p : b. Por otro lado: Igualdad que se escribe como: d dy.y/ D dx dx C y d dx D dy dy dx C yp D dx C py : Para resolver la ecuación diferencial y 0 C py D 0:.y/ 0 D.y 0 C py/ : (*) a. Se multiplica la ecuación diferencial por la función.x/ D e :.y 0 C py/ D 0 : b. Se aplica la igualdad anterior (/.y/ 0 D 0 :

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias c. Integrando, se obtiene:.y/ 0 dx D 0 dx ) y D C ) e y D C d. Por último se despeja la variable y: y D C e ) y D Ce : En este procedimiento la función.x/ se ha utilizado como factor para poder efectuar la integración y resolver la ecuación diferencial. Por esta razón se dice que.x/ es un factor integrante de la ecuación diferencial. Ejemplo.3.4 esolver la ED: x dy dx C x3 y D 0, con x 0. Se normaliza la ED dividiendo entre x: Note que p.x/ D x. Se calcula un factor integrante.x/: dy dx C x y D 0 : D e ) D e x dx D e x3 3 : Se multiplica por la ecuación diferencial y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/: e x3 3 y 0 C x y D 0 ) e x3 3 y 0 D 0 : Al integrar se obtiene: e x3 3 y D C ) y D Ce x3 3 : Notar que es el mismo resultado que obtuvimos en el ejemplo :3:3 esolución de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Se normaliza la ecuación diferencial dividiendo entre a 0.x/ Se considera que p.x/ D a.x/ a 0.x/. Se calcula un factor integrante.x/: a 0.x/ dy dx C a.x/y D g.x/ ) dy dx C a.x/ a 0.x/ y D g.x/ a 0.x/ ) ) dy C p.x/y D f.x/ : dx & f.x/ D g.x/ a 0.x/ ; donde a 0.x/ 0..x/ D e : 3. Se multiplica la ecuación diferencial por la función.x/:.y 0 C py/ D f :

5 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 5 4. Considerando que.y/ 0 D.y 0 C py/ [ver (/ en página (3/], se tiene:.y/ 0 D f : 5. Integrando:.y/ 0 dx D f dx ) y C C D f dx C C : 6. Despejando la variable y: y D f dx C C : Se ha obtenido así la expresión de la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea: y D e e f.x/ dx C Ce : Ejemplo.3.5 esolver la ED: y 0 y D 5. En este caso la ecuación diferencial está normalizada. Se tiene que p.x/ D & f.x/ D 5. Se calcula un factor integrante:.x/ D e D e. / dx D e x : Se multiplica la ecuación diferencial por y se aplica la igualdad conocida (*) de la página 3:.y 0 C py/ D f ).y/ 0 D f ).e x y/ 0 D e x 5 : Integrando y despejando a y obtenemos:.e x y/ 0 dx D e x 5 dx ) e x y C C D 5e x C C ) e x y D 5e x C C ) ) y D 5 C Ce x : Esta es la solución general de la ED. Ejemplo.3.6 esolver la ED: y 0 xy D 5x. Esta ecuación diferencial está normalizada. En este caso p.x/ D x & f.x/ D 5x. Se calcula un factor integrante:.x/ D e D e. x/ dx D e x : Se multiplica la ecuación diferencial por y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/:.y/ 0 D f ) 0 x e x y D e 5x : Integrando y despejando a y, obtenemos: 0 e x y dx D e x 5xdx ) e x y C C D 5e x C C ) e x y D 5e x C C ) ) y D 5 C Ce x : Esta es la solución general de la ED.

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo.3.7 esolver la ED: xy 0 C y D 5x 3 ; donde x > 0. Se normaliza la ED dividiendo entre x: y 0 C x y D 5x : En este caso p.x/ D x y f.x/ D 5x. Se calcula un factor integrante:.x/ D e D e x dx D e ln x D x : Se multiplica la ED normalizada por y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/:.y/ 0 D f ).xy/ 0 D 5x 3 : Integrando y despejando y:.xy/ 0 dx D 5x 3 dx ) xy C C D 5 4 x4 C C ) xy D 5 4 x4 C C ) ) y D 5 4 x3 C C x : Esta es la solución general de la ED. Ejemplo.3.8 esolver la ED:.00 C t/y 0 C y D 7.00 C t/. Se normaliza la ED dividiendo entre 00 + t: En este caso p.t/ D & f.t/ D C t Se calcula un factor integrante: y 0 C 00 C t y D 7:.t/ D e p.t/ dt dt D e 00Ct D e ln.00ct/ D e ln.00ct/ D.00 C t/ : Se multiplica la ED normalizada por y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/: [.y/ 0 D f ).00 C t/ 0 y] D 7.00 C t/ : Integrando y despejando y, obtenemos: [ ].00 C t/ 0 y dt D 7.00 C t/ dt ).00 C t/ y C C D 7.00 C t/ 3 3 ( ) ( ) ).00 C t/ 7 y D.00 C t/ 3 C C ) 3 ) y D C t/ C C.00 C t/ : Esta es la solución general de la ED. Ejemplo.3.9 esolver la ecuación diferencial: x y 0 C 3xy D sen x x. C C )

7 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 7 Se divide entre x para normalizar la ED: Se calcula el factor integrante: y 0 C 3 x y D sen x x 3 : (.) 3 D x dx D 3 ln x D ln x3 ) ).x/ D e D e ln x3 D x 3 Se multiplica la ED (.) por.x/ D x 3 y se aplica la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/: [ x 3 y 0 C 3 ] x y D x 3 sen x ) Œx 3 y 0 D sen x: x 3 Integrando: Œx 3 y 0 dx D ) y D C cos x x 3 : La cual es la solución general de la ecuación diferencial. sen x dx ) x 3 y C C D cos x C C ) x 3 y D cos x C C ) Ejemplo.3.0 esolver la ecuación diferencial:.cos x/y 0 C.sen x/y D x.sen x/ cos x. Dividiendo entre cos x para normalizar la ED: y 0 C sen x x.sen x/ cos x y D cos x cos x ) y 0 C sen x y D x.sen x/: (.) cos x Calculando el factor integrante: sen x D cos x dx D ln.cos x/ D ln.cos x/ ) ).x/ D e D e ln.cos x/ D.cos x/ D cos x : Multiplicando la ED (.) por.x/ y aplicando la igualdad.y/ 0 D.y 0 C py/: [ y 0 C sen x ] cos x cos x y D x sen x ) cos x De donde: [ ] 0 cos x y dx D Integrando por partes la integral de lado derecho: [ ] 0 cos x y x sen x cos x D D x sen x: cos x x sen x dx: Por lo tanto la solución general es: y D x cos x C sen x C C: cos x o bien y D x cos x C sen x cos x C C cos x; y D x cos x C sen x C C cos x:

8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo.3. esolver la siguiente ED lineal: x 0 C yx D y. En este caso la ED está normalizada. El factor integrante es: p.y/ dy D y dy D y ).y/ D p.y/ dy e D e y : Multiplicando por.y/ D e y y aplicando la igualdad conocida se tiene: e y Œx 0 C yx D ye y ) Œe y x 0 D ye y : Integrando: e y x D ye y dy D ey C C: Por lo tanto la solución general es : x D C Ce y : Ejemplo.3. esolver la siguiente ecuación diferencial: dy dx D e y x. Considerando a y en función de x, esta ecuación diferencial ordinaria no es lineal; pero si consideramos a x en función de y se tiene que:.e y x/ dy dx D ) ey x D dx dy ) ) x 0 C x D e y : (.3) Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal. Para resolverla se procede como en los ejercicios anteriores. El factor integrante es: p.y/ dy D dy D y ).y/ D e y : Entonces multiplicando la ED lineal (.3) por.y/, aplicando la igualdad conocida e integrando: e y Œx 0 C x D e y e y ) Œe y x 0 D e y ) Œe y x 0 dy D e y dy ) ) e y x C C D ey C C ) e y x D ey C C: La solución general de la ED es: x D ey C ce y : Ejemplo.3.3 esolver el siguiente PVI: y 0 xy D x 3 e x I con la condición y.0/ D. Se tiene: y 0 xy D x 3 e x : (.4) El factor integrante es: D x dx D x ).x/ D e D e x

9 .3 Ecuaciones diferenciales lineales 9 Multiplicando (.4) por.x/, aplicando la igualdad conocida e integrando se obtiene: e x Œy 0 xy D x 3 e x e x ) Œe x y 0 D x 3 e x Œe x y 0 dx D x e x x dx: Integrando por partes la integral del lado derecho: x e x x dx D 4 x e x C e x x dx: Entonces: e x y C C D 4 x e x C ( 4 ) y D ( 4 e x x C ) e x C C ) ) e x C C e x : Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es: y D ( x C ) e x C C e x : 4 Considerando la condición inicial y.0/ D, se tiene que: D 0 C e 0 C C ) D 4 8 C C ) C D C 8 D 9 8 : Por lo tanto, la solución que satisface el PVI es: y D ( x C ) e x C ex : Ejercicios.3. Ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones en la página esolver las siguiente ecuaciones diferenciales lineales.. y 0 C 00y D 0.. x 0 0x D z 0 xz D xy 0 0y D t/s 0 C 4S D C 3t/A 0 C A D 0. ( ) 7. y 0 C.cot x/y D csc x con y D. 8..x C 5/ dy C 0y D 0.x C 5/ con y.0/ D 0. dx 9..x C / dy C 3xy D 6x. dx 0. xy 0 C.x 3/y D 4x 4.

10 0 Ecuaciones diferenciales ordinarias. xy 0 D y C x.. y 0 cos x C y sen x D x y 0 C xy D x. 4..y /x 0 x D y.y /. 5. xe x y 0 C.x C /e x y D. 6. y dx C.3xy 4y 3 /dy D x C / dy D.x 3 xy C x/ dx con y./ D. 8..y C /dx D. C xy/dy con x./ D y 0 cos x C y sen x cos 3 x D 0 con y.0/ D. 0. Ly 0 C y D E sen wx con y.0/ D 0, donde L,, E & w son constantes positivas.

11 .3 Ecuaciones diferenciales lineales Ejercicios.3. Ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones, página y D x sen x 8. y D 5 6.x C 5/ x C 5/ 6 9. y D C C.x C / 3 0. y D x 3 C C x 3 e x y D E L w L w C [ sen wx Lw ] cos wx