6º S.E. Ficha 1 Matemática I. , decimos que b es el correspondiente o la imagen de a por f (anotamos b = f(a))es decir, b es. f g.

Transcripción

1 Deinición: (Función) Una relación entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B (no vacíos) es una unción de A en B si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ) a A, b B /( a,b ) ) ( a,b) ( a,c) b = c Observaciones: Si ( a b), decimos que b es el correspondiente o la imagen de a por (anotamos b = (a))es decir, b es el transormado de a por la unción. Una unción queda especiicada si se dan el dominio A (o conjunto de partida), el codominio B (o conjunto de llegada) y además la relación A B, que satisace las condiciones ) y )de la deinición. Las unciones de domino real pueden representarse gráicamente en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. El dominio se considera sobre el eje de abscisas y el recorrido sobre el eje de ordenadas. La representación gráica de una unción está dada por los puntos (,y) del plano para los cuales y =(). Suele usarse el nombre de grao o gráico para designar el conjunto de pares que pertenecen a la unción. Dado un subconjunto del dominio, X A, llamaremos imagen de X por al subconjunto de B ormado por las imágenes de todos los elementos de X. La imagen de X se denotará (X), luego ( X ) = { ( ); X }, a veces se llama recorrido de la unción a la imagen del dominio (A). Nótese que (A) está incluido en B pero (A) puede no coincidir con B. Ejemplo: A B 4 (X) X -, 0 - Operaciones con unciones Considera las unciones y g tales que : A R, g : B R con A B φ entonces: g : ( A B ) R es una unción tal que: ( g)() = ()g() g : ( A B ) R es una unción tal que: ( - g)() = ()-g().g : ( A B ) R es una unción tal que: (. g)() = ().g() : ( A B ) R g con g( ) 0 B es una unción tal que: g ( ) = ( ) g( )

2 Ejercicio Dados los conjuntos A = { a,b,c,d} y {,, } B. Justiica.,, a,, b,, c, B = investiga si las siguientes relaciones son unciones de A en i) {( a ) ( ) ( ) ( )} ii) {( a, ), ( b, )} {( a, ), ( b,), ( c,) } Ejercicio Inventa dos conjuntos A y B y da ejemplos de unciones y no unciones de A en B. Ejercicio Observando las gráicas decide cuáles de las siguientes relaciones son unciones en los dominios indicados. - D ( k ) = R D( h ) = { R / } D( k ) = R Ejercicio 4 De dos unciones y g se sabe que: D( ) = (, ), ( g ) (,4 ] de g, Halla: i) D( g) ii) D g iii) g D D = es la única raíz de y 4 es la única raíz g() Ejercicio 5 Considera la unción g cuyo gráico se adjunta: i) Determina g(-), g() y g(7). ii) Determina signo de g(-0), g(-0.5) y g(.5). iii) Haz un esquema del signo de g(). 0-7

3 Función compuesta Sean las unciones : A B y : C D g con A = {,,, 4} B = { a,b,c,d} C = { a,b,c,e,i} D = { α, β, γ, δ } = {(, a), (, b), (, c), ( 4 d )} g = {( a, α ), ( b, β ), ( c, γ ), ( e, δ ), ( i, δ )}, B C D A d 4 a c b i e α β γ δ Como la imagen de en es a ( a ) y la imagen en g es α ( a g α )podemos pensar en una nueva unción en la cual la imagen de sea α. A esta nueva unción la llamaremos unción compuesta g donde g α ( g )( ) = α ( g )( ) = g( ( ) ) = g( a ) = α Análogamente: ( g )( ) = g( ( )) = g( b ) = β y ( g )( ) =... Trata de hallar la imagen de 4 en g. qué ocurre? Deinición: Dadas dos unciones y g : A B g : C D A' = { A / ( ) C} A' φ Llamamos unción compuesta g a la unción de A en D tal que para todo que pertenece a A g = g ( ) ( )( ) ( ) Funciones polinómicas n n n 0 Son unciones de la orma : R R / ( ) = an an an... a a0 con R i, 0 i n. Si a 0, decimos que es una unción polinómica de grado n. a i n Función valor absoluto: La unción : R R / ( ) = = si si 0 < 0 Valor absoluto de una unción Deiniremos valor absoluto de una unción como: ( ) = ( )... ( ( )... ( )... 0 )... 0 Función eponencial Llamamos unción eponencial a toda unción Observación: Si a = e entonces ( ) = e : R R = ( ) a ; 0 a y a

4 Ejercicio 6 i) Graica ( ) = e ii) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o alsas. Justiica: En el gráico es posible encontrar tres puntos alineados. Si a < b ( a ) < ( b ) Eiste R / ( ) = 0 b R, R / ( ) = b c R, R / ( ) = c Ejercicio 7 i) Graica en un mismo sistema de ejes: ii) Estudia el signo de h : h( ) = e iii) Hallas los reales para los cuales e 0 Logaritmo y unción logarítmica : ( ) = e y g : g( ) = Dados a R y b R con b c logb a = c b = a Llamamos unción logarítmica a toda unción : R R tal que ( ) = logb ; b R y b Observación: Si b = e entonces ( ) = log que se anota L o ln Ejercicio 8 b i) Graica ( ) = L ii) Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o alsas. Justiica: En el gráico es posible encontrar tres puntos alineados. Si a < b ( a ) < ( b ) Eiste R / ( ) = 0 b R, R / ( ) = b c R, R / ( ) = c Ejercicio 9 Graica en un mismo sistema de ejes: Estudia el signo de h : h( ) = L Halla los reales para los cuales L < 0 : ( ) = L y g : g( ) =

5 Ejercicio 0 i) Dada g : g( ) = 8. Escribe la epresión analítica de una unción cuya representación gráica sea una recta paralela a la que representa a g y cuya ordenada en el origen es 5. ii) Determina la epresión analítica de la unción cuya representación es una recta que pasa por los puntos A(-6,0) y B(0,). Indica su pendiente y ordenada en el origen. iii) Sean las unciones q : q( ) = y k : k( ) =.Determinar en cada caso el subconjunto de R para el cual : a. q ( ) > k( ) b. q ( ) = k( ) c. q ( ) > 0 Ejercicio Bosqueja el gráico de cada una de las siguientes unciones de y estudia su signo. si < si (, ] si < < si (, 0 ) : ( ) = g : g( ) = ( ) si > si [ 0, ] 0 si = ± 4 si (, 5] Ejercicio En cada uno de los casos, graica la unción, halla sus raíces y estudia su signo. i) ( ) = ii) ( ) = 6 iii) ( ) = 7 iv) ( ) = v) ( ) = 4 4 Ejercicio A partir del gráico i) : ( ) Ejercicio 4 j : j( ) = e bosqueja el gráico de las unciones = e ii) : g( ) = e g iii) h : h( ) = e iv) i : i( ) = e A partir del gráico de j : j( ) = L bosqueja el gráico de las unciones: i) : ( ) = L( ) 4 ii) g : g( ) = L( ) iii) h : h( ) = L iv) i : i( ) = L( ) Ejercicio 5 * i) Sean : R R ( ) = y g : R R g( ) = determina g ii) Sean : R R ( ) = y g : A R g( ) = L( ) determina g iii) Sean : R R ( ) = y g : R R g( ) = e determina g iv) Sean : R R ( ) = y g : A R g( ) = determina g Estudia el signo de las unciones que determinaste.