XIX OLIMPIADA MATEMÁTICA DE LA REGIÓN DE MURCIA. Fase Comarcal

Transcripción

1 XIX OLIMPIADA MATEMÁTICA DE LA REGIÓN DE MURCIA Fase Comarcal PROBLEMAS Y RESPUESTAS 24 de abril de 2008

2 Problema 1 6.º de PRIMARIA En la pared de la planta baja de un gran edificio de oficinas han empotrado los buzones de cada una de sus 250 oficinas, formando un rectángulo de 10 filas y 25 columnas. El frontal de cada uno de los buzones es cuadrado y los hay de dos colores: rojos y grises. El portero del edificio dice que hay exactamente un 15% de buzones de color rojo. a. Crees que ha realizado bien los cálculos? El portero no ha realizado bien los cálculos porque el número de buzones tiene que ser entero y el 15% de 250 es 37,5. b. Sabiendo que los buzones rojos que hay forman un cuadrado, cuál crees que es el número exacto de buzones rojos? (Ten en cuenta lo que ha dicho el portero). Da el resultado también en forma de porcentaje. El cuadrado más próximo a 37,5 es 36, por tanto el número exacto de buzones rojos es de 36, que representa el 14,4% del número total de buzones.

3 6.º de PRIMARIA Problema 2 En un juego infantil se dibuja en el suelo una fila de seis casillas como se ve en el dibujo Salida El juego consiste en lo siguiente: El niño se sitúa en la salida, justo antes de la primera casilla. El objetivo es llegar a la casilla sexta. Los movimientos permitidos son dos: pasar a la casilla siguiente, o bien saltarse una casilla y avanzar dos. Cuántas formas distintas hay de llegar a la última casilla. Escribe todas las posibles. Una forma de representar las posibilidades que hay es escribir los números de las casillas que pisa el niño: De una en una casilla Con un solo salto Con dos saltos Con tres saltos En total hay 13 posibilidades.

4 6.º de PRIMARIA Problema 3 Tenemos piezas con forma de triángulo equilátero y queremos construir un hexágono regular (Las piezas se utilizan enteras, no se pueden partir). a. Cuántas piezas se necesitan, como mínimo, para conseguirlo? Dibuja cómo hay que colocarlas. b. Si tenemos 27 piezas, cuál es el mayor hexágono regular que puedes construir? Cuántas piezas triangulares sobran? Explica cómo se colocarían. (No hace falta que dibujes todo el hexágono, sólo un trozo). c. Si las piezas triangulares tienen 1 m de lado, cuál es el perímetro del hexágono anterior? a) Se necesitan seis piezas. b) Se puede construir un hexágono regular con 24 piezas. Cada 4 forman un triángulo equilátero. Sobran, por tanto, 3 piezas. El perímetro de hexágono anterior es de 12 m.

5 Problema 4 6.º de PRIMARIA Un determinado juego consiste en dejar caer bolas por una rampa inclinada al final de la cual hay tres agujeros numerados con 1, 2 y 3. Están dispuestos uno junto a otro de forma que las bolas tienen que caer necesariamente en alguno de ellos (ver dibujo). La puntuación se calcula asignando a cada bola tantos puntos como indique el número del hoyo en el que ha caído. Además, cada vez que tengamos tres bolas que hayan caído, una en el agujero 1, otra en el agujero 2 y otra en el agujero 3, se añaden 6 puntos extras, con lo que en vez de contar como = 6 puntos, cuentan 12 puntos. Si no tenemos grupo de tres bolas que cuenten juntas como 12 puntos (o si no tenemos bolas en los tres sitios), al resto de las bolas sueltas se le asigna a cada una el número de puntos del agujero en el que esté. a. Con cuatro bolas, cuál es la máxima puntuación que puedes obtener? Explica cómo la consigues (Cuántas bolas hay en cada agujero) Una bola en el agujero 1, otra en el 2 y dos en el 3, en total 15 puntos. b. Si alguien ha obtenido 16 puntos, cuál es el número mínimo de bolas que ha tenido que tirar? Explica la respuesta. Cinco bolas: dos en el agujero 1, una en el 2 y dos en el 3. c. Si se tiran 3 bolas, qué es más probable, obtener 7 puntos u obtener 8 puntos? Razona la respuesta. Las tres bolas pueden caer de 10 formas: Agujeros Puntos En dos de las diez posibilidades se obtienen 7 puntos y en una 8. La probabilidad de obtener 7 es 1/5 y la de obtener 10 es 1/10, justo la mitad.

6 Problema 5 6.º de PRIMARIA Apartado 1) Los dos rectángulos que ves a continuación son iguales: a. Sobre el primero traza la diagonal AC y sombrea uno de los dos triángulos que se han formado. b. Sobre el segundo une el punto M (punto medio del lado CD) con los vértices A y B. Sombrea el triángulo ABM. Cuál de los dos triángulos sombreados es más grande (tiene mayor superficie)? Razona la respuesta. Son iguales porque tienen la misma base (longitud del lado AB) y la misma altura (longitud del lado AD). Apartado 2) Los dos rectángulos que ves a continuación son iguales: a. Sobre el tercero une el punto S (un punto cualquiera del lado DC) con los vértices A y B. Sombrea el triángulo ABS. b. Sobre el cuarto une el punto R (un punto cualquiera del lado AD) con los vértices B y C. Sombrea el triángulo RBC. Cuál de los dos triángulos sombreados es el mayor (tiene mayor superficie)? Justifica tu respuesta Son iguales: El tercer triángulo tiene por base AB y por altura BC y el cuatro triángulo tiene por base BC y por altura AB.

7 Apartado 1. Problema 1 2.º de E S O En la pared de la planta baja de un gran edificio de oficinas han empotrado los buzones de cada una de sus 250 oficinas, formando un rectángulo de 10 filas y 25 columnas. El frontal de cada uno de los buzones es cuadrado y los hay de dos colores: rojos y grises. El portero del edificio dice que hay exactamente un 15% de buzones de color rojo. a. Crees que ha realizado bien los cálculos? El portero no ha realizado bien los cálculos porque el número de buzones tiene que ser entero y el 15% de 250 es 37,5. b. Sabiendo que los buzones rojos que hay forman un cuadrado, cuál crees que es el número exacto de buzones rojos? (Ten en cuenta lo que ha dicho el portero). Da el resultado también en forma de porcentaje. El cuadrado más próximo a 37,5 es 36, por tanto el número exacto de buzones rojos es de 36, que representa el 14,4% del número total de buzones. Apartado 2. Como sabes un tablero de ajedrez está formado por 64 casillas cuadradas distribuidas en 8 filas y 8 columnas (8 x 8 = 64). Añadimos una nueva fila de cuadraditos alrededor de todo él. a. Qué porcentaje de cuadraditos hemos añadido? Expresa el anterior tanto por ciento como fracción. A 64 cuadraditos le añadimos 36, que son el 56,25%. b. Para volver al tablero de ajedrez inicial, debemos suprimir las casillas que hemos añadido, en qué porcentaje disminuimos ahora el número de cuadritos? Si quitamos 36 de 100, quitamos el 36%.

8 Problema 2 2.º de E S O En un juego infantil se dibuja en el suelo una corona circular con siete casillas como se ve en el dibujo. El juego consiste en lo siguiente: El jugador se sitúa en el centro. El objetivo es, a partir de una de las casillas, dar una vuelta completa acabando en la casilla anterior a la que ha salido. Los movimientos permitidos son dos: pasar a la casilla siguiente, o bien saltarse una casilla y avanzar dos. No se puede retroceder nunca. Cuántas formas distintas hay de recorrer el circuito? Explícalo claramente. Si entramos en la casilla 1 y nos movemos en el sentido de las agujas del reloj tenemos los mismos 13 casos que el problema 2.º de sexto. Como se puede entrar por cualquiera de las siete casillas, y además, se puede recorrer el circuito en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, tenemos un total de 13x7x2=182 posibilidades.

9 Problema 3 2.º de E S O Tenemos piezas con forma de triángulo equilátero y queremos construir un hexágono regular (Las piezas se utilizan enteras, no se pueden partir). a. Cuántas piezas se necesitan, como mínimo, para conseguirlo? Dibuja cómo hay que colocarlas. Seis. b. Si tenemos 60 piezas, cuál es el mayor hexágono regular que puedes construir? Cuántas piezas triangulares sobran? Explica cómo se colocarían. (No hace falta que dibujes todo el hexágono, sólo un trozo). Con 9 piezas se tiene un triángulo equilátero. Por tanto con 54 piezas tenemos un hexágono y nos sobran 6 piezas. c. Si las piezas triangulares tienen 1 m de lado, cuál es el perímetro del hexágono anterior? Cada uno de los triángulos anteriores tiene lado 3 m, luego el perímetro es de 18 m. d. Tenemos cuatro de estas piezas para formar polígonos uniéndolas por uno de sus lados qué polígonos podrías obtener utilizando estas piezas (puedes usar las cuatro o menos)? Dibújalos. Podemos formar únicamente un triángulo equilátero, un paralelogramo o un hexágono cóncavo.

10 Problema 4 2.º de E S O Un determinado juego consiste en dejar caer bolas por una rampa inclinada al final de la cual hay cuatro agujeros numerados con 1, 2, 3 y 4. Están dispuestos uno junto a otro de forma que las bolas tienen que caer necesariamente en alguno de ellos (ver dibujo). Cada vez que tengamos cuatro bolas que hayan caído, una en el agujero 1, otra en el 2, otra en el 3 y otra en el 4, en lugar de tener =10 puntos, se cuentan 20 puntos. Cuando ya no tenemos grupos de cuatro bolas que podamos contar como 20 puntos al resto de las bolas sueltas se le asigna a cada una el número de puntos del agujero en el que esté. La puntuación final es la suma de los valores anteriores. a. Con seis bolas, cuál es la máxima puntuación que puedes obtener? Explica cómo la consigues, es decir, cuántas bolas hay en cada agujero. Una bola en el agujero 1, otra en el 2, otra en el 3 y tres en el 4, en total 28 puntos. b. Si alguien ha obtenido 35 puntos, cuál es el número mínimo de bolas que ha lanzado? Razona la respuesta. Ocho bolas: una en el agujero 1, una en el 2, dos en el 3 y cuatro en el 4. c. Disponemos de ocho bolas. Hemos tirado seis y han caído una en el agujero 1, otra en el 2, dos en el 3 y dos en el 4. Cuál es la probabilidad de que al lanzar las dos que nos quedan la puntuación final sea un número primo? Razona la respuesta. Con las dos bolas que faltan se pueden tener los 10 casos siguientes: Agujeros Puntos Son primos el 29 y 3l, luego la probabilidad es 3/

11 Problema 5 2.º de E S O Con la crisis económica la venta de productos se resiente. Hoy una tienda de muebles sólo ha tenido tres clientes. El dueño, que es aficionado a las matemáticas, observa lo siguiente: El primer cliente pagó una cantidad (en euros) de tres cifras distintas. El segundo gastó una cantidad con las mismas cifras que el primero, pero colocadas en orden distinto (ninguna está en el mismo sitio de antes). Curiosamente, el tercero también pagó una cantidad con idénticas cifras a las de los dos anteriores sin que en ningún caso estuviesen colocadas en el mismo sitio. Si el importe total de las tres ventas es una cantidad de cuatro cifras distintas entre sí, cuánto dinero se consiguió con las tres ventas del día? Razona la respuesta. (Aclaración: Ningún número de varias cifras empieza por 0) La cantidad que pagó el primer cliente se representa por abc y la que pagaron los otros dos se representan por bca y cab. La suma de las tres cantidades sería: (100 a + 10 b + c) + (100 b + 10 c + a) + (100 c + 10 a + b) = = 100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)= 111(a+b+c)=111 n (llamamos n=a+b+c). Como el importe total tiene cuatro cifras, n 10. Como a, b y c son distintos entre sí, tenemos que n 24. Comprobando si la suma 100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)= =111n da un resultado de cuatro cifras diferentes, para los valores de a+b+c=n desde 10 hasta 24, vemos que ha de ser n = 19. Por lo tanto, la suma abc + bca + cab = 2109 euros.