CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 4 CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición: La gráfica de una función diferenciable f es cóncava hacia arriba en el intervalo I si y sólo si f es creciente en I ; es cóncava hacia abajo en I si y sólo si f es decreciente en I Si f eiste, podemos decir que : i) Si f > 0 para todo I, f es cóncava hacia arriba en I ii) Si f < 0 para todo I, f es cóncava hacia abajo en I Definición: Se dice que el punto ( c, f ( c)) es un punto de infleión si y sólo si eiste δ > 0 tal c δ,c y cóncava en el sentido que la gráfica de f es cóncava en un sentido en ] ] opuesto en [ c, c + δ [ Si ( c, f ( c)) es un punto de infleión, entonces f ( c) = 0 o bien f (c) no eiste

2 Ejemplos: Describir la concavidad de la gráfica y hallar los puntos de infleión (si los hay) Sea = + Primera derivada: f ( ) = 4 Segunda derivada: f ( ) = 4 Como f ( ) > 0 para todo IR, f es cóncava hacia arriba en todo IR f no tiene punto de infleión Gráfica de f > f:=*^-*+; f := + > plot(f,=-4,y=-0);

3 Sea = Primera derivada: f ( ) = Segunda derivada: f ( ) = positiva para > 0 f () = 0 para = 0 negativa para < 0 Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en ] 0, [ f es cóncava hacia abajo en ],0[ Gráfica de f > f:=/; f no tiene punto de infleión f := > plot(f,=-,y=-,discont=true); Sea = ( ) Primera derivada: f ( ) = ( 4) Segunda derivada: f ( ) = 6( ) f ( ) = 0 positiva para ] 0, [ para = 0 y para = negativa para ]-,0[ y para ], [ Luego, f es cóncava hacia arriba en [ 0, ] f es cóncava hacia abajo en ],0] y en [, [ f tiene punto de infleión en = 0 y en =

4 Gráfica de f > f:=^*(-); f:= ( ) > plot(f,=-,y=-0); 6 4 Sea = + 6( ) Primera derivada: f ( ) = ( + ) ( ) Segunda derivada: f ( ) = ( + ) ]-,0[ y en ], [ positiva en f ( ) = 0 en los puntos = 0, = ± negativa en ]-,- [ y en ] 0, [ Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en [,0] y en [, ] f es cóncava hacia abajo en ], ] y en [, ] 0 f tiene punto de infleión en = 0 y en = ±

5 Gráfica de f = + 6 = = 9 = ( ) ( + ) 0 = ( ) 4 = 4 = + Hallar d supuesto que ( d, f ( d)) es un punto de infleión de = ( a)( b)( c) Solución: Primera derivada: f ( ) = ( b)( c) + ( a)( c) + ( a)( b) Segunda derivada: f ( ) = ( a b c) a + b + c De f ( ) = ( a b c) = 0, obtenemos un punto de infleión en = a + b + c ( b + c a)( a + c b)( a + b c) Luego, d = y f ( d) = 7 Hallar a y b dado que la gráfica de = a + b pasa por (,) y tiene un punto de infleión cuando = Solución: Primera derivada: f ( ) = a + b Segunda derivada: f ( ) = 6a + b Como la gráfica de f pasa por (,), tenemos que f ( ) = a + b = Como la gráfica de f tiene un punto de infleión cuando =, tenemos que f ) = 6a( ) + b = 0 (

6 a + b = Resolviendo el sistema, obtenemos = a y b = a + b = 0 4 Hallar d supuesto que ( d, f ( d)) es un punto de infleión de = ( a)( b)( c) Hallar c suponiendo que la gráfica de = c + tiene un punto de infleión en (, f ()) 6 Hallar a y b dado que la gráfica de punto de infleión cuando = + b = a pasa por,) ( y tiene un 7 Determinar A y B de manera que la curva y = A + B tenga un punto de infleión en (, 4) Trazados de curvas Ejemplos Graficar la función = 0 Solución: Primero determinamos los puntos críticos, de la primera derivada igualada a cero f ( ) = 0 = 0 ± + 80 ± 9 Resolviendo, obtenemos: = = 4 4 Luego, en donde = y =, tenemos los puntos críticos En segundo lugar, analizamos intervalos de crecimiento y de decrecimiento y valores etremos relativos, a partir del criterio de la primera derivada De este esquema se deduce que la función es creciente en los intervalos ], ] [, [ La función es decreciente en el intervalo [, ] y En =, tenemos un máimo relativo que vale f ( ) = y en = tenemos 449 un mínimo relativo que vale f ( ) = 4 En tercer lugar analizamos concavidades y punto de infleión Esto se logra de la segunda derivada

7 positiva en > = 4 es 0 en = 4 negativo en < Luego, la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo [, [ 4 hacia abajo en el intervalo ], ] y es cóncava Cuando se pueda, determinamos las intersecciones con los ejes coordenados, las simetrías y las asíntotas La gráfica de la función, usando Maple, es: > f:=/*^-/*^-0*-; > plot(f,=-44); Graficar la función = + Solución: Primera derivada 4( + ) () f ( ) = ( + ) Simplificando, obtenemos: 8 f ( ) = ( + ) Punto crítico: De 8 f ( ) = ( + ) = 0, se tiene: = 0 En = 0, tenemos el punto crítico Criterio de la primera derivada:

8 En el intervalo ],0], la función dada es decreciente En el intervalo [, [ función dada es creciente En = 0, tenemos un mínimo relativo de valor f ( 0) = 0 Segunda derivada: Simplificando, obtenemos: 8[ ( + )() ] [( + ) ] 8( + ) f ( ) = 0 la positiva en - < < 6 4 f ( ) =, la cual es 0 en = ± ( + ) negativa en - < < y en Luego, la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo [, ] hacia abajo en los intervalos ], ] y [, [ 6 En = ±, tenemos los puntos de infleión ( ±, ) 7 La gráfica de la función, usando Maple, es: > f:=*^/(^+); > plot(f,=-,y=0); < < y es cóncava 7 Graficar la función = + ( + ) Solución: De la primera derivada, obtenemos: 7 f ) = ( + ) (

9 La derivada se anula en = En este valor tenemos un punto crítico Ejercicios Para cada una de las siguientes funciones (i) hallar los puntos críticos, (ii) hallar y clasificar los valores etremos (relativos, en el etremo, absolutos), (iii) indicar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente, (iv) indicar la concavidad de la gráfica, (v) especificar los puntos de infleión y entonces (vi) dibujar la gráfica = ( ) Solución: (i) De f ( ) = ( ) = 0 obtenemos = Luego, (,0) es el punto crítico de la función dada Usando el criterio de la primera derivada, tenemos: (ii) En = la función tiene un mínimo relativo que vale f ( ) = 0 (iii)en el intervalo ],[, la función es decreciente En el intervalo ], [, la función es creciente (iv)de f ( ) = > 0 se deduce que la función es cóncava hacia arriba en todo IR (v) La función no tiene punto de infleión Gráfica de la función > f:=(-)^; > plot(f,=-,y=-8); f := ( )

10 = ( ) Solución: (i) De f ( ) = ( ) = 0, obtenemos = Luego, (,0) es el punto crítico de la función dada Usando el criterio de la primera derivada, tenemos: (ii) En = la función tiene un máimo relativo que vale f ( ) = (iii)en el intervalo ],[, la función es creciente En el intervalo ], [, la función es decreciente (iv)de f ( ) = < 0 se deduce que la función es cóncava hacia abajo en todo IR (v) La función no tiene punto de infleión Gráfica de la función > f:=-(-)^; f := ( ) > plot(f,=-,y=-);

11 = + + (i) De = 4 + = 0, obtenemos = y = Luego, (, 7) y (,) son los puntos críticos de la función dada (ii) La segunda derivada es f ( ) = 6 4 Como f ) = 6( ) 4 = < 0, la función f tiene un máimo relativo en ( =, de valor ( ) = ( ) ( ) + ( ) + = 7 f ( ) = 6( ) 4 = < f Como 0, la función f tiene un máimo relativo en =, de valor f () = () () + () + = (iii) Como ( ) = ( )( ) f >0 en los intervalos ], [ y ], [ es creciente en los intervalos ], ] y [, [ Como f ( ) = ( )( ) < 0 en el intervalo ],[ decreciente en el intervalo [,], la función, la función f es (iv) Luego, la función es cóncava hacia arriba, en el intervalo [, [ hacia abajo en el intervalo ], ] y cóncava (v) Como = 6 4 = 0 cuando =, la función f tiene un punto de 9 infleión en (, 7) Gráfica de la función > f:=^-*^++;

12 > plot(f,=-,y=-); f := ( ) f = 6 = = 8 = 9 = + ( + ) ( + ) = + 4 = + ( ) = + ( ) = ( + ) 4 = ( + ) = 6 = 7 = = + ( + ) 0 = + ( + ) = +