EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA. Proposiciones Previas. Dos hechos que se deben tener presentes:

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1 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA Sea un rimo imar y a Z. El Símbolo de Legendre ( a ) se define de la siguiente manera: ( a 0, if divide a a ) := 1, si existe x Z tal que x 2 a (mod ) y no divide a a 1, en otro caso. Si ( a ) = 1 decimos que a es un residuo cuadrático módulo. Si ( a ) = 1 entonces a es un no residuo cuadrático mod. Proosiciones Previas. Dos hechos que se deben tener resentes: (1) Como es rimo Z es un cuero, or lo que Z = Z {0} es el gruo multilicativo de los elementos invertibles mod. Tiene orden 1. En articular, todo entero a no divisible or satisface a 1 1 (mod ) (equeño Teorema de Fermat). (2) si f(x) K[x] tiene grado n, donde K es un cuero, entonces f(x) tiene a lo sumo n raíces Proiedades del Símbolo de Legendre (PSL). P LS1 El símbolo está definido módulo, es decir: Si a b (mod ), entonces ( a ) = ( b ). Demostración: Es una consecuencia inmediata de las roiedades básicas de la noción de congruencia. Se deduce de P LS1 que la función ( ) definida or 1

2 2 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA ( ): Z {0, ±1} a ( a) induce la función ( ): Z {0, ±1} a + Z ( a) La restricción de ( ) al gruo multilicativo Z = Z {0} de unidades o elementos invertibles de Z es un homomorfismo del gruo multilicativo Z en {±1}, or tanto un caracter de Z. Es el único caracter cuadrático (de orden 2) del gruo de caracteres de Z. Si a Z, es frecuente el abuso de notación siguiente: ( a ) en lugar de ( a). Observe también que a es un cuadrado en Z si, y sólo si, cualquier entero reresentante de a en Z es un residuo cuadrático módulo. P SL2 (La roiedad de Euler del Símbolo de Legendre). a Z, ( a ) a 1 2 (mod ). Demostración: (1) (Gauss) Sea rimo imar. Sea C = {1,, 1 2 }. Si a y b C; a b, entonces a 2 b 2 (mod ) (verifíquelo). Sigue que existen al menos 1 2 cuadrados en Z. (2) Suonga que ( a ) = 1. Sea x Z t. q. x2 a (mod ). Entonces a 1 2 (x 2 ) 1 2 x 1 1 (mod ) donde la última congruencia se cumle or el equeño teorema de Fermat ues no divide a a (i.e. la roiedad de Euler se cumle ara residuos cuadráticos módulo ). de la igualdad siguiente, que se cumle en Z [x] x 1 1 = (x )(x 1 2 1), y de la Proosición revia, se deduce que ambos olinomios del lado derecho tienen exactamente 1 raíces en Z 2. Como hay al menos 1 cuadrados en Z 2 y todos son raíces del olinomio

3 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA3 (x 1 2 1), se concluye que los no cuadrados de son exactamente las raíces del olinomio (x ), lo que concluye la demostración de la roiedad de Euler P SL3 (El símbolo de Legendre es multilicativo)): a, b Z, ( ab ) = ( a )( b ). Demostración: Se deduce de la roiedad de Euler del Símbolo de Legendre ues la función Z Z a a 1 2 (mod ) satisface (ab) 1 2 (mod ) = a 1 2 (mod )b 1 2 (mod ) Ejercicio 1 (1) Haga la lista de todos los residuos cuadráticos módulo ara = 3, 5, 13 and 19. (2) Deduzca el valor de ( 7 ) 19 (3) Use la roiedad de Euler del símbolo ara calcular ( 2 ) and 31 ( 3 ). 31 (4) Sea RC =: {a Z ( a) = 1}; RC := {a + Z ( a) = 1}. Demuestre que RC es un subgruo de índice 2 en Z. (5) Comlete los detalles de la demostración de la Proiedad de Euler del símbolo de Legendre. (6) Prueba moderna de PSL1,2 y 3: Verifique: m > 0 Z, la función e(m) = elevar a la m e(m): Z Z x x m es un endomorfismo de Z. La imagen de e(2) := e(2)(z ) es el conjunto de cuadrados en Z ; el conjunto de residuos cuadráticos mod es el conjunto de enteros reresentantes de los elementos de la imagen de e(2)).

4 4 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA Como el kernel de e(2) = {±1 + Z}, del rimer Teorema de Isomorfismos de gruos se deduce que la imagen de e(2) = e(2)(z ) es un subgruo de Z con 1 2 elementos. La multilicatividad del símbolo de Legendre(PSL3) se deduce (ara enteros no divisibles or ) del hecho que el cociente es isomorfo al gruo {±1} (orque es un Z e(2)(z ) gruo de dos elementos). PSL2 es consecuencia de que la siguiente sucesión es exacta: e(2) Z 1 Z e( 1 ) 2 1. La Ley de Recirocidad Cuadrática (LRC) Teorema. Sea un rimo imar. Entonces: { (1) ( 1 1 ) = ( 1) 2 1, si 1 (mod 4) = 1, si 1 (mod 4) { (2) ( 2) = ( 1) , si ±1 (mod 8) = 1, si ±3 (mod 8) (3) Sea q otro rimo imar. Entonces ( q 1 q 1 ) = ( 1)( 2 2 ) ( { ( q ) = ), si ó q 1 (mod 4) q ), si y q 1 (mod 4) ( q Ejercicio 2 (1) Demuestre el item (1) of LRC. (2) verifique que el item (2) de LRC se cumle ara todo rimo imar 17. (3) Use LRC y la roiedad multilicativa del símbolo ara obtener el valor de ( 2). (4) Dado que 3617 es rimo, use la LRC ara calcular ( a ) ara 3617 a = 11, 25, 40 y 41.

5 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA5 (SJ) 2. LRC ara el símbolo de Jacobi (SJ) Sea a Z; n > 1 imar. Sea n = 1 k la factorización de n como roducto de rimos. El símbolo de Jacobi ( a ) se define como n ( a ) := i=k n i=1 ( a i ). Proiedades de SJ: El símbolo de Jacobi comarte las roiedades (1) y (3) del Símbolo de Legendre, ero no la roiedad de Euler de SL (or qué?). De modo que: (1) Si a b (mod n), entonces ( a n ) = ( b n ). (2) a, b Z, ( ab n ) = ( a n )( b n ). LRC ara SJ Teorema. Sea n > 1 imar. Entonces: { (1) ( 1 1 ) = ( 1) 2 1, sin 1 (mod 4) = n 1, si n 1 (mod 4) { (2) ( 2 ) = ( 1) n , si n ±1 (mod 8) = n 1, si n ±3 (mod 8) (3) Sea m n imar. Entonces ( m n 1 m 1 ) = ( 1)( 2 2 ) ( n { ( n m ) = n ), si n ó m 1 (mod 4) m ), si n y m 1 (mod 4) Ejercicio 3 ( n m (1) Demuestre las dos roiedades de SJ enunciadas arriba. (2) El siguiente ejercicio es sobre como se deriva LRC ara SJ a artir de LRC. (a) Sea k > 1. Defina f como la funciíon f : 1 + kz Z. 1 + xk x En otras alabras f : 1 + kz Z a a 1. k Sea π la royección canónica π : Z Z k. Sea h = π f. Demuestre que h(ab) = h(a) + h(b), a, b 1 + kz.

6 6 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA (b) Use la arte (a) y LRC de Gauss ara demostrar LRC de Jacobi. 3. El lema de Gauss en la demostración de LQR Lema de Gauss: Sea un rimo imar y a un entero no divisible or. Considere los enteros a, 2a, 3a,..., 1 a y sus menores residuos 2 ositivos módulo. (Estos residuos son todos diferentes, or lo que hay ( 1)/2 de ellos.) Sea m el número de estos residuos que son mayores que /2. Entonces ( ) = ( 1) m. a El Lema de Gauss es usado en varias de las ruebas LRC. La más común y simle alicación es la demostración del item (2) de LCR, como mostramos a continuación. ( ) Sea C = {1, 2,, 1 }. Según el lema de Gauss 2 = ( 1) m, 2 donde m = {i S 2i mod S} = {i [ 1 2 ] 1 < 2i 1} 2 = [ 1 2 ] [ 1 4 ] donde [x] denota la arte entera de x, esto es, El mayor entero que es menor o igual que x. La demostración concluye verificando que [ 1 ] [ 1 ] es ar si ±1 (mod 8) e imar si ±3 (mod 8). 2 4 Ejercicio 4 (1) Use LRC ara mostrar que: ( 3 ) = { 1, si ±1 (mod 12) 1, si ±5 (mod 12) y que ( 5 ) = { 1, si ±1 (mod 5) 1, si ±3 (mod 5) (2) Use el Lema de Gauss ara obtener el mismo resultado en cada caso.

7 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA7 4. Alicación de LRC a rimalidad PM3: Si q es un divisor de 2 k 1, donde k 3 es imar, entonces q ±1 (mod 8). Demostración: Suongamos que q divide a 2 k 1. Entonces 2 k 1 (mod q) = ( 2k q ) = (1 q ) = 1 = (2 q ) = (2 q )k = 1 El teorema de Proth: Sean A y t enteros ositivos, A < 2 t imar. Sea n = 1 + A2 t y a Z tal que ( a ) = 1, donde ( ) denota el símbolo de Jacobi. Las n n siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) n es rimo (2) (a n 1 2 ) 1 (mod n) Demostración: (a) (b) es consecuencia de la roiedad de Euler del símbolo de Legendre (PSL2)., (b) (a) : Sea un divisor de n. La hiótesis imlica que (a n 1 2 ) 1 (mod ) de donde (a A ) 2t 1 1 (mod ). Se deduce que el orden de a A módulo es 2 t (or qué?); sigue que 2 t divide a 1 = Z, es decir que 1 (mod 2 t ) > 2 t > n, donde la última desigualdad se deduce de A < 2 t y n = 1 + A2 t. Pero > n divisor rimo de n n es comuesto Ejercicio 5 (1) Demuestre que la conclusión del Teorema de Proth se cumle bajo la hiótesis A t+1.

8 8 EL SÍMBOLO DE LEGENDRE Y LA LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA (2) Sea A N, A imar y A 0 (mod 3). Sea n t = A 2 t + 1. Use el Teorema de Proth ara verificar que ara todo t > 1 tal que t+1 > A, tenemos las siguientes osibilidades: (a) (A, t) = (1 (mod 3), 1 (mod 2)) ó (A, t) = ( 1 (mod 3), 0 (mod 2)), en cuyo caso n t 0 (mod 3) y n t no es rimo. (b) (A, t) = (1 (mod 3), 1 (mod 2)) ó (A, t) = (1 (mod 3), 1 (mod 2)), en cuyo caso n t 1 (mod 3). En este caso demuestre que. n t es rimo 3 n t 1 2 = 1 (mod n t ) (3) Diseñe e imlemente un rograma que encuentre todos los rimos n t = A 2 t + 1, con 1 < t < 2000, ara A = 1, 5, 7, 11 ó 13. (4) Pruebe que si A = 3 entonces, ara cualquier conjunto finito de enteros {a 1,, a k }, existen infinitos t s tales que ( a i n t ) = 1 for all i = 1, 2,, k. (5) Tome esto en cuenta ara encontrar los rimos de la familia de los n t, con A = 3 y A = 9, 1 < t < (6) Primos de Sohie Germain. Un rimo es de Sohie Germain si q = 2+1 también es rimo. Sea un rimo imar. Demuestre que es un rimo de Sohie Germain si, y sólo si, 1 (mod 3) y 2 q 2 (mod q) (Sugerencia: Para todo divisor rimo Q de q considere los osibles valores de ord Q (2). Concluya que Q q.) Teorema (El Test de Lucas-Lehmer). Sea un rimo imar. Sea M = 2 1 un número de Mersenne. Sea A el anillo Z M [ 3]. Sea β la imagen de en A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) M es rimo. (2) β 2 1 = 1 (3) La sucesión S k definida or: S 0 = 4; S k+1 = Sk 2 2 si k 0, satisface S 2 0 (mod M ).