Física 2º Bach. Tema: Ondas 27/11/09

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1 Física º Bach. Tema: Ondas 7/11/09 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nombre: Problemas [6 PUNTOS: 1 / APARTADO] 1. Una onda ransversal se propaga en el senido negaivo de las X con una velocidad de 5,00 m/s. El foco emisor vibra 5 veces por segundo, con una ampliud de 30 cm. Deermina: a) La ecuación de la onda. b) La disancia enre dos punos desfasados en 13 π / 4 rad c) Los insanes en el que un puno siuado a,5 cm del origen iene velocidad nula.. Una masa de,75 kg se mueve sobre una superficie horizonal sin rozamienos, a la velocidad de 3,73 m s -1, y comprime un muelle elásico de masa despreciable y de consane recuperadora 938 N m -1 a) Deermina la velocidad de la masa cuando el muelle se ha comprimido 14,5 cm. b) Escribe la ecuación de movimieno de la masa si queda enganchada al muelle. c) Calcula el iempo que duró la compresión de 14,5 cm. Cuesiones [4 PUNTOS:1 / CUESTIÓN] 1. Al aplicar el principio de Huygens a la refracción de una onda que araviesa un plano de separación enre dos medios, se llega a que el ángulo que forma el frene de onda refracado con el plano: A. Es siempre igual que el ángulo del frene incidene con el plano. B. Es siempre menor que el ángulo del frene incidene con el plano. C. Con respeo al ángulo del frene incidene, depende de las velocidades de la onda en ambos medios.. Las ondas sonoras: A. Son ransversales. B. Se difracan en las esquinas C. Se ransmien en el vacío. 3. Cuál de las siguienes gráficas represena mejor la variación de energía cinéica de un oscilador armónico en función del iempo? A) B) C) Laboraorio [1 PUNTO] 1. En el esudio esáico de un muelle se represenan los punos de longiudes (l i ) frene a las fuerzas aplicadas (F i ), dando una línea reca. En el esudio dinámico del mismo muelle se represenan las masas (m i ) frene a los cuadrados de los períodos (T i ²), obeniéndose ambién una reca. Tienen ambas la misma pendiene? Razona la respuesa.

2 Problemas Soluciones 1. Una onda ransversal se propaga en el senido negaivo de las X con una velocidad de 5,00 m/s. El foco emisor vibra 5 veces por segundo, con una ampliud de 30 cm. Deermina: a) La ecuación de la onda. b) La disancia enre dos punos desfasados en 13 π / 4 rad. c) Los insanes en el que un puno siuado a,5 cm del origen iene velocidad nula. Daos: velocidad de propagación de la onda: v = 5,00 m/s frecuencia: f = 5 Hz = 5 s -1 ampliud: A = 30 cm = 0,30 m Incógnias: ecuación de la onda: insanes para x = -,5 cm, v = 0: y(x,) Ecuaciones: de una onda armónica unidimensional: velocidad de propagación de la onda: frecuencia: número de onda: frecuencia angular: y = A sen(ω ± kx) v = λ f f = 1 / T k = π / λ ω = π / T Cálculos: λ = v / f = 5,00 [m/s] / (5 [s -1 ]) = 0,0 m T = 1 / f = 1 / (5 [s -1 ]) = 0,040 s ω = π [rad] / (0,040 [s]) = 50 π rad/s k = π [rad] / (0,0 [m]) = 10 π rad/m y = 0,30 sen(50 π + 10 π x) [m] el signo es posiivo porque la onda se desplaza en senido negaivo del eje X. b) El desfase es Δφ = Δ(ω + kx) 13 π / 4 = (50 π + 10 π x ) (50 π + 10 π x 1 ) 13 π / 4 = 10 π Δx Δx = 13/40 = 0,35 m Análisis: El desfase corresponde a (13 π / 4) / π = 13 / 8 λ. Como λ = 0,0 m, Δx = 13 / 8 0,0 m = 0,35 m c) La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación con respeco al iempo:

3 v = dy / d = 15 π cos(50 π + 10 π x) [m/s] Susiuyendo x = -0,05 [m], porque se desplaza hacia la izquierda, y v = 0 0 = 15 π cos(50 π + 10 π (-0,05)) 50 π π / 4 = arcos 0 = π / [rad] = 0,015 s La velocidad vuelve a anularse cada medio período. El iempo en general sería siendo n = 0, 1,... = 0, ,00 n [s] Análisis: La onda arda un iempo = x / v = 0,05 [m] / 5,0 [m s -1 ] = 0,0050 s en alcanzar el puno. Ése oscila hasa alcanzar su elongación máxima en la que v = 0, en un iempo igual a T / 4 = 0,040 [s] / 4 = 0,010 s. Por ano, el iempo oal es: T = 0, ,010 = 0,015 s. Si se hubiese omado la coordenada del puno como posiiva, x = 0,05 [m], el iempo obenido hubiese sido 0,005 s, pero sería incongruene con la ecuación que se omó el signo posiivo ya que la onda se desplazaba en senido negaivo de las X. Si se hubiese empleado como ecuación de onda: y = A cos(ω ± kx) el iempo hubiese dado sólo 0,005 s porque en esa forma de la ecuación, la velocidad se anula para el comienzo de la vibración ya que pare del puno de elongación máxima. No parece muy lógico para una onda ransversal que se propaga por una cuerda donde las posición inicial de los punos es la de equilibrio.. Una masa de,75 kg se mueve sobre una superficie horizonal sin rozamienos, a la velocidad de 3,73 m s -1, y comprime un muelle elásico de masa despreciable y de consane recuperadora 938 N m -1. a) Deermina la velocidad de la masa cuando el muelle se ha comprimido 14,5 cm. b) Escribe la ecuación de movimieno de la masa si queda enganchada al muelle. c) Calcula el iempo que duró la compresión de 14,5 cm. Como la única fuerza no conservaiva es la normal, el rabajo de las fuerzas no conservaivas es nulo (la fuerza normal es perpendicular al desplazamieno en odo el rayeco) y la energía mecánica se conserva. (E C + E P elasica ) inicial = (E C + E P elasica ) final La energía cinéica de una masa m que se mueve con una celeridad v, viene dada por E C = ½ m v. La energía poencial elásica de una parícula que se encuenra sujea a un muelle de consane de fuerza k, cuando se encuenra separado de la posición de equilibrio una disancia x, es E P elasica = ½ k x ½ m v 0 + ½ k x 0 = ½ m v f + ½ k x f ½,75 kg (3,73 m s -1 ) + 0 = ½,75 kg v f + ½ 938 N m -1 (0,145 m) = v,75 kg 3,73 m s N m 1 0,145 m f =,60 m/s,75 kg b) La ecuación de un MAS es x = A sen(ω + φ 0 )

4 Se calcula la ampliud a parir de la energía, enre el puno de equilibrio y el de máxima elongación: ½,75 kg (3,73 m s -1 ) + 0 = ½,75 kg 0 + ½ 938 N m -1 A,75kg 3,73 m/s A= =0,0 m 938 N m 1 La pulsación se puede obener de la velocidad máxima. La velocidad es la derivada de la posición con respeco al iempo: y es máxima cuando el coseno es 1 v = dx / d = A ω cos (ω + φ 0 ) = v máx A v máx = A ω 3,73 m/s = =18,5rad /s 0,0 m La posición inicial corresponde al puno de equilibrio con el muelle comprimiéndose. Para = 0 0 = A sen(φ 0 ) φ 0 = 0 ó φ 0 = π v 0 = A ω cos (φ 0 ) que es v 0 > 0 si φ 0 = 0 y v 0 < 0 si φ 0 = π. Si omamos como senido posiivo el de la compresión del muelle: φ 0 = 0 x = 0,0 sen(18,5 ) [m] c) Susiuyendo los valores en la ecuación, eniendo en cuena que la compresión es negaiva: 0,145 = 0,0 sen(18,5 ) (18,5 ) = arc sen (0,145/0,0) = 0,800 rad (18,5 ) = 0,800 = 0,800 18,5 =0,0434s Análisis: El iempo de compresión ha de ser inferior a la cuara pare del período, ya que el móvil no ha descrio ni la cuara pare de una oscilación. El período es T = π / ω = 0,340 s, y T / 4 = 0,085 s. Cuesiones 1. Al aplicar el principio de Huygens a la refracción de una onda que araviesa un plano de separación enre dos medios, se llega a que el ángulo que forma el frene de onda refracado con el plano: A. Es siempre igual que el ángulo del frene incidene con el plano. B. Es siempre menor que el ángulo del frene incidene con el plano. C. Con respeo al ángulo del frene incidene, depende de las velocidades de la onda en ambos medios. El principio de Huygens dice que cualquier puno alcanzado por un frene de ondas se conviere en un nuevo foco emisor de ondas, y que el nuevo frene de ondas se consruye cómo la envolvene de

5 los frenes creados por los nuevos focos. Cuando un frene de ondas llega la un plano de separación enre dos medios, una pare de él lo araviesa y pasa al segundo medio, dando lugar a un frene de ondas refracado. Si c i es la velocidad de la onda en el medio incidene y c r es velocidad de la onda en el segundo medio, en el diagrama siguiene la línea AB represena el frene de onda incidene en B c el momeno en que uno de sus exremos oca el plano de i i separación. A r C Durane el iempo en el que la onda que viajaba por el c r D primero medio recorre la disancia BC = c i, la onda generada con foco en A se propaga por el segundo medio y recorre la disancia AD = c r. De los riángulos BAC y ACD se pode deducir BC sen i sen r = AC = BC AD AD = c i c r = c i c r AC Por lo ano, la respuesa correca es la C, ya que el ángulo de refracción r esá relacionado con el ángulo de incidene i por la ecuación anerior (ª ley de Snell).. Las ondas sonoras: A. Son ransversales. B. Se difracan en las esquinas C. Se ransmien en el vacío. B Una onda es ransversal cuando la dirección de oscilación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, y es longiudinal cuando ambas direcciones son paralelas. Si pensamos en el sonido producido por una superficie plana (la piel de un ambor, la panalla de un alavoz), la vibración de la superficie empuja a las parículas del medio (moléculas de aire) que se desplazan hasa chocar con oras vecinas y reboar, en la dirección en la que oscila la superficie y en la que se desplaza el sonido. Las oras opciones: A: Son ransversales las ondas sobre la superficie del agua o en una cuerda vibrane. C: No se ransmien en el vacío. Un disposiivo que lo confirma es un desperador colocado denro de un recipiene en el que se hace el vacío. Se hace sonar y va haciéndose el vacío en el recipiene. Se ve como el imbre del desperador sigue golpeando la campana, pero el sonido se va haciendo más débil hasa desaparecer. 3. Cuál de las siguienes gráficas represena mejor la variación de energía cinéica de un oscilador armónico en función del iempo? A) B) C)

6 A La ecuación de movimieno de un oscilador armónico es: x = A sen(ω + φ 0 ) Le velocidad es la derivada de la posición con respeco al iempo: v = dx / d = Aω cos(ω + φ 0 ) La energía cinéica de un oscilador armónico, será enonces = ½ mv = ½ m A ω cos (ω + φ 0 ) una función de ipo del cuadrado del coseno. Como el cuadrado de un número negaivo es posiivo, la opción correca es la A. Laboraorio 1. En el esudio esáico de un muelle se represenan los punos de longiudes (l i ) frene a las fuerzas aplicadas (F i ), dando una línea reca. En el esudio dinámico del mismo muelle se represenan las masas (m i ) frene a los cuadrados de los períodos (T i ²), obeniéndose ambién una reca. Tienen ambas la misma pendiene? Razona la respuesa. En el esudio esáico se usa la ley de Hooke: F = k Δl Si Δl se represena en el eje de ordenadas, y las fuerzas F en el eje de abscisas, la pendiene de la reca será: pendiene esudio esáico = p e = Δl / ΔF =1 / k igual al inverso de la consane elásica del resore. En el esudio dinámico, la ecuación empleada es la relación enre la consane elásica k y la consane armónica ω k = m ω = 4 π m / T En la represenación, las masas esán en el eje de ordenadas y los cuadrados de los períodos en el de abscisas. Enonces: pendiene esudio dinámico = p d = Δm / ΔT = k / 4 π Por lo ano la pendiene de la represenación derivada del esudio dinámico debería ser: disina a la obenida por el méodo esáico. p d = k / 4 π = 1 / (p e 4 π )

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