UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ELEMENTOS MECÁNICOS CARGADOS AXIALMENTE UTILIZANDO MDSOLIDS MONOGRAFIA Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA PRESENTA: ELVITA ROXANA SALAZAR DÍAZ DIRECTOR DE MONOGRAFIA: ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ XALAPA, VER. AGOSTO 2011

2

3 Índice Introducción 1 Capitulo 1: Elementos mecánicos cargados axialmente 3 Capitulo2: MDSolids 18 Capitulo 3: Resolución de problemas seleccionados 39 Comentarios finales 71 Bibliografía 72

4 Introducción Introducción La mecánica de materiales es un tema básico en muchos campos de la ingeniería, su objetivo principal es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que actúan sobre ellos. En el nivel universitario, particularmente en el caso específico del programa educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, la mecánica de materiales se enseña prácticamente al inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha dicho antes es un tema básico y necesario para los alumnos de las diversas áreas de la ingeniería. Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos de mecánica, la solución de problemas es parte importante del proceso de aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecánica de materiales el alumno deberá estar conciente de que sus estudios se dividirán en forma natural en dos partes: primero, comprender el desarrollo lógico de los conceptos, y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y la segunda parte se logra resolviendo los problemas propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden ser de carácter numérico o de carácter simbólico (algebraico). En los problemas numéricos las magnitudes de todas las cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos y se requiere trabajar con unidades específicas de medida (sistemas de unidades). Por su parte, los problemas simbólicos tienen la ventaja de que conducen a expresiones Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 1

5 Introducción matemáticas de aplicación general; una solución algebraica muestra la forma en la que cada variable afecta los resultados. El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la resolución de problemas mediante la utilización de un software educativo para estudiantes que toman los cursos del área de la mecánica de materiales, llamado MDSolids. El software dispone de módulos didácticos para el análisis de diversos tópicos de la mecánica de materiales, sin embargo, dentro de los alcances de este trabajo se hará uso del MDSolids aplicándolo únicamente en la resolución de problemas de elementos cargados axialmente, tema que se estudia como parte del programa de la experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales del programa educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 2

6 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente A los componentes estructurales que solo están sujetos a cargas de tensión o de compresión se les llama miembros cargados axialmente o miembros con carga axial. Las barras sólidas con ejes longitudinales rectos son los tipos más comunes, aunque los cables y los resortes helicoidales también soportan cargas axiales. Como ejemplo de elementos cargados axialmente podemos mencionar a los miembros de armaduras, las bielas de motores, los rayos de las ruedas de bicicletas y motocicletas, las columnas de edificios y los puntales en las monturas de motores de avión. Cambios de longitud de miembros cargados axialmente. Frecuentemente, al estudiar los cambios de longitud de miembros cargados axialmente se suele comenzar haciendo mención a los efectos de una fuerza axial actuando sobre un resorte helicoidal (figura 1.1). Cuando se aplica una carga a lo largo del eje de un resorte, éste se alarga o se acorta dependiendo de la dirección de la carga. En la parte superior de la figura 1.1 se ve un resorte helicoidal en su longitud natural L y en la parte inferior se aprecian los efectos al aplicar una carga de tensión. Debido a la acción de la carga, el resorte se alarga una cantidad y su longitud final resulta L+. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 3

7 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Figura 1.1 Longitud natural y deformación de un resorte helicoidal cargado axialmente. Si el material del resorte es elástico lineal, la carga y el alargamiento serán proporcionales, en forma de ecuación podemos expresar lo siguiente: Ecuaciones de carga y deformación, en donde k y f son constantes de proporcionalidad. La constante k se llama rigidez del resorte y la constante f se conoce como flexibilidad. Las barras cargadas axialmente se alargan bajo carga de tensión y se acortan bajo cargas de compresión, como lo hacen los resortes. Una barra prismática es un miembro estructural que tiene un eje longitudinal recto y una sección transversal constante en toda su longitud. Tenga en cuenta que los miembros estructurales pueden tener diversas formas de secciones transversales, algunas se muestran en la figura 1.2. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 4

8 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Figura 1.2 Barra prismática cargada axialmente y algunas de las diversas formas que puede tener su sección transversal. Figura 1.3 Barra prismática en su longitud natural y deformada bajo carga axial de tensión. El alargamiento de una barra prismática sometida a una carga de tensión se muestra en la figura 1.3. Si la carga pasa a través del centroide de la sección transversal en el extremo, el esfuerzo normal uniforme en secciones transversales alejadas de los extremos está dado por la fórmula: Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 5

9 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Esfuerzo normal o unitario deformación unitaria axial es: Si la barra se fabrica con un material homogéneo, la Deformación unitaria axial Supongamos también que el material es elástico lineal, lo que significa que sigue la ley de Hooke, es decir: Ley de Hooke obtenemos: Con la combinación de las relaciones básicas anteriores, Deformación axial Esta última ecuación se usará sólo si la varilla es homogénea (E constante), tiene una sección transversal uniforme con área A y está cargada en sus extremos. La ecuación muestra que el alargamiento es directamente proporcional a la carga P y a la longitud L e inversamente proporcional la rigidez axial AE de la barra. El cambio de longitud de una barra suele ser muy pequeño en comparación con su longitud, en especial cuando el material es un metal Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 6

10 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente estructural como el acero o el aluminio. El hecho que el cambio de longitud sea tan pequeño nos permite utilizar la longitud original de una barra (en lugar de la longitud final) en los cálculos. La rigidez y flexibilidad para una barra prismática se definen como: Cambios de longitud de barras no uniformes. Si la barra está cargada en otros puntos además de sus extremos,como en la figura 1.4, o si consta de varias porciones con distintas secciones tranversales y, posiblememente, distintos materiales, debe dividirse en parte que satisfagan de manera individual las condiciones requeridas para la aplicación de la fórmula de la deformación axial. Figura 1.4 (a) Barra con cargas externas actuando en puntos intermedios; (b), (c) y (d) diagramas de cuerpo libre donde se muestran las fuerzas axiales internas N 1, N 2 y N 3. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 7

11 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Podemos determinar el cambio de longitud de la barra sumando algebraicamente los alargamientos y acortamientos de los segmentos individuales, los cuales están dados por:, y como: Y, por lo tanto, la deformación total de la barra, se expresa Algunas veces, la fuerza axial y el área de la sección transversal varían continuamente a lo largo del eje de la barra, como se ilustra en la figura 1.5. Figura 1.5 En esta barra la fuerza axial y el área de la sección transversal varían continuamente a lo largo del eje de la barra obtenerse con la ecuación: El alargamiento del elemento diferencial, figura 1.5 (c), puede Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 8

12 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente sobre la longitud: El alargamiento de la barra entera se obtiene integrando Figura 1.6 Barra constituida por varios segmentos prismáticos, cada uno con fuerza axial, dimensión y material diferentes Por otra parte, cuando la barra consiste en varios segmentos prismáticos, cada uno con fuerza axial, dimensión y material diferentes, como en la figura 1.6, el cambio de longitud puede obtenerse con la ecuación: Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 9

13 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Estructuras estáticamente indeterminadas. Se les denomina estructuras estáticamente determinadas, a aquellas en las que sus reacciones y fuerzas internas se pueden determinar a partir sólo de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio (figura 1.7 (a)). Figura 1.7 (a) Barra estáticamente determinada (b) Barra estáticamente indeterminada La mayor parte de las estructuras son más complejas que la barra de la figura 1.7 (a) y sus reacciones y fuerzas internas no pueden encontrarse sólo por estática. En la figura 1.7 (b) se muestra una barra fija en ambos extremos, la cual tiene dos reacciones pero solo una ecuación de equilibrio. Como esta ecuación contiene dos incógnitas, no basta para encontrar las reacciones. Las estructuras de este tipo se clasifican como estáticamente indeterminadas. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 10

14 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Para analizar tales estructuras, debemos complementar las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones adicionales que contienen los desplazamientos de la estructura. : Figura 1.8 Análisis de una estructura estáticamente indeterminada En la figura 1.8 (a): Se requiere una ecuación adicional para resolver las dos reacciones desconocidas. La ecuación adicional se basa en que una barra con ambos extremos fijos no cambia de longitud. Al separar la barra de sus soportes figura 1.8 (b), ésta queda libre en ambos extremos y cargada por las tres fuerzas Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 11

15 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente R A, R B y P. Estas fuerzas ocasionan que la barra cambie de longitud una cantidad que debe ser igual a cero, es decir: La ecuación anterior se llama ecuación de compatibilidad. De la figura 1.8 (b) se tienen que: Resolviendo simultáneamente las ecuaciones: Se obtiene: Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 12

16 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Conocidas las reacciones, es viable determinar todas las otras fuerzas y desplazamientos. También podemos encontrar los esfuerzos en los dos segmentos de la barra directamente a partir de las fuerzas axiales. El análisis de una estructura estáticamente indeterminada implica plantear y resolver ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad. Efectos térmicos. Las cargas externas no son las únicas fuentes de esfuerzos y deformaciones en una estructura. Los cambios de temperatura producen dilatación o contracción del material, con lo cual se generan deformaciones térmicas y esfuerzos térmicos. En la mayoría de los materiales estructurales, la deformación unitaria térmica es proporcional al cambio de temperatura, de decir: Deformación unitaria térmica; α es el coeficiente de dilatación térmica del material y ΔT es la variación o cambio en la temperatura. Sabemos que: Por lo tanto, el esfuerzo y la deformación axiales por la variación de temperatura están dadas por las ecuaciones: y Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 13

17 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente En el análisis de las deformaciones unitarias térmicas debemos puntualizar que si la estructura no tiene restricciones (véase figura 1.9), es decir, que puede dilatarse o contraerse libremente no se producen esfuerzos por un cambio uniforme de temperatura en el objeto, aunque los cambios no uniformes sí pueden producir esfuerzos internos. Figura 1.9 Bloque de un material sometido a un aumento de temperatura Ahora bien, muchas estructuras tienen soportes que impiden la libre expansión y/o contracción, en cuyo caso se desarrollan esfuerzos térmicos aún cuando el cambio de temperatura sea uniforme en toda la estructura (figuras 1.10 y 1.11) Figura 1.10 Armadura estáticamente determinada, con un cambio uniforme de temperatura en cada miembro Figura 1.11 Armadura estáticamente indeterminada sometida a cambios de temperatura Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 14

18 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente El análisis de una estructura estáticamente indeterminada con cambios de temperatura (figura 1.12) se basa en los siguientes conceptos: ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y relaciones de desplazamiento. Figura 1.12 Barra estáticamente indeterminada con aumento de temperatura uniforme Desajustes y deformaciones previas Si un miembro de una estructura se fabrica con su longitud un poco distinta de la que está especificada, éste no se ajustará en la forma en que debiera y la geometría de la estructura será distinta de la planeada. A esos casos se les conoce como desajustes o malos ajustes. A veces se crean desajustes en forma intencional, para causar deformaciones en la estructura en el momento de construirla. Debido a que existen tales deformaciones antes de aplicar carga alguna a la estructura, se llaman deformaciones previas. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 15

19 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente Acompañando a las deformaciones previas hay esfuerzos previos, y se dice que la estructura está preesforzada. Los rayos de ruedas de bicicleta (se torcerían si no estuvieran preesforzados), las caras pretensionadas de las raquetas de tenis, las partes de maquinaría ajustadas por encogimiento y las vigas de concreto preesforzados son algunos ejemplos comunes de elementos mecánicos preesforzados. Si una estructura es estáticamente determinada (figura 1.13) los desajustes pequeños en uno o más miembros no producirán deformaciones ni esfuerzos, solo habrá diferencias respecto a la configuración teórica de la estructura. Figura 1.13 Estructura estáticamente determinada con un pequeño desajuste El caso es muy distinto si una estructura es estáticamente indeterminada, porque la estructura no tiene libertad de adaptarse a los desajustes (así como no tiene libertad de adaptarse a ciertos cambios de temperatura). El análisis de una estructura estáticamente indeterminada con desajustes y deformaciones previas se hace en la misma forma general que las Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 16

20 Capítulo 1 Elementos mecánicos cargados axialmente que previamente se describieron para cargas y cambios de temperatura (ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad, relaciones fuerza-desplazamiento y temperatura-desplazamiento). Para preesforzar una estructura se requiere que una o más partes de ella se estiren o compriman respecto a sus longitudes teóricas. Una forma sencilla de producir un cambio de longitud es apretar un perno o un tensor de tornillo. El paso de las roscas p es la distancia de una rosca a la siguiente. Figura 1.14 Perno Cada vuelta completa del tensor acorta o alarga el cable la distancia 2p, siendo p el paso de las roscas. Figura 1.15 Tensor de tornillo de doble acción. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 17

21 Capítulo 2 MDSolids Capítulo 2 MDSolids MDSolids es un software educativo para estudiantes que toman el curso de Mecánica de los Materiales (también denominada Resistencia de Materiales y Mecánica de Sólidos Deformables). Este curso es normalmente una parte de la mecánica aplicada, en diversos programas de ingeniería. El software dispone de módulos didácticos para análisis de vigas estáticamente determinadas, miembros en torsión, columnas, estructuras sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones transversales, y el círculo de Mohr, incluyendo el análisis de las transformaciones de esfuerzo. La hipótesis del concepto MDSolids es que los estudiantes están más interesados en la comprensión de los problemas de tarea específicos asignados por sus profesores, y que los estudiantes usarán el software educativo si esto les ayuda con sus preocupaciones de curso inmediatas. En el proceso, el software puede ayudar a desarrollar el problema que soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio fácil de usar y de investigar un número mayor de problemas y variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue desarrollado con varios objetivos en mente: Versatilidad Comunicación visual Facilidad de Entrada Explicaciones a base de texto Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 18

22 Capítulo 2 MDSolids Versatilidad MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos enseñados en un curso típico de mecánica de materiales. Estas rutinas son agrupadas en doce módulos, similares a capítulos que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos comunes disponibles actualmente. Dentro de los módulos, cada rutina soluciona los tipos de problemas clásicos de la mecánica de materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensión, de la más fundamental en el conocimiento, la comprensión, y del tipo de aplicación a problemas más complejos que requieren el análisis y la síntesis. Facilidad de entrada La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto MDSolids. La solución de problemas de mecánica de materiales es bastante confusa para los estudiantes. Para se eficaz, el software no debe aumentar la confusión. Idealmente, el estudiante debería ser capaz de definir un problema de forma intuitiva y directamente de un libro sin la necesidad de un manual de usuario. MDSolids, proporciona señales gráficas para guiar a los usuarios en la entrada de datos. Las ilustraciones se pueden ajustar fácilmente para que la pantalla de entrada de MDSolids se vea muy similar a la ilustración de los libros de texto. Varias unidades (por ejemplo, las unidades de esfuerzo, las unidades de longitud) están disponibles y los factores de conversión están presentes para asegurar la consistencia dimensional. Comunicación visual En cada rutina de MDSolids cuenta con una imagen, dibujo o gráfico que representa gráficamente los aspectos importantes del problema. Los Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 19

23 Capítulo 2 MDSolids dibujos se utilizan para mostrar la dirección de los esfuerzos internos, las cargas aplicadas y las reacciones. Explicaciones a base de texto Muchos de los módulos MDSolids proporcionan explicaciones adicionales para describir con palabras cómo se realizan los cálculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar los procesos de pensamiento utilizados en la solución de problemas de la mecánica de materiales. Las explicaciones de texto son dinámicas y sensibles al contexto, diseñadas específicamente para el problema en particular en cuanto a los valores y las unidades registradas para el problema. Errores comunes en las ecuaciones de equilibrio, inconsistencia en las unidades y al manipular las ecuaciones se corrigen cuando el estudiante compara sus cálculos de la mano con las explicaciones de MDSolids. Características MDSolids ofrece al usuario opciones gráficas e intuitivas para todos los datos requeridos o unidades. En los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, por ejemplo, el usuario puede hacer clic sobre el botón de una flecha vertical dirigida hacia abajo y entrar en la magnitud de la carga para definir una carga concentrada descendente vertical en lugar de tener que acordarse de introducir un signo negativo para la carga. En la mayoría de los casos, cuatro unidades comunes (dos del sistema inglés y dos del sistema internacional) son dan para cada variable. Por ejemplo, la tensión puede ser calculada en psi, ksi, kpa, o MPa. El usuario es Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 20

24 Capítulo 2 MDSolids libre de mezclar las unidades de cualquier forma deseada. Por ejemplo, la sección transversal de una viga podría ser definida en milímetros, su longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en kn m, y presentar el esfuerzo de flexión en psi. Todas estas opciones para fuerzas y unidades se hacen con un simple clic en el botón correspondiente. Los conceptos de la mecánica de materiales son bastante difíciles sin necesidad de añadir confusión acerca de las convenciones de signo y sistemas de unidades. El software está escrito en Visual Basic para correr en el entorno de Windows; se requiere como mínimo una resolución SVGA (800 x 600) y para correrlo es suficientemente un ordenador MHz, pero algunos de los gráficos se benefician en una máquina más rápida. Figura 2.1 Pantalla principal de MDSolids Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 21

25 Capítulo 2 MDSolids Módulos Biblioteca de problemas (Problem Library) Contiene rutinas diseñadas para doce tipos comunes de los problemas frecuentemente utilizados para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Para cada tipo de problema, la rutina incluye preguntas típicas relativas a la estructura, las variaciones comunes (como el corte doble o cortante simple), y una imagen o dibujo que describe la geometría del problema. Después de que el estudiante hace clic en el botón Calcular, la rutina se prepara una explicación detallada del enfoque que se debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada suministrados por el usuario y las unidades. Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo de problemas que comúnmente se utiliza para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Estos problemas incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos problemas requieren especificar el diámetro de los pernos y sus configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las conexiones. Un problema de la viga y el puntal en cualquier configuración puede ser resuelto por este módulo. Entramado (Trusses) Armaduras estáticamente determinadas pueden ser analizadas para determinar fuerzas axiales internas. La entrada de datos es visual y sólo requiere de la definición mínima por parte del usuario. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 22

26 Capítulo 2 MDSolids Figura 2.2 Armadura estáticamente determinada Las dimensiones de la armadura se establecen mediante la creación de una red definida por el usuario de los puntos de nodo. Los miembros de la armadura son definidos con el mouse para dibujar las líneas que conectan los nodos deseados. El software comprueba los miembros a medida que son definidos para garantizar que los supuestos de idealización de armadura están satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados sólo en las articulaciones). Los apoyos y cargas también son definidos con movimientos del mouse. Los controles de software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de aceptar cargas sólo en las articulaciones. El etiquetado de las uniones se realiza automáticamente. Los ángulos de los miembros de la armadura se calculan y se muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del análisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de tensión, de compresión y de fuerza cero son indicados cada uno por un color diferente. Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados para los miembros de la armadura, o dado un límite de esfuerzos, el área de la sección transversal requerida para cada miembro puede ser calculada a partir de los resultados del análisis de armadura. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 23

27 Capítulo 2 MDSolids Indeterminado axial (Indet axial) En este módulo se consideran estructuras estáticamente indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos miembros. Los problemas de éste tipo son, por lo general, los que se indican a continuación: miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga aplicada en la unión, miembros de extremo a extremo con una separación entre los dos y sujetos a una variación de temperatura, miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros axiales conectados a una barra fija rígida que gira y un cerrojo que pasa por una manga con una tuerca que es apretada. Figura 2.3 Pantalla del módulo de estructuras indeterminado axial (miembros coaxiales) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 24

28 Capítulo 2 MDSolids Torsión (Torsion) La torsión de elementos con secciones transversales circulares es considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones diferentes de miembros de torsión están disponibles. El usuario puede definir un miembro de torsión simple (por ejemplo, un eje con un momento de rotación). Éste eje se muestra como una representación en tres dimensiones. Una cuadrícula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsión producida por un momento de rotación. La perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario pueda observar el eje desde varios puntos de vista. Figura 2.4 Torsión simple Opcionalmente, una fuerza axial también puede ser considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular, los efectos de la presión pueden ser incluidos. Esto permite a problemas con carga axial y efectos de torsión ser considerados. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 25

29 Capítulo 2 MDSolids Los cálculos de círculo de Mohr también pueden ser iniciados desde esta opción de torsión. Los valores estándar para los módulos de corte están disponibles para el usuario simplemente pulsando sobre el material deseado en un menú desplegable. Dos opciones de torsión toman en cuenta los problemas de transmisión de potencia. Una de estas opciones considera un solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opción considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje simple. Figura 2.5 Transmisión de potencia La opción de eje de potencia simple también incluye un motor animado y el movimiento de engranaje con reguladores simulados de modo que los usuarios puedan observar los efectos producidos por el cambio de alimentación del motor, la velocidad, o relación de engranaje. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 26

30 Capítulo 2 MDSolids Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato de definición flexible. El usuario introduce las variables conocidas y el software soluciona para el resto de las variables. El software incluye explicaciones adicionales que describen el procedimiento específico que debería ser usado para solucionar cada problema. Una cuarta opción de torsión considera un solo eje con múltiples momentos de torsión. Esta opción produce un diagrama de momento de torsión, un diagrama esfuerzo cortante y un diagrama de ángulo de giro. Figura 2.6 Eje de torsión con múltiples torques Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 27

31 Capítulo 2 MDSolids Vigas (Determinate Beams) Figura 2.7 Modulo de vigas estáticamente determinadas (Diagramas de fuerza cortante y momento flexionantes) El usuario puede definir a cualquier viga estáticamente determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble y empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente variable y momentos de flexión. Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin necesidad de la consideración de una convención de signos. Los diagramas que muestran la fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión son dibujados inmediatamente después de la entrada de una carga. Esto permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser añadida. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 28

32 Capítulo 2 MDSolids MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen: 1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio necesario para resolver las reacciones de la viga, 2) cómo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la fuerza de corte y diagramas de momento, y 3) la forma de calcular el área en cada parte del diagrama de fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza cortante, y como construir el diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortante. Las cargas se pueden introducir, ya sea para análisis sin factor de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la filosofía de diseño por esfuerzo permisible habitualmente encontrada en los textos de la mecánica de materiales. Las cargas con factor se utilizan en el diseño por resistencia para estructuras de acero y hormigón. Tres combinaciones de carga están disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L. Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posición específica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza cortante, momento, pendiente o la deflexión en ese punto. Flexión (Flexure) Si una sección transversal se define, el software puede mostrar la forma de la sección transversal y trazar la distribución de cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varían en la profundidad de la sección. El software incluye una pestaña desplegable en la que los usuarios puedan indicar una posición específica en la profundidad de la sección transversal y muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados para ese punto. En el cálculo del Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 29

33 Capítulo 2 MDSolids esfuerzo cortante, el valor de Q también se calcula para la posición elegida por el usuario. Figura 2.8 Diversas pantalla del modulo de flexión Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 30

34 Capítulo 2 MDSolids Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios específicos pueden ser calculados para secciones transversales compuestas. Además, las fuerzas axiales en la sección transversal también pueden ser consideradas de modo que las cargas combinadas puedan ser analizadas. El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrán resolver ejercicios de diseño de vigas para calcular el tamaño de viga necesaria. La flexión de formas asimétricas puede ser considerada. Propiedades de la sección (Section Properties) Los menús permiten al usuario calcular las propiedades de la sección transversal de 19 figuras genéricas diferentes. Las formas generales que se incluyen son: I, T, C, L, Z", caja, circular sólida, tubular y las formas rectangulares. También se incluyen formas dobles I, T, C y L. Los botones de visualización permiten al usuario hacer girar la forma a la orientación deseada. Por ejemplo, una forma de T se puede girar de modo que el tallo de la T señale hacia arriba. Esta característica permite a los usuarios hacer coincidir exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se esté analizando. Las propiedades de la sección calculada incluyen: localización del centroide, momento de inercia, módulo de sección, radio de giro, módulo plástico, momento polar de inercia y, momentos máximos y mínimos de Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 31

35 Capítulo 2 MDSolids inercia. La forma de la sección transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes centroidales. Figura 2.9 Modulo propiedades de la sección El módulo de elasticidad de la sección se puede introducir directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente podría pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software recuperará un valor de 10,000,000 de psi para el módulo de elasticidad. Las propiedades de sección también pueden ser calculadas para áreas transversales compuestas. Dos materiales diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes deseadas de las secciones transversales. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 32

36 Capítulo 2 MDSolids Para las secciones transversales compuestas, los resultados se dan en términos del método de área transformada para posibles transformaciones. MDSolids incluye las dimensiones y propiedades seleccionadas por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una lista de perfiles de acero estándar, en denominaciones usuales de los sistemas inglés (US) y métrico (SI). En cada análisis de sección transversal el programa genera una tabla con los parámetros calculados, que incluyen: 1) centroide y momentos de inercia, 2) eje neutro (y/o plano neutro) y módulo de la sección, y 3) producto de inercia. Para las áreas compuestas, el centroide y el momento de inercia están calculados con la conversión del material A en el material B y viceversa. Los cálculos de propiedades de sección actúan recíprocamente tanto con la viga, la flexión, como con la rutina de columna. Columnas (Columns) pandeo de Euler: Los cálculos de columnas se basan en la fórmula de MDSolids muestra dos vistas de pandeo, del eje fuerte y el eje débil, con las vistas de corte transversal correspondientes para cada columna. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 33

37 Capítulo 2 MDSolids Cualquier condición de soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo, empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro extremo de la columna. Figura 2.10 Módulo de pandeo de columnas La carga crítica de pandeo y el esfuerzo son calculados por el software, que además, muestra la dirección del pandeo de la columna. El usuario también puede agregar soportes intermedios en cualquier dirección que se pueden colocar en cualquier posición entre los apoyos de los extremos. Un gráfico de esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez se muestra y los resultados de las dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva. Opcionalmente, el usuario puede definir el límite de elasticidad del material y/o el límite de proporcionalidad de modo que el pandeo de Euler pueda ser evaluada. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 34

38 Capítulo 2 MDSolids estándar, el aluminio y/o madera. Se pueden realizar diseños de columnas utilizando el acero Figura 2.11 Diseño de columnas Círculo de Mohr (Mohr s circle) El análisis del círculo de Mohr para planos de esfuerzo y los momentos de inercia están disponible en MDSolids. Los esfuerzos normales en las direcciones x y y son especificados en términos de tensión o compresión y no como un número positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara x positiva del elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientación aparece para mostrar el resultado de las condiciones de esfuerzo según lo especificado por el usuario. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 35

39 Capítulo 2 MDSolids El círculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que corresponden a la orientación de los ejes x y y del elemento de esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para indicar la orientación de los esfuerzos principales en relación con el sistema de coordenadas xy, así como la orientación del esfuerzo cortante máximo. Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios una clara representación visual de la orientación o dirección de rotación del estado de esfuerzos para representar los planos de esfuerzos principales y de esfuerzo cortante máximo. Los esfuerzos en cualquier orientación arbitraria pueden ser obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario obtener los valores correspondientes en cualquier orientación arbitraria con simplemente un clic del ratón. Figura 2.12 Módulo de transformación por círculo de Mohr Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 36

40 Capítulo 2 MDSolids Los cálculos del círculo de Mohr se pueden obtener tanto desde el módulo de vigas estáticamente determinadas como de las partes del módulo de miembros de torsión de MDSolids. Los datos de planos de esfuerzos combinados automáticamente son suministrados desde estas rutinas al cálculo de círculo de Mohr. Los cálculos de esfuerzo plano se pueden obtener a partir de los datos de deformación normal y cortante. Dos tipos de galgas extensómetricas, rectangulares y en delta, que pueden ser analizadas en este modulo. Figura 2.13 Módulo de transformación por círculo de Mohr (galgas extensómetricas) Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes ortogonales más el producto de inercia. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 37

41 Capítulo 2 MDSolids Análisis General (General Analysis, Axial Torsion Beams) En este módulo se consideran estructuras axiales estáticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas. Figura 2.14 Módulo de análisis general Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 38

42 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados En este capítulo se presenta una selección de problemas de elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto Mecánica de Materiales, 5ª. edición de Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf y David F. Mazurek, editorial McGraw-Hill) cuya solución puede realizarse con la ayuda del MDSolids. Es conveniente hacer mención que para poder implementar el software en la resolución de los ejercicios, éstos deben adaptarse a las características de las rutinas disponibles que han sido diseñadas para problemas tipo de algunas ediciones de textos clásicos de mecánica de materiales. Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga clic en MDSolids Help Documents (Figura 3.1). Figura 3.1 MDSolids documentos de ayuda Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 39

43 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados En la ventana de la figura 3.1, seleccione MDSolids Navigator y haga clic en el botón Open y se abrirá como en la figura 3.2 (a). (a) (b) Figura 3.2 MDSolids Navigator El MDSolids Navigator tiene la intención de ayudarle a utilizar MDSolids en el contexto del estudio de la mecánica de los materiales. Usted encontrará una serie de libros de texto que figuran en la tabla de contenidos Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 40

44 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados (figura 3.2 (b)). Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y encontrará una lista de problemas que pueden ser resueltos y explicados por MDSolids. Haga clic en un número de problemas y el MDSolids Navigator le mostrará una breve descripción de los pasos que debe realizar para resolver el problema con la ayuda del software. En el caso de que la edición del libro de texto que utiliza en su curso no corresponda a la especificada por el programa deberá elegir problemas similares a los que se enlistan, por lo que sería conveniente contar con un ejemplar de ambas ediciones para realizar la comparativa. Esperando que estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes del curso de la experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales en lo concerniente al análisis de elementos mecánicos cargados axialmente, a continuación se presentan once ejercicios resueltos con MDSolids. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 41

45 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 1 (2.17) Dos varillas cilíndricas están unidas en B y son sometidas a la carga que se muestra en la figura. La varilla AB está hecha de acero (E=200 GPa) y la varilla BC de latón (E=105 GPa). Determine a) la deformación total de la varilla compuesta ABC, b) la deflexión del punto B. (Figura 3.1) Figura 3.3 Problema 1 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo librería de problemas (Problem library) Despliegue el libro deformación axial (Axial deformation) Despliegue miembros cargados axialmente (Segmented axial members) Despliegue miembros axiales verticales (Vertical axial members) Haga doble clic sobre la etiqueta diámetros específicos de una barra (Rod diameters specified) Seleccione el número de segmentos de la barra. Introduzca los datos y unidades. Haga clic en calcular (Compute) Observe los diagramas de cuerpo libre Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 42

46 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.4 Solución problema 1 a) b) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 43

47 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 2 (ejercicio 2.36) La longitud del ensamble mostrado disminuye in cuando se aplica una fuerza axial en los extremos por medio de placas rígidas. Determine a) la magnitud de la fuerza aplicada, b) el esfuerzo correspondiente en el núcleo de acero. Figura 3.5 Problema 2 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial) Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccionar la opción barras coaxiales (Coaxial Bars) Introduzca los datos y unidades. La carga es desconocida, pero los valores de la fuerza a compresión son conocidos para ambas barras. Marque la casilla al lado de los valores conocidos, el cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo indicando que datos deben de introducirse. Para las variables que se van a calcular deje la casilla en blanco. Establecer la dirección de la carga, ya sea hacia arriba (Up) o hacia abajo (Down) pero asegúrese de que la casilla junto a la carga no esté marcada. Haga clic en calcular (Compute) Seleccionar la opción de resultados (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 44

48 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.6 Solución problema 2 a) b) Al dar clic en el botón Show Equations (mostrar ecuaciones) se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.7, que incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por temperatura y fuerza axial, y a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de compatibilidad. El sistema de ecuaciones que forma la ecuación de equilibrio y la de compatibilidad se resuelven simultáneamente y se obtienen los valores de F 1 y F 2. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 45

49 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.7 Problema 2 (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 46

50 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 3 (2.37) El poste de concreto de 1.5m está reforzado con seis barras de acero, cada una con un diámetro de 28 mm. Si se sabe que E s = 200 GPa y E c = 25 GPa, determine los esfuerzos normales en el acero y en el concreto cuando se aplica al poste una carga céntrica axial P de kn. Figura 3.8 Problema 3 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial) Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccionar la opción barras coaxiales (Coaxial Bars) Introducir los datos y unidades. Si la carga es conocida, marque la casilla de carga (Load). El cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo, esto indica que se deben introducir los datos. Para las variables que se van a calcular deje la casilla de al lado en blanco. Establecer la dirección de la carga, ya sea hacia arriba (Up) o hacia abajo (Down) Hacer clic en calcular (Compute) Seleccionar la opción de resultados (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 47

51 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.9 Solución problema 3 y Al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones) se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.10, esto incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por fuerza axial, y a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de compatibilidad. El sistema de ecuaciones que forma la ecuación de equilibrio y la de compatibilidad se resuelven simultáneamente y se obtienen los valores de F 1 y F 2. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 48

52 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.10 Problema 3 (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 49

53 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 4 (2.41) Dos varillas cilíndricas, una de acero y la otra de latón se unen en C y están restringidas por soportes rígidos en A y en E. para la carga mostrada y sabiendo que E a = 200 GPa, determine a) las reacciones en A y en E, b) la deflexión en el punto C. Figura 3.11 Problema 4 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de análisis generales (General Analysis) Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccionar la opción deformación axial (Axial Deformation) Fije el número de elementos axiales Los cuadros de color amarillo son para introducir los datos conocidos. Los de color blanco son para los datos calculados. Introduzca los datos de los elementos y las unidades. Introduzca las fuerzas y sus unidades Introduzca en el nodo especificado los desplazamientos y sus unidades, si un nodo es un soporte rígido, establezca su desplazamiento especificado en 0.0, de lo contrario, los espacios especificados para los nodos deben estar en blanco Hacer clic en calcular (Compute) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 50

54 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados a) b) Figura 3.12 Solución problema 4 Podemos visualizar el comportamiento de la carga neta (fuerza axial), esfuerzo normal y deformación sobre cada segmento de las varillas si pulsamos el botón plots, como se muestra en las figuras 3.13, 3.14 y Figura 3.13 Diagrama de fuerza axial Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 51

55 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.14 Diagrama de esfuerzo normal Figura 3.15 Diagrama de desplazamiento Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 52

56 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 5 (2.47) La coraza de aluminio que se muestra en la figura está completamente unida al núcleo de latón, y el ensamble se encuentra libre de esfuerzo a una temperatura de 15ºC. Considere solo las deformaciones axiales y determine el esfuerzo en el aluminio cuando la temperatura alcanza 195º C. Figura 3.16 Problema 5 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial) Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccionar la opción barras coaxiales (Coaxial Bars) Introduzca los datos y unidades. Si la carga es conocida, marque la casilla de carga (Load). El cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo, indicando que deben de introducirse los datos. Para las variables que se van a calcular deje la casilla en blanco. Hagar clic en calcular (Compute) Seleccionar la opción de resultados (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 53

57 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.17 Solución problema 5 De igual manera que en algunos de los problemas anteriores al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones) se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.18, esto incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por temperatura y fuerza axial y, a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de compatibilidad. El sistema de ecuaciones que forma la ecuación de equilibrio y la de compatibilidad se resuelven simultáneamente y se obtienen los valores de F 1 y F 2. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 54

58 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.18 Problema 5 (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 55

59 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 6 (2.51) Una varilla que consiste en dos porciones cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos. La porción AB es de acero (E α = 200 GPa, α α =11.7 X 10-6 / ºC), y la porción BC está hecha de latón (E l = 105 GPa, α l =20.9 X 10-6 /ºC). si se sabe que la varilla se encuentra inicialmente sin esfuerzos, determine la fuerza de compresión inducida en ABC cuando la temperatura se eleva 50º C. Figura 3.19 Problema 6 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial) Sobre el menú opciones (Analysis Options) desplegar la etiqueta barras de extremo a extremo (End To End Bars) y seleccionar la opción con una fuerza en medio (with Force in Middle) Seleccione la orientación de la barra (Axial Member Orientation) y marcar vertical u horizontal. Introduzca los datos y unidades. Marque la casilla de los valores conocidos, el cuadro de entrada cambiará a color amarillo indicando que los datos deben de introducirse. Para las variables que se van a calcular deje la casilla en blanco. Haga clic en calcular (Compute) Seleccione la opción de resultados (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 56

60 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.20 Solución problema 6 Al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones) se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.21, esto incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por temperatura y fuerza axial y, a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de compatibilidad. El sistema de ecuaciones que forma la ecuación de equilibrio y la de compatibilidad se resuelven simultáneamente y se obtienen los valores de F 1 y F 2. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 57

61 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.21 Problema 6 (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 58

62 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 7 (2.60) A temperatura ambiente (20º) hay un espacio de 0.5 mm entre los extremos de las varillas mostradas en la figura. Posteriormente, cuando la temperatura alcanza 140º C, determine a) el esfuerzo normal en la varilla de aluminio, b) el cambio de longitud de la varilla de aluminio. Figura 3.22 Problema 7 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial) Sobre el menú opciones de análisis (Anlysis Options) desplegar la etiqueta barras de extremo a extremo (End To End Bars) seleccionar la opción con una abertura en medio (with Gap in Middle) Seleccione la orientación de la barra (Axial Member Orientation) y marque vertical u horizontal. Introduzca los datos y unidades. Marque la casilla de los valores conocidos, el cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo indicando que los datos deben de introducirse. Para las variables que se van a calcular deje la casilla en blanco. Introduzca la distancia de la abertura (Gap). No importa si es en A, entre las barras BC o en D. Haga clic en calcular (Compute). Seleccione la opción de resultados (Show Equations). Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 59

63 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados b) Figura 3.23 Solución problema 7 a) Al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones) se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.24, esto incluye la ecuación de equilibrio, las ecuaciones de deformación por temperatura y fuerza axial y, a partir de la ecuación geométrica de la deformación, la ecuación de compatibilidad. El sistema de ecuaciones que forma la ecuación de equilibrio y la de compatibilidad se resuelven simultáneamente y se obtienen los valores de F 1 y F 2. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 60

64 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.24 Problema 7 (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 61

65 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 8 (2.61) En un ensayo estándar a tensión se somete una varilla de aluminio de 20 mm de diámetro a una fuerza de tensión de P = 30 kn. Si ν = 0.35 y E= 70 Gpa, determine a) la elongación de la varilla en una longitud calibrada de 150 mm, b) el cambio en el diámetro de la varilla. Figura 3.25 Problema 8 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo librería de problemas (Problem library) Despliegue el libro propiedades de los materiales (Material Properties) Abra el libro relación de Poisson (Poisson s Ratio) Haga doble clic sobre la etiqueta especímenes redondos (Round specimen) Seleccione la pestaña b Introduzca los datos y unidades. Haga clic en calcular (Compute) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 62

66 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados b) Figura 3.26 Solución problema 8 a) Observe que en la ventana de solución de la figura 3.26 se tiene la posibilidad de ver una animación que nos permite visualizar la forma en que la barra se deforma bajo la acción de la carga axial. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 63

67 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 9 (2.65) El cambio de diámetro de un perno grande de acero se mide cuidadosamente mientras se aprieta la tuerca. Si se sabe que E = 200 GPa y v = 0.29, determine la fuerza interna en el perno, si se observa que el diámetro disminuye en 13 µm. Figura 3.27 Problema 9 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo librería de problemas (Problem library) Despliegue el libro propiedades de los materiales (Material Properties) Despliegue el libro relación de Poisson (Poisson s Ratio) Haga doble clic sobre la etiqueta especímenes redondos (Round specimen) Seleccione la pestaña c Introduzca los datos y unidades. Haga clic en calcular (Compute) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 64

68 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.28 Solución problema 9 (Nota: el signo negativo que aparece en la celda de la fuerza se debe a un pequeño error en la rutina, la carga que se ejerce sobre el perno es de tensión como se indica en la figura.) Observe que en la ventana de solución de la figura 3.28 se tiene la posibilidad de ver una animación que nos permite visualizar la forma en que el perno se deforma bajo la acción de la carga axial que se ejerce debido al apriete de la tuerca. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 65

69 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 10 (2.124) La varilla de aluminio ABC (E = 10.1 x 10 6 psi) que consiste en dos porciones cilíndricas AB y BC, será reemplazada con una varilla cilíndrica de acero DE (E = 29 x 10 6 psi) de la misma longitud total. Determine el diámetro mínimo requerido d para la varilla de acero si su deformación vertical no debe exceder la deformación de la varilla de aluminio bajo la misma carga y si el esfuerzo permisible en la varilla de acero no debe exceder 24 ksi. Figura 3.29 Problema 10 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo librería de problemas (Problem library) Despliegue el libro deformación axial (Axial deformation) Despliegue la etiqueta miembros cargados axialmente (Segmented axial members) Despliegue el libro miembros axiales verticales (Vertical axial members) Haga doble clic sobre la etiqueta diámetros específicos de una barra (Rod diameters specified) Seleccione el número de segmentos de la barra. Introduzca los datos y unidades. Haga clic en calcular (Compute) Observe los diagramas de cuerpo libre Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 66

70 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Figura 3.30 Solución parcial del problema 10 Para complementar la solución de este problema es necesario revisar por esfuerzo normal permisible y deformación axial permisible (véase figura 3.31). Revisión por esfuerzo normal permisible: Revisión por deformación axial permisible: Comparamos los valores de diámetro calculados y seleccionamos el mayor ya que satisface ambos criterios de diseño. Por tanto, el diámetro mínimo requerido es: Figura 3.31 Complemento a la solución parcial del problema 10 Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 67

71 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados Problema 11 (2.130) La barra rígida AD está soportada por dos alambres de acero de 1/16 in. de diámetro (E = 29 X 10 6 psi), un pasador y una ménsula en A. Si se sabe que los alambres estaban originalmente tensos, determine a) la tensión adicional en cada alambre cuando una carga P de 220 lb se aplica en D, b) la deflexión correspondiente en el punto D. Figura 3.32 Problema 11 Procedimiento de solución con MDSolids: Haga clic sobre el módulo de cargas indeterminadas axiales (Indet Axial) Sobre el menú opciones de análisis (Analysis Options) seleccione la opción miembros rígidos y dos barras (Rigid Member and Two Bars). Dibuje la configuración de la estructura, en relación con el soporte de pasador en el centro de la imagen. Introduzca los datos y unidades. Compruebe la casilla de al lado con valores conocidos, el cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo indicando que los datos deben de introducirse. Para las variables que se van a calcular deje la casilla de al lado en blanco. Si la carga es conocida, marque la casilla de carga (Load). El cuadro de entrada junto a él cambiará a color amarillo, datos que indican que se debe de introducir. Haga clic en calcular (Compute) Seleccione la opción de resultados (Show Equations) Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 68

72 Capítulo 3 Resolución de problemas seleccionados a) Figura 3.33 Solución problema 11 b) Al dar clic en el botón show equations (mostrar ecuaciones) se despliega el planteamiento para la resolución del problema, figura 3.34, esto incluye a la ecuación de suma de momentos, las ecuaciones fuerza-deformación y la ecuación de compatibilidad. Resolución de problemas de elementos cargados axialmente utilizando MDSolids Página 69