2 ECUACIONES DE BALANCE

Transcripción

1 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS 2 EUIONES DE NE alance egral y balance diferencial o balance de maa y/o energía on en general la ecuacione de arida ara lo modelo de roceo. En condicione dámica elocidad de elocidad de elocidad de cambio de maa enrada de maa alida de maa o energía en el o energía al o energía del iema iema iema uando e eá dieñando en general e conideran eo balance en eado eacionario, y or lo ano el lado izquierdo de la ecuación e cero. S embargo ee érmo e clae cuando no roonemo eudiar la dámica del roceo. Se uede lanear do aroximacione diferene: lo balance egrale y lo balance diferenciale. En lo rimero, el balance e lanea oberando al iema en do eado de iemo claramene earado or un eralo : maa o energia maa o energia maa o energia maa o energia denro del iema denro del iema que enra al iema que ale del iema a iemo a iemo enre y enre y or ejemlo ara un balance de maa M M M Oerando y alicando el eorema del alor medio m m ou M M ( m m ) m m ou ou dm m m ou Y omando 0 dm m m ou IM

2 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS En lo balance diferenciale e llega al mimo reulado ero el uno de arida e diferene, laneándoe direcamene el balance en un eralo diferencial de iemo : elocidad de elocidad de elocidad de cambio de maa enrada de maa alida de maa en el al del iema iema iema dm m m ou Ejemlo de iema de arámero globalizado eamo un ejemlo. Sea un anque de un agua con un flujo de enrada y oro de alida (Figura 2.): Fig. 2. anque de líquido de olumen, flujo olumérico de enrada y flujo olumérico de alida. laneamo un balance egral: maa de agua maa de agua maa de agua maa de agua denro del an que denro del an que que enra al an que que ale del an que a iemo a iemo enre y enre y IM 2

3 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS d i 0, l mimo reulado udo llegare laneando el balance diferencial. i ce, d En ee modelo, e la ariable de eado, y on la ariable de enrada (u) y e un arámero. Nuero modelo e una ecuación diferencial ordaria (EDO) y ara reolerla e neceia conocer la enrada en función del iemo, el alor de lo arámero y la condicione iciale (olumen del anque a = 0). odemo modificar nuero modelo y rabajar con la ariable alura de agua h en lugar de la ariable olumen. umiendo una ección conane, = h y enonce dh oniderando h Queda dh h hora h e la ariable de eado, e la ariable de enrada y y on lo arámero. Oro ejemlo: Reacor de mezcla comlea con reacción química + 2, r = k (Figura 2.2) IM 3

4 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS Fig. 2.2 Reacor conuo agiado ideal (RI). Del balance global de maeria d i ce, d De lo balance ara cada comonene omo d d d d d d r r r uiuyendo d d d k k k IM 4

5 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS En reumen la ecuacione del modelo on d d k d d 2k k Siendo la ariable de eado:,,, la enrada:,, el arámero: k la condicione iciale: (0), (0), (0), (0) Mucha ece e oible (y deeable) roducir imlificacione. or ejemlo, i el olumen e conane deaarece una de la ecuacione y aa a er un arámero del iema. O or ejemlo i e muy ala uede coniderare como conane y la céica aa a eudo rimer orden r = k deaareciendo aimimo la ecuación diferencial correondiene a. El modelo queda enonce d d k' k Oro ejemlo: anque agiado con calefacción (Figura 2.3). Del balance de energía de E E Q W Dereciando la energía céica y oencial: du U U Q W El rabajo oal obre el iema uede exreare: W W IM 5

6 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS Q Fig. 2.3 anque agiado con calefacción. or lo ano du U U Q W Y recordando la defición de enalía dh d H H Q W c Dado que d d d Si el olumen e conane y no hay cambio en la reión media (buena uoición ara líquido) e llega a dh H H Q W Si e aume que no hay cambio de fae Suoniendo c conane Reecribiendo el balance d c omo la denidad e conane: ref d c d ref ref c H c H IM 6 ref c c c ref d ref ref Q W d ref c c ref c ref Q W d c Q W

7 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS d Q c W c Dereciando W d Q c En reumen el modelo del anque calefacor e d d Q c Donde la ariable de eado on:, la enrada on:,,, Q lo arámero on :, c juno con la iguiene uoicione: - e derecian energía céica y oencial y rabajo obre el iema - denidad conane - c conane con - Q e ranmie en forma anánea Si ademá e conane la rimer ecuación deaarece, = arámero del iema. y aa a er un Ejemlo de iema de arámero diribuido E abido que en un Reacor ubular de Flujo en ión la concenración y la emeraura arían con la oición en el reacor. Se raa or lo ano de un iema de arámero diribuido y el olumen de conrol ara realizar el balance diferencial debe er un ciero lo uficienemene equeño como ara coniderar que odo lo uno en ee elemeno de olumen ienen la mima roiedade. IM 7

8 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS Fig. 2.4 Reacor ubular de flujo ión. Un balance diferencial de maeria en el elemeno de olumen d z zz k Siendo k la elocidad de reacción química de conumo del comonene. ara 0, k Si el área raneral e conane d= dz u z z E una ecuación en deriada arciale (ED) y ara reolerla e neceia una condición icial y una condición de borde: En general la ED e reuelen dicreizando la dimenión eacial y coniriéndola en EDO. k z, 0 0z 0, Oro ejemlo: ercambiador de ubo concénrico (Figura 2.5). or er un iema de arámero diribuido el balance de energía ara el líquido lo realizamo en un elemeno diferencial de olumen, o bien en un dz, aumiendo un área raneral conane. S S h z rearreglando z H IM 8

9 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS donde H S h aor,, (0,), (,) ondenado, Fig. 2.5 Inercambiador de ubo concénrico. En forma imilar laneando balance ara la ared S h h donde S h y S h enemo aí un iema de ecuacione en deriada arciale. ara reolerla dicreizamo en N eralo. z (0) () (2) (j-) (j) (N) (0) () (2) (j-) (j) (N) Fig. 2.6 Dicreización del eacio ara reoler el iema de ED. IM 9

10 DINÁMI Y ONRO DE ROESOS omamo or ejemlo la aroximación enonce d j j j z H j j z z j j j,..., N o bien d j z z j j j j,..., N H H y análogamene d j j j j,..., N Modelo adimenionale Mucha ece e coneniene formular lo modelo adimenionalizando la ariable de eado. or ejemlo, ara el RI habíamo enconrado el iguiene modelo: d k Defiendo la ariable adimenional Se uede reecribir el modelo como donde x ambién odemo adimenionalizar la ariable iemo omando Enonce queda,0 dx d x E cluo defiendo el número de Damkhöler x,0 dx k x k x k x dx x x d IM 0