Capítulo II Modelo matemático de la columna de destilación

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Capítulo II Modelo matemático de la columna de destilación"

Transcripción

1 Capítulo II Modelo matemático de la columa de destilació 2.. Descripció del proceso El proceso e el que vamos a cetrar uestro estudio es ua columa despropaizadora de gra escala que forma parte de la secció de destilació de la refiería de Tarragoa de la empresa Repsol YF. A cotiuació se preseta u diagrama simplificado de la columa: T Itercambiador Figura 2.. Esquema de la columa despropaizadora. El obetivo de esta columa despropaizadora de la idustria petroquímica es la separació de los compoetes de los gases licuados del petróleo (LG), que proviee de ua uidad de Mero, e propao y butao. La columa despropaizadora es alimetada desde u depósito pulmó bao u cotrol de ivel.

2 4 Los compoetes del caudal de alimetació ( F) so butao, propao y etao. La composició cuatitativa del caudal es descoocida. Es bastate variable, depede de la procedecia del petróleo crudo (a partir del cual es hecho el LG), por lo que se ha hecho ua aproimació. El etao está e ua proporció pequeña comparada co los demás elemetos. Si embargo o es de despreciar y se tomará e cueta a lo largo de los aálisis. La composició del caudal de alimetació, estimada a partir de datos eperimetales se muestra a cotiuació e fraccioes molares: utao: 0.63 ropao: 0.34 Etao: 0.03 Esta composició es la que se tedrá como referecia e cada ua de los eperimetos de simulació del presete trabao. La columa dispoe de 36 platos, y la alimetació ( F ) etra a la altura del plato 8. El fluido de alimetació es ates de etrar a la columa es precaletado e u itercambiador, dode el fluido calefactor es el producto de fodo. El corriete de cabeza (T ) se codesa totalmete e el iterior de los tubos del codesador vertical y sale como líquido saturado. Se dispoe de u acumulador de cabeza, al que etra el codesado, cuyas dimesioes se ha calculado para u tiempo medio de residecia de uos cico miutos. La corriete de salida del acumulador se divide para dar lugar al refluo ( R ), que vuelve a la columa por el plato superior, y al destilado ( D ), que es uo de los productos de la columa. El ivel del acumulador se matiee cotrolado mediate u lazo de cotrol e el cual la variable maipulada es el caudal que sale del codesador. Todo el etao que llegue co la alimetació aparecerá e el producto de cabeza ( D ) y sobre el cual o tomar igua acció. El producto de fodo (, butao) sale de la columa, actuado su caudal como variable maipulada e u lazo de cotrol del ivel de fodo de la columa. El caletamieto de la columa se realiza a través de la vaporizació de parte del producto de fodo e u ebullidor, que utiliza como fluido calefactor vapor de agua a baa presió (4.4 bar). La presió e cabeza se cosidera costate e igual a 5 atmósferas o 4.7 bar. Alguas de las características más importates de los compoetes de la columa se ecuetra especificadas e el aeo 2.2. Hipótesis de partida del modelado matemático ara simular el comportamieto diámico del proceso, se ha hecho ua serie de suposicioes para simplificar el diseño del modelo matemático [].. Alimetació e u úico plato.

3 5 2. La alimetació etra como líquido saturado, auque se cotempla la posibilidad de ua vaporizació parcial o total de ésta. 3. No hay pérdidas de calor, la columa es adiabática. 4. El codesador es total, por lo que la composició del vapor que abadoa la columa por cabeza será la misma que la de la corriete de refluo y destilado. 5. El ebullidor es parcial, se vaporiza ua parte de la corriete de fodo. 6. El fluo de vapor se modela de dos formas distitas: Como fluo de vapor o costate calculado a partir del balace de eergía plateado e cada uo de los platos. Como fluo molar de vapor costate e todos los platos. 7. La pérdida de carga total de la columa se distribuye de forma lieal etre todos los platos. 8. El fluo de líquido se calcula a partir de la fórmula de Fracis para vertederos. 9. El líquido acumulado e cada plato es icompresible y se ecuetra como ua mezcla perfecta; la composició será la misma e todos los putos. 0. La fase líquida y vapor que abadoa el plato se ecuetra e equilibrio térmico, a la misma temperatura. Tambié está a la misma presió.. La fase líquido y vapor que abadoa el plato o está e equilibrio de fases debido a que se defie ua eficacia de Murphree. Se asume que es úica para todos los platos. 2. El equilibrio líquido vapor se represeta cosiderado: Fase vapor como ideal. Fase líquida o ideal: se emplea el modelo de Wilso para el cálculo del coeficiete de actividad. 3. Se desprecia el tiempo muerto e la corriete de vapor que va desde el último plato de la columa hasta el codesador, y tambié e la corriete de retoro del refluo a la cabeza de la torre. 4. Se cosidera la diámica del codesador y del ebullidor e el desarrollo del modelo de la columa de destilació. 5. No se cosidera acumulació de vapor a lo largo del sistema Modelo matemático de la columa: balaces de materia y eergía de los compoetes E este apartado presetaremos las ecuacioes diámicas de los compoetes de la columa y que so la base del modelo matemático que se ha desarrollado e el leguae Ecosimro. A mometo de realizar el modelado se tuviero e cueta dos alterativas: Modelado cosiderado el fluo de vapor variable. Modelado cosiderado el fluo molar de vapor costate. E los siguietes párrafos se hará ua descripció de los balaces de materia y eergía, así como el resto de ecuacioes, difereciado etre las dos alterativas de modelado cuado se requiera.

4 6 E los problemas de separació por etapas múltiples de sistemas e los que iterviee varias fases y varios compoetes, es preciso proceder a la resolució simultáea, o iterativa, de cietos de ecuacioes. Esto implica que es preciso especificar u úmero suficiete de variables de diseño de forma que el úmero de icógitas (variables de salida) sea eactamete igual a úmero de ecuacioes (variables idepedietes). Cuado esto ocurre, el proceso de separació está uívocamete especificado. Si se elige u úmero icorrecto de variables de diseño, puede que o eista ua solució o bie obteer solucioes múltiples o icosistetes. ero e la práctica, o se dispoe de libertad para elegir las variables de diseño. Lo más frecuete es ecotrarse e la situació e la que el úmero de etapas, las especificacioes de productos y la composició de la alimetació está fiados y debe dispoerse de las ecuacioes ecesarias para la resolució alaces e la base de la columa A la base de la columa llega el líquido procedete del plato superior y la corriete de vapor procedete del ebullidor. El caudal de la corriete de fodo o es costate ya que es la variable maipulada para cotrolar el ivel de líquido e la base de la columa. U esquema sería el siguiete: Figura 2.2. Esquema del fodo de la columa alace global de materia dm 0 L L reboiler (2.) Dode: M 0 masa de líquido acumulado e la base (kmol) L caudal de líquido del plato (kmol/h) caudal de líquido que sale del fodo de la columa co el que se cotrola el ivel (kmol/h) L reb caudal de líquido que etra e el ebullidor (kmol/h)

5 7 alace global al compoete d( M 0 0 ) L L reboiler (2.2) Dode: fracció molar del compoete e el fluo de líquido del plato superior 0 fracció molar del compoete e la masa de líquido acumulado e la base y e el producto de fodo El balace de materia se platea para ( ) compoetes, y la fracció molar de uo de los compoetes se calcula como: alace global de eergía (2.3) Tato e la opció de modelado e la que el fluo de vapor se cosidera costate, como e la que es variable, es ecesario platear el balace de eergía e estado o estacioario, es decir, diámico. Como la columa se cosidera adiabática se obtiee: d( M 0 h0 ) L h h 0 L reboiler h (2.4) 0 Dode: h etalpía del líquido del plato (kj/kmol) h 0 etalpía del líquido de la base de la columa (kj/kmol). Cálculo de la temperatura e el fodo de la columa La etalpía de la fase líquida calculada a partir de la ecuació aterior se puede epresar como ua fució cuadrática de la temperatura: h Atemp T 2 + temp T + Ctemp (2.5) Los parámetros A temp, temp y C temp se obtiee a partir de:

6 8 Atemp temp Ctemp k A k k C (2.6) Tabla 2.. Costates que relacioa la etalpía del líquido co la temperatura. Etao ropao utao k (kj/kmol ºC 2 ) A k (kj/kmol ºC) C k (kj/kmol) Así, a partir de la ecuació aterior, se obtiee la temperatura e la base de la columa. resió total e la base La presió e la base de la columa se calcula como la suma de las presioes parciales de los compoetes, que a la vez so los productos de la presió de saturació de cada compoete por su fracció molar. sat ( ) (2.7) Dode: presió total e la base (bar) presió parcial del compoete e la base (bar) sat presió de saturació de a la temperatura de la base (bar) alaces e u plato geérico Las ecuacioes que represeta el comportamieto de u plato geérico, so las mismas para toda la columa. E la descripció de los balaces se distiguirá los dos plateamietos de modelado citados ateriormete cuado sea preciso. U esquema de cualquiera de estos platos sería el siguiete:

7 9 Figura 2.3. Esquema de u plato geérico alace de materia dm L+ + V + F L V S (2.8) Dode: M masa de líquido acumulada e el plato (kmol) L caudal de líquido que cae al plato procedete del plato + (kmol/h) + F caudal de alimetació al plato (kmol/h) V caudal de vapor procedete del plato - (kmol/h) L caudal de líquido que abadoa el plato (kmol/h) V caudal de vapor que abadoa el plato (kmol/h) S caudal de etracció lateral del plato (kmol/h) alace global al compoete d( M ) L V y + F z L V y S (2.9) Dode: fracció molar del compoete e el líquido del plato. y + fracció molar del compoete e la corriete líquida del plato +. fracció molar del compoete e la corriete vapor del plato -. y fracció molar del compoete e la corriete vapor del plato. z fracció molar del compoete e la alimetació del plato. El balace aterior se platea para todos los compoetes meos para uo que se calcula a partir de:

8 20 alace de global de eergía N N (2.0) Cosideraremos u fluo molar de vapor variable. Se plateará el balace de eergía e estado o estacioario, y a partir de él se calculará la temperatura e cada plato, como ya se ha eplicado e el caso de la base de la columa. d( M h ) L+ h+ + V H + F h F L h V H S h (2.) Dode: h etalpía del líquido del plato (kj/kmol) h + etalpía del líquido del plato + (kj/kmol). F h etalpía de la alimetació del plato (kj/kmol) H etalpía del vapor del plato (kj/kmol) H etalpía del vapor del plato - (kj/kmol) De este modo se calcularía las etalpías de la fase líquida e todos los platos, meos e el último plato. Se tiee e cueta además que los cambios e la etalpía específica de la fase líquida so por lo geeral muy pequeños comparados co la etalpía total del plato. Esto sigifica que, ormalmete, el balace de eergía se puede reducir a ua ecuació algebraica a partir de la cual se calcula el fluo de vapor que abadoa el plato. or lo tato, fialmete el balace de eergía es el siguiete: Cálculo de la temperatura dh 0 (2.2) La temperatura se calcula, como e el caso de la base de la columa, a partir de: 2 (2.3) h Atemp T + temp T + Ctemp Dode: T temperatura e el plato.

9 2 Atemp temp Ctemp k A k k C De este modo se calcularía las etalpías de la fase líquida y las temperaturas e todos los platos, meos e el último plato. E este caso de fluo molar de vapor variable, la temperatura e cada plato o se obtiee a partir del balace de eergía como ocurre e el fodo de la columa, sio que se calcula la temperatura de burbua. La temperatura de burbua es aquella temperatura que está e equilibrio co ua composició del líquido coocida a ua determiada presió tambié coocida. or lo tato, e cada plato, el algoritmo de cálculo itera sobre la temperatura hasta que se cumple la siguiete codició: y (2.4) Es decir, hasta que la suma de las composicioes de la fase vapor del plato N sea igual a la uidad. Relació de equilibrio etre fases líquido vapor ˆ N L, sat Φ *, y, v, ˆ (2.5) Φ Dode: y fracció molar del compoete e el plato e equilibrio co *, L, v, Φ ˆ ˆ, Φ coeficiete de fugacidad del compoete e la fase vapor y líquido respectivamete e el plato sat, presió de vapor del compoete e el plato (bar) presió total e el plato (bar) fracció molar del compoete e el líquido del plato resió total e el plato E el caso de fluo molar de vapor costate, la presió e los platos e este modelo se calcula como la suma de las presioes parciales de cada compoete, que so a su vez el producto de la presió de saturació (fució de la temperatura e cada plato) y de la fracció molar de cada compoete e la fase líquida:

10 22 ( ) (2.6) sat, Dode: presió total e el plato (bar). presió parcial del compoete e el plato (bar). sat, presió de saturació de a la temperatura del plato (bar). fracció molar del compoete e el plato. Se calcula así e todos los platos meos e el último, e el que la presió se matiee fia a u valor. E el caso de fluo molar de vapor variable, se fia la presió e la cabeza de la columa a u valor dado y las presioes e el resto de los platos se calcula como la presió e el plato superior más ua pérdida de carga. + + (2.7) Dode: presió total e el plato (bar). + presió total e el plato + (bar) pérdida de carga etre el plato y el plato + (bar) érdida de carga e el plato La distribució de la pérdida de carga se cosidera lieal a lo largo de toda la columa y directamete proporcioal al caudal de vapor vivo. 2 V 0 (2.8) K Dode: V o caudal de vapor procedete del ebullidor (kg/h) K costate de proporcioalidad (kg/bar h) Lo aterior si embargo es ua aproimació y puede ser tomado como u parámetro a estimar a partir de datos eperimetales. Caudal de líquido que abadoa el plato Se calcula a partir de la fórmula de Fracis para vertederos segmetados: 2 / 3 Q 664 h ow (2.9) Lw

11 23 Dode: h ow altura de líquido sobre la cresta del vertedero (mm). Q líquido que cae del vertedero (m 3 /s) L w logitud del vertedero (m). Así, el fluo de líquido que cae de u plato al iferior es:.5 Q Lw( how, ) (2.20) Dode: Q caudal de líquido que abadoa el plato (m 3 /h). L logitud del vertedero (m). w h, altura del líquido sobre la cresta del vertedero (m). ow h ow, se calcula a partir de la siguiete epresió: Vl V plato how Aplato Dode: Vl volume de líquido e el plato (m 3 ). V volume del plato (m 3 ). plato A plato área activa del plato (m 2 ). Caudal de vapor que abadoa el plato, (2.2) El fluo de vapor que va hacia el plato siguiete se calcula a partir del balace de eergía e estado estacioario: V L h h V H h F h h (2.22) H h + ( + ) + ( ) + ( F ) alaces e el último plato Las corrietes que iterviee so las que se muestra e la gráfica. Figura 2.4. Esquema el último plato de la columa de destilació.

12 24 alace global de materia dm + (2.23) 36 V35 R L V Dode: M 36 masa de líquido acumulada e último plato (kmol). V 35 fluo de vapor procedete del plato iferior (kmol/h). R refluo de la columa (kmol/h). L fluo de líquido que abadoa el último plato (kmol/h). 36 V fluo de vapor que abadoa el último plato (kmol/h). 36 alace global al compoete ara ( ) compoetes: Dode: d( M 36 36) V y + R L V y (2.24) D fracció molar del compoete e el líquido del último plato. y 35 fracció molar del compoete e la fase vapor del plato 35. y 36 fracció molar del compoete e la fase vapor del plato superior. D fracció molar del compoete e el destilado. Como se produce la codesació total del vapor, ocurre que y alace global de eergía D 36 Tato e el modelo de fluo de vapor costate como variable, el balace de eergía e el último plato es e estado estacioario: dh36 0 (2.25) La temperatura se calcula de forma iterativa de maera que se cumpla la codició de que la suma de las fraccioes molares de los compoetes e la fase vapor sea igual la uidad. resió e cabeza La presió e cabeza se cosidera costate e igual a 5 atmósferas o 4.7 bar: 2.4. Modelado matemático del codesador El vapor que sale del último plato etra e el codesador dode se codesa totalmete. Se trata de u codesador vertical que utiliza como fluido refrigerate agua de proceso que circula por la carcasa.

13 25 A la hora de realizar la simulació se fia el caudal de refrigerate y su temperatura de etrada (0ºC), de maera que la temperatura de salida, que debe oscilar etre los 20ºC y 35ºC, se calcula a partir del balace de eergía. U esquema sería el siguiete: Figura 2.5. Esquema del codesador de cabeza de la columa. alace global de materia dm c V 36 L (2.26) c Dode: M C masa de codesado acumulada e el codesador (kmol). V fluo de vapor procedete del último plato (kmol/h). 36 L fluo de codesado que sale del codesador (kmol/h). C alace global al compoete Al producirse la codesació total del vapor que sale del último plato de la columa, la composició del codesado es la misma que la del vapor. (2.27) c y36 alace de eergía a la masa de codesado d( M chc ) V36 H 36 Qsub Lchc (2.28) Dode: M c masa de codesado e el codesador (Kmol). V 36 fluo de vapor del último plato (kmol/h). L c fluo de codesado (kmol/h). H 36 etalpía de la corriete de vapor del último plato (kj/kmol) h c etalpía de la corriete de codesado (kj/kmol). Q fluo de calor trasferido e el subefriamieto del codesado (kj/kmol h) sub

14 26 El calor puesto e uego e el subefriamieto se calcula a partir de: Qsub agua U sub Asub ( Tc T ) i it er (2.29) Dode: U sub coeficiete de subefriamieto (kj/m 2 ºC h). A sub área ocupada por el codesado (m 2 ). T c temperatura de salida del codesado (ºC). T it temperatura del agua correspodiete a la iterfase de codesació (ºC) agua er Cálculo de la temperatura de la corriete de codesado Se obtiee a partir de la etalpía calculada co el balace de eergía a la masa de codesado mediate ua fució cuadrática que relacioa la etalpía del líquido co su temperatura. alace de eergía a la masa de refrigerate ( refr d M refr h ) sal refr refr L ( h hetr refr ) sal (2.30) Dode: M refr masa de refrigerate e el codesador (kmol) refr h sal etalpía del refrigerate a la salida del codesador (kj/kmol) L refr : fluo de refrigerate (kmol/h) h etalpía del refrigerate a la etrada del codesador (kj/kmol) refr etr 2.5. Modelado matemático del acumulador El fluo de codesado que abadoa e codesador etra e u acumulador horizotal, cuyas dimesioes se ha calculado para teer u tiempo de residecia de aproimadamete cico miutos. Es u depósito de acumulació horizotal co ua etrada y ua salida, y se va a cosiderar mezcla perfecta. Figura 2.6. Esquema de u depósito de acumulació horizotal.

15 27 alace global de materia dm (2.3) L i L out Dode: L i caudal de líquido que etra al acumulador (kg/h). L out caudal de líquido que sale del acumulador (kg/h). M masa de líquido e el acumulador (kg). alace global de materia a (-) compoetes d( M out ) L i i L out out (2.32) Dode: fracció molar del compoete a la etrada. i out fracció molar del compoete a la salida. alace de eergía Dode: d( Mhout ) Lihi Lout hout h i etalpía del líquido a la etrada (kj/kg). h out etalpía del líquido a la salida (kj/kg). (2.33) La temperatura se calcula, como ya se ha eplicado ateriormete a partir de: h out Atemp T 2 out out + temp T out out + Ctemp out 2.6. Modelado matemático del ebullidor Se emplea u ebullidor tipo termosifó de circulació atural. Estos equipos puede ser itercambiadores verticales co vaporizació e los tubos o itercambiadores horizotales co vaporizació e la carcasa. La circulació de líquido a través del cambiador es mateido por la diferecia de desidad etre la mezcla bifásica de vapor y líquido e el itercambiador y por la fase líquida e la base de la columa. So los más ecoómicos para muchas aplicacioes, pero o so adecuados para fluidos muy viscosos y operacioes a alto vacío. Ua desvetaa que preseta estos ebullidores es que la base de la columa se debe elevar para proporcioar la carga hidrostática requerida para que tega lugar el efecto termosifó. Esto icremeta los costes de las estructuras soporte de la columa.

16 28 E este caso es u ebullidor termosifó horizotal co ebullició por la parte eterior de la bacada de tubos. El fluo de vapor de calefacció es ua variable idepediete que se puede maipular para propósitos de cotrol. U esquema sería el siguiete: Figura 2.7. Esquema del fluo de vapor de calefacció E realidad, el fucioamieto de u ebullidor total es similar al de u codesador total. or lo tato, los balaces de materia globales, a cada compoete y de eergía so iguales a los del codesador eplicado ateriormete.

Destilación. Columna de destilación

Destilación. Columna de destilación estilació Columa de destilació Plato Reboiler estilació mezclas biarias a separació requiere Ua seguda fase debe ser formada tal que las fases de liquido vapor está presetes pueda estar e cotacto e cada

Más detalles

Estado gaseoso. Mezclas de gases ideales presión parcial de un gas en una mezcla de gases ideales ley de Dalton

Estado gaseoso. Mezclas de gases ideales presión parcial de un gas en una mezcla de gases ideales ley de Dalton Estado gaseoso Ecuació de estado de los gases perfectos o ideales Mezclas de gases ideales presió parcial de u gas e ua mezcla de gases ideales ley de Dalto Feómeos de disolució de gases e líquidos leyes

Más detalles

C4 MODELADO Y SIMULACIÓN DINÁMICA EN ECOSIMPRO DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN DE ETANOL DE LA INDUSTRIA AZUCARERA.

C4 MODELADO Y SIMULACIÓN DINÁMICA EN ECOSIMPRO DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN DE ETANOL DE LA INDUSTRIA AZUCARERA. ª Reuió de Usuarios de EcosimPro, UNED, Madrid, 3-4 Mayo 200 C4 MODEADO Y SIMUACIÓN DINÁMICA EN ECOSIMPRO DE UNA COUMNA DE DESTIACIÓN DE ETANO DE A INDUSTRIA AZUCARERA. Rueda Ferreiro, Almudea. Cetro de

Más detalles

TEMA 5: Gráficos de Control por Atributos. 1. Gráfico de control para la fracción de unidades defectuosas

TEMA 5: Gráficos de Control por Atributos. 1. Gráfico de control para la fracción de unidades defectuosas TEMA 5: Gráficos de Cotrol por Atributos 1 Gráfico de cotrol para la fracció de uidades defectuosas 2 Gráfico de cotrol para el úmero medio de discoformidades por uidad Selecció del tamaño muestral 3 Clasificació

Más detalles

SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN

SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN I. CONTENIDOS: 1. Regresió lieal simple.. Iterpretació de gráficas de regresió. 3. Cálculo de coeficiete de correlació. 4. Iterpretació del coeficiete de correlació.

Más detalles

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:...... 1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros

Más detalles

Flash; Destilación diferencial; Destilación continúa binaria y multicomponente;

Flash; Destilación diferencial; Destilación continúa binaria y multicomponente; lash; estilació diferecial; estilació cotiúa biaria multicompoete; estilació lash estilació diferecial estilació cotiúa biaria estilació cotiua multicompoete a destilació flash o destilació e equilibrio,

Más detalles

) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1

) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1 ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA El objetivo básico de la iferecia estadística es hacer iferecias o sacar coclusioes sobre la població

Más detalles

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos

Más detalles

Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Química Dpto. de Operaciones Unitarias y Proyectos. Destilación. Fundamentos.

Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Química Dpto. de Operaciones Unitarias y Proyectos. Destilación. Fundamentos. Uiversidad de os Ades Facultad de Igeiería Escuela de Igeiería Química pto. de Operacioes Uitarias Proectos estilació. Fudametos. Prof. Jesús F. Otiveros Coteido Separació e Etapas Múltiples. Separació

Más detalles

CAPITULO 4 COMPARACIÓN DE REACTORES IDEALES Y REACTORES MÚLTIPLES

CAPITULO 4 COMPARACIÓN DE REACTORES IDEALES Y REACTORES MÚLTIPLES omparació de Reactores Ideales y Reactores Múltiples PITULO 4 OMPRIÓN DE RETORES IDELES Y RETORES MÚLTIPLES 4. INTRODUIÓN E este capítulo se comparará los reactores T y. Se diseñará baterías de reactores

Más detalles

ESTIMACION DE LA PRESION DE CONVERGENCIA, CONSTANTE DE EQUILIBRIO Y FASES DEL GAS NATURAL

ESTIMACION DE LA PRESION DE CONVERGENCIA, CONSTANTE DE EQUILIBRIO Y FASES DEL GAS NATURAL República Bolivariaa de Veezuela Miisterio del Poder Popular para la Educació Superior Uiversidad Nacioal Experimetal Rafael María Baralt Programa: Igeiería y Tecología Proyecto: Igeiería e Gas Profesor:

Más detalles

Trabajo Especial Estadística

Trabajo Especial Estadística Estadística Resolució de u Problema Alumas: Arrosio, Florecia García Fracaro, Sofía Victorel, Mariaela FECHA DE ENTREGA: 12 de Mayo de 2012 Resume Este trabajo es ua ivestigació descriptiva, es decir,

Más detalles

UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes

Más detalles

DISOLUCIONES. Sistema material. Mezcla. Mezcla. coloidal

DISOLUCIONES. Sistema material. Mezcla. Mezcla. coloidal DISOLUCIONES CONTENIDOS 1.- Sistemas materiales. 2.- Disolucioes. Compoetes. Clasificacioes. 3.- Cocetració de ua disolució 3.1. E g/l (repaso). 3.2. % e masa (repaso). 3.3. % e masa/volume. 3.4. Molaridad.

Más detalles

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Ferado Pito Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL Cuado u objeto real gira alrededor de algú eje, su movimieto o se puede aalizar como si fuera ua partícula,

Más detalles

CAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica.

CAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica. 5 CAPIULO 0 CONCEPOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Este capítulo proporcioa u pequeño resume acerca de coceptos básicos de álgebra y programació lieal que resulta fudametales para el bue etedimieto

Más detalles

CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística

CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Sistemas Automáticos. Ing. Organización Conv. Junio 05. Tiempo: 3,5 horas

Sistemas Automáticos. Ing. Organización Conv. Junio 05. Tiempo: 3,5 horas Sistemas Automáticos. Ig. Orgaizació Cov. Juio 05. Tiempo: 3,5 horas NOTA: Todas las respuestas debe ser debidamete justificadas. Problema (5%) Ua empresa del sector cerámico dispoe de u horo de cocció

Más detalles

2 Conceptos básicos y planteamiento

2 Conceptos básicos y planteamiento ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DOS VARIABLES Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció E muchos casos estaremos iteresados e hacer u estudio cojuto de varias características de ua població.

Más detalles

9. MEDIDA DE LA DENSIDAD DE LÍQUIDOS

9. MEDIDA DE LA DENSIDAD DE LÍQUIDOS 9. MEDIDA DE LA DENSIDAD DE LÍQUIDOS OBJETIVO El objetivo de la práctica es determiar la desidad de líquidos utilizado la balaza de Möhr y su aplicació a la determiació de la desidad de disolucioes co

Más detalles

T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. x 1. x 2 = 1 = 2. x 3 = 3. x 4. Variable aleatoria: definición y tipos:

T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. x 1. x 2 = 1 = 2. x 3 = 3. x 4. Variable aleatoria: definición y tipos: T ema 6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Variable aleatoria: defiició y tipos: Ua variable aleatoria es ua fució que asiga u úmero real, y sólo uo, a cada uo de los resultados de u eperimeto aleatorio.

Más detalles

[e j N 2 e j N 2 ]...} (22)

[e j N 2 e j N 2 ]...} (22) Trasformadores multiseccioales de cuarto de oda. La teoría de reflexioes pequeñas descrita e la secció aterior se puede usar para aalizar trasformadores multiseccioales de u cuarto de oda. Cosidere la

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL

LÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA

Más detalles

GUIA DE ESTUDIO Nro 1

GUIA DE ESTUDIO Nro 1 MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro

Más detalles

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas

Más detalles

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra

Más detalles

UNIDAD 3.- INFERENCIA ESTADÍSTICA I

UNIDAD 3.- INFERENCIA ESTADÍSTICA I UNIDAD 3.- INFERENCIA ESTADÍSTICA I 1. ESTADÍSTICA INFERENCIAL. MUESTREO La Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida de datos, su orgaizació y aálisis, así como de las prediccioes que, a

Más detalles

Estado Gaseoso. Prf. María Peiró

Estado Gaseoso. Prf. María Peiró Estado Gaseoso rf. María eiró Gas, es u estado de la materia formado por éculas que tiede a expadirse porque se mueve a a velocidad debido a su altísima eergía ciética, mateiedo a espacio etre ellas. ropiedades

Más detalles

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.

R. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series. R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de

Más detalles

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

CIRCUITOS ELÉCTRICOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS La corriete eléctrica cosiste e el movimieto de electroes a través de u material. Para describir el fucioamieto de los circuitos eléctricos cuado so atravesados por ua corriete eléctrica

Más detalles

M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para

M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 4 Series uméricas M arcelo, de vez e vez, usa ua reata de 10 m de largo y cm de grueso para medir el cotoro de los terreos que fumiga. Para que la reata que usa o

Más detalles

MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN

MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN Prácticas de Fudametos Matemáticos para el estudio del Medio Ambiete www.um.es/docecia/jpastor jpastor@um.es MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN 1. Itroducció Ua de las cuestioes de mayor iterés e las Ciecias

Más detalles

En el tema anterior se estudió que muchas decisiones se toman a partir de resultados muestrales. Por ejemplo:

En el tema anterior se estudió que muchas decisiones se toman a partir de resultados muestrales. Por ejemplo: TEMA 6. Estimació putual. E muchos casos o será posible determiar el valor de u parámetro poblacioal descoocido, aalizado todos los valores poblacioales, pues el proceso a seguir puede ser destructivo,

Más detalles

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ESPACIO MUESTRAL. El cojuto de todos los resultados posibles de u eperimeto estadístico deotado por S o Ω VARIABLE. Se deomia variable a la

Más detalles

Tema 4. Estimación de parámetros

Tema 4. Estimación de parámetros Estadística y metodología de la ivestigació Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 4. Estimació de parámetros 1. Estimació putual 1 1.1. Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p).......................

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

1. Intervalos de Conanza

1. Intervalos de Conanza M. Iiesta Uiversidad de Murcia INFERENCIA ESTADÍSTICA Tema 3.: Itervalos de coaza Objetivos Costruir itervalos de coaza para los parámetros más importates. Aplicar coveietemete los IC atediedo a cada situació

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-.000 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de

Más detalles

4.- Aproximación Funcional e Interpolación

4.- Aproximación Funcional e Interpolación 4- Aproximació Fucioal e Iterpolació 4 Itroducció Ua de las mayores vetajas de aproximar iformació discreta o fucioes complejas co fucioes aalíticas secillas, radica e su mayor facilidad de evaluació y

Más detalles

Intervalos de Confianza basados en una sola muestra. Denotaremos al parámetro de interés con la letra θ y con θ un estimador para θ.

Intervalos de Confianza basados en una sola muestra. Denotaremos al parámetro de interés con la letra θ y con θ un estimador para θ. Itervalos de Cofiaza basados e ua sola muestra Ua estimació putual sólo os proporcioa u valor umérico, pero NO proporcioa iformació sobre la precisió y cofiabilidad de la estimació del parámetro. Etoces

Más detalles

Métodos Numéricos (SC 854) Ajuste a curvas. 2. Ajuste a un polinomio mediante mínimos cuadrados

Métodos Numéricos (SC 854) Ajuste a curvas. 2. Ajuste a un polinomio mediante mínimos cuadrados Métodos Numéricos SC 854 Auste a curvas c M Valezuela 007 008 7 de marzo de 008 1 Defiició del problema E el problema de auste a curvas se desea que dada ua tabla de valores i,f i ecotrar ua curva que

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo

Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky Hay dos razoes por las cuales el itervalo (6.63,.37) tiee mayor logitud que el obteido ateriormete (7.69, 0.3). la variaza

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCION DEPARTAMENTO DE HIDRAULICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCION DEPARTAMENTO DE HIDRAULICA UNIERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCION DEPARTAMENTO DE HIDRAULICA LABORATORIO DE HIDRAULICA II PRACTICA # TEMA: DETERMINACION DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD DE MANNING

Más detalles

Parámetros de tiempo para

Parámetros de tiempo para Parámetros de tiempo para cotrol y diagóstico INTRODUCCIÓN. Ua de las actividades importates a ivel de sistemas que se debe desarrollar e toda etidad que cuete co u recurso computacioal de soporte para

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...

SUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,... SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto

Más detalles

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor.

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor. 1 Estadística Descriptiva Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combiatoria Trata de describir y aalizar alguos caracteres de los idividuos de u grupo dado, si extraer coclusioes para u grupo mayor.

Más detalles

R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) σˆ 2 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION σ ˆ

R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) σˆ 2 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION σ ˆ 06 5.8 Leyedo la salida de u programa estadístico Cada programa estadístico preseta los resultados de la regresió e forma diferete, pero la mayoría provee la misma iformació básica. La tabla muestra la

Más detalles

Preguntas más Frecuentes: Tema 2

Preguntas más Frecuentes: Tema 2 Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,

Más detalles

Identificación de Sistemas

Identificación de Sistemas Departameto de Electróica Facultad de Ciecias Eactas Igeiería y Agrimesura Uiversidad Nacioal de osario Idetificació de Sistemas Coceptos Fudametales de robabilidad Variables Aleatorias y rocesos Aleatorios

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

METODO DE ITERACION DE NEWTON

METODO DE ITERACION DE NEWTON METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura

Más detalles

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0 DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0 1. Itroducció al cálculo de

Más detalles

Tema 5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Y FÓRMULA DE TAYLOR

Tema 5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Y FÓRMULA DE TAYLOR Tema. ALICACIONES DE LAS DERIVADAS: RERESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Y FÓRMULA DE TAYLOR Aplicacioes de la derivada primera El sigo de la derivada primera de ua fució permite coocer los itervalos de crecimieto

Más detalles

Introducción a las medidas de dispersión.

Introducción a las medidas de dispersión. UNIDAD 8: INTERPRETEMOS LA VARIABILIDAD DE LA INFORMACION. Itroducció a las medidas de dispersió. Como su ombre lo idica, las medidas de dispersió so parámetros que os idica qué ta dispersos está los datos.

Más detalles

1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente

1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente 1. Relacioes de recurrecia homogéeas co coeficiete costate 1. Demuestra que la sucesió {a } es ua solució de la recurrecia a = a 1 + 2a 2 + 2 9 si a) a = + 2 b) a = 5( 1) + 2 c) a = 3( 1) + 2 + 2 d) a

Más detalles

UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

UNITAT 2. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS UNITAT. ÁLGEBRA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI U poliomio co idetermiada x es ua expresió de la forma: Los úmeros que acompaña a la icógita se

Más detalles

Transporte de portadores. Corriente en los semiconductores

Transporte de portadores. Corriente en los semiconductores Trasporte de portadores Corriete e los semicoductores Movimieto térmico de los portadores Detro del semicoductor los portadores de corriete está sometidos a u movimieto de agitació térmica (movimieto browiao).

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

CUADRATURA GAUSSIANA

CUADRATURA GAUSSIANA CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios

Más detalles

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica,

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica, 1 MAJ04 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL 1. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable ormal de media 10 miutos y desviació típica 2 miutos. Se toma muestras

Más detalles

Estimación de Parámetros. Estimación de Parámetros

Estimación de Parámetros. Estimación de Parámetros Uiversidad Técica Federico Sata María Capítulo 7 Estimació de Parámetros Estadística Computacioal II Semestre 007 Prof. Carlos Valle Págia : www.if.utfsm.cl/~cvalle e-mail : cvalle@if.utfsm.cl C.Valle

Más detalles

CAPITULO 5 OBTENCIÓN DE CINÉTICAS DE REACCIÓN A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES

CAPITULO 5 OBTENCIÓN DE CINÉTICAS DE REACCIÓN A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES Obteció de ciéticas de reacció a partir de datos eperimetales IULO 5 OBEIÓ DE IÉIS DE REIÓ RIR DE DOS EXERIMELES 5. IRODUIÓ E los capítulos ateriores hemos visto que la epresió de velocidad de reacció

Más detalles

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate

Más detalles

SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en:

SUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en: UCEIÓN CPR. JORGE JUAN Xuvia-Naró Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es ua fució que hace correspoder a cada úmero atural, excluido el cero, u úmero real, la cual viee defiida segú: f: N* R a a i a Número

Más detalles

CAPÍTULO IV: CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE MORTALIDAD. Es un hecho bien conocido que la probabilidad de que un individuo fallezca en un periodo

CAPÍTULO IV: CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE MORTALIDAD. Es un hecho bien conocido que la probabilidad de que un individuo fallezca en un periodo CAPÍTULO IV: CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE MORTALIDAD 4.1 Geeralidades Es u hecho bie coocido que la probabilidad de que u idividuo fallezca e u periodo determiado de tiempo depede de muchos factores, etre

Más detalles

Raices de Polinomios. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

Raices de Polinomios. Jorge Eduardo Ortiz Triviño Raices de Poliomios Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@ual.edu.co http://www.docetes.ual.edu.co/jeortizt/ Defiició U poliomio de grado es ua epresió de la forma: Dode a 0 P() = a + a - - +... +a +

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC.

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC. APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA Problemas Tema 2.3: Series, represetació de fucioes y costrucció de tablas e HC Grado e Química º SEMESTRE Uiversitat de Valècia Facultad de Químicas Departameto de

Más detalles

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uo de los objetivos de la estadística es coocer acerca del comportamieto de parámetros poblacioales tales como: la media ( μ ), la variaza ( ) o la proporció ( p ).

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla

Más detalles

6. ECUACIONES DE RECURRENCIA.

6. ECUACIONES DE RECURRENCIA. 6. ECUACIONES DE RECURRENCIA. 6.1. Itroducció. Las relacioes de recurrecia puede cosiderarse como técicas avazadas de coteo. Resuelve problemas cuya solució o puede obteerse usado variacioes, permutacioes,

Más detalles

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar

Más detalles

1.1 INTERVALOS DEL 95% DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA

1.1 INTERVALOS DEL 95% DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL VARIANZA CONOCIDA Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 106 1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL upogamos que X1,...,X es ua muestra aleatoria de ua

Más detalles

Muestreo sistemático

Muestreo sistemático Capítulo 1 Muestreo sistemático El muestreo sistemático es u tipo de muestreo que es aplicable cuado los elemetos de la població sobre la que se realiza el muestreo está ordeados Este procedimieto de muestreo

Más detalles

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Modelo nº 2 Sept. Sobrantes de Soluciones

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Modelo nº 2 Sept. Sobrantes de Soluciones IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Septiembre) Germá-Jesús Rubio Lua Istruccioes: Modelo º Sept. Sobrates de 007-008 Solucioes Duració: 1 hora y 30 miutos. Elija ua de las dos opcioes propuestas

Más detalles

TRABAJO DE GRUPO Series de potencias

TRABAJO DE GRUPO Series de potencias DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre

Más detalles

Números reales. Operaciones

Números reales. Operaciones Números reales. Operacioes Matemáticas I 1 Números reales. Operacioes Números racioales. Caracterizació. Recuerda que u úmero r es racioal si se puede poer e forma de fracció de úmeros eteros de la forma

Más detalles

4 El Perceptrón Simple

4 El Perceptrón Simple El Perceptró Simple. Itroducció Ua de las características más sigificativas de las redes euroales es su capacidad para apreder a partir de algua fuete de iformació iteractuado co su etoro. E 958 el psicólogo

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

ANDALUCÍA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO OPCIÓN A

ANDALUCÍA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO OPCIÓN A EXAMEN COMPLETO Istruccioes: a) Duració: 1 hora y 30 miutos. b) Elija ua de las dos opcioes propuestas y coteste los ejercicios de la opció elegida. c) E cada ejercicio, parte o apartado se idica la putuació

Más detalles

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática

Solución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, 0-09-2008. Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (BERNOULLI) DISTRIBUCIÓN NORMAL (GAUSS) www.cedicaped.com DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Recordemos que el Espacio Muestral es el cojuto de todos y

Más detalles

Capítulo 4 (Continuación) MÉTODOS ESTADÍSTICOS. Autor: José María García Palanco

Capítulo 4 (Continuación) MÉTODOS ESTADÍSTICOS. Autor: José María García Palanco Capítulo 4 (Cotiuació MÉTODOS ESTADÍSTICOS Autor: José María García Palaco Técicas Eperimetales Medida de magitudes 4.8 Métodos Estadísticos Ya hemos visto e los apartados ateriores, que u procedimieto

Más detalles

Calculo de coeficientes de transferencia. Dr. Rogelio Cuevas García 1

Calculo de coeficientes de transferencia. Dr. Rogelio Cuevas García 1 Calculo de coeficietes de trasferecia Dr. Rogelio Cuevas García 1 El calculo de los coeficietes de trasferecia de masa se prefiere e fució de úmeros adimesioales y e igeiería de reactores heterogéeos,

Más detalles

LECTURA 5 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT

LECTURA 5 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT UIVERSIDAD TÉCICA FEDERICO SATA MARÍA DEPARTAMETO DE ELECTRÓICA LECTURA 5 TRASFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT CURSO LABORATORIO DE PROCESAMIETO SIGLA ELO 385 DIGITAL DE SEÑALES PROFESOR PABLO LEZAA ILLESCA

Más detalles

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uo de los objetivos de la estadística es saber acerca del comportamieto de parámetros poblacioales tales como: la media ( ), la variaza ( ) o la proporció ( p ). Para

Más detalles

Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales Uiversidad de Atofagasta Fac. de Ciecias Básicas Depto. de Matemáticas A. Alarcó, L. Media, E. Rivero, R. Zuñiga Segudo Semestre 204 Sistema de ecuacioes lieales El sistema de ecuacioes lieales a, + a,2

Más detalles

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 8 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 8 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL INISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARADA NACIONAL UNEFA NUCLEO ERIDA APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Ferado Pito Parra UNIDAD 8 CONSERVACIÓN

Más detalles

Combinatoria. Tema Principios básicos de recuento

Combinatoria. Tema Principios básicos de recuento Tema 4 Combiatoria La combiatoria, el estudio de las posibles distribucioes de objetos, es ua parte importate de la matemática discreta, que ya era estudiada e el siglo XVII, época e la que se platearo

Más detalles

Capítulo 9. Método variacional

Capítulo 9. Método variacional Capítulo 9 Método variacioal 9 Miimizació de la eergía 9 Familia de fucioes 9 Partícula ecerrada e ua dimesió etre [-aa] 9 Oscilador armóico e ua dimesió 93 Átomo de helio 93 Combiació lieal de fucioes

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147]

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147] PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 5-6 - CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles