FENÓMENOS DE TRASPORTE EN METALURGIA EXTRACTIVA Balances de Energía

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1 FENÓMENOS DE TRASPORTE EN METALURGIA EXTRACTIVA Balancs d Engía Pof. Lando Voisin A, MSc., D. Académico Univsidad d Chil. Jf dl Laboatoio d Piomtalugia. Invstigado Snio - Tohoku Univsity, Jaan. 1

2 Balanc d flujo d ngía ó otncia Flujo lamina y balanc d ngía Elbalancsalicaaunvolumndcontolconlobjtivod dsaolla u obtn una cuación difncial qu snt y dsciba l comotaminto dl flujo d calo. Paa la solución d la cuación difncial sá ncsaio imon sticcions físicas dl sistma (condicions d bod) y d timo(condicions inicials). La solución d la cuación difncial nos oociona la distibución d tmatua n l sistma d dond s obtin admás la distibución dl flujo d calo n la intfac fluídosólida.

3 Balanc d flujo d ngía ó otncia Flujo lamina y balanc d ngía Paa flujo stacionaio l balanc d ngía quda dfinido o la cuación gnal: Difncial d vlocidad d ngía mdiant tansot convctivo vlocidad d tabajo sob l sistma o tansot molcula vlocidad d tabajo sob l sistma o fuzas xtnas Difncial d vlocidad d ngía mdiant tansot molcula F... vlocidad a la qu l sistma aliza tabajo o tansot molcula vlocidad d oducción d ngía... 0 ( 1 ) υ U v [ π ] q v ( 1 ) υ H v [ τ ] q v 3

4 Balanc d flujo d ngía ó otncia Flujo lamina y balanc d ngía Paa flujo stacionaio l balanc d ngía quda dfinido o la cuación gnal: ( 1 υ U )v q [ π v] ( 1 ) υ U v [ π ] q v ( 1 ) υ H v [ τ ] q v Vcto d dnsidad d flujo d ngía convctiva Vcto d dnsidad d flujo molcula témico Vcto d dnsidad d flujo molcula d tabajo Vcto d dnsidad d flujo d ngía combinada 4

5 Alamb léctico Flujo lamina y balanc d ngía Conducción d calo con una funt d calo léctica Consid un alamb léctico d scción cicula d adio R y conductividad léctica k 1/(Ωcm). Po l alamb cicula una coint I A/cm. La tansmisión d coint s un ocso ivsibl, y algo d la ngía léctica s convit n calo. La vlocidad d oducción d calo dada o ladisiaciónlécticas S.Lasufici dlalambsmantinat o. S I k 5

6 Alamb léctico Flujo lamina y balanc d ngía Considamos nvoltua cilíndica d sso y longitud L. Dbido a qu v0nlsistma,lasúnicascontibucionsalbalancdngíason: ( π L ) q ( ) πl q Vlocidadd ntadad caloa tavésd la suficicilíndican ( π ( ) L ) q ( πl q ) Vlocidad d salida d calo a tavés d la sufici cilíndica n ( π L ) S Vlocidad d oducción d ngía témica o disiación léctica. 6

7 Alamb léctico lim 0 Flujo lamina y balanc d ngía Ahoa sustituyndo y odnando téminos n l balanc d ngía y dividindo o πl y tomando l límit cuando tind a co, s obtin: ( q ) ( q ) d d ( q ) S Intgando la c. difncial d im odn s obtin: S q S C 1 La constant C 1 db s co dbido a la condición límit n 0, q no s infinito 7

8 Alamb léctico Flujo lamina y balanc d ngía Po lo tanto, la xsión final aa la distibución d dnsidad d flujo d calo s: q Esto indica qu la dnsidad d flujo d calo aumnta linalmnt con. S Lugo dbmos sustitui la 1 a ly d Foui n la comonnt adial aa obtn la xsión d la distibución d tmatua: k dt d Cuando s suon qu k s ct. sta c. difncial d im odn ud intgas aa obtn: - S 4 k S T C 8

9 Flujo lamina y balanc d ngía Alamb léctico La constant C d intgación s dtmina a ati d: T n R, TT o R C S 4 k To T o S R 4 k La c. oociona l aumnto d tmatua como una función aabólica d la distancia al j dl alamb. 1 R 9

10 Flujo lamina y balanc d ngía Alamb léctico Una vz qu s conocn las distibucions d tmatua y d la dnsidad d flujo d calo, ud obtns más infomación sob l sistma: i) lvación máxima d tmatua: (aa 0) T To S R 4 k ii) lvación mdia d tmatua: T To π R ( T ( ) T ) dd θ dd o 0 0 S π R 0 0 θ R 8 k 10

11 Alamb léctico Flujo lamina y balanc d ngía iii) Salida d calo n la sufici: (aa un alamb d longitud L) Q πrl q R πrl π R Est sultado no s sondnt, ya qu n stado stacionaio, todo l calooducidoodisiaciónlécticanlvolumn πr Ldbsaliatavés d la sufici R. S R R L S Analogía con fluidodinámica 11

12 Flujo lamina y balanc d ngía Conducción d calo con una funt d calo nucla Consid un lmnto combustibl nucla sféico d matial fisionabl d adio R (F), odado o un vstiminto sféico d aluminioconadioxtior (c). Al intio dl lmnto combustibl s oducn fagmntos d fisión cuyas ngías cinéticas son muy lvadas. La mayo funtd ngía témica S n,n l acto la constituyn las colisions nt stos fagmntos y los átomos dl matial fisionabl. dond: S n0 s la vlocidad volumética d oduccióndcalonlcntodlasfa, ybsunaconstantadimnsionalositiva. S n S n 0 1 b R ( F ) 1

13 Flujo lamina y balanc d ngía Otos oblmas: 13

14 Balanc Gnal d flujo d ngía ó otncia Ecuación Gnal d Engía Paa flujo tansint l balanc d ngía quda dfinido o la cuación gnal: z Difncial d vlocidad d ngía mdiant tansot convctivo vlocidad d tabajo sob l sistma o tansot molcula vlocidad d tabajo sob l sistma o fuzas xtnas Difncial d vlocidad d ngía mdiant tansot molcula F... vlocidad a la qu l sistma aliza tabajo o tansot molcula vlocidad d oducción d ngía... y vlocidad d acumulación d ngía intna y cinética x 14

15 Lo imo s dtmina la vlocidad d acumulación d ngía intna y cinética. ( U ) 1 v x y z t Ecuación Gnal d Engía Paa dsaolla la c. dbmos alica la ly d consvación d ngía a un lmnto d volumn inmso n un fluido n movimintoqusntalascomonntsdvlocidad,v x,v y yv z. Lugo, dbmos conoc cuanta ngía nta y sal a tavés d las caas dl lmnto d volumn x y z. ( ) x z( ) x y( ) y z x x x x x y y y y y z z z z z dond, incluy l tansot convctivo d la ngía cinética y d la ngía intna, la conducción d calo y l tabajo asociado con los ocsos molculas o stss molcula, π. 15

16 16 ( ) z y x g g g z y x v v v z y x La vlocidad a la cual s aliza l tabajo sob l fluido o sistma o la fuza xtna s l oducto unto d la vlocidad «v» dl fluido y la fuza qu actúa sob l fluido( x y z)g., o bin: Instando las divsas contibucions n la c. gnal d ngía, dividindo o l volumn d contol y haciéndolo tnd a co, s obtin: ( ) ( ) z z y y x x z y x 1 g g g z y x U v v v v t o bin scita n notación vctoial: ( ) ( ) ( ) g U 1 v v t Ecuación Gnal d Engía

17 t ( 1 ) [ ( ) ] 1 v v U v ( q)... vlocidad d acumulación d ngía intna y cinética U Ecuación Gnal d Engía Todas las comonnts o unidad d volumn Difncial d vlocidad d ngía mdiant tansot convctivo Difncial d vlocidad d ngía mdiant tansot molcula ( v) [ ( τ v) ] ( v g )... vlocidad d tabajo sob l sistma o fuzas d sión vlocidad d tabajo sob l sistma o fuzas viscosas vlocidad d tabajo sob l sistma o fuzas xtnas vlocidad d oducción d ngía Engía nucla, Engía adiactiva Engía lctomagnética Engía química Etc. 17

18 Ecuación Gnal d Engía Considando la ngía otncial o unidad d masa, Φ, tal qu g- Φ y tnindo n cunta qu aa cambios d lvación modados, Φ gh, sindo h una coodnada n la dicción ousta al camo gavitacional. t... ( v ) 1 U Φ... [ ( ) ] 1 v U Φ v ( q) ( v) ( τ v) [ ] 18

19 Fomas scials d la Ec. d Engía La foma más útil d la c. d ngía s aqulla n la qu aac la tmatua, usto qu ud utilizas aa onostica fils d dicha oidad. Lo imo s nconta una c. d vaiación aa la ngía intna, aa obtnla, stamos la c. d ngía mcánica vista n l modulo d fluidodinámica a la c. gnal d ngía. Todas las comonnts o unidad d volumn t U vlocidad d acumulación d ngía intna ( U v) ( q)... Difncial d vlocidad d ngía intna mdiant tansot convctivo Difncial d vlocidad d ngía intna o conducción d calo... ( v) ( τ : v) vlocidad vsibl d aumnto d ngía intna o comnsión vlocidad vsibl d aumnto d ngía intna o disiación viscosa 19

20 Fomas scials d la Ec. d Engía La cantidad τ : v dscib la dgadación d ngía mcánica n ngía témica qu ocu n todos los sistmas d flujo y s dnomina calntaminto o disiación viscosa. 1 i j ( τ : v) µ ( v) δ ( v) i j v x j v κ x La c. d ngía intna n n téminos d la divada sustancial ud s scita como: i 3 ij DU ( q) ( v) ( : v) τ 0

21 Fomas scials d la Ec. d Engía Rsulta convnint cambia la ngía intna a ntalía: U H V H DU ( q) ( τ : ) v D Sindo qu la ntalía s una función d y d T, odmos obtn una xsión aa l cambio n ntalía n un lmnto d fluido qu s muv a la vlocidad dl fluido: D H DT C V T V t D 1

22 Fomas scials d la Ec. d Engía D T V T V DT C D H D T 1 T 1 DT C D ln T ln 1 DT C ( ) ( ) D ln T ln q DT C τ v :